3.7切线长定理 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

九年级数学·下 新课标[北师] 第三章 圆 7 切线长定理 回顾旧识 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径。 切线的判定定理:过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的判定方法： （1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法） （2）到圆心的距离等与圆的半径的直线是圆的切线（d=r）（数量法） （3 ）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（判定定理） 2、“连半径，证垂直” 1、“作垂直，证半径” 1、了解切线长的概念. 2、理解切线长定理,了解三角形的内切圆和三角 形的内心的概念,熟练掌握它的应用. 重点：切线长定理及其运用. 难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线 长定理解决一些实际问题. 切线长概念 思考：过圆外一点画圆的切线,你能画出几条? 两条 如图所示，PA，PB是☉O的两条切线，A，B是切点. (1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么? 是,它的对称轴是点P，O所在的直线. (2)在这个图形中你能找到相等的线段吗? PA=PB 切线长概念:过圆外一点画圆的切线,这点和切点之间的线段长叫做 这点到圆的切线长. 【知识拓展】切线与切线长的区别:它们是两个不同的概念,切线是 直线,不能度量;切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量. 切线长定理:过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等. 思考：除了利用轴对称的性质外,你还有其他的方法证明吗? 已知:如图所示，PA，PB是☉O的两条切线，A，B是切点. 求证:PA=PB. 证明:连接OA，OB，PO. ∵PA,PB是☉O的切线, ∴∠PAO=∠PBO=90°. 在Rt△OPA和Rt△OPB中, ∵OA=OB,OP=OP, ∴Rt△OPA≌Rt△OPB. ∴PA=PB. 定理及其证明 切线长定理:过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等. 符号语言: 若线段PA，PB是☉O的切线，则PA=PB. [知识拓展] 推论1:过圆外一点画圆的两条切线，这个点和圆心的连线平分两条切线所成夹角，且垂直平分切点所连的弦。 定理及其证明 A P O 。 B M OP垂直平分AB 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB 我们学过的切线，常有四个性质： 1、切线和圆只有一个公共点； 2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3、切线垂直于过切点的半径； 4、过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等，这个点和圆心的连线平分两条切线所成夹角， 且垂直平分切点所连的弦。 拓展证明：如果圆的两条切线互相平行，则连结两个切点线段是直径。 知识小结 圆外切四边形边的性质 如图,四边形ABCD的四条边都与☉O相切,图中的线段之间有哪些等量关系? 证明: 由题，根据切线长定理可设 AH=AE=a，BE=BF=b，CF=CG=c，DG=DH=d， ∴AB+CD=a+b+c+d=AD+BC. 切线长定理推论2:圆的外切四边形的两组对边之和相等. a a b b d d c c 如图所示,在Rt△AB中，∠C=90°，AC=10，BC=24，☉O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，求☉O的半径. 解:连接OD，OE，OF，则 OD=OE=OF，设OD=r. 在Rt △ABC 中，AC=10，BC=24， ∵☉O分别与AB,BC,CA相切于点D,E,F, ∴OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,BD=BE,AD =AF,CE=CF. 又∵∠C=90°, ∴四边形OECF为正方形. ∴CE=CF=r. ∴BE=24-r,AF=10-r. ∴AB=BD+AD=BE+AF =24-r+10-r=34-2r. 而AB=26,∴34-2r=26. ∴r=4, 即☉O的半径为4. 1、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 小 结： A P O 。 B E C D ∵PA、PB分别切⊙O于A、B ∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB OP垂直平分AB 切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。 2.圆的外切四边形的两组对边的和相等 作业：导练3.7 已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的周长。 E A Q P F B O 易证EQ=EA, FQ=FB, PA=PB ∴ PE+EQ=PA=12cm PF+FQ=PB=PA=12cm ∴周长为24cm 练一练： 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 结论拓展、 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为点A、B，若直径AC= 12，∠P=60o，求弦AB的长． $$