三角函数w求范围及最值问题2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

专题04 三角函数求范围及最值问题 一、单调性问题 例1（1）已知函数在上单调递增，则的取值范围是　　 A．， B．， C． D． （2）已知函数在区间上单调递增且在区间，上有且仅有一个解，则的取值范围是　　 A． B． C． D． （3）已知函数，若在上单调递减，当时，则在，内的单调递增区间最多有　　 A．45个 B．46个 C．54个 D．55个 变式1（1）已知函数满足，，且在区间，单调，则关于以下说法正确的是　　 A．有8种取值 B．的取值有无限个 C．不能等于 D．可以等于 （2）已知函数满足，，且在区间，单调，则关于以下说法正确的是　　 A．有8种取值 B．的取值有无限个 C．不能等于 D．可以等于 二、对称性问题 例2（1）将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，若的一条对称轴是直线，则的一个可能取值是（    ） A． B． C． D． （2）函数的图象的一条对称轴方程是，则的最小正值为（    ） A． B． C． D． 变式2 已知函数）在处取得最大值，且图象的两条相邻的对称轴之间的距离小于，若，则的取值可能是（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 3、 相邻对称轴问题 例3（1）已知函数的一个零点是，是的图象的一条对称轴，则取最小值时，的单调递增区间是（ ） A．， B．， C．， D．， （2）已知函数，是的零点，直线为图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 变式3（1）已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值是（    ） A． B． C． D． （2）已知函数相邻两个对称轴之间的距离为，且对于任意的恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 四、最少（多）对称轴“型 例4 已知函数，（）的图象在区间内至多存在3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4（1） 已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）设函数在区间上恰好有条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 五、对称中心问题 例5（1） 已知函数的图象的一个对称中心为，且，则的最小值为 A． B．1 C． D．2 （2）若函数在区间内单调递增，且是的图象的一个对称中心，则（    ）． A．6 B． C．9 D． 变式5（1）设函数，已知在上有且仅有4个零点，且图象的对称中心为，则（       ） A． B． C． D． （2）设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（    ） A． B． C． D． 六、对称轴与对称中心问题 例6（1） 已知函数的一个零点是，函数图像的一条对称轴是直线，则当取得最小值时，函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． （2）已知函数的一条对称轴为，一个对称中心为.则当取最小整数时，函数在内极值点的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式6 已知向量，，设函数，若为图象的对称轴，为图象的对称中心，且在区间 上单调，则ω的值为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角函数求范围及最值问题 一、单调性问题 例1（1）已知函数在上单调递增，则的取值范围是　　 A．， B．， C． D． 【解答】函数在上单调递增，，求得，故选：． （2）已知函数在区间上单调递增且在区间，上有且仅有一个解，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】函数在区间上单调递增，，，，解得．在区间，上有且仅有一个解，，求得．综上可得，， （3）已知函数，若在上单调递减，当时，则在，内的单调递增区间最多有　　 A．45个 B．46个 C．54个 D．55个 【解答】设函数的最小正周期为，则，在上单调递减， ，，可得，在上单调递减，当时， ，即，，解得，要想在，内的单调递增区间最多，则尽可能大，即，，，，即，当，1，时，符合题意，故在，内的单调递增区间最多有46个．故选：． 变式1（1）已知函数满足，，且在区间，单调，则关于以下说法正确的是　　 A．有8种取值 B．的取值有无限个 C．不能等于 D．可以等于 【解答】解：由，，，故， ，，又在区间，上单调，，故， ，即，，，，1，，符合条件的的值有8个，故正确，错误，当时，，故错误；由，可解得：，符合条件，故正确．故选：． （2）已知函数满足，，且在区间，单调，则关于以下说法正确的是　　 A．有8种取值 B．的取值有无限个 C．不能等于 D．可以等于 【解答】解：由，，，故， ，，又在区间，上单调，，故， ，即，，，，1，，符合条件的的值有8个，故正确，错误，当时，，故错误；由，可解得：，符合条件，故正确．故选：． 二、对称性问题 例2（1）将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，若的一条对称轴是直线，则的一个可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到图象， 则图象的解析式为，由的一条对称轴是直线，可得， 即，则则，即，则的一个可能取值是.故选：C （2）函数的图象的一条对称轴方程是，则的最小正值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，因为图象的一条对称轴方程是， ，解得，故当时，取得最小正值．故选：D 变式2 已知函数）在处取得最大值，且图象的两条相邻的对称轴之间的距离小于，若，则的取值可能是（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【详解】因为图象的两条相邻的对称轴之间的距离小于，所以，所以.由辅助角公式可得，其中，，因为在处取得最大值，所以，所以，，，所以，，则，，只有C满足．故选：C． 3、 相邻对称轴问题 例3（1）已知函数的一个零点是，是的图象的一条对称轴，则取最小值时，的单调递增区间是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】∵函数 的一个零点是，∴，∴， ∴，或．①又直线是的图像的一条对称轴， ∴，②由①②得，∵， ∴；此时，∴，∵， ∴，∴．由，得．∴单调增区间是．故选A． （2）已知函数，是的零点，直线为图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数，为的零点，为图象的对称轴，，且，相减可得， 即，，即为奇数．在单调，， ，故奇数的最大值为．当时，，，． 此时在上不单调，不满足题意． 当时，，，，此时在上不单调，不满足题意．当时，，，，此时在上单调递减，满足题意；故的最大值为，故选：D． 变式3（1）已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设函数的最小正周期为，因为是函数的一个零点，是函数的一条对称轴， 则，其中，所以，，，因为函数在区间上单调，则，所以，.所以，的可能取值有：、、、、. （i）当时，，， 所以，，则， ，，所以，， 当时，，所以， 函数在上不单调，不合乎题意； （ii）当时，，，所以，，则， ，，所以，，当时，，所以，函数在上单调递减，合乎题意.因此，的最大值为.故选：A. （2）已知函数相邻两个对称轴之间的距离为，且对于任意的恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，得，解得．由， 即，得，即． 因为对于任意的恒成立，且，所以，即解得．故选：C． 四、最少（多）对称轴“型 例4 已知函数，（）的图象在区间内至多存在3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以，画出的图象， 要想图象在区间内至多存在3条对称轴，则，解得.故选：A 变式4（1） 已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：时，函数，则，函数在内有且仅有三条对称轴，则：满足，解得，即实数的取值范围是. （2）设函数在区间上恰好有条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，， 因为函数在区间上恰好有条对称轴，所以，解得. 故选：B. 五、对称中心问题 例5（1） 已知函数的图象的一个对称中心为，且，则的最小值为 A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】因为函数的图象的一个对称中心为所以，整理得：， 所以，又即：，所以或由得：， 由得：，所以的最小值为故选A （2）若函数在区间内单调递增，且是的图象的一个对称中心，则（    ）． A．6 B． C．9 D． 【答案】A 【详解】因为是的图象的一个对称中心，所以，则，, 故可取 又在区间内单调递增，故,解得，则当，满足，其他均不满足，此时函数， 故选：A． 变式5（1）设函数，已知在上有且仅有4个零点，且图象的对称中心为，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，因为在上有且仅有4个零点， 则有，解得，当时，，而为图象的对称中心，于是得，解得，，所以.故选：B （2）设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数的图象的一个对称中心为， 所以，，可得，，则，故函数的最小正周期为， 当时，可知函数的一个最小正周期为.故选：C. 六、对称轴与对称中心问题 例6（1） 已知函数的一个零点是，函数图像的一条对称轴是直线，则当取得最小值时，函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意得，，即， 解得或（其中，）.①又， 即（其中）.②由①②得或， 即或（其中，，），因此的最小值为. 因为，所以（）.又，所以， 所以， 令（），则（）. 因此，当取得最小值时，的单调递增区间是（）.故选:B. （2）已知函数的一条对称轴为，一个对称中心为.则当取最小整数时，函数在内极值点的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】因为的一条对称轴为， 所以，①，又的一个对称中心为，所以②， ①-②得，所以，因为，所以取最小整数值为3. 当时，由②得，因为，所以，所以. 由得的极值点为, 当时，极值点在内.故选：B. 变式6 已知向量，，设函数，若为图象的对称轴，为图象的对称中心，且在区间 上单调，则ω的值为（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】A 【详解】，∵的一条对称轴为，一个对称中心为，∴,,∴，，∴为正奇数， ∵函数在区间上具有单调性，∴，∴，∴， 又∵为图象的对称中心，∴，∴，，，， ∴或，∴当时，， ∵，∴，此时与在上单调矛盾；综上可得：∴，故选：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$