2.1.1等式性质与不等式性质教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 2.2基本不等式 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 2.1等式性质与不等式性质 重点:不等式的基本性质，等式与不等式的共性与差异. 难点:类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，研究不等式的基本性质;等式与不等式的 共性与差异. 2.1.1 相等与不等关系 学习目标 1.初步理解不等式的概念，能运用两个实数大小关系的基本事实比较式的大小关系，了解重要不等式（）的发现和证明的方法； 2.类比等式的表达归纳用不等式表达不等关系的方法，体会数学知识的整体性和联系性； 3.通过从实际问题的所蕴含的不等关系中抽象出不等式，发展数学抽象素养. 教学目标 1.知识与技能:通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式(组)的实际背景，利用转化的思想把不等关系用不等式表示； 2.过程与方法:通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法; 3.情感态度与价值观:通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，通过讲练结合，培养学生转化和类比的数学思想和逻辑推理能力培养。 1.会从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式，提升学生的数学抽象素养; 2.理解两个实数大小关系的基本事实，能运用这个基本事实比较两个代数式的大小; 3.经历重要不等式a2+b2≥2ab的发现过程，并予以证明，提升学生的逻辑推理素养. 教学重点 1.用不等式(组)表示实际问题的不等关系，并用不等式(组)研究含有不等关系的问题。 2.理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值。 教学难点 用不等式(组)正确表示出不等关系。 教学过程 活动1-照片导入，引入课题 1.观察照片,找出照片中两个人的明显差异,引入本节课课题。 【问题1】谁是巨人? “巨人”照片中的两人有什么明显差异? 照片为什么取名叫“巨人”? 师生活动1:学生观察照片,找出高矮关系，从而引入课题 不等关系与不等式。 师生活动2:学生观看视频理解“巨人”照片的内涵。 2.点明本节课主要学习目的是:类似照片中高矮关系的这一类关系的知识与内容. 设计意图:引入“巨人”照片,激发学生的好奇心,调动学生学习的积极性。播放视频,对学生进行舍己救人民族精神的教育。 经历了这两个环节自然导入本节课题一不等关系与不等式。 活动- 阅读课题，提出问题 【问题2】看到不等关系与不等式的课题?你有什么问题?你想了解什么? 师生活动:学生阅读课题-不等关系与不等式。自主提出想问的问题,想了解的内容。学生可能很容易提出类似:1.什么是不等关系?2.什么是不等式?3.不等关系与不等式之间是什么关系?(由于初中已接触过不等式，有可能同学们不会问),但是老师如果追问不等式的定义学生有可能说不好。 设计意图:培养学生的审题能力，提出问题的能力。 活动3-分析问题， 给出答案 【问题3】什么是不等关系? 师生活动1:教师可以先让学生说一说什么是不等关系?学生基本上是从字面上解释为不相等的关系，教师给予肯定,但是提出不相等是什么意思?让学生进一步解释相等与不相等。 教师取学生手中的两本数学书向同学展示并提问:“这两本数学书相等。”你觉得这句话的表述恰当吗? 学生思考回答这句话应该加字如页数、重量等即“这两本书数学书页数相等。”教师追问页数、重量的相等关系主要是描述的是客观事物的什么相等?从而学生理解相等与不等都是客观事物的基本数量关系。 原话:“这两本数学书相等。” 改为:“这两本数学书的页数相等。” 师生活动2:教师让学生描述有关自然世界图片中存在怎样的不等关系、日常生活中的交通标志照片存在怎样的不等关系?举例数学学科中的不等关系?进一步体会不等关系数基本数量关系以及这种关系的普遍存在性。回答什么是不等关系:与相等关系一样，不等关系也是自然中存在的基本数量关系，它们在现实世界和日常生活中大量存在。 思考1下列四幅图中存在怎样的不等关系? . 思考2想一想,下列交通标志代表怎样的不等关系? 思考3你能举出几个有关数学学科的不等关系吗? 设计意图:图片不等关系描述是培养学生观察能力,概括能力。对学生进行热爱大自然教育;交通符号不等关系的描述是培养学生的图形语言与文字语言的转化能力对学生进行交通安全教育;举例数学学科中的不等关系是培养学生的表达能力。体会不等关系的普遍存在性,从而对学生进行辩证唯物主义教育。 【问题4】什么是不等式? 师生活动1:请同学们写出几个不等式，体会不等式的形式，结构特点。 师生活动2:教师课件表格展示不等号的演变历史。介绍>, <号的创始人数学家哈利奥特,总结不等式的定义:用不等号<、>、≤、>、≠)表示不等关系的式子叫不等式。记作:f(x)>g(x);f(x) ≤g(x) 设计意图:让学生写不等式是培养学生从具体到抽象,从特殊到一般的研究问题方法。 介绍不等号的演变历史是让学生感受数学文化的魅力,了解数学符号变迁与推广过程,体会数学家的伟大，感受数学追求的简洁美,从而对学生进行美的教育。 【问题5】不等关系与不等式之间是什么关系? 师生活动1:让学生用数学的语言表示“姚明身高高于林浩身高”这句话。能否给“a>b”这个不等式，配上一个合适的不等关系?进而总结不等关系与不等式之间的关系:不等式可以表示不等关系,不等关系可以刻画不等式，不等式是研究不等关系的数学工具。 师生活动2:用不等式来表示不等关系 师生活动3:用不等式组来表示不等关系 设计意图:让学生用数学的语言表示“姚明身高高于林浩身高”这句话是培养学生的数学语言表达能力。体会不等式是刻画不等关系的数学工具。用不等式(组)来表示不等关系也是培养学生的数学语言表达能力,体会数学语言的简洁美,对学生进行美的教育。 活动4-深入探究, 实际应用 【问题6】应用不等式(组)刻画实际生产规划中存在的不等关系。 例1：某钢铁厂要把总长度为4000m的钢管截成500mm和 600mm的两种规格.按生产的要求，600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍.怎样写出满足.上述所有不等关系的不等式呢? 师生活动:教师给学生讨论时间分析不等关系关键句,并用不等式(组)表示，小组代表汇报组内成果。总结实际应用中构建数学模型流程图。 设计意图:小组讨论应用所学不等关系与不等式一节内容完成例1关于生产统筹规划的实际问题,培养学生的统筹意识，提高学生的数学应用能力。 【问题7 】你遇到过比较的问题吗? 师生活动1学生扮演家长的角色回答孩子的问题,帮助老师给孩子以合理的解释。体会比较的方法。 师生活动2小组讨论回答探究问题: 如果比较的是任意两个实数a, b的大小,比较结果有几种情况?(请借助数轴画图分析说明) 师生活动3在学校,你有没有过和同学比一次的经历呢?比的什么?怎么比的?能不能和我们分享一下.预设1,学生的身高,购物的价格,考试后的成绩等. 如何比较两个实数a, b的大小?总结不等式的基本原理: 设计意图:角色扮演解释环节, 来教育学生要学会帮助别人，而来学生在扮演家长的过程中培养了学生的耐心，让学生们体会家长对孩子的爱,以及育子的良苦用心,感受家庭的和谐美。任意两个实数a,b的大小比较结果的情祝分析,培养学生的数形结合的数学思想。让同学分享比较的经历，是想借助同学的语言启发同伴，从而渗透总结比较两实数大小的方法--作差法。培养学生学会分享。 【问题8】例2已知比较 与 的大小. 师生活动:给学生练习时间，让学生上黑板教师纠正，师生一起总结差比法的基本步骤:作差→变形→断号→结论. 设计意图:体会差比法是比较两个数(式)大小的最基本方法,规范学生的解题过程。 【问题9】 (微课环节):变式:已知, 你知道与谁大谁小吗? 师生活动:让学生观看微课视频,总结不等式的“倒数原则” 设计意图:进一步体会差比法是比较两个数(式)大小的最基本方法,培养学生分类讨论,数形结合的数学思想,渗透函数的观点认识问题,提高学生自主发现的学习能力。 活动5-反馈练习，总结提升 师生活动1:学生完成目标测试题:用不等式(组)表示下列不等关系 (1)“三角形两边之和大于第三边” (2)“两个数都是非负数” 师生活动2:让学生谈谈有哪些收获?给你印象最深有哪些? 设计意图:采用两道简单的题目，检测学生对不等式表示不等关系，差比法比较两个数大小内容的掌握和使用情况 活动6-作业布置 1.书面作业: p75习题8.14 A组4,5; B组1,3. 知道与谁大谁小?有什么方法可以比较二者的大小呢? 设计意图: 在布置作业环节中,设置了两组练习，一组必做题, 一组探究题，这样可以使学生在完成基本学习任务的，同时，让每一个学生都得到符合自身实践的感情，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦看到自己的潜能，从而激发学生的学习兴趣。 小结归纳 【小结】请同学们回答用不等式表示实际问题中的不等关系的方法. 1　 从实际问题中抽象出不等关系 2　 用字母和不等号表示不等关系 3　 建立不等式 [设计目的]: 这是一个数学抽象和转化的过程，从实际问题到数学问题再抽象出数学模型的过程。 教学过程 重要不等式 【例】右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗? 正方形ABCD的面积 > 4个直角三角形的面积和 追问1:如果直角三角形的两条直角边边长分别为a, b(a≠b)， 你能将发现的不等关系用不等式表示吗? 追问2:如果直角三角形的两条直角边边长相等(a= b)，不等式a2+b2> 2ab还成立吗? 追问3: ∀a, b∈R，a2+b2 ≥2ab.这个猜想成立吗?请证明或证伪. 解: a2+b2-2ab=(a-b)2≥0, 所以 a2+b2 ≥2ab 当且仅当a= b时，等号成立。 a2+b2 ≥2ab.（重要不等式） [设计目的]: 采用一题多问，发散思维，复习旧知，让学生建构学习的内容。 课堂小结 课后练习 1 学科网（北京）股份有限公司 $$