2.2基本不等式教学设计件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2基本不等式 课时教学目标 （核心素养） 必备知识 1. 重要不等式； 2. 基本不等式； 3. 了解基本不等式的代数和几何背景。 关键能力 1. 理解并掌握基本不等式及其变形； 2. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。 学科素养 数学运算、逻辑推理 教学重点与难点 1.教学重点：从不同角度探索不等式的证明过程，会用此不等式求某些简单函数的最值； 2.教学难点：基本不等式等号成立条件； 教学过程 教学内容 师生活动 设计意图 情境导入 情境1：展示第24届国际数学家大会的会标，介绍赵爽弦图历史渊源. 情境2：介绍知名校友国际数学新秀韦东奕. 师：展示部分北京数学家大会的图片，介绍发展史. 生：欣赏和感受数学历史文化,榜样就在我们身边. 渗透德育，激发学生的民族自豪感，调动学生数学学习积极性. 基本不等式 问题1：在上一节我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式，请同学回忆是什么不等式？ 追问：不等式中的取值范国是什么？特别地，如果，，我们用，分别代替上式中的，可以得到怎样的式子？ 师生活动：学生回忆、表述，对于任意实数，有，当且仅当时等号成立． 师生活动：生独立计算后回答．教师总结：对于任意实数，，得到，变形为，当且仅当时等号成立．此不等式中涉及的是代数中的“基本量”和最基本的运算，通常我们称此不等式为基本不等式．其中叫做正数的算术平均数，叫做的几何平均数．基本不等式表明两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 通过取上一节课得到的不等式的特殊形式，得到基本不等式 的定义，同时在两个不等式之间建立联系．通过分析基本不等式的代数结构特点，得到基本不等式的代数解释，初步加深对基本不等式的认识． 分析法证明 问题2：上节课我们看到，证明不等关系，还可以运用不等式性质，你能否利用不等式的性质推导出基本不等式呢？ 追问1：你能否寻找一下此不等式成立的充分条件？也就是要证，只需要明什么，从而形成证明思路． 追问2：上述证明中，每一步推理的依据是什么？ 追问3：上述证明方法叫做“分析法”．你能归纳一下用分析法证明命题的思路吗？ 追问4：你能说说分析法的证明格式是怎样的吗？ 追问5：基本不等式成立的条件是什么？如果或基本不等式是否成立？ 追问6：“当时等号成立”“仅当时等号成立”含义分别是什么？ 学生可能根据两个实数大小关系的基本事实，用作差比较证明上式．教师给予肯定并追问，是否还有其它证法？由于没有已知条件，学生不知从何入手． 师生活动：教师给出教科书第44页用分析法证明的过程，同时指出，只要把上述过程倒过来，就能用不等式的性质直接推出基本不等式了． 师生活动：学生分别回答教科书第44页证明过程中，由②①，由③②，由④③， 由④⑤④的依据． 师生活动：学生讨论后回答．教师总结：分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止． 师生活动：学生思考后回答．教师总结：由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用“要证……只要证……”的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出“显然成立”． 师生活动：学生通过证明发现均为非负数，如果存在负数时，该不等式不成立．教师指出基本不等式的定义要求均为正数． 师：结合第一章我们研究的常用逻辑用语，你能否发现，“”和“等号成立”之间的关系？ 生：“当时等号成立”是说“”是“等号成立”的充分条件; “仅当时等号成立”是说“”是“等号成立”的必要条件，也就是“”和“等号成立”互为充要条件. 师：肯定学生能够前后知识融会贯通. 根据不等式的性质，用分析法证明基本不等式，同时引导学生认识分析法的证明过程和证明格式，为学生高中阶段的推理和证明提供了更丰富的策略． 强调基本不等式取等条件，加深学生对于等号是否成立的理性认识.加强学生前后知识间的联系和数学应用意识. 几何解释 问题3：如图AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b,过点C做垂直于AB的弦DE，连接AD,BD，你能利用这个图形得到基本不等式的几何解释吗？ 师：前后4人小组，4分钟时间讨论交流. 生：小组讨论，选派小组代表上台为同学展示交流成果，其他同学做补充. 师：肯定小组交流成果. 师：几何画板动态演示，使学生直观感受变与不变. 师：引导学生总结，半径即为，，圆中直径不小于任意一条弦，当且仅当弦过圆心时，二者相等. 学生自己发现基本不等式的几何解释相对较困难，给出几何图形后，引导学生将和与图中的几何元素建立起联系，再观察这些几何元素在变化中表现的大小关系，从而得到基本不等式的几何解释，几何画板演示增强视觉直观，数形结合. 典例练习 题组一.对基本不等式的理解 1.已知，则的最小值为（ ） A.1 B.2 C.4 D.8 2.已知且，则的最大值为（ ） A. B.1 C.2 D.4 3.给出下列条件： ；；； 其中能使成立的条件有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个 师：最小值的含义是什么？ 学生思考后回答，教师总结，即求一个实数M，使所有值都大于等于M，并且能取到M. 生：第一题可以利用基本不等式求得，首先满足应用条件代入公式，求得，当且仅当=1时等号成立. 师：引导学生在该题的基础之上，对基本不等式进行变形，得到（板书），总结得到“两个正数积定和最小” 生：第二题符合基本不等式应用条件，代入公式求得，当且仅当=1时等号成立. 师：引导学生对基本不等式进行变形得（板书），总结得到“两个正数和定积最大” 生：分析基本不等式的应用前提，即两个正数，将，看作两个整体，要求a,b同号. 师：学生共同总结应用基本不等式的注意事项，教师补充，即“一正，二定，三相等”(板书). 题组一是典型而较为简单能够用基本不等式求解的问题，通过本例的教学，可以帮助学生理解如何直接应用基本不等式解决问题，设置三个题目，逐渐强化基本不等式的应用条件，并由学生亲自发现和总结公式变形，形成求解最值问题的数学模型，进一步发展模型思想，整体思想.由题目出发，总结易错和注意事项,加深学生对于基本不等式理解，增加学生获得感，满足感. 典例练习 题组二 基本不等式求最值 1.已知，求的最小值 2.已知，求的最大值 师：引导学生观察求最小值的代数式结构特点，是否可以利用基本不式？如果可以，如何求？ 学生：思考后，介绍解题思路. 师：板书详细解题过程 师：第二题，你有哪些方法可以求最大值？ 生：基本不等式法和函数法可以求得最大值.练习本完成. 师：投影讲解，强调步骤规范性. 引导学生根据所求代数式的形式，判断能否利用基本不等式解决问题，同时强调代数式的最值必须是代数式能取到的值，为学生求解代数式的最值问题提供示范. 课堂小结 知识要点： （1）基本不等式的条件及结构特征 （2）基本不等式在几何、代数两方面的意义 思想方法： （1）数形结合思想 （2）整体与局部 （3）模型思想 师：引导同学们相互总结本节课的收获和注意事项. 生：踊跃发言，从知识层面和思想方法两个角度总结本节课内容. 引导学生回顾总结学习内容和方法，梳理课堂内容，形成知识框架和思想方法体系. 布置作业 1.课时作业2.2基本不等式（15，16选做）（30min) 2.自主复习整理本节课内容 3.预习基本不等式的应用，课本P46-P48 巩固新知，强化基础，选择性内容满足不同学生发展需求，限时完成强化学习效率. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$