第2章 简单事件的概率知识归纳与题型训练（4类题型清单）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（浙教版）

第2章 《简单事件的概率》知识归纳与题型训练（4题型清单） 一、事件的可能性 必然事件：一定条件下必然会发生的事件叫做必然事件 不可能事件：一定条件下必然不会发生的事件叫做不可能事件 不确定事件：一定条件下可能发生、也可能不发生的事件叫做不确定事件，也叫随机事件 要点诠释： 确定随机事件发生的可能结果的常用方法： ①列表；②画树状图 列表或者画树状图可以帮助我们分析问题，避免重复和遗漏，既直观又条理分明 二、简单事件的概率 概率：事件发生的可能性大小称为事件的概率 概率一般用P表示，事件A发生的概率记为P（A）； P（必然事件）=1； P（不可能事件）=0； 0＜P（随机事件）＜1； 概率公式： 事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥时，结果总数记为n； 事件A包含其中的结果数（） 三、用频数估计概率 在相同条件下，当重复实验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近，此时，可以用一个事件发射个的频率来估计这一事件发生的概率 四、概率的简单应用 利用二次函数的性质求解最值多出现在销售问题中，利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤如下： ①设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入 ②用含自变量的代数式表示销售商品成本 ③用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数表达式 ④根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值 题型一　事件的可能性 例题： 1．（2023•鄞州区开学）下列事件中，是必然事件的是（　　） A．水中捞月 B．水涨船高 C．守株待兔 D．百步穿杨 2．（2023秋•西湖区校级月考）一个仅装有球的不透明盒子里，共有20个红球和白球（仅有颜色不同），小明进行了摸球试验，摸到红球可能性最大的是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 3．（2023秋•余姚市期末）任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的事件是（　　） A．朝上一面的点数大于3 B．朝上一面的点数小于3 C．朝上一面的点数是3的倍数 D．朝上一面的点数是3的因数 4．（2023秋•桐乡市期末）一个袋中装有红、白两种颜色的球，这些球除颜色外其它都相同．其中红球个数：白球个数＝3：2．任意摸出一个球，求摸到红球的可能性大小是（　　） A． B． C． D． 5．（2022秋•镇海区校级期中）掷一枚质地均匀的标有1，2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现可能性最小的是（　　） A．大于3的点数 B．小于3的点数 C．大于5的点数 D．小于5的点数 6．（2024•拱墅区校级二模）公益中学九年级举办了体育模拟测试．其中参加男子立定跳远项目的10名学生成绩（单位：厘米）数据整理如下： a.10名学生立定跳远成绩：263，258，253，251，251，247，247、247，245，243 b.10名学生立定跳远成绩的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 250.5 m n （1）写出表中m，n的值； （2）杭州市体育中考男子立定跳远的满分为成绩不低于246cm，请问本次模拟测试男子立定跳远的满分率为多少？ （3）甲、乙两名学生本次模拟测试未达到满分标准，要通过努力训练来提高成绩．下表是两名同学近五次的训练成绩，试判断下次考试哪位同学达标满分的可能性更大，请说明理由． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 248 246 244 248 246 乙 240 256 242 244 246 题型二　简单事件的概率 例题： 1．（2024•瑞安市校级模拟）有11个杯子，其中有一等品5个，二等品4个，次品2个，任取1个杯子是次品的概率是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•西湖区校级三模）小明同学上学途中要经过一个有交通信号灯的路口，该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，则小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•西湖区期末）口袋里只有8个球，除颜色外都相同，其中有x个红球，y个白球，没有其他颜色的球，从中随意摸出一个球：（1）如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，分别求x和y的值． （2）在（1）的条件下，现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从口袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走多少个白球． 巩固训练 4．（2024•拱墅区二模）某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷10次，都是反面朝上，则抛掷第11次出现正面朝上的概率是（　　） A． B． C． D．0 5．（2024•宁波模拟）六张完全相同的卡片背面分别画有等腰直角三角形、圆形、平行四边形、矩形、菱形、正方形，将正面朝上放在桌面上，从中随机抽取一张，所抽取的卡片上的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是（　　） A． B． C． D． 6．（2023秋•义乌市校级期末）从，，，π四个实数，任取一个数是有理数的概率为 　 　． 7．（2023秋•富阳区校级月考）一个不透明的布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n＝　 　． 8．（2023秋•越城区期末）在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小丽和小芳想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小丽和小芳都公平的方案．甲同学的方案：将红桃2、3、4、5四张牌背面向上，小丽先抽一张，小芳从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小丽看电影，否则小芳看电影． （1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明； （2）乙同学将甲的方案修改为只用红桃2、3、5、7四张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？并说明理由． 题型三　用频数估计概率 例题： 1．（2023秋•上城区期末）某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满100元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）．下表是活动进行中的一组统计数据： 抽奖次数n 100 150 200 800 1000 抽到“中奖”卡片的次数m 38 56 69 258 299 中奖的频率 0.38 0.373 0.345 0.323 0.299 根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（　　） A．0.40 B．0.35 C．0.30 D．0.25 2．（2023秋•金东区期末）在大量重复试验中，关于随机事件发生的概率与频率，下列说法正确的是（　　） A．频率就是概率． B．频率与试验次数无关． C．概率是随机的，与频率无关． D．随着试验次数的增加，频率一般会趋近概率． 巩固训练 3．（2023秋•义乌市校级期中）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 　 　． 4．（2023秋•拱墅区校级月考）在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有4个红球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则白球的个数约为　 　． 5．（2024春•西湖区校级月考）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 （1）请估计当n很大时，摸到白球的概率为 　 　（精确到0.1）． （2）估算盒子里有白球 　 　个． （3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？ 6．（2023秋•萧山区月考）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.25， （1）请估计摸到白球的概率将会接近 　 　； （2）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 题型四　概率的简单应用 例题： 1．（2024•义乌市模拟）口袋中有10个球（每个球除颜色外都相同），其中白球x个，红球2x个，其余为蓝球．从袋中随机摸出一个球，摸到红球则甲获胜，摸到蓝球则乙获胜．要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该等于 　 　． 2．（2024•越城区校级开学）学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校．某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为三类：A：好，B：中，C：差．请根据图中信息，解答下列问题： （1）求全班学生总人数； （2）在扇形统计图中，a＝　 　，b＝　 　，C类的圆心角为 　 　； （3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用列表法或画树状图的方法求出全是B类学生的概率． 巩固训练 3．（2023秋•湖州期中）一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1，2，3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字． （1）第一次摸到标有奇数的乒乓球的概率是 　 　； （2）小李和小刘两同学约定，若两次摸到的乒乓球上所标数字之积为偶数则小李胜，否则小刘胜，这个游戏规则公平吗？请说明理由． 4．（2023秋•萧山区月考）如图所示，一个转盘被平均分成六个扇形，并在上面依次写上数字1，2，3，4，5，6．若自由转动转盘，当它停止转动时，求： （1）指针指向4的概率 　 　；（直接写出答案） （2）指针指向的数字是奇数的概率 　 　；（直接写出答案） （3）现只有一张电影票，小王和小李都想去看，请你利用这个转盘，设计一个公平的游戏规则． 5．（2023春•鄞州区校级月考）如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在9×9个小方格的雷区中，随机地埋藏着20颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷． （1）如图1，小南先踩中一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷（包含数字2的黑框区域记为A）．接着，小语选择了右下角的一个方格，出现了数字1（包含数字1的黑框区域记为B，A与B外围区域记为C）．二人约定：在C区域内的小方格中任选一个小方格，踩中雷则小南胜，否则小语胜，试问这个游戏公平吗？请通过计算说明． （2）如图2，在D，E，F三个黑框区域中共藏有10颗地雷（空白区域无地雷），则选择D，E，F三个区域踩到雷的概率分别是 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 《简单事件的概率》知识归纳与题型训练（4题型清单） 一、事件的可能性 必然事件：一定条件下必然会发生的事件叫做必然事件 不可能事件：一定条件下必然不会发生的事件叫做不可能事件 不确定事件：一定条件下可能发生、也可能不发生的事件叫做不确定事件，也叫随机事件 要点诠释： 确定随机事件发生的可能结果的常用方法： ①列表；②画树状图 列表或者画树状图可以帮助我们分析问题，避免重复和遗漏，既直观又条理分明 二、简单事件的概率 概率：事件发生的可能性大小称为事件的概率 概率一般用P表示，事件A发生的概率记为P（A）； P（必然事件）=1； P（不可能事件）=0； 0＜P（随机事件）＜1； 概率公式： 事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥时，结果总数记为n； 事件A包含其中的结果数（） 三、用频数估计概率 在相同条件下，当重复实验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近，此时，可以用一个事件发射个的频率来估计这一事件发生的概率 四、概率的简单应用 利用二次函数的性质求解最值多出现在销售问题中，利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤如下： ①设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入 ②用含自变量的代数式表示销售商品成本 ③用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数表达式 ④根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值 题型一　事件的可能性 例题： 1．（2023•鄞州区开学）下列事件中，是必然事件的是（　　） A．水中捞月 B．水涨船高 C．守株待兔 D．百步穿杨 【分析】根据随便事件的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、水中捞月是不可能事件，不符合题意； B、水涨船高是必然事件，符合题意； C、守株待兔是随机事件，不符合题意； D、百步穿杨是随机事件，不符合题意． 故选：B． 2．（2023秋•西湖区校级月考）一个仅装有球的不透明盒子里，共有20个红球和白球（仅有颜色不同），小明进行了摸球试验，摸到红球可能性最大的是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接比较红球的数量即可求解． 【解答】解：∵一个仅装有球的不透明盒子里，共有20个红球和白球（仅有颜色不同），0＜4＜10＜16， ∴摸到红球可能性最大的是D选项． 故选：D． 巩固训练 3．（2023秋•余姚市期末）任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的事件是（　　） A．朝上一面的点数大于3 B．朝上一面的点数小于3 C．朝上一面的点数是3的倍数 D．朝上一面的点数是3的因数 【分析】计算出各种情况的概率，然后比较即可． 【解答】解：A、朝上一面的点数大于3的可能性的大小是， B、朝上一面的点数小于3的可能性的大小是， C、朝上一面的点数是3的倍数的可能性为， D、朝上一面的点数是3的因数的可能性为． 可能性最大的是A， 故选：A． 4．（2023秋•桐乡市期末）一个袋中装有红、白两种颜色的球，这些球除颜色外其它都相同．其中红球个数：白球个数＝3：2．任意摸出一个球，求摸到红球的可能性大小是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“红球个数：白球个数＝3：2”写出摸到红球的可能性即可． 【解答】解：∵红球个数：白球个数＝3：2， ∴任意摸出一个球，求摸到红球的可能性大小是＝， 故选：A． 5．（2022秋•镇海区校级期中）掷一枚质地均匀的标有1，2，3，4，5，6六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现可能性最小的是（　　） A．大于3的点数 B．小于3的点数 C．大于5的点数 D．小于5的点数 【分析】根据概率公式，分别求出四个选项中各事件出现的概率，再比较即可． 【解答】解：掷一枚质地均匀的立方体骰子，骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6， ∴骰子停止后，在骰子向上的一面，有6种等可能的结果． A、点数大于3的数有4，5，6，三种情况， ∴P点数大于3＝＝； B、点数小于3的数有1，2，两种情况， ∴P点数小于3＝＝； C、点数大于5的数有6，一种情况， ∴P点数大于5＝； D、点数小于5的数有1，2，3，4，四种情况， ∴P点数小于5＝＝； ∵＞＞＞， ∴点数大于5的概率最小，出现可能性最小． 故选：C． 6．（2024•拱墅区校级二模）公益中学九年级举办了体育模拟测试．其中参加男子立定跳远项目的10名学生成绩（单位：厘米）数据整理如下： a.10名学生立定跳远成绩：263，258，253，251，251，247，247、247，245，243 b.10名学生立定跳远成绩的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 250.5 m n （1）写出表中m，n的值； （2）杭州市体育中考男子立定跳远的满分为成绩不低于246cm，请问本次模拟测试男子立定跳远的满分率为多少？ （3）甲、乙两名学生本次模拟测试未达到满分标准，要通过努力训练来提高成绩．下表是两名同学近五次的训练成绩，试判断下次考试哪位同学达标满分的可能性更大，请说明理由． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 248 246 244 248 246 乙 240 256 242 244 246 【分析】（1）根据中位数，众数的定义进行求解即可； （2）用样本中满分的8人除以样本总数10人计算出样本中的满分率，估计学校本次测试的满分率也是同样的满分率； （3）计算出甲的平均数和满分率，再计算出乙的平均数和满分率，比较大小即可． 【解答】解：（1）将10个数据从大到小排列：263，258，253，251，251，247，247，247，245，243， 第5个数是251和第6个数是247，中位数即为（251+247）+2＝249； 247在数据中出现了3次，即众数是247， 故答案为：m＝249，n＝247； （2）由题意得，数据中满分的为8个，即样本中满分率是8+10﹣80%，估计总体的满分率即为80%； （3）下次考试甲同学达标满分的可能性更大， 理由：根据题意得：甲的平均数为（248+246+244+248+246）+5＝246.4，满分率为：4+5＝80%； 乙的平均数为（240+256+242+244+246）÷5﹣245.6满分率为：2+5﹣40%； 故平均数甲高，满分率也是甲高，所以下次测试甲达满分的可能性高． 题型二　简单事件的概率 例题： 1．（2024•瑞安市校级模拟）有11个杯子，其中有一等品5个，二等品4个，次品2个，任取1个杯子是次品的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据概率公式求解即可． 【解答】解：∵有11个杯子，其中有一等品5个，二等品4个，次品2个，任取1个杯子可能出现11种结果，是次品的有2种可能， ∴次品的概率是， 故选：C． 2．（2024•西湖区校级三模）小明同学上学途中要经过一个有交通信号灯的路口，该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，则小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：∵该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，共60秒， ∴小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为． 故选：A． 3．（2023秋•西湖区期末）口袋里只有8个球，除颜色外都相同，其中有x个红球，y个白球，没有其他颜色的球，从中随意摸出一个球：（1）如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，分别求x和y的值． （2）在（1）的条件下，现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从口袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走多少个白球． 【分析】（1）根据红球与白球的数量的情况即可求解； （2）设取走x个白球，根据概率公式列出关于x的方程，解出x的值即可． 【解答】解：（1）∵摸到红球与摸到白球的可能性相等，且x+y＝8， ∴x＝y＝4； （2）设取走x个白球，放入x个红球，则口袋中现在有白球（4﹣x）个，红球（4+x）个， 根据题意得，＝， 解得x＝3， 答：取走3个白球． 巩固训练 4．（2024•拱墅区二模）某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷10次，都是反面朝上，则抛掷第11次出现正面朝上的概率是（　　） A． B． C． D．0 【分析】根据抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正面向上的概率都是，即可得到第11次出现正面朝上的概率． 【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正面向上的概率都是， ∴抛掷第11次出现正面朝上的概率是． 故选：C． 5．（2024•宁波模拟）六张完全相同的卡片背面分别画有等腰直角三角形、圆形、平行四边形、矩形、菱形、正方形，将正面朝上放在桌面上，从中随机抽取一张，所抽取的卡片上的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】由六张完全相同的卡片背面分别画有等腰直角三角形、圆形、平行四边形、矩形、菱形、正方形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有矩形、圆形、正方形，然后直接利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：∵六张完全相同的卡片背面分别画有等腰直角三角形、圆形、平行四边形、矩形、菱形、正方形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有菱形、矩形、圆形、正方形，一共3种， ∴所抽取的卡片上的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是＝． 故选：B． 6．（2023秋•义乌市校级期末）从，，，π四个实数，任取一个数是有理数的概率为 　．　． 【分析】先判断有理数有2个，无理数有2个，再根据概率的公式计算即可得出答案． 【解答】解：∵在，，，π四个实数中，有理数是和，共2个，无理数是和π， ∴任取一个数是有理数的概率为， 故答案为：． 7．（2023秋•富阳区校级月考）一个不透明的布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n＝　9　． 【分析】根据红球的概率公式，列出方程求解即可． 【解答】解：根据题意，， 解得n＝9， 经检验n＝9是方程的解． ∴n＝9． 故答案为：9． 8．（2023秋•越城区期末）在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小丽和小芳想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小丽和小芳都公平的方案．甲同学的方案：将红桃2、3、4、5四张牌背面向上，小丽先抽一张，小芳从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小丽看电影，否则小芳看电影． （1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明； （2）乙同学将甲的方案修改为只用红桃2、3、5、7四张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？并说明理由． 【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，比较即可． （2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，比较即可． 【解答】解：（1）甲同学的方案不公平．理由如下： 列表法， 小丽 小芳 2 3 4 5 2 （2，3） （2，4） （2，5） 3 （3，2） （3，4） （3，5） 4 （4，2） （4，3） （4，5） 5 （5，2） （5，3） （5，4） 所有可能出现的结果共有12种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有8种，故小丽获胜的概率为：＝，则小芳获胜的概率为：， 故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平； （2）公平．理由如下： 列表如下： 小丽 小芳 2 3 5 7 2 （2，3） （2，5） （2，7） 3 （3，2） （3，5） （3，7） 5 （5，2） （5，3） （5，7） 7 （7，2） （7，3） （7，5） 所有可能出现的结果共有12种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有：6种，故小丽获胜的概率为：＝，则小芳获胜的概率为， 故此游戏两人获胜的概率相同，即他们的游戏规则公平． 题型三　用频数估计概率 例题： 1．（2023秋•上城区期末）某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满100元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）．下表是活动进行中的一组统计数据： 抽奖次数n 100 150 200 800 1000 抽到“中奖”卡片的次数m 38 56 69 258 299 中奖的频率 0.38 0.373 0.345 0.323 0.299 根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（　　） A．0.40 B．0.35 C．0.30 D．0.25 【分析】利用频率估计概率求解即可． 【解答】解：根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是0.30， 故选：C． 2．（2023秋•金东区期末）在大量重复试验中，关于随机事件发生的概率与频率，下列说法正确的是（　　） A．频率就是概率． B．频率与试验次数无关． C．概率是随机的，与频率无关． D．随着试验次数的增加，频率一般会趋近概率． 【分析】利用频率与概率的关系分别分析得出即可． 【解答】解：A、频率不直接等于概率，故选项不符合题意； B、频率随试验次数的变化而变化，故选项不符合题意； C、概率是理论数据不是随机的，故选项不符合题意； D、随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，说法正确，故选项符合题意． 故选：D． 巩固训练 3．（2023秋•义乌市校级期中）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 　9.6　． 【分析】用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【解答】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右， 据此可以估计黑色部分的面积为16×0.6＝9.6． 故答案为：9.6． 4．（2023秋•拱墅区校级月考）在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有4个红球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则白球的个数约为　12个　． 【分析】先根据红球的个数及其对应频率求出球的总个数，继而可得答案． 【解答】解：∵通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右， ∴袋中球的总个数约为4÷0.25＝16（个）， ∴白球的个数为16﹣4＝12（个）， 故答案为：12个． 5．（2024春•西湖区校级月考）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 （1）请估计当n很大时，摸到白球的概率为 　0.6　（精确到0.1）． （2）估算盒子里有白球 　24　个． （3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？ 【分析】（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得； （2）用总球数乘以摸到白球的概率即可得出答案； （3）根据概率公式和摸到白球的个数，即可求出x的值． 【解答】解：（1）根据表中的数据可知，估计当n很大时，摸到白球的概率为0.6； 故答案为：0.6； （2）估算盒子里约有白球40×0.6＝24（个）， 故答案为：24； （3）根据题意知，24+1＝0.5（40+x）， 解得x＝10， 答：可以推测出x最有可能是10． 6．（2023秋•萧山区月考）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.25， （1）请估计摸到白球的概率将会接近 　0.25　； （2）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【分析】（1）直接根据频率估计概率，求解即可； （2）设需要往盒子里再放入x个白球，根据概率公式求解即可． 【解答】解：（1）经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.25； ∴估计摸到白球的概率将会接近0.25， 故答案为：0.25； （2）原有白球：60×0.25＝15， 设需要往盒子里再放入x个白球， 根据题意得：， 解得：x＝15（经检验，x＝15是原方程的解）， 答：需要往盒子里再放入15个白球． 题型四　概率的简单应用 例题： 1．（2024•义乌市模拟）口袋中有10个球（每个球除颜色外都相同），其中白球x个，红球2x个，其余为蓝球．从袋中随机摸出一个球，摸到红球则甲获胜，摸到蓝球则乙获胜．要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该等于 　2　． 【分析】根据题意要使游戏对甲、乙双方公平则使红球和篮球的个数相等即可． 【解答】解：由题意知，篮球的个数与红球的个数相等， 即2x+x+2x＝10， 解得x＝2， 故答案为：2． 2．（2024•越城区校级开学）学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校．某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为三类：A：好，B：中，C：差．请根据图中信息，解答下列问题： （1）求全班学生总人数； （2）在扇形统计图中，a＝　15　，b＝　60　，C类的圆心角为 　54°　； （3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用列表法或画树状图的方法求出全是B类学生的概率． 【分析】（1）由A类人数及其所占百分比可得总人数； （2）总人数减去A、B的人数求得C类人数，由360°乘以C类所占比例得C类的圆心角度数，用B的人数除以总人数可得对应百分比； （3）列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得． 【解答】解：（1）全班学生总人数为：10÷25%＝40（人）； （2）∵B类百分比为×100%＝60%， ∴b＝60， ∵C类人数为：40﹣（10+24）＝6（人）， ∴C类百分比为×100%＝15%， ∴a＝15， ∴C类的圆心角为360°×15%＝54°， 故答案为：15，60，54°； （3）列表如下： A B B C A / BA BA CA B AB / BB CB B AB BB / CB C AC BC BC / 由表可知，共有12种等可能结果，其中全是B类学生的有2种结果， ∴P（全是B类学生）＝． 巩固训练 3．（2023秋•湖州期中）一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1，2，3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字． （1）第一次摸到标有奇数的乒乓球的概率是 　　； （2）小李和小刘两同学约定，若两次摸到的乒乓球上所标数字之积为偶数则小李胜，否则小刘胜，这个游戏规则公平吗？请说明理由． 【分析】（1）第一次的可能性有三种，直接求解即可． （2）列出表格，得到两次数字的积，直接判断即可． 【解答】解：（1）第一次摸出求的可能性有3种可能的结果，摸到标有奇数的乒乓球有2种可能的结果， 那么第一次摸到标有奇数的乒乓球的概率是． （2）列表如下： 　 　1 　2 　3 　1 （1，1） （1，2） （1，3） 　2 （2，1） （2，2） （2，3） 　3 （3，1） （3，2） （3，3） 那么两次摸到的乒乓球上所标数字之积为分别为1，2，3，2，4，6，3，6，9，其中偶数有5种可能的结果，奇数有4种可能的结果， 若两次摸到的乒乓球上所标数字之积为偶数则小李胜，否则小刘胜， 即P小李胜＝， ∵P小刘胜＝， ∴，因此小李的胜利的可能性更大一些，游戏规则不公平． 4．（2023秋•萧山区月考）如图所示，一个转盘被平均分成六个扇形，并在上面依次写上数字1，2，3，4，5，6．若自由转动转盘，当它停止转动时，求： （1）指针指向4的概率 　　；（直接写出答案） （2）指针指向的数字是奇数的概率 　　；（直接写出答案） （3）现只有一张电影票，小王和小李都想去看，请你利用这个转盘，设计一个公平的游戏规则． 【分析】（1）用数字4的个数除以总数6即可； （2）用奇数的个数除以总数6即可； （3）根据题意设计一个公平的游戏规则，符号两人获胜的概率都为即可． 【解答】解：（1）∵自由转动转盘，当它停止转动时指针指向的数字有6种等可能结果，其中指针指向4的只有1种， ∴指针指向4的概率为． 故答案为：； （2）∵自由转动转盘，当它停止转动时指针指向的数字有6种等可能结果， 其中指针指向数字是奇数的有1、3、5三种结果， ∴指针指向数字是奇数的概率为， 故答案为：； （3）自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向数字是偶数时小王胜，否则小李胜． 5．（2023春•鄞州区校级月考）如图是计算机“扫雷”游戏的画面，在9×9个小方格的雷区中，随机地埋藏着20颗地雷，每个小方格最多能埋藏1颗地雷． （1）如图1，小南先踩中一个小方格，显示数字2，它表示围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷（包含数字2的黑框区域记为A）．接着，小语选择了右下角的一个方格，出现了数字1（包含数字1的黑框区域记为B，A与B外围区域记为C）．二人约定：在C区域内的小方格中任选一个小方格，踩中雷则小南胜，否则小语胜，试问这个游戏公平吗？请通过计算说明． （2）如图2，在D，E，F三个黑框区域中共藏有10颗地雷（空白区域无地雷），则选择D，E，F三个区域踩到雷的概率分别是 　1，，　． 【分析】（1）求出小南胜的概率和小语胜的概率，再比较即可； （2）分别求出D，E，F三个黑框区域中共藏的地雷颗数，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）这个游戏不公平，理由如下： ∵在C区域的（9×9﹣9﹣4）＝68（个）方块中随机埋藏着（20﹣2﹣1）＝17（颗）地雷， C区域中有（68﹣17）＝51（个）方块中没有地雷， ∴小南胜的概率为＝，小语胜的概率为＝， ∵＜， ∴这个游戏不公平； （2）∵围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷，空白区域无地雷， ∴D区域中有2个地雷， ∴选择D区域踩到雷的概率为1； ∵围着数字2的8个方块中埋藏着2颗地雷，空白区域无地雷， ∴E区域中有2个地雷， ∴选择E区域踩到雷的概率为； ∵在D，E，F三个黑框区域中共藏有10颗地雷（空白区域无地雷）， ∴F区域中有：10﹣2﹣2＝6（颗）地雷， ∴选择F区域踩到雷的概率为＝； 故答案为：1，，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$