12.1 全等三角形 预习讲义-2024-2025学年人教版 八年级数学上册

12.1全等三角形预习讲义-数学八年级上册人教版 知识梳理 1．全等图形 （1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （3）三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 2．全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 典例分析 1．如图，与相交于点． (1)若平分，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是角平分线的性质，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的性质； （1）由三角形的内角和定理先求解，再利用角平分线的性质可得结论； （2）先证明，结合，从而可得答案． 【详解】（1）解： ， ， 平分， ∴； （2）解：， ， ， ， ． 2．如图，在中，，，点E在边上，点D在的延长线上，将沿射线方向平移得到，使点E对应点落在边上，与边交于点F． (1)若，求的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查三角形全等的性质，平移的性质，三角形内角和定理． （1）根据，得到，再根据平移的性质得到，即可解答； （2）根据平移的性质及全等三角形的性质得到，根据三角形内角和定理即可得到，即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 由平移，得， ∴； （2）证明：由平移，得， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 精选好题 一、单选题 1．下列各组给出的两个图形中，全等的是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，，则的对应角为（　　　） A． B． C． D． 3．如图所示是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是(　　) A． B． C． D． 4．如图，，若，，，与交于点F，则的度数为（   ）度 A．75 B．80 C．60 D．70 5．已知图中的两个三角形全等，则 等于（ ） A． B． C． D． 6．下列命题中，是假命题的是（   ） A．三角形的一个外角等于任意两个内角的和 B．全等三角形的对应角相等 C．直角三角形两个锐角互余 D．实数可分为正实数、0、负实数 7．如图，已知与全等，其中点D在边上，，，，，则的长是（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 8．如图，已知，点E 在上，若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 9．如图是某厂房的平面图，请你指出，其中全等的有 组．    10．已知，，，，则 ． 11．如图，，则 ． 12．如图，，，则 ． 13．三个全等三角形按下图的形式摆放，则的度数等于 ． 14．图，在中，，，，P，Q两点分别在和的垂线上移动，，则当 时，才能使和全等． 15．如图，，，则的度数为 ． 16．如图，在中，于点，于点，，交于点，，若，，则的面积为 ． 三、解答题 17．如图，为线段上一点，，，判断与的关系，并证明． 18．如图，已知，，，，． (1)求的长度； (2)求证：． 19．如图，，．若，，求线段的长． 20．如图，已知，点在上，与相交于点．    (1)当，时，求线段的长； (2)已知，，求的度数． 21．如图，在长方形中，，．点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动，当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒． (1)当点P在边上运动时，________（用含t的式子表示）； (2)当点P与点Q重合时，求t的值； (3)当（点P与点Q是对应顶点）时，求t的值； (4)求出和面积相等时t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A B D A D A 1．C 【分析】本题考查了全等形的定义：能够完全重合的两个平面图形叫做全等形．根据全等形的形状相同、大小相等逐项分析即可． 【详解】解：选项A、B、D中的两个图形的形状不一样，不是全等形，故不符合题意； 选项C中的两个图形能够完全重合，是全等形，故符合题意； 故选：C． 2．A 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等解答，掌握全等三角形的对应边相等、 全等三角形的对应角相等是解题的关键 ． 【详解】解：， 的对应角为， 故选：A． 3．A 【分析】本题主要考查以网格为背景的全等三角形的判定和性质，根据网格特征可利用判定，有，则，在正方形中即可知答案． 【详解】解：如图， 在和中， ∴， ∴， 则， 故选A 故选：A． 4．B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理．利用全等三角形的性质结合三角形的内角和定理求得，根据比例分配求得，再根据三角形的内角和定理结合对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 故选：B． 5．D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应角相等，得出即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 6．A 【分析】本题主要考查了真假命题的判断，三角形外角的定义，全等三角形的性质，实数的分类以及直角三角形的性质，根据三角形外角的定义，全等三角形的性质，实数的分类以及直角三角形的性质，一一判定即可． 【详解】解：．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，原命题为假命题，故该选项符合题意； ．全等三角形的对应角相等是真命题，故该选项不符合题意； ．直角三角形两个锐角互余是真命题，故该选项不符合题意； ．实数可分为正实数、0、负实数是真命题，故该选项不符合题意； 故选：A． 7．D 【分析】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应边相等解答．根据全等三角形的性质得出，进而解答即可． 【详解】解：， ， 与全等， ，，， ， 故选：D． 8．A 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，以及线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故选：A． 9．3/三 【分析】本题考查了全等图形的知识．根据全等的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即可． 【详解】解：根据全等的定义可知， 全等图形有：  和  ，  和  ，  和  ， ∴图中有3组全等的图形． 故答案为：3． 10．3 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：，，，， ， 故答案为：3． 11．/105度 【分析】本题考查了全等三角形的性质：对应角相等，可得，最后根据三角形内角和即可求解； 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为： 12．/110度 【分析】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．根据全等三角形的对应角相等求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为． 13．/180度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，正确掌握全等三角形的对应角相等是解题关键． 直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出，，进而得出答案． 【详解】如图所示： 由图形可得：， 三个三角形全等， ， 又， ， 的度数是． 故答案为：． 14．6或3/3或6 【分析】本题考查了全等三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键． 当和全等时可知或，再由条件可求得答案． 【详解】解：∵和全等，，， ∴有或， 当时，则有， 当时，则有， ∴当或3时，和全等， 故答案为：6或3． 15．/35度 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可． 【详解】解：， ， ， 即， ， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形的面积，能根据全等三角形的性质求出是解此题的关键． 根据全等三角形的性质得出，求出，再根据三角形的面积公式求出面积即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 17．，，证明见解析． 【分析】本题主要考查全等三角形，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质可求得，结合，可求得，进而可求得的度数，由此可得出结论． 【详解】证明：，，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴． 18．(1)； (2)见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，正确掌握全等三角形的性质是解题关键． （1）直接利用全等三角形的性质得出对应点相等进而得出的长； （2）利用全等三角形的性质得出对应角相等，进而利用平行线的判定方法得出答案． 【详解】（1）解：， ，则， ， ， 解得：， 故； （2）证明：， ， ． 19． 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据“全等三角形的对应边相等”可得，再同时减去可得，最后求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， ． 20．(1)2； (2)的度数为． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，得到答案； （2）根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 21．(1) (2) (3) (4)的值为或4 【分析】本题考查了列代数式，三角形的面积，全等三角形的性质，一元一次方程的几何应用等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）判断出时间的取值范围，根据线段的和差定义求解； （2）先判断的位置，再根据，构建方程求解即可； （3）根据，得出，列出关于t的方程，解方程即可； （4）分两种情形，点在线段上，或在线段上两种情形，分别构建方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：当时，重合，此时不重合， 当重合时，， ； （3）解：∵， ∴，且此时点P在上， ∴， 解得， ∴当时，； （4）解：根据题意可知：， 当点在上时，， ∵， ∴， 解得； 当点在上时，， ∵， ， 解得； 综上所述，的值为或4时，和面积相等． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$