2.2 基本不等式课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

基本不等式 会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。 情境导入 国际数学家大会 （International Congress of Mathematicians，ICM） 观察：这会标中含有怎样的几何图形？ 思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？ 新课引入 正方形和直角三角形 探究1 a b ２、四个直角三角形的 　　面积和S′= ３、S与S′有什么　　 样的不等关系？ S>S′ 问：那么它们有相等的情况吗？何时相等？ 新课引入 1、正方形ABCD的 　　面积S=＿＿ ＿＿＿＿ 探究1 A D B C E F G H b a 对于a、b都大于0, 我们有 当且仅当a=b时，等号成立。 A B C D E(FGH) a b 新课引入 探究1 E(FGH) a b 重要不等式 思考：当a、b为实数， 你能证明重要不等式 吗？ 证明：（作差法） 新课引入 对于任意实数a、b，总有 当且仅当a=b时，等号成立 a、b∈R 文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍. 适用范围： 新课引入 重要不等式 学习新知 替换后得到： 即： 即： 你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？ 探究2 证明：要证 只要证 ① 要证①，只要证 ② 要证②，只要证 ③ 显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立. 分析法 证明不等式： 学习新知 探究2 若a>0，b>0，则 通常我们把上式写作： 在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数。 文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 适用范围： a>0,b>0 学习新知 基本不等式 当且仅当a=b时取等号。 均值不等式 学习新知 如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=，BC= .过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ 长度为 的线段是（ ） 长度为 的线段是（ ） 半径 半弦 将点C在线段AB上移动，发现半径OD和半弦CD大小关系如何？ 探究3 射影定理 圆的半弦不大于半径，当且仅当点C与圆心重合，即a=b时取等号。 适用范围 文字叙述 “=”成立条件 a=b a=b 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 两数的平方和不小于它们积的2倍 a,b∈R a>0,b>0 填表比较： 注意从不同角度认识基本不等式 学习新知 学习新知 基本不等式的推广： 你能用今天学习的方法给出以下不等式的证明吗？ 基本不等式链 ① ② 分析法 基本不等式的运用 例１．已知x>0 ，求 的最小值和此时x的值． 典型例题 变式1：已知x<0，求 的最大值． 变式2：当时，求的最小值． 变式3：当x>1时，求 的最小值. 典型例题 基本不等式的运用 例2.已知 x, y 都是正数, P, S 是常数，求证： (1) xy=P  x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S  xy≤ S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). 1 4 巩固练习 (1)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为 A.80 B.77 C.81 D.82 √ (2)若m＞0，n＞0，mn＝81，则m＋n的最小值是 A.4 　　 B. 　　　 　C.9 　　 D.18 √ ①各项皆为正数； ②和或积为定值； ③注意等号成立的条件. 一“正” 二“定” 三“相等” 利用基本不等式求最值时，要注意 已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P  x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S  xy≤ S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). 1 4 归纳总结 提高练习 练习①：已知，求证：. 提高练习 练习①：已知，求证：. 【证明】 ，即. 作差法 提高练习 练习②：已知都是正数，且，求证： （1） （2） 提高练习 ∴ ，∴ ， ∴ 由于，等号取不到，所以 （2）∵ ， ， ，∴， 练习②：已知都是正数，且，求证： （1） （2） 【证明】（1）∵ ， ，∴ ， ∴ ， 提高练习 练习③：取何值时，取得最小值？最小值是多少？ 提高练习 练习③：取何值时，取得最小值？最小值是多少？ 当且仅当，即时， 取得最小值，最小值为. ∴, 【解】由题意∵ ， 所以， 拓展：你能求 等同类式子的最小值吗？ 注意把握 “一正，二定，三相等” 3. 利用基本不等式求最值 1. 重要不等式 课堂小结 2. 基本不等式 4. 数学证明方法 作差法、分析法 当且仅当a=b时，等号成立。 当且仅当a=b时取等号。 2.思考并查阅资料： “等圆中，弦长不大于直径”是基本不等式的一个几何解释，基本不等式还有其他几何解释吗？ 1. 教材第48页习题2.2第1、2、4、5题。 课后作业 解：因为x>0，所以 当且仅当 ，即 时等号成立 因此所求的最小值为2 解：因为x>0,y>0，所以 (1)当积xy=P为定值时， 所以x+y≥2 当且仅当x=y时上式等号成立,于是当x=y时，x+y有最小值2 (2) 当积x+y=S为定值时， 所以xy≤ 当且仅当x=y时上式等号成立,于是当x=y时，xy有最大值 $$