3.1.1 椭圆及其标准方程 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

新授课 3.1.1 椭圆及其标准方程（1） 第三章 圆锥曲线的方程 1 新知引入 用一个垂直于圆锥轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆. 用一个不垂直于 圆锥轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的曲线， 它们分别是椭圆、双曲线、抛物线，统称为圆锥曲线. 我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的特征是 ： 任意一点到圆心的距离都等于半径 . 那么，你能说说到底什么是椭圆吗？椭圆上任意一点的特征是什么？ 在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的形象，如图(1)(2)所示． 探究 取一条定长的细绳, 把它的两端都固定在图板的同一点处, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆. 如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处（如图）, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 画出的轨迹是什么曲线？ 追问3：在这一过程中，绳子长度与两定点距离 大小有怎样的关系？ 追问2：在这一过程中，绳子的长度变了没有？ 说明了什么？ 追问1：在画出一个椭圆的过程中，F1，F2的位 置是固定的还是运动的？ 追问4：在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ ︳F1F2︱=2c ︱MF1︳+︱MF2︳ > ︳F1F2︱ 2a>2c 2a>2c ︱MF1︳+︱MF2︳= 2a 知识点1、椭圆的定义 1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_______(大于|F1F2|)的点的轨迹． 2．焦点：两个定点F1，F2. 3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|. 4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝_______(常数)且2a_____|F1F2|. 常数 2a > 思考 问题1：当动点到两定点间距离和等于两定点间的距离时动点的轨迹是什么？ 问题2：动点到两定点间距离和能小于两定点间的距离吗？ 线段F1F2 不存在 7 知识点2、椭圆的标准方程 思考：观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简单? F1 F2 M • • x y O (x,y) 设M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c＞0)，那么焦点F1，F2的坐标分别为(－c，0)， (c，0)(c＞0).你能否求出M的轨迹方程？ F1 F2 M • • x y O (x,y) 令b2= a2－c2 知识点2、椭圆的标准方程 由图可知， 如图示, 若椭圆的焦点在x轴上, 则椭圆的标准方程为 其中焦点坐标为F1(－c,0), F2(c,0), c2＝a2－b2. F1 F2 M • • x y O (x,y) F1 F2 P • • x y O 思考：如图示, 如果焦点F1, F2在y轴上, 且F1, F2的坐标分别为(0,－c), (0, c), a, b的意义同上, 那么椭圆的方程是什么? F1 F2 M • • x y O (焦点在y轴上) 定义 焦点位置 图形 方程 特点 共同点 不同点 F1 F2 M • • x y O F1 F2 M • • x y O 焦点在x轴上 焦点在y轴上 x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上 . 例题讲解 例1、(多选题)下列说法中，不正确的是(　　　) A．到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆 B．到点M(0，－3)，N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 D．到点M(0，－3)，N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆 例2．若方程1表示椭圆，则实数m满足的条件是 　 　． 例3．方程x2+ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 　 　． 则a＝ ，b＝ ，焦点在 轴上； 则a＝ ，b＝ ，焦点在 轴上； 则a＝ ，b＝ ，焦点在 轴上； 则a＝ ，b＝ ，焦点在 轴上. 5 3 4 6 3 2 例4.求出a、b的值，并判断焦点的位置 x y x y 注意：x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上 例5.根据条件，求出下列椭圆的标准方程,并画出图像。 (4) 两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)，并且过点P ( ，- ) . (2) 经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)两个焦点的坐标分别为(0, －3)和(0, 3) ，且a=5； (1) a=，b=1，焦点在x轴； 解1: (定义法) (4) 两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)，并且过点P ( ，- ) . 解2: (待定系数法) (4) 两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)，并且过点P ( ，- ) . 求椭圆的标准方程，要先定“位”， 求椭圆标准方程的主要方法有： a, b, c 满足的关系有： 用定义寻找a, b, c的方程； (1) 定义法： (2) 待定系数法： 待定系数法更为常用，是解此类问题的通法. 即求 a, b 的大小 . 即确定焦点的位置； 其次是定“量”， 先定位再定量 归纳总结 19 新授课 3.1.1 椭圆及其标准方程（2） 椭圆与三角形、轨迹方程 第三章 圆锥曲线的方程 例6 、填空： 已知椭圆的方程为： ，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦， 则△F1CF2的周长为________； 则△F2CD的周长为________； (3,0)、(-3,0) 3 6 4 5 16 F1 F2 C D x y o 20 例7．如图所示，已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． 变式:(1) 已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的任一点． |PF1|·|PF2|的最大值为 ； (2)已知椭圆：的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，则|PF1|=3， ∠F1PF2＝60°，则的值为 . M A B x y o 例8．(直接法)已知点A(-5,0)，B(5,0)，直线AM，BM交于点M，且他们的斜率之积为，求点M的轨迹方程． 例9．(代入法)已知点A(1,0)，Q为椭圆 ＋y2＝1上任一点，求线段AQ中点M的轨迹方程． F1 F P • • x y O 例10．(定义法)一动圆过定点A(2,0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程． 拓展：已知F是椭圆5x2+9y2＝45的右焦点，P为该椭圆上的动点，A（2，1）是一定点．求|PA|+|PF|的最大值与最小值； 解析：根据椭圆的第一定义：|PA|+|PF|＝2a+|PA|﹣|PF1| 如图所示：因为||PA|﹣|PF||≤|AF|＝1⇒﹣1≤|PA|﹣|PF|≤1， 所以5≤6+|PA|﹣|PF|≤7，即5≤|PA|+|PF|≤7， 所以PA|+|PF|的最大值与最小值分别为5，7． F1 F P • • x y O 归纳总结 椭圆 椭圆的标准方程 平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆 定义 焦点位置 图形 方程 特点 共同点 不同点 F1 F2 M • • x y O F1 F2 M • • x y O 焦点在x轴上 焦点在y轴上 x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上 . EVCapture4.1.8软件录制 Lavf57.25.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn Lavf58.46.101 Lavf58.46.101 由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集 P＝{M｜｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a}． 由｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a， 有+= 2a． $$