精品解析：苏科版2023-2024学年八年级数学上册期中（1-3单元）检测卷

期中（1-3单元）检测卷 时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，计24分） 1. 下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. 清华大学 B. 北京大学 C. 中国人民大学 D. 浙江大学 2. 下列各组数中，哪一组是勾股数（ ） A. 1，2，4 B. 1，3，5 C. 3，4，7 D. 5，12，13 3. 若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 如图，在△ABC 和△DEF 中，AC=DF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件（ ） A. ∠A=∠D B. BE=CF C. ∠ACB=∠DFE=90° D. ∠B=∠DEF 5. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22°，则∠BDC等于（ ） A. 44° B. 60° C. 67° D. 77° 6. 如图，在长方形中，，，将其沿直线折叠，使点C与点A重合，的长为（ ） A. 7 B. C. D. 15 7. 如图，在中，，，，AD平分交BC于D点，E、F分别是AD，AC上动点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 如图，AD是△ABC角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF，给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有（　　） A. ①②③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ②③④ 二、填空题（每小题2分，计20分） 9. 在镜子中看到时钟显示的时间是，则实际时间是__________ 10. 已知直角三角形两边长分别为4和5，则第三边长为___________． 11. 如图，AB＝AC＝AD，如果∠BAC＝28°，AD∥BC，那么∠D＝_____． 12. 如图，△ABC中，，，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD=_________． 13. 如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，请添加一个条件，使，这个添加的条件可以是_____（只需写一个，不添加辅助线）． 14. 如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N，∠ACB=118°，则∠MCN的度数为_____． 15. 如图所示，在4×4的方格中每个小正方形的边长是单位1，小正方形的顶点称为格点．现有格点A、B，在方格中任意找一点C（必须是格点），使△ABC成为等腰三角形．这样的格点有______个． 16. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝38°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，则∠ACP＝_________． 17. 如图，已知AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P， PE⊥AB于点E，若PE＝1，则两平行线AD与BC间的距离为__________ 18. 如图，在等边中，，且，E是线段上的一个动点，连接，线段与线段关于直线对称，连接，在点E运动的过程中，当的长取得最小值时，的长为_________． 三、解答题（计76分） 19. 如图，网格中△ABC与△DEF为轴对称图形． （1）利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l； （2）结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小； （3）如果每一个小正方形边长为1，请直接写出△ABC的面积＝______． 20. 已知：如图，，点、分别在、上，且，求证：． 21. 如图，ABC中，是边上的中线，E是上一点且，求的度数． 22. 已知：如图，，M，N分别是，的中点．求证：． 23. 如图，正方形的边长分别为b、a，点A、B、F在一条直线上，在上取一点E，使．连接，延长至H，使，连接，由此就可以证明勾股定理，请你试一试． 24. 如图，在等边中，是的平分线，D 为上一点，以为一边且在下方作等边，连接． （1）求证：； （2）已知，求点 C到之间的距离． 25. 在长方形纸片中，，P是边上一点，．将纸片沿折叠后，点B的对应点记为点O，的延长线恰好经过该长方形的顶点 D． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）求长． 26. 如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的内好线，称这个三角形为内好三角形． （1）如图1，是等腰锐角三角形，，的角平分线交于点D，且是的一条内好线，则 度； （2）如图2，中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E．求证：是的一条内好线； （3）如图3，已知是内好三角形，且，为钝角，则所有可能的的度数为 （直接写答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中（1-3单元）检测卷 时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，计24分） 1. 下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. 清华大学 B. 北京大学 C. 中国人民大学 D. 浙江大学 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形逐一判断即可． 【详解】解：A．该图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意； B．该图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，符合题意； C．该图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意； D．该图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 下列各组数中，哪一组是勾股数（ ） A. 1，2，4 B. 1，3，5 C. 3，4，7 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股数的定义“可以构成一个直角三角形三边的一组正整数”即可求解． 【详解】解：A、，不是勾股数，不符合题意； B、，不是勾股数，不符合题意； C、，不是勾股数，不符合题意； D、，是勾股数，符合题意； 故选：D ． 3. 若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质分已知角是顶角和底角计算即可． 【详解】解：∵已知三角形是等腰三角形， ∴当角是底角时，等腰三角形的顶角为： ； 当是顶角时，符合题意； 综上所述，等腰三角形的顶角度数为或，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，进行分类讨论，准确计算是解题的关键． 4. 如图，在△ABC 和△DEF 中，AC=DF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ） A. ∠A=∠D B. BE=CF C. ∠ACB=∠DFE=90° D. ∠B=∠DEF 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定，利用ASA、SAS、AAS即可得答案． 【详解】解：∵AC=DF，AB=DE， ∴添加∠A=∠D，可利用SAS证明△ABC≌△DEF，故A不符合题意； ∴添加BE=CF，得出BC=EF，利用SSS证明△ABC≌△DEF，故B不符合题意； ∴添加∠ACB=∠DFE=90°，利用HL证明Rt△ABC≌Rt△DEF，故C不符合题意； 添加∠B=∠DEF，不能证明△ABC≌△DEF，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键． 5. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22°，则∠BDC等于（ ） A. 44° B. 60° C. 67° D. 77° 【答案】C 【解析】 【详解】解：△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22°， ∴∠B=90°－∠A=68°． 由折叠的性质可得：∠CED=∠B=68°，∠BDC=∠EDC， ∴∠ADE=∠CED﹣∠A=46°． ∴． 故选C． 6. 如图，在长方形中，，，将其沿直线折叠，使点C与点A重合，长为（ ） A. 7 B. C. D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，根据题意得：，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 故选：B． 7. 如图，在中，，，，AD平分交BC于D点，E、F分别是AD，AC上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则的最小值即为点到的垂线段长度． 【详解】解：，，， ， 在上取一点，使， ，， ， ， ， 则当点，，三点在一条直线且垂直时，的值最小， ， ， ， 的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是利用对称，解决最短问题． 8. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF，给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有（　　） A. ①②③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形、全等三角形的判定与性质即可得到答案. 【详解】∵BF∥AC， ∴∠C＝∠CBF， ∵BC平分∠ABF， ∴∠ABC＝∠CBF， ∴∠C＝∠ABC， ∴AB＝AC， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确， 在△CDE与△DBF中， ∴△CDE≌△DBF， ∴DE＝DF，CE＝BF，故①正确； ∵AE＝2BF， ∴AC＝3BF，故④正确； 故答案为①②③④. 【点睛】本题主要考查等腰三角形、全等三角形的判定与性质，证明△CDE≌△DBF以及ABC是等腰三角形是解本题的关键. 二、填空题（每小题2分，计20分） 9. 在镜子中看到时钟显示的时间是，则实际时间是__________ 【答案】16：25：08 【解析】 【详解】∵实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称， ∴实际时间是16：25：08， 故答案为16：25：08． 10. 已知直角三角形两边长分别为4和5，则第三边长为___________． 【答案】3或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边没有明确是直角边还是斜边，分两种情况讨论．4和5分别是直角边和斜边时以及4和5都是直角边时进行求解即可． 【详解】解：①长为4的边是直角边，长为5的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为4、5的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：3或， 故答案为：3或． 【点睛】本题主要考查了直角三角形，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形，分类讨论． 11. 如图，AB＝AC＝AD，如果∠BAC＝28°，AD∥BC，那么∠D＝_____． 【答案】38° 【解析】 【分析】想办法求出∠BAD，再利用等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】∵AB＝AC，∠BAC＝28°， ∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣28°）＝76°， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠C＝76°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝28°+76°＝104°， ∵AB＝AD， ∴∠D＝∠ABD＝（180°﹣104°）＝38°， 故答案为38°． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 12. 如图，△ABC中，，，AB=13，CD是AB边上中线．则CD=_________． 【答案】6.5 【解析】 【分析】由AC2+BC2=52+122=132=AB2，根据勾股定理的逆定理， 即△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，然后由CD是AB边上的中线求解即可． 【详解】解：在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13， 可得AC2+BC2=52+122=132=AB2， 即△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°， ∵CD是AB边上的中线， ∴CD=6.5； 故答案为6.5． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形斜边上的中线，解决此题的关键是先求出△ABC是直角三角形． 13. 如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，请添加一个条件，使，这个添加条件可以是_____（只需写一个，不添加辅助线）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 补充， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N，∠ACB=118°，则∠MCN的度数为_____． 【答案】56° 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出∠A+∠B；根据等腰三角形性质得∠ACM+∠BCN的度数，然后求解． 【详解】 ∵DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N， ∴ 故答案是：. 【点睛】此题考查了线段垂直平分线性质、三角形内角和定理等知识点，渗透了整体求值的思想方法，难度不大． 15. 如图所示，在4×4的方格中每个小正方形的边长是单位1，小正方形的顶点称为格点．现有格点A、B，在方格中任意找一点C（必须是格点），使△ABC成为等腰三角形．这样的格点有______个． 【答案】8． 【解析】 【详解】试题分析：如图所示只有C点在这8个点的位置，A、B、C三点为顶点才能构成等腰三角形， ∴满足条件的格点有：8个．故答案为8． 考点：1．等腰三角形的判定；2．勾股定理． 16. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝38°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，则∠ACP＝_________． 【答案】14°． 【解析】 【分析】根据折叠的性质即可得到AD=PD=BD，由直角三角形斜边上的中线可得CD=AB=AD=BD，根据等边对等角得∠ACD=∠A=38°，∠BCD=∠B=52°，即可得出∠BCP=2∠BCD=104°，即可得出∠ACP=104 -90°=14°． 【详解】解：由折叠可得，AD=PD=BD，∠BCD=∠PCD， ∴D是AB的中点， ∴CD=AB=AD=BD， ∴∠ACD=∠A=38°，∠BCD=∠B=90°-38°=52°， ∴∠BCP=2∠BCD=104°， ∴∠ACP=104°-90°=14°， 故答案为：14°． 【点睛】本题考查折叠的性质、等腰三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 17. 如图，已知AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P， PE⊥AB于点E，若PE＝1，则两平行线AD与BC间的距离为__________ 【答案】2 【解析】 【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=1,PE=PN=1,即可得出答案. 【详解】过点P作MN⊥AD, ∵AD∥BC, ∴PN⊥BC, ∵∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P,PE⊥AB于点E, ∴PM=PE=1，PE=PN=1, ∴MN=PM+PN=1+1=2. 【点睛】本题考查角平分线的性质以及平行线的性质,根据题意作出辅助线是解决问题的关键. 18. 如图，在等边中，，且，E是线段上的一个动点，连接，线段与线段关于直线对称，连接，在点E运动的过程中，当的长取得最小值时，的长为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】过点O作于H，连接，先根据等边三角形的性质和轴对称的性质得到点F的运动路线，再根据垂线段最短得到点F、H重合时最小，证明，得到，，即，然后利用含30度直角三角形的性质求得即可． 【详解】解：如图，过点O作于H，连接， ∵是等边三角形，， ∴， ∵线段与线段关于直线对称， ∴， ∵， ， ∴，，即， ∴点F在射线上运动，根据垂线段最短可知，当F和H重合时，的值最小，即为的长度，此时， 在中，， ∴， 即当的长取得最小值时，的长为1， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，轴对称的性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，垂线段最短等知识，熟练掌握等边三角形的性质，轴对称的性质，找到点F的运动路线以及使最小时的位置是解题的关键． 三、解答题（计76分） 19. 如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形． （1）利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l； （2）结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小； （3）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）3 【解析】 【分析】（1）连接对应点，作出对应点连线的垂直平分线； （2）连接CD，与直线l交于点P； （3）用割补法进行计算即可． 【小问1详解】 解：如图：直线l即为所求， 【小问2详解】 如图：连接CD，与直线l交于点P，点P即为所求． 【小问3详解】 ． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积的求解，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 20. 已知：如图，，点、分别、上，且，求证：． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法；熟记三角形全等的判定方法是解决问题的关键．由全等三角形的判定方法得出：即可． 【详解】证明：在和中 ， ． 21. 如图，ABC中，是边上的中线，E是上一点且，求的度数． 【答案】20° 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． 22. 已知：如图，，M，N分别是，的中点．求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可． 【详解】证明：连接、，如图 ∵，且M为的中点， ∴， ∴为等腰三角形， 又∵N为中点， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键． 23. 如图，正方形的边长分别为b、a，点A、B、F在一条直线上，在上取一点E，使．连接，延长至H，使，连接，由此就可以证明勾股定理，请你试一试． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据正方形的性质证明，推出，．进而证明四边形为正方形，记边长为c，根据，即可证明． 【详解】证明：∵正方形边长分别为b、α， ∴． ∵， ∴，， ∴， ， ∴，． 又∵， ∴，即， ∴四边形为正方形，记边长为c， ， ，即 ． 24. 如图，在等边中，是的平分线，D 为上一点，以为一边且在下方作等边，连接． （1）求证：； （2）已知，求点 C到之间的距离． 【答案】（1）详见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由条件结合等边三角形的性质通过“边角边”可证明，可得； （2）由（1）的结论可知C到的距离和C到的距离相等，可求得C到的距离． 【小问1详解】 证明：∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中． ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的平分线， ∴ 由（1）可知， ∴， 设 C到的距离为h， 则， ∴， ∵是的平分线， ∴，即点C到的距离为4． 25. 在长方形纸片中，，P是边上一点，．将纸片沿折叠后，点B的对应点记为点O，的延长线恰好经过该长方形的顶点 D． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）求长． 【答案】（1） 为等腰三角形．理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，由矩形的性质得到，进而得到，进一步证得，即可求证， （2）由折叠的性质得到，，，设，运用勾股定理列方程解答即可， 本题考查了折叠问题、矩形的性质以及勾股定理等知识，灵活运用折叠和矩形的性质是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：为等腰三角形． 理由：由翻折可得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 【小问2详解】 解：由翻折可知，，， 设， ∵， ∴， 在中有， ∴，解得：， ∴的长为． 26. 如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的内好线，称这个三角形为内好三角形． （1）如图1，是等腰锐角三角形，，的角平分线交于点D，且是的一条内好线，则 度； （2）如图2，中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E．求证：是的一条内好线； （3）如图3，已知是内好三角形，且，为钝角，则所有可能的的度数为 （直接写答案）． 【答案】（1）72 （2）证明过程见解析 （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定．灵活使用等腰三角形性质与三角形内角和定理与三角形外角定理是解题关键，根据等腰三角形顶角顶点分类讨论是难点． （1）由等腰三角形的性质得出，设，则，在中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可； （2）只要证明是等腰三角形即可； （3）是内好线时，只有一种情况：；是内好线时，五种情况：；；；，； 为内好线时，只有一种情况：，分情况画出图形，求出的度数即可得到答案．分情况画出图形进行讨论即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的一条内好线， ∴和是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， 设，则， 在中,， 即， 解得：， ∴， 故答案为：72． 【小问2详解】 证明：∵是线段的垂直平分线， ∴，即是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，即是等腰三角形， ∴是是一条内好线． 【小问3详解】 解：是内好线时， 如图，当时，设，则， ∴，解得， ∴， 是内好线时， 当时， 设，则， ∴，解得 ∴， 当时，则，则， ∴ 如图， 当时，则，则， ∴ 当时， 如图，， ∴， ∴， 则为锐角，不合题意，舍去， 当时，如图， ∴， ∴， ∴， 则为直角，不合题意，舍去， 当为内好线时，， 则， ∴，不合题意，舍去， 综上可知，或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$