第1章_有理数 专题提升二 与有理数有关的规律探究题 课件-2024—2025学年湘教版数学七年级上册

第1章 有理数 专题提升二 与有理数有关的规律探究题 1 类型一 数的递推规律探究 解答数的递推规律探究题的步骤：第一步，标序数；第二步，对比 序数 和所给数的关系，把每一部分与序数之间的关系用含 序数的式子表示出来；第三步，根据找出的规律求出第 个式子，并检 验；第四步，若所求的数前面的符号是正、负 交替出现，则根据 正负号的变化规律探求第个数的符号，一般用或 表示. ‹#› 2 例1 有按规律排列的一列数：-，，，，， 则这列数中第2 025个数是_______. 解 观察各数，可得， ， ，， 因此第2 025个数为 . 思路点拨 分子的规律：对比序数后发现分子依次为1，2，3，4，5， ， 是连续的正整数.分母的规律：每个分母分别为对应分子的3倍少1的数.符 号的规律：第奇数个数为负，第偶数个数为正. ‹#› 3 1.观察一列数：，，，，， 按此排列规律，第13个数是 ____. 提示：，，，， ，又 第奇数个数为正，第偶数个数为负，所以第13个数为 . ‹#› 4 类型二 数阵规律探究 对于数阵规律探究问题，要注意从以下几个方面寻找规律：（1） 正、负数排列方式；（2）行数与该行数据个数之间的关系；（3）每行 末位数的绝对值与该行所在行数是否存在平方、立方关系；（4）如果 数阵每行数据个数相同，注意后一行数据与前一行对应数据的和、差、 倍、分关系等. ‹#› 5 例2 观察下面三行数： ，4，，16，，64， 1，7，，19，，67， ，2，，8，，32， 分别取每行的第8个数，这3个数 的和是_____. 解 由题意可知，第1行第8个数为 ；第2行第8个数为 ；第3行第8个数为 .这三个数的和为 . 思路点拨 通过观察，该数阵具有如下规律：第1行的数是以 为底数，指数是从1开始的连续自然数；第2行的数依次比第1行对应位置上的数大3；第3行的每个数是第1行对应位置上的数的一半. ‹#› 6 图1 2.已知如图1的数阵规律，记为第 行 第列的数，如，则 ____. 72 提示：不看符号，每行最后一个数分别 是该行行数的平方，因此第8行最后一 个数是 （第偶数个数为正）.故 （第偶数个数为正） ‹#› 7 类型三 循环规律探究 对于数字循环变换规律的题，探索出数的变换规律是解题的关 键．具体步骤如下：（1）观察这组数的变换规律，得到该组数经过一 个循环变换所包含的数的个数，记为.（2）用 （所求变换次数）除以 ，若，则当时，第 次变换后对应 的数是一个循环变换中最后的数；当时，第 次变换后对应的数 就是一个循环变换中第次变换后对应的数.（3）根据题意，找出第 次变换后对应的数，推断第 次变换后对应的数. ‹#› 8 例3 已知有理数，我们把称为 的差倒数.如：2的差倒数是 ，的差倒数是．若，是的差倒数， 是的差倒数，是 的差倒数……依此类推，则 _____. 思路点拨 根据差倒数的定义分别求出，，，通过比较， ， ， ，即可发现它们之间的循环变换规律. ‹#› 9 解：因为 ， 所以，， . 所以这列数按，， 依次循环. 所以，， . 所以 . 因为 ， 所以 . 所以 ． ‹#› 10 例3 已知有理数，我们把称为 的差倒数.如：2的差倒数是 ，的差倒数是．若，是的差倒数， 是的差倒数，是 的差倒数……依此类推，则 _____. ‹#› 11 3.定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时， ；② 当为偶数时，，其中是使 为奇数的正整数.两种运算交 替重复进行.例如，取，运算过程如图2所示.若 ，则第 2 025次“ ”运算的结果是___. 图2 ‹#› 12 提示：当时，第1次结果为，第2次结果为 ， 第3次结果为，第4次结果为 ，第5次结果为 ，第6次结果为 .由此可以看出，从第4次开始，结果 是1，4两个数轮流出现，且当次数是偶数时，结果是1；当次数是奇数 时，结果是4.而2 025是奇数，因此最后的结果是4. 图2 ‹#› 13 3.定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时， ；② 当为偶数时，，其中是使 为奇数的正整数.两种运算交 替重复进行.例如，取，运算过程如图2所示.若 ，则第 2 025次“ ”运算的结果是___. 图2 4 ‹#› 14 类型四 运算规律探究 有理数的运算规律题，通常是以阅读理解题的形式给出，读懂材料， 灵活迁移是解题的关键.这类题常常会涉及倒序相加、错位相减、裂项 相消等技巧.有时是以图形的方式给出运算规律，需要利用数形结合思 想求解. ‹#› 15 例4 阅读材料： 求 的值. 解：设 ， 则 . 所以 ， 即 . 故原式 . ‹#› 16 仿照上述方法计算： （1） ； 思路点拨设，求出 ，然后两式相减计 算即可得出结果． 解：设 ， 则 . 所以 ， 即 . 故原式 . ‹#› 17 （2） . 思路点拨 设，求出 ，然后两式相减计算 即可得出结果． 解：设 ， 则 . 所以 ， 即 . 故原式 ． ‹#› 18 图3 4.综合与实践 【问题情境】 在数学活动课中，爱思小组的 同学们为了求 的值， 将一个面积为1的长方形纸片对折5次后，设计出 如图3所示的几何图形． ‹#› 19 【问题解决】 （1）序号为④的部分的面积是___. （2）利用图形求 的值. 解： . （3）受此启发，请求出 的值. 解： . ‹#› 20 $$