第二章 实数单元培优训练（题型专攻）-2024-2025学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）

第二章 实数单元培优训练 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：第2章 实数，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，数轴上点表示的数可能是（    ）    A． B． C． D． 2．的整数部分为，小数部分为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．的立方根是（   ） A．4 B． C．2 D． 4．如图，数轴上点、对应的有理数分别为、，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若是一整数，则最小正整数是（        ） A． B． C． D． 6．在实数 ， 0，  ，  中，无理数是（    ） A． B．0 C． D． 7．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 8．下列各式中，二次根式是（   ） A． B． C． D． 9．的算术平方根是（ ） A．2 B． C． D． 10．若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D．1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简 ． 12．计算： ． 13．如图，在中，，，，在数轴上，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是 ． 14．一个正数的平方根是与，则这个正数是 ． 15．对于任意正数m，n，定义运算※如下：，计算的结果为 ． 16．若，则 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．化简： (1) (2) 18．像，这样的二次根式叫做复合二次根式．有些复合二次根式可以化简：． 请用上述方法化简： (1)； (2)． 19．某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现在要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？ (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为5元的地砖，要铺完整个通道，预算为660元，经费是否够用？ 20．魔方又叫鲁比克方块，与华容道、独立钻石棋一同被称为智力游戏界的三大不可思议、如图（1）是一个4阶魔方，由四层完全相同的64个小正方体组成，体积为． (1)求组成这个4阶魔方的小正方体的棱长． (2)若图（1）中的四边形是一个正方形，求该正方形的面积及边长． (3)若把图（1）中正方形放在数轴上，如图（2），使得点A与表示1的点重合，那么点D在数轴上表示的数为________． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 22．已知实数a，b，c在数轴上的位置．如图所示，化简：． 23．阅读材料，完成下列任务： 因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确． 材料一：，即，． 的整数部分为1，小数部分为． 材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值． 我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图． 解：由图中面积计算，， ， ． 是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， 得方程，解得，即． 解决问题： (1)利用材料一中的方法，求的小数部分； (2)利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．阅读下面的材料，并解答后面的问题： ； ； ； … (1)观察上面的等式，请直接写出（为正整数）的结果　　　； (2)计算　　　； (3)请利用上面的规律及解法计算：． 25．【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)比较大小：_______．（用“＞”“＜”或“=”填空） (2)已知，，求的值； (3)解方程：．（利用“对偶式”相关知识，提示：令）． 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【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不是同类二次根式，不能合并，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算正确，符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选C． 8．下列各式中，二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，概念：式子叫做二次根式，熟记定义是解题的关键．根据二次根式的定义分别判断即可． 【详解】解：A、的被开方数，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、是三次根式，故此选项不符合题意； C、的被开方数，是二次根式，故此选项符合题意； D、的被开方数有可能小于0，即当时不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C 9．的算术平方根是（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义，熟练掌握并深刻理解算术平方根的定义是解题的关键．先求得的值，再继续求它的算术平方根即可得出答案． 【详解】解：， 而的算术平方根是， 的算术平方根是， 故选：C． 10．若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式和绝对值的化简，熟练掌握其运算性质是解题的关键．先利用完全平方公式，二次根式性质，绝对值的性质，结合进行化简，再合并同类项即可得解． 【详解】解： ， ，， ． 故选A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，实数与数轴；观察数轴可得，从而得到，再根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：， ∴， ∴ 故答案为： 12．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，算术平方根定义，进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．如图，在中，，，，在数轴上，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴的关系，正确运用勾股定理求出的长是解题的关键，要理解数轴上的点与实数的对应关系．根据题意运用勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得，， 则点表示的数为． 故答案为：． 14．一个正数的平方根是与，则这个正数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，则，再由进行求解即可． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 15．对于任意正数m，n，定义运算※如下：，计算的结果为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据定义新运算可得：，然后利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：2． 16．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质、求代数式的值，先根据非负数的性质求出，，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算规则是关键． （1）先进行乘法计算去掉分母，再逐项计算即可； （2）先分项相除和利用平方差公式进行化简，再逐项计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 18．像，这样的二次根式叫做复合二次根式．有些复合二次根式可以化简：． 请用上述方法化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的化简，掌握化简的方法是解本题的关键； （1）由，再化简即可； （2）由，再化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； 19．某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现在要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？ (2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为5元的地砖，要铺完整个通道，预算为660元，经费是否够用？ 【答案】(1) (2)经费不够用 【分析】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质． （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）用空白部分的面积乘以单价得出所需费用，再与经费比较即可得出结论． 【详解】（1）解：∵长方形的长为，宽为， ∴长方形的周长为： ． 答：长方形的周长是． （2）由题意，知 ∵, ∴经费不够用． 20．魔方又叫鲁比克方块，与华容道、独立钻石棋一同被称为智力游戏界的三大不可思议、如图（1）是一个4阶魔方，由四层完全相同的64个小正方体组成，体积为． (1)求组成这个4阶魔方的小正方体的棱长． (2)若图（1）中的四边形是一个正方形，求该正方形的面积及边长． (3)若把图（1）中正方形放在数轴上，如图（2），使得点A与表示1的点重合，那么点D在数轴上表示的数为________． 【答案】(1) (2)边长为，面积为 (3) 【分析】本题主要考查了立方根，实数的运算，实数与数轴，勾股定理等等： （1）求出一个小正方体的体积，进而求出求棱长即可； （2）利用勾股定理求出边长，再根据正方形面积计算公式求解即可； （3）根据（2）所求结合数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】（1）解：， ∴组成这个4阶魔方的小正方体的棱长为； （2）解：由勾股定理得， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积为， （3）解：∵，点A表示的数为1， ∴点D表示的数为． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查无理数的整数部分与小数， （1）根据材料提示，即，由此即可求解； （2）根据材料提示可得，，代入计算即可求解； （3）根据材料提示可得的小数部分，由此可得的值，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为，小数部分为， 故答案为：； （2）解：∵，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵的整数部分为， ∴， ∵是整数，，且， ∴， ∴， ∴的相反数为． 22．已知实数a，b，c在数轴上的位置．如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴，求一个数的算术平方根和化简绝对值，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，进行化简即可． 【详解】解：由图可知：，， ∴， ∴原式． 23．阅读材料，完成下列任务： 因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确． 材料一：，即，． 的整数部分为1，小数部分为． 材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值． 我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图． 解：由图中面积计算，， ， ． 是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， 得方程，解得，即． 解决问题： (1)利用材料一中的方法，求的小数部分； (2)利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了无理数的估算，解题关键是准确理解题目给出的方法，熟练进行计算． （1）根据材料一中的方法求解即可； （2）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可． 【详解】（1）解：，即 的整数部分为9． 的小数部分为． （2）解：∵面积是5的正方形的边长是， ， ∴可设 画出示意图如图所示 由图中面积计算，， ， 是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， ∴得方程，解得， 即 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．阅读下面的材料，并解答后面的问题： ； ； ； … (1)观察上面的等式，请直接写出（为正整数）的结果　　　； (2)计算　　　； (3)请利用上面的规律及解法计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查分母有理化，二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则． （1）分子，分母都乘以，再化简即可； （2）直接利用平方差公式计算即可； （3）先计算括号内的运算，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 25．【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)比较大小：_______．（用“＞”“＜”或“=”填空） (2)已知，，求的值； (3)解方程：．（利用“对偶式”相关知识，提示：令）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，，，可得，进而可得结果； （2）由题意知，，，根据，代值求解即可； （3）令，则，即，可求，则，，整理得，，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：由题意知，，， ∴， ∴的值为； （3）解：令， ∴，即， 解得，， ∵， ∴，整理得，， ∴， 解得，， 经检验，是原方程的解． 【点睛】本题考查了分母有理化，无理数的大小比较，代数式求值，平方差等知识．熟练掌握分母有理化，无理数的大小比较，代数式求值，平方差是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$