精品解析：陕西省西安工业大学附属中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

2024~2025学年第一学期高二第一次月考 数学卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 2. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 3. 若向量，，则在上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算可得，再结合投影向量的定义运算求解. 【详解】因为，，则， 所以在上的投影向量. 故选：B. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 5. 某人抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件“出现的点数为奇数”，“出现的点数不大于3”，事件“出现点数为3的倍数”，则下列说法正确的是（ ） A. 与互为对立事件 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列举所有基本事件，根据对立事件的定义可判定A，由古典概型概率公式，即可结合选项逐一求解BCD. 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数构成的样本空间为， 则， 对于A，事件可同时发生，故不是对立事件，A错误， 对于B，,,故B错误， 对于C，,C正确， 对于D，，D错误， 故选：C 6. 一道竞赛题，，，三人可解出的概率依次为，，，若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，只有1人解出，则分三类，一是A解出而其余两人没有解出，一是B解出而其余两人没有解出，一是C解出而其余两人没有解出，每一类用独立事件概率的乘法公式求解，然后这三类用互斥事件概率的加法求解. 【详解】. 故选：B 【点睛】本题主要考查了独立事件的概率和互斥事件的概率，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题. 7. 下列说法不正确的是（ ） A. 8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是 B. 用抽签法从含有20个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则个体甲和乙被抽到的概率均为0.2 C. 一组数据4，3，2，6，5，8的60%分位数为6 D. 若样本数据，，…，的平均数为2，则数据，，…，的平均数为3 【答案】C 【解析】 【分析】由平均数的概念求解判断A；由简单随机抽样的概念判断B；由百分位数的定义判断C；由平均数的性质判断D. 【详解】8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是，故A正确； 用抽签法从含有20个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则每个个体抽到的概率均为，故B正确； 数据4，3，2，6，5，8由小到大排列：2，3，4，5，6，8， ∵6×60%＝3.6，∴这组数据的60%分位数为第4个数 5，故C错误； 若样本数据，，…，的平均数为2，则数据，，…，的平均数为，故D正确. 故选：C. 8. 如图所示，在三棱柱中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为，的两部分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，延长到，到，到，连接，，，得到三棱柱，由题意可得，即可得出答案. 【详解】如图，延长到，到，到， 且，，， 连接，，，得到三棱柱， 则． 延长，，则与相交于点． 因为，所以． 又， 所以，故． 故选：A. 二、多项选择题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得满分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的项得0分．） 9. 下列是基本事实的是（ ） A. 过三个点有且只有一个平面 B. 平行于同一条直线的两条直线平行 C. 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本事实判断即可. 【详解】对于A，基本事实1是过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，故A错误； 对于B，“平行于同一条直线的两条直线平行”是基本事实4，故B正确； 对于C，“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”是基本事实2，故C正确； 对于D，“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”是基本事实3，故D正确. 故选：BCD 10. 已知函数，，则（ ） A. 与的图象有相同的对称中心 B. 与的图象关于轴对称 C. 与的图象关于轴对称 D. 的解集为（） 【答案】ABD 【解析】 【分析】整体法求得的对称中心即可判断A；由奇偶函数的定义即可判断BC；数形结合即可判断D． 【详解】令（），得（）， 所以图象的对称中心为（）； 令（），得（）， 所以图象的对称中心为（）， 所以与的图象有相同的对称中心，故A正确； ， 所以与的图象关于轴对称，故B正确； ，故C不正确； 由，得，即，所以，， 解得（），故D正确． 故选：ABD． 11. 在中，，，为内的一点，设，则下列说法正确的是（ ） A. 若为的重心，则 B. 若为的外心，则 C. 若为的垂心，则 D. 若为的内心，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于ACD：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；对于B：利用展开计算即可. 【详解】如图建立平面直角坐标系，， 对于A：若为的重心，则， 所以 若，则，解得，所以，A正确； 对于B：若为的外心，其必在直线上， 所以，B错误； 对于C：若为的垂心，其必在上，设， 则，解得， 此时， 若，则，解得，所以，C正确； 对于D：若为的内心，设内切圆半径为， 则，得，则， 此时， 若，则，解得，所以，D正确； 故选：ACD. 关键点点睛：判断C选项的关键是利用垂心的性质、数量积垂直的坐标表示求出垂心的坐标，由此即可顺利得解. 12. 在菱形中，，，将沿对角线折起，使点A至点（在平面外）的位置，则（ ） A. 在折叠过程中，总有BD⊥PC B. 存在点，使得 C. 当时，三棱锥的外接球的表面积为 D. 当三棱锥的体积最大时， 【答案】AC 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A，由题可得PC的取值范围可判断B，利用正方体的性质可判断C，利用三棱锥的体积的公式结合条件可求判断D. 【详解】如图所示，取PC的中点E，连接BE，DE，则BE⊥PC，DE⊥PC， 因为，BD，平面BDE， 所以PC⊥平面BDE，又平面BDE， 所以，A项正确； 在菱形ABCD中，AB=1，∠ABC=120°，所以， 当△ABD沿对角线BD折起时，，所以不存在点P，使得PC=2，B项错误； 当PC=1时，将正四面体补成正方体，根据正方体的性质可知， 三棱锥P-BCD的外接球就是该正方体的外接球, 因为正方体的各面的对角线长为1． 所以正方体的棱长为， 设外接球的半径为R，则， 所以三棱锥的外接球的表面积，C项正确； 当三棱锥P-BCD的体积最大时，平面平面BCD， 取BD的中点O，连接PO，OC， 易知平面BCD，则， 又， 所以，D项错误． 故选：AC． 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 已知虚数，其实部为1，且，则实数为______． 【答案】2 【解析】 【分析】设且，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案. 【详解】设，且. 则， ，，解得， 故答案为：2. 14. 为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班男生30人，女生20入、按照分层抽样的方法从该班共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：男生答对题目的平均数为10，方差为1：女生答对题目的平均数为15，方差为0.5，则这10人答对题目的方差为______． 【答案】6.8 【解析】 【分析】根据分层抽样，均值与方差公式计算即可. 【详解】男生30人，女生20人，则抽取的时候分层比为． 则10个人中男女分别抽取了6人和4人. 这10人答对题目的平均数为. 所以这10人答对题目的方差为. 故答案为：6.8 15. 已知锐角中，，则的取值范围______. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简已知等式知，分别讨论或，结合题意即可求出，由正弦定理将化简为，代入即可求出答案. 【详解】因为，所以， 所以，由正弦定理可得：， 在中，因为， 又， 所以 所以， ①当时，且， 若是锐角三角形，则， 所以，不成立； ②当时，且， 所以，所以， 则，且， 且， ， 又，，， ，所以. 故答案为：. 16. 设，满足，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据式子结构，构造同构的形式，定义函数，判断出在R上单调递增且为奇函数，即可得到，即可求出结果. 【详解】可化为， 记，函数定义域为R. 因为，所以在R上单调递增. 又，所以为奇函数. 所以由可得，所以. 故答案为：2. 四、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 某地教育研究中心为了调查该地师生对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法，对该市区部分师生进行调查，先将调查结果统计如下： （1）请将表格补充完整，若该地区共有教师30000人，用频率估计概率，试估计该地区教师反对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数； （2）先按照比例分配的分层随机抽样从“反对”的人中抽取6人，再从中随机选出3人进行深入调研，求深入调研中恰有1名学生的概率． 赞成 反对 合计 教师 120 学生 40 合计 280 120 【答案】（1）表格补充如下： 赞成 反对 合计 教师 120 80 200 学生 160 40 200 合计 280 120 400 人 （2） 【解析】 【分析】（1）根据数据直接完善表格即可，以频率为概率，按比例计算人数； （2）先按分层抽样得4名教师2名学生，利用枚举法得所有事件总数，再从中挑出恰有1名学生的事件数，最后根据古典概型概率公式求概率. 【小问1详解】 表格补充如下： 赞成 反对 合计 教师 120 80 200 学生 160 40 200 合计 280 120 400 由人， 即可估计该地区教师反对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数为人； 【小问2详解】 ，，即这6人中有人为教师，人为学生， 记这名学生为，名教师记为，，，， 则随机选出3人进行深入调研，不同选法有：， ，共种， 恰有1名学生的选法有， 共12种， 故深入调研中恰有一名学生的概率. 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【小问1详解】 方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 【小问2详解】 由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱上的一点，且． Ⅰ证明：平面平面； Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】Ⅰ见证明；（2）(Ⅱ). 【解析】 【分析】Ⅰ连结，交于点，推导出，平面，由此能证明平面平面；Ⅱ过作平面的垂线，垂足为，则即为直线与平面所成角，设为，设，由，求出，由此能求出直线与平面所成角的正弦值． 【详解】Ⅰ连结AC，BD，交于点O， 则由∽，得， ，， 平面ABCD，平面ABCD， 又平面QBD，平面平面ABCD． Ⅱ过D作平面PBC的垂线，垂足为H， 则即为直线QD与平面PBC所成角，设为， 设，， ， 即， 解得， ， 直线QD与平面PBC所成角的正弦值． 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查数形结合思想与空间想象能力，是中档题．求线面角的方法：1、传统法：根据图形正确作出线面角是解决问题的关键，这要求学生必须具有较强的空间想象能力，同时还应写出必要的作、证、算过程；2、向量法：对于特殊的几何体，如长方体、正方体等当比较容易建立空间直角坐标系时，也可采用向量法求解. 20. 现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表： 投资股市： 投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20% 概率 购买基金： 投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10% 概率 （1）当时，求的值； （2）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据随机事件概率的性质，由可得出答案； （2）先设出各个事件后得出，由题意得，且，从而解出p的取值范围。 【小问1详解】 解∵“购买基金”的投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，∴． 又，∴． 【小问2详解】 记事件为“甲投资股市且获利”，事件为“乙购买基金且获利”，事件为“一年后甲、乙两人中至少有一人获利”，则，且，相互独立． 由题意可知，． ∴． ∵，∴． 又，，∴． ∴． 21. 如图，在三棱台中，，，，侧棱平面，点D是棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明如下： 以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 根据题意可得，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，即，，则， ， ， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，将线面垂直的证明转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线. （2）将面面角转化为两平面的法向量所成角，再利用向量夹角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 设平面的法向量为， 则，令，即，，即， 由（1）知，，， 设平面的法向量为， 则，令，即，，即， 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面的夹角的余弦值为. 22. 已知函数的最大值为. （1）求实数的值； （2）若向量满足，设的夹角为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将函数变形为，然后换元，令，则，再根据二次函数的性质求其最大值，从而列方程可求出的值； （2）根据向量的夹角公式及的范围求解即可. 【小问1详解】 ， 令，则， 当，即时， ，无解， 当，即时， ， 解得或，因为，所以 当，即时， ， 解得（舍去） 综上； 【小问2详解】 由（1）可知， 因为，所以， 即， 因为向量满足， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第一学期高二第一次月考 数学卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若向量，，则在上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 某人抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件“出现的点数为奇数”，“出现的点数不大于3”，事件“出现点数为3的倍数”，则下列说法正确的是（ ） A. 与互为对立事件 B. C. D. 6. 一道竞赛题，，，三人可解出的概率依次为，，，若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为（ ） A. B. C. D. 1 7. 下列说法不正确的是（ ） A. 8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是 B. 用抽签法从含有20个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则个体甲和乙被抽到的概率均为0.2 C. 一组数据4，3，2，6，5，8的60%分位数为6 D. 若样本数据，，…，的平均数为2，则数据，，…，的平均数为3 8. 如图所示，在三棱柱中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为，的两部分，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得满分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的项得0分．） 9. 下列是基本事实的是（ ） A. 过三个点有且只有一个平面 B. 平行于同一条直线的两条直线平行 C. 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 10. 已知函数，，则（ ） A. 与的图象有相同的对称中心 B. 与的图象关于轴对称 C. 与的图象关于轴对称 D. 的解集为（） 11. 在中，，，为内的一点，设，则下列说法正确的是（ ） A. 若为的重心，则 B. 若为的外心，则 C. 若为的垂心，则 D. 若为的内心，则 12. 在菱形中，，，将沿对角线折起，使点A至点（在平面外）的位置，则（ ） A. 在折叠过程中，总有BD⊥PC B. 存在点，使得 C. 当时，三棱锥的外接球的表面积为 D. 当三棱锥的体积最大时， 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 已知虚数，其实部为1，且，则实数为______． 14. 为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班男生30人，女生20入、按照分层抽样的方法从该班共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：男生答对题目的平均数为10，方差为1：女生答对题目的平均数为15，方差为0.5，则这10人答对题目的方差为______． 15. 已知锐角中，，则的取值范围______. 16. 设，满足，则______． 四、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 某地教育研究中心为了调查该地师生对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法，对该市区部分师生进行调查，先将调查结果统计如下： （1）请将表格补充完整，若该地区共有教师30000人，用频率估计概率，试估计该地区教师反对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数； （2）先按照比例分配的分层随机抽样从“反对”的人中抽取6人，再从中随机选出3人进行深入调研，求深入调研中恰有1名学生的概率． 赞成 反对 合计 教师 120 学生 40 合计 280 120 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，为棱上的一点，且． Ⅰ证明：平面平面； Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值． 20. 现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表： 投资股市： 投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20% 概率 购买基金： 投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10% 概率 （1）当时，求的值； （2）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求的取值范围． 21. 如图，在三棱台中，，，，侧棱平面，点D是棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 22. 已知函数的最大值为. （1）求实数的值； （2）若向量满足，设的夹角为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $