第三讲 有理数综合-绝对值类探究专题练习2024-2025学年苏科版数学七年级上册

第三讲：有理数综合-绝对值类 题型一：绝对值非负性 1.任何一个有理数的绝对值一定（  ） A．大于0 B．小于0 C．小于或等于0 D．大于或等于0 2.如果，且，那么的值是（ ） A．5或1 B．1或 C．5或 D．或 3.，则的值是（  ） A． B． C． D．1 4.若，则__________. 5.已知|2x﹣5|＝5﹣2x，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型二：绝对值方程 6.（1） （2） （3）若，求x． 题型三：绝对值不等式 7.（1） |x+1|<1 （2）|x-2|>2 题型四：数形结合化简含字母绝对值 8.已知，则化简代数式的结果为__________. 9.有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． （1）请在数轴上表示，并将a，b，c，用“”连接起来； （2）化简：． 10.根据数轴，解决下列问题． （1）判断正负，用“”或“”填空：______0，______0，______0； （2）化简：． 题型五：分类讨论化简分式绝对值 11.若，则 ． 12.在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc0，求的值. 【解决问题】解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数. 1 当a，b，c都是正数，即，，时，则； （备注：一个非零数除以它本身等于1，如，则，（）） 2 当a，b，c有一个为正数，另两个为负数，设即，，时， 则； 的值为3或. 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知，，且，求的值. （2）已知a，b是有理数，当时，求的值. （3）已知a，b，c是有理数，，，求的值. （4）若a，b，c均为整数，且，化简. 题型六：数形结合中绝对值的意义 13.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是_____；表示和1两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于． （2）如果，那么x=______； （3）若，，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是______，最小距离是_____． （4）若数轴上表示数a的点位于与之间，则_____． （5）当a=_____时，的值最小，最小值是_____． 14.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）探究： ①数轴上表示7和3的两点之间的距离是 ； ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ； ③数轴上表示和5的两点之间的距离是 ． （2）归纳：一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ． （3）应用： ①如果表示数a和3的两点之间的距离是6，则可记为：|a-3|=6，那么a＝ ．    ②若数轴上表示数a的点位于-5与2之间，求的值． ③当a何值时，|a+5|+|a-1|+|a-2|的值最小，最小值是多少？请说明理由．    题型七：绝对值最值 15.阅读下面的材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；当A、B两点都不在原点时： ①如图2，点A、B都在原点的右边：|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|； ②如图3，点A、B都在原点的左边：|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-（-a）=|a-b|； ③如图4，点A、B在原点的两边：|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+（-b）=|a-b|， 综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a-b|．　 回答下列问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________； （2）数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________，如果|AB|=2， 那么x为_________； （3）当代数式|x+1|+|x-2|取最小值时，相应的x的取值范围是__________； （4）当|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值时，相应的x的值是　 　； （5）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+···+|x﹣2021|的最小值． 16.我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为________，数x与-1所对应的点的距离为________； （2）求的最大值； （3）直接写出的最大值为______． 17.（1）若数轴上M，N两点分别表示数m与数n，则M，N两点之间的距离MN是，例如： 表示2和在数轴上对应的两点之间的距离．数轴上x和的两点之间的距离可表示为______． （2）如图，数轴上的点A表示的是，点B表示的是4，P是数轴上任意一点，且点P表示的是x， 求的最小值．       （3）古城某条街上有3家新开的自习室A，B，C．小浩是大学生，小浩参与了大学生创业计划，在政府的支持下，小浩想在自习室附近开设一家复印店，为来自习室学习的学生提供方便，复印店记为点P．如图，小浩家在O处，自习室A在小浩家西边60米处，B在小浩家东边180米处，C在小浩家东边240米处．请问：小浩把复印店开设在什么地方，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，即PA+PB+PC+PO的值最小？最小值是多少？ 题型八：新定义和阅读理解材料题 18.综合与实践： 【问题情景】我们知道，有理数x的绝对值有如下结论：，现在我们用这一个结论去探究含有绝对值代数式的化简方法与过程． 【实践发现】以化简代数式为例，我们可令和， 分别求得，（这里，我们称，2分别为与的零点值）．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数范围分成不重复且不遗漏的3种情况：①，②，③．接下来就可分情况来完成化简了．解题过程如下： 解：令和，分别求得，． ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上讨论，原式． 【问题解决】通过以上探究，解决以下问题： （1）求出和的零点值； （2）化简代数式． 19.阅读与理解： 数形结合就是把“数”与“形”结合起来进行相互转换，充分发挥各自优势解决问题，同学们都知道，表示x与2的差的绝对值，可理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理，可理解为在数轴上x对应的点分别到1和所对应的点的距离之和． 【举一反三】 （1）可理解为________与________在数轴上所对应的两点之间的距离； 【问题解决】 （2）请你结合数轴探究：|x-4|+|x+2|的最小值是________； （3）若，则_________； 【拓展应用】 （4）已知a，b两个数在数轴上的位置如图所示，化简：_________． 20.阅读下列材料：一般地，我们把按一定顺序排列的三个数x1，x2，x3，叫做数列x1，x2，x3，计算：|x1|，，，我们把计算结果的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|＝2，＝，＝．所以数列2，﹣1，3的价值为，改变这三个数的顺序按照上述方法可计算出其它数列的价值．比如，数列﹣1，2，3的价值为；数列3，﹣1，2的价值为1，通过计算，发现：对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序可得到不同的数列，这些数列的价值的最小值为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）求数列﹣2，7，1的价值； （2）由“﹣2，7，1”这三个数按照不同的顺序排列共有多少种不同的数列，写出这些数列，并求出它们的价值的最小值和最大值； （3）将2，﹣7，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，请直接写出a的值． 课后作业： 1.（1）|2x-1|=7 （2）|x-3|<4 （3）|x-1|+|x-7|=8 2.若，则 ． 3.若|x﹣1|+x＝1，则x一定（　　） A．大于1 B．小于1 C．不大于1 D．不小于1 4.在数轴上表示a，0，1，b四个数的点如图所示，已知点A，B到原点的距离相等． (1)________，________0（此空填“>”，“=”或“<”）． (2)求的值． 5.（1）若，　　；若，　　； （2）若，则＝　 　； （3）若，则　 　． 6.阅读绝对值拓展材料：表示数a在数轴上的对应点与原点的距离如：表示5在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，有：表示5、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为． 回答下列问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是______； （2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果A、B两点之间的距离为2，那么_____． （3）可以理解为数轴上表示x和______的两点之间的距离． （4）可以理解为数轴上表示x的点到表示_____和_____这两点的距离之和．可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和． （5）最小值是 ，的最小值是 ． 7.人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学的学习过程中，通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳． 【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？ 【问题探究】（1）观察分析（特殊）： ①当，时，A，B之间的距离AB=3； ②当，时，A，B之间的距离AB=______； ③当，时，A，B之间的距离AB=______． （2）一般结论：数轴上分别表示有理数a，b的两点A，B之间的距离表示为AB=______； 【问题解决】 （3）应用：数轴上，表示x和3的两点A和B之间的距离是5，试求x的值； 【问题拓展】 （4）拓展：①若，则______． ②若，则______． ③若x，y满足，则代数式的最大值是______，最小值是______． 8.问题一：有理数a,b,c对应的数轴上的点是A,B,C．如果A、B两点距离小于8，A、C两点距离大于4，且C在A、B之间，a=-3.5，b，c都是整数，试利用数轴求出b，c的可能值。 问题二：已知点A、B在数轴上表示的数分别为m，n. （1）若A，B两点的距离为d，则_________(用含m，n的式子表示) （2）由（1）的结论可知的意义是：数轴上表示数x的点到表示_______的点的距离 （3）若动点C表示的数为x，当x为何值时，下列各式有最小值？请求出它们的最小值． ①；②；③ 9.阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和的两点A和B之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． （1）①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． （2）若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值是 ； （3）当取最小值时，相应的数a的取值范围是 ； （4）求的最小值是 ． 实际应用： （5）问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在 ，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： （6）若数a，b满足，求的最小值为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$