第二讲 有理数综合-规律类探究2024-2025学年苏科版数学七年级上册

第二讲：有理数综合-规律类探究 题型一：简化运算 1.计算 归类 （1）8+（﹣1）﹣5﹣（） （2） 凑整 （3）（﹣3.2）+12.5+（﹣16.8）﹣（﹣2.5） （4）3.75+（﹣5.18）﹣（﹣2.25）+5.18 逆向 （5） （6）99（﹣36） 拆项 （7）﹣5 （8） 组合 （9）﹣1+2﹣3+4﹣5+6+…﹣97+98﹣99 （10）||+||﹣|| 裂项 （11） （12） 倒数求值 （13）（14）． 题型二：图形规律 2.观察下面的点阵图形和与之相对应的等式探究其中的规律． ； ； ； ； ． (1)请在和后面的横线上分别写出相应的等式； (2)猜想第n（n是正整数）个图形相对应的等式，并证明． 3.动脑筋、找规律．邱老师给小明出了下面的一道题，如图，请根据数字排列的规律，探索下列问题：    (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？ (3)第2020个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 4.正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1，若正方形ABCD绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2020所对应的点是_________. 5.观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式； ①；②；③；④________ ； (2)请猜想 _______ ； (3)试用含有n 的式子表示这一规律：_______；（n为正整数） (4)请用上述规律计算： ① ② 题型三：代数式规律 6.观察下列等式： ； ； ； … 根据你发现的规律，解答以下问题： (1)______； (2)若n为正整数，则______； (3)计算． 7.实践探究题（1）a是不为1的有理数，我们把称为a 的差倒数．如：2的差倒数是， 的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，的差倒数________． （2）观察下列有规律的数：，，，，，…根据规律可知： ①第10个数是________， 是第________个数． ②计算________．（直接写出答案即可） （3）高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数． 例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2. 则下列结论：①[－2.1]＋[1]＝－2；②[x]＋[－x]＝0；③[2.5]＋[－2.5]＝－1； ④[x＋1]＋[－x＋1]的值为2. 其中正确的结论有________ (填序号)． 8.探索规律，观察下面算式，解答问题． ； ； ； ； … (1)请猜想：________； (2)请猜想：_______； (3)试计算： 9.观察下列等式： …… 请你在探究规律后完成以下问题： (1)______________． (2)_____________（用含n的式子表示） (3)计算： 10.观察下列运算过程： ，；，… (1)填空：______； ______； (2)仿照（1）中的规律，判断与的大小关系； (3)求的值． 11.（1）①观察一列数1，2，3，4，5，6…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差为1；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么____，_____． ②如果欲求的值， 可令①， 将①式右边顺序倒置，得②， 由②加上①式，得 ，所以 ．（列式即可） 由结论求 ． （2）为了求的值， 可令， 则， 因此，， ∴，即． 仿照以上推理，计算． 12.符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f（1）＝1，f（2）＝1，f（3）＝1， f（4）＝1 （1）利用以上运算的规律写出f（n）＝　_____　；（n为正整数） （2）计算：f（1）•f（2）•f（3）…f（100）的值． 13.如果我们要计算1+2+22+23+…+299+2100的值，我们可以用如下的方法： 解：设S＝1+2+22+23+…+299+2100式 在等式两边同乘以2，则有2S＝2+22+23+…+299+2100+2101式 式减去式，得2S﹣S＝2101﹣1 即S＝2101﹣1 即1+2+22+23+…+299+2100＝2101﹣1 【理解运用】计算 （1）1+3+32+33+…+399+3100 （2）1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100． 14.将正整数．按如图数阵排列，用数对表示该数阵中从上到下、从左到右 第行 第个数字，如表示，则用数对表示为__________. 题型四：大小比较规律 15.你能比较和的大小吗？ 为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较和的大小（n为正整数），我们从…这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜出结论 (1)通过计算，比较下列各组数字大小： ①__________；   ②__________；   ③__________； ④__________；   ⑤__________；   ⑥__________… (2)将第（1）题的结果进行归纳，你能得出什么结论？ (3)根据上面的归纳猜想得到的结论，试比较两个数的大小： __________（填或）． 课后作业： 1.计算（1）﹣5 （2）（﹣12.7）﹣（﹣5）﹣87.3+3 （3）（﹣48）×0.125+48 （4）． （5）1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+……+2013+2014﹣2015﹣2016 （6） （7） 2.《庄子•天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代入在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． （规律探索） （1）如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则； 如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则； 依此类推， 如图3， ； 如图4， ； … ； (规律应用) （2）规律应用：计算的值． 3.如下图，通过观察，小丽同学发现可以用这样的方法确定每个图形中黑色和白色小正方形的总个数：图（1）中共有1个黑色小正方形，图（2）中共有个黑白小正方形，图（3）中共有 个黑白小正方形，图（4）中共有个黑白小正方形，回答下列问题 (1)根据规律，第90个图比第89个图多___________个小正方形 (2)根据前四个图中计算黑白小正方形的总个数的方法和规律，则第（5）个图中计算小正方形个数的等式是：___________ (3)根据每个图中计算黑白小正方形总个数的方法和规律，计算： 4.已知有下列两个代数式：（1）；（2）． （1）当，时，代数式（1）的值是___________；代数式（2）的值是___________； （2）当，时，代数式（1）的值是___________；代数式（2）的值是___________； （3）观察（1）和（2）中代数式的值，你发现代数式和的关系为___________ （4）利用你发现的规律，求的值． 5.问题：你能比较和的大小吗？ 为了解决这个问题，我们可以先作简化处理，从简单情况入手，试图从中发现规律，再经过归纳，猜想出结论.(1)通过计算，比较下列各组数字大小： ① ；② ；③ ；④ ；⑤ … (2)根据上面的结果，猜想和的大小；（无需说明理由） (3)若a为正整数，根据以上结论，试比较和的大小. 学科网（北京）股份有限公司 $$