2024年山东省中考数学模拟卷（一）

中考数学模试卷（一） 一.选择题（每题4分，满分48分） 1．4的倒数的相反数是（　　） A．﹣4 B．4 C． D． 2．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°，若∠1+∠B=65°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 3.在△ABC中，∠C=90°．若AB=3，BC=1，则sinA的值为（　　） A． B． C． D．3 4.习近平总书记提出了未来5年“精准扶贫”的战略构想，意味着每年要减贫约11700000人，将数据11700000用科学记数法表示为（　　） A．1.17×106 B．1.17×107 C．1.17×108 D．11.7×106 5.如图，△ABC中，AB=AC，BC=12cm，点D在AC上，DC=4cm，将线段DC沿CB方向平移7cm得到线段EF，点E、F分别落在边AB、BC上，则△EBF的周长是（　　）cm． A．7 B．11 C．13 D．16 6.十一期间，几名同学共同包租一辆中巴车去红海滩游玩，中巴车的租价为480元，出发时又有4名学生参加进来，结果每位同学比原来少分摊4元车费．设原来游玩的同学有x名，则可得方程（　　） A．﹣=4 B．﹣=4 C．﹣=4 D．﹣=4 7.不等式组的解集为x＜2，则k的取值范围为（　　） A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1 D．k≤1 8.某校高一年级今年计划招四个班的新生，并采取随机摇号的方法分班，小明和小红既是该校的高一新生，又是好朋友，那么小明和小红分在同一个班的机会是（　　） A． B． C． D． 9.二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足表格： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 … 则该函数图象的顶点坐标为（　　） A．（﹣3，﹣3） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣1，﹣3） D．（0，﹣6） 10.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=4，则图中阴影部分的面积为（　　） A．π+1 B．π+2 C．2π+2 D．4π+1 11.如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG，DE和FG相交于点O．设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③=；④（a﹣b）2•S△EFO=b2•S△DGO．其中结论正确的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 12.如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论： ①a﹣b+c＞0； ②3a+b=0； ③b2=4a（c﹣n）； ④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根． 其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13.因式分解：x2﹣2x+（x﹣2）=　 　． 14.如图，直线l1∥l2，且分别与△ABC的两边AB、AC相交，若∠A=45°，∠1=65°，则∠2的度数为　 　． 15.如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，点C，若∠P=60°，PA=，则AB的长为　 　． 16.如图，在△ABC中，AB=AC，sinA=，BC=2，则△ABC的面积为　 　． 17.若关于的方程无解，则的值为 ． 18.如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，，，，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：，，，，，…根据这个规律，点的坐标为 ． 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19.（本题每小题5分，共10分） （1）计算：； （2）解不等式组： 20.（本题共10分） 为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： (1)这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______； (2)将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数； (3)该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人； (4)学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 21.（本题共10分） 如图，四边形为正方形，点的坐标为，点的坐标为，反比例函数图象经过点，一次函数的图象经过点、． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)观察图象，写出在第四项限内使得成立的自变量的取值范围； (3)若点是反比例函数图象上的一点，且的面积恰好等于正方形的面积，求点的坐标． 22．（本题共10分）某国产新能源汽车在国内国际市场销售屡创佳绩，体现了中国制造的“大国风范”．为进一步提升市场占有率，决定增加产量600万台．自2020年初开始实施后，实际每年产量是原计划的1.2倍，照此进度预计可提前2年完成任务． (1)原计划每年产量为多少万台？ (2)为更快实现目标，该品牌决定加快生产速度，要求从2023年初后续不超过5年完成，那么实际平均每年产量至少还要增加多少万台？ 23．（本题共12分）【问题背景】 （1）如图，在等腰直角中，，点在上，点在上，且，交于点，求证：；    【问题拓展】 （2）如图，在中，点在上，点在上，，交于点，求的值；    【问题应用】 （3）如图，在等腰直角中，，点在上，点在的延长线上，，连接，过点作于点，交直线于点，求证：    24．（本题共12分）某数学兴趣小组在数学实践课上开展了“菱形折叠”研究活动． 第一步：每人制作内角不同，边长都为2的菱形若干个，四个顶点为，，，（为保持一致，活动中，小组内制作图形各点名称命名规则相同）； 第二步：对折找到一条对角线并展开； 第三步：将边折叠到对角线所在直线上，顶点的落点为，所得折痕与边交于点； 第四步：测量，，的度数， (1)小组长在研究大家测得的数据后仔细分析，发现可以通过的度数，计算得到和的度数．如图①，若一位同学制作的菱形中，请你给出此时和的度数：_____________°，_____________°； (2)若，请探究的度数为多少时，为等腰三角形，并说明理由； (3)请直接写出为直角三角形时的长． 25．（本题共14分）如图，已知抛物线与轴交于、B两点，与轴交于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P为第一象限内抛物线上一点，连接，当时，求点的坐标． (3)如图2，过点作交抛物线于点，已知点是线段BC上方抛物线上一点，过点作轴，交于N，在线段、上分别有两个动点E、F，，G是的中点，当取得最大值时，在线段上是否存在一点H，使得的值最小？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由。 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1． 【考点】倒数；14：相反数．版权所有 【分析】先求出4的倒数，再根据相反数即可解答． 【解答】解：4的倒数是，的相反数﹣， 故选：C． 【点评】本题考查了倒数和相反数，解决本题的关键是熟记相反数，倒数的定义．　 2． 【考点】平行线的性质．版权所有 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3=∠1+∠B，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解． 【解答】解：由三角形的外角性质可得，∠3=∠1+∠B=65°， ∵a∥b，∠DCB=90°， ∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣65°﹣90°=25°． 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 3． 【考点】锐角三角函数的定义．版权所有 【分析】根据正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA进行计算即可． 【解答】解：∵∠C=90°，AB=3，BC=1， ∴sinA=， 故选：A． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义． 4． 【考点】科学记数法—表示较大的数．版权所有 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【解答】解：11700000用科学记数法表示为1.17×107， 故选：B． 【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5． 【考点】平移的性质；等腰三角形的性质．版权所有 【分析】直接利用平移的性质得出EF=DC=4cm，进而得出BE=EF=4cm，进而求出答案． 【解答】解：∵将线段DC沿着CB的方向平移7cm得到线段EF， ∴EF=DC=4cm，FC=7cm， ∵AB=AC，BC=12cm， ∴∠B=∠C，BF=5cm， ∴∠B=∠BFE， ∴BE=EF=4cm， ∴△EBF的周长为：4+4+5=13（cm）． 故选：C． 【点评】此题主要考查了平移的性质，根据题意得出BE的长是解题关键． 6． 【考点】由实际问题抽象出分式方程．版权所有 【分析】原来参加游玩的同学为x名，则后来有（x+4）名同学参加，根据增加4名学生之后每个同学比原来少分担4元车费，列方程即可． 【解答】解：由题意得：=4， 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 7． 【考点】解一元一次不等式组．版权所有 【分析】求出每个不等式的解集，根据已知得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可． 【解答】解：解不等式组，得 ． ∵不等式组的解集为x＜2， ∴k+1≥2， 解得k≥1． 故选：C． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集和已知得出关于k的不等式，难度适中． 8． 【考点】列表法与树状图法．版权所有 【分析】画出树状图，根据概率公式求解即可． 【解答】解：如图， ， 共有16种结果，小明和小红分在同一个班的结果有4种，故小明和小红分在同一个班的机会==． 故选：A． 【点评】本题考查的是列表法和树状法，熟记概率公式是解答此题的关键． 9． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可． 【解答】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3，相等， ∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2， ∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关键． 10． 【考点】扇形面积的计算；等腰三角形的性质；圆周角定理．版权所有 【分析】连接DO、AD，求出圆的半径，求出∠BOD和∠DOA的度数，再分别求出△BOD和扇形DOA的面积即可． 【解答】解：连接OD、AD， ∵在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°， ∴∠C=45°， ∴∠BAC=90°， ∴△ABC是Rt△BAC， ∵BC=4， ∴AC=AB=4， ∵AB为直径， ∴∠ADB=90°，BO=DO=2， ∵OD=OB，∠B=45°， ∴∠B=∠BDO=45°， ∴∠DOA=∠BOD=90°， ∴阴影部分的面积S=S△BOD+S扇形DOA=+=π+2． 故选：B． 11． 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；正方形的性质．版权所有 【分析】由四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，根据正方形的性质，即可得BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，则可根据SAS证得①△BCG≌△DCE；然后延长BG交DE于点H，根据全等三角形的对应角相等，求得∠CDE+∠DGH=90°，则可得②BH⊥DE；由△DGO与△DCE相似即可判定③错误，证明△EFO∽△DGO，即可求得④正确；即可得出结论． 【解答】解：①∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形， ∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，CD∥EF， ∴∠BCG=∠DCE． 在△BCG和△DCE中，， ∴△BCG≌△DCE（SAS）， 故①正确； ②延长BG交DE于点H，如图所示： ∵△BCG≌△DCE， ∴∠CBG=∠CDE， 又∵∠CBG+∠BGC=90°， ∴∠CDE+∠DGH=90°， ∴∠DHG=90°， ∴BH⊥DE； ∴BG⊥DE． 故②正确； ③∵四边形GCEF是正方形， ∴GF∥CE， ∴， 是错误的． 故③错误； ④∵DC∥EF， ∴△EFO∽△DGO， ∴=（）2=（）2=， ∴（a﹣b）2•S△EFO=b2•S△DGO． 故④正确； 正确的有3个，故选：B． 【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质，综合性较强，掌握三角形全等、相似的判定和性质是解题的关键． 　12． 【考点】二次函数图象与系数的关系．版权所有 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，则当x=﹣1时，y＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到=n，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点，于是可对④进行判断． 【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间． ∴当x=﹣1时，y＞0， 即a﹣b+c＞0，所以①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a， ∴3a+b=3a﹣2a=a，所以②错误； ∵抛物线的顶点坐标为（1，n）， ∴=n， ∴b2=4ac﹣4an=4a（c﹣n），所以③正确； ∵抛物线与直线y=n有一个公共点， ∴抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点， ∴一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）：抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 【考点】因式分解﹣提公因式法．版权所有 【分析】通过两次提取公因式来进行因式分解． 【解答】解：原式=x（x﹣2）+（x﹣2）=（x+1）（x﹣2）． 故答案是：（x+1）（x﹣2）． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 14. 【考点】平行线的性质．版权所有 【分析】根据平行线的性质求出∠AEF，根据三角形内角和定理求出∠AFE，即可得出答案． 【解答】解：如图，∵直线l1∥l2，∠1=65°， ∴∠AEF=∠1=65°， ∵∠A=45°， ∴∠2=∠AFE=180°﹣∠A﹣∠AEF=70°， 故填70° 15. 【考点】切线的性质；圆周角定理．版权所有 【分析】首先证明△PAC是等边三角形，推出AC=PA=，再证明∠BAC=30°即可解决问题； 【解答】解：∵PA、PB是⊙D的切线， ∴PA=PC， ∵∠P=60°， ∴△PAC是等边三角形， ∴AC=PA=，∠PAC=60°， ∵PA是切线，AB是直径， ∴PA⊥AB，∠ACB=90°， ∴∠BAC=30°， ∴AB==2， 故答案为2 【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 16． 【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质．版权所有 【分析】过B作BD⊥AC，交AC于点D，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义及sinA的值，设出BD=3x，AB=AC=5x，利用勾股定理求出AD，由AC﹣AD表示出CD，在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出x的值，确定出AC与BD，即可求出面积． 【解答】解：过B作BD⊥AC，交AC于点D， 在Rt△ABD中，sinA==， 设AB=AC=5x，BD=3x， 根据勾股定理得：AD=4x，即CD=x， 在Rt△BDC中，根据勾股定理得：BC2=BD2+CD2，即40=9x2+x2， 解得：x=2（负值舍去）， ∴BD=6，AB=AC=10， 则S△ABC=AC•BD=30． 故答案为：30 【点评】此题考查了解直角三角形，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 17. 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的增根，先去分母变成整式方程，再根据无解求解即可． 【详解】方程两边同乘得， ∵关于的方程无解， ∴， ∴， 解得， 故答案为： 18. 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，根据前几个点的坐标，总结出规律是解题的关键． 根据各个点的位置关系，可得出从开始，下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线上，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，所以点的在第四象限的角平分线上，然后根据规律求解即可． 【详解】解：∵， ∴从开始，在第4象限，在第3象限，在第2象限，在第1象限， ∵， ∴点的在第四象限的角平分线上，， ∴点坐标为 三、解答题（本大题共7小题，共78分） 19. （1）解：原式 ． （2）解：解不等式得： 解不等式得： ∴原不等式组的解集是． 20．(1)50，7 (2)条形统计图见解析， (3)该校学生答题成绩为A等和B等共有672人 (4) 【分析】（1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数，用抽取总人数乘以成绩为D等级所占百分比，即可求出m的值； （2）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图；先求出成绩为C等级的人数所占百分比，再用360度乘以成绩为C等级的人数所占百分比即可求出C等级所在扇形圆心角的度数； （3）用全校人数乘以成绩为A等级和B等级人数所占百分比，即可求解； （4）根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：（人）， ， 故答案为：50，7； （2）解：成绩为C等级人数所占百分比：， ∴C等级所在扇形圆心角的度数：， 成绩为A等级的人数：（人）， 补全条形统计图如图所示： （3）解：（人）， 答：该校学生答题成绩为A等级和B等级共有672人； （4）解：根据题意，列出表格如下：    第一名第二名 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 由表可知，一共有12种情况，抽出的两名学生恰好是甲和丁的有2种情况， ∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 【点睛】题目主要考查条形及扇形统计图，通过树状图或列表法求概率，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键． 21.(1)反比例函数为，一次函数为 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法即可求得反比例函数与一次函数的解析式； （2）根据数形结合即可得解； （3）根据，构造方程，，分别代入反比例函数的解析式即可得解。 【详解】（1）解：四边形是正方形，，， ∴，， 的图象经过点， ，即 ∴反比例函数为， 经过点、， ， 解得 一次函数为 （2）解：一次函数为中，令，得， ∴与轴的交点为， ∵， ∴由图可得，在第四项限内时，函数在一次函数的下方，且在第四象限， ∴在第四项限内使得成立的自变量的取值范围：； （3）解：设点的坐标为， ，点的坐标为，， 解得 当时，； 当时， 点的坐标为或 【点睛】本题主要考查了待定系数法求解一次函数和反比例函数，一次函数与反比例函数的综合，求函数值，利用图形求不等式的解集，熟练掌握一次函数与反比例函数的综合利用是解题的关键。 22.(1)原计划每年产量为万台 (2)实际平均每年产量至少还要增加万台 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程和一元一次不等式是解此题的关键． （1）设原计划每年产量为万台，则实际每年产量就是万台，根据“预计可提前2年完成任务”列出分式方程，解分式方程即可得出答案； （2）由（1）可得，实际每年产量就是万台，设实际平均每年产量至少还要增加万台，根据“要求从2023年初后续不超过5年完成”列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：设原计划每年产量为万台，则实际每年产量就是万台， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解且符合题意， ∴原计划每年产量为万台； （2）解：由（1）可得，实际每年产量就是万台， 设实际平均每年产量至少还要增加万台， 由题意得：， 解得：， ∴实际平均每年产量至少还要增加万台． 23.（1）见解析；（2）；（3）见解析. 【分析】（1）过点作过点作交于点，证明得，，进而得进而证明四边形是平行四边形，即可得； （2）过点作过点作交于点，连接，先证明，得，进而证明得，又证四边形是平行四边形，得，进而即可证明结论成立； （3）如图，在上取一点，使得证得，再证，得，从而证明四边形平行四边形，即可得证。 【详解】解：（1）过点作过点作交于点，    ∴ ∵在等腰直角中，，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）过点作过点作交于点，连接，    ∴ ∵在等腰直角中，， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴； （3）如图，在上取一点，使得 ∴，即， ∵在等腰直角中，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴四边形平行四边形， ∴ 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，同角的余角相等，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 24．(1) (2)的度数为时，为等腰三角形 (3)或 【分析】（1）根据菱形的性质和折叠的性质得到，，由邻补角和三角形外角的性质即可得到答案； （2）设，得到，，，则，分三种情况进行解答即可； （3）分和两种情况分别进行解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 由折叠可知，， ∴； 故答案为：； （2）解：设， ∴，， ∴， ∴， ①当时，， ∴， 解得， ∴的度数为时，是等腰三角形； ②当时，， ∴，解得，不合题意，舍去； ③当时，， ∴ 解得，不合题意，舍去， 综上可知，当的度数为时，是等腰三角形； （3）解：①当时，如图1， ∵， ∴， 由折叠可知，，， 则四边形是正方形， ∴， ∴， ②当时，如图2， ∵， ∴， 设， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； 综上可知，为直角三角形时的长为或． 【点睛】此题考查了菱形的性质、正方形的判定和性质、折叠的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，分类讨论是解题的关键． 25．(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）由题意可知，再利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴于点．当时，求得，解直角三角形可得，，则，，在中，．设点坐标为，则，，列出方程即可求解； （3）先求得直线解析式为，直线解析式为，结合抛物线求得，设，则，得，过点作轴，，则，，得，当时，有最大值，此时．作点关于的对称点，则，连接与交于点，由，且．可知，故的最小值为，设交轴于点，根据，结合图形求得，根据勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ． ， 由题意得：，解得：， 则抛物线的解析式为：； （2）过点作轴于点． 当时，即：，解得，， ． ，，，， ，， ， ， ． 在中，． 设点坐标为，则，， ，解得：（不合题意，舍去），， 点坐标为． （3）由（2）可知，，，则， ∵， ∴，则，， 设直线解析式为：，则，， ． 设直线解析式为：，则，， ． 联立解得或， ． 设，则， ， 过点作轴，，则， ， ． 当时，有最大值，此时． ∵是的中点， ∴， 作点关于的对称点，则，连接与交于点， ，且． ， 故的最小值为， ， ，又，， ，， 设交轴于点， ， ，， ， ， ， 在中，， 的最小值为：． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、解直角三角形、最值问题、勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$