第22章 二次函数 专题02 实际应用问题 常考题型汇总 2024-2025学年人教版数学九年级上册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 2024-2025学年 第22章 二次函数 专题02 实际应用问题 常考题型汇总（原卷版） 一．选择题 1．如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且BD⊥OC，垂足为点D，OA＝2m．若BD＝6m，OD＝2m，则OC的长为（　　） A．4m B．5m C． D． 第1题 第2题 2．如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝﹣0.2x2+3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（　　） A．3m B．3.5m C．4m D．4.5m 3．某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB为40米，桥拱的最大高度CD为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与CD的距离为5米的景观灯杆MN的高度为（　　） A．13米 B．14米 C．15米 D．16米 第3题第4题 4．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（　　） A．小球的飞行高度不能达到15m B．小球的飞行高度可以达到25m C．小球从飞出到落地要用时4s D．小球飞出1s时的飞行高度为10m 5．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为（　　）米． A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6 第5题 第6题 6．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2，下列对方程20t﹣5t2＝15的两根t1＝1与t2＝3的解释正确的是（　　） A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升 C．小球从飞出到落地要用4s D．小球的飞行高度可以达到25m 7．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（　　）元． A．50 B．90 C．80 D．70 8．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为x m，面积为S m2，其中AD≥AB．有下列结论：①x的取值范围为5≤x≤10；②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100m2；③矩形菜园ABCD的面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 第8题 第9题 9．如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为y＝，正常水位时水面宽AB为36m，当水位上升5m时水面宽CD为（　　） A．10m B．12m C．24m D．48m 10．中国廊桥是桥梁与房屋的珠联璧合，代表着中国人的智慧和造艺，是世界文明宝库的一大奇观．如图，这是某座下方为抛物线形的廊桥示意图，已知抛物线的表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF长为（　　） A．米 B．16米 C．米 D．米 第10题 第11题 11．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降2.5米时，水面的宽度为米．（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 12．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（单位：m）与运行的水平距离x（单位：m）满足关系式，已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（　　） A．球运行的最大高度是2.43m B．球不会过球网 C．球会过球网但不会出界 D．球会过球网但会出界 第12题 二．填空题 13．如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为8m，两侧距地面4m高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m，则这个门洞内部顶端离地面的距离为 　 　． 第13题 第14题 14．漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱可近似看作抛物线．如图是其中一个桥拱的示意图，拱跨AB＝60m，以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点O垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，通过测量得AE＝2m，DE⊥AB且DE＝1.16m，则桥拱（抛物线）的函数表达式为 　 　． 15．如图1是一座抛物线形拱桥，图2是其示意图，桥拱与水平桥面相交于A、B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9m，AB＝36m，D、E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为 　 　m． 第15题 第16题 16．一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是4m时，拱顶距离水面是2m．当水面下降1m后，水面宽度是 　 　m．（结果保留根号） 17．超市销售的某商品进价10元/件．在销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝﹣5x+150（10≤x≤30），则利润w和售价x之间的函数关系为 　 　，该商品售价定为 　 　元/件时，每天销售该商品获利最大． 18．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80m，高度为200m．则离地面150m处的水平宽度（即CD的长）为 　 　． 三．解答题 19．某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式；（2）若队员与篮圈中心的水平距离为7m，篮圈距地面3m，问此球能否准确投中？ 20．某商场计划用5400元购买一批商品，若将进价降低10%，则可以多购买该商品30件．市场调查反映：售价为每件25元时，每天可卖出250件．如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．（1）求该商品原来的进价；（2）在进价没有改变的条件下，若每天所得的销售利润2000元时，且销量尽可能大，商品的售价是多少元；（3）在进价没有改变的条件下，商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案． 方案A：每件商品涨价不超过5元；方案B：每件商品的利润至少为16元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由． 21．在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6米，距地面均为1米，绳的最高点距离地面的高度为4米，以水平地面为x轴，垂直于地面且过绳子最高点的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图．（1）求抛物线的函数表达式；（2）身高为1.57米的小明此时进入跳绳，他站直时绳子刚好通过他的头顶，小明与甲的水平距离小于小明与乙的水平距离，求小明离甲的水平距离． 22．如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点时，高度为2.88m，即BA＝2.88m，这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2． （1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式＜不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由． （2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：≈取1.4） 23．高楼火灾越来越受到重视，某区消防中队开展消防技能比赛，如图，在一废弃高楼距地面10m的点A和其正上方点B处各设置了一个火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为12m．待A处火熄灭后，消防员退到点D处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到达点B处，已知点D到高楼的水平距离为12m，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为3m．建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；（2）若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，求A、B之间的距离；（3）若消防员站在到高楼水平距离为9m的地方，想要扑灭距地面高度12～18m范围内的火苗，当水流最高点到高楼的水平距离始终为3m时，直接写出a的取值范围． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 2024-2025学年 第22章 二次函数 专题02 实际应用问题 常考题型汇总（解析版） 一．选择题 1．如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且BD⊥OC，垂足为点D，OA＝2m．若BD＝6m，OD＝2m，则OC的长为（　　） A．4m B．5m C． D． 【考点】二次函数的应用．版权所有 【分析】根据题意可得A（0，2），B（2，6），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+6．将A（0，2）代入，求出a的值，即可解答． 【解答】解：∵OA＝2m，BD＝6m，OD＝2m， ∴A（0，2），B（2，6）， 设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+6． 将A（0，2）代入，得4a+6＝2， 解得a＝﹣1． ∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣2）2+6． 令y＝0，则﹣（x﹣2）2+6＝0． 解得，（不合题意，舍去）． ∴OC的长为． 故选：D． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． 2．如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝﹣0.2x2+3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（　　） A．3m B．3.5m C．4m D．4.5m 【考点】二次函数的应用．版权所有 【分析】如图，实际是求AB的距离，而OA已知，所以只需求出OB即可；而OB的长，又是C点的横坐标，所以把C点的纵坐标3.05代入解析式即可解答． 【解答】解：如图， 把C点纵坐标y＝3.05代入y＝0.2x2+3.5中得： x＝±1.5（舍去负值）， 即OB＝1.5， 所以l＝AB＝2.5+1.5＝4． 故选：C． 【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 3．某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB为40米，桥拱的最大高度CD为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与CD的距离为5米的景观灯杆MN的高度为（　　） A．13米 B．14米 C．15米 D．16米 【考点】二次函数的应用．版权所有 【分析】以AB所在直线为x轴、CD所在直线为y轴建立坐标系，可设该抛物线的解析式为y＝ax2+16，将点B坐标代入求得抛物线解析式，再求当x＝5时y的值即可． 【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系， 设抛物线表达式为y＝ax2+16， 由题意可知，B的坐标为（20，0）， ∴400a+16＝0， ∴a＝﹣， ∴y＝﹣x2+16， ∴当x＝5时，y＝15． ∴与CD距离为5米的景观灯杆MN的高度为15米， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求抛物线解析式的知识，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键． 4．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（　　） A．小球的飞行高度不能达到15m B．小球的飞行高度可以达到25m C．小球从飞出到落地要用时4s D．小球飞出1s时的飞行高度为10m 【考点】二次函数的应用．版权所有 【分析】直接利用h＝15以及结合配方法求出二次函数最值分别分析得出答案． 【解答】解：A、当h＝15时，15＝20t﹣5t2， 解得：t1＝1，t2＝3， 故小球的飞行高度能达到15m，故此选项错误； B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20， 故t＝2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误； C、∵h＝0时，0＝20t﹣5t2， 解得：t1＝0，t2＝4， ∴小球从飞出到落地要用时4s，故此选项正确； D、当t＝1时，h＝15， 故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项错误； 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确解方程是解题关键． 5．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为（　　）米． A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6 【考点】二次函数的应用．版权所有 【分析】以AE所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，再求出y＝1.5时x的值的即可得出答案． 【解答】解：如图所示，以AE所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 方法一：∵AB＝DE＝1.5m， ∴点B与点D关于对称轴对称， ∴AE＝2×1.6＝3.2（m）； 方法二：根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为（1.6，2.5）， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1.6）2+2.5， 将点B（0，1.5）代入得，2.56a+2.5＝1.5， 解得a＝﹣， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1.6）2+2.5， 当y＝1.5时，﹣（x﹣1.6）2+2.5＝1.5， 解得x＝0（舍）或x＝3.2， 所以茶几到灯柱的距离AE为3.2米， 故选：A． 【点评】本题考查了将二次函数的实际应用转化为二次函数图象的抽象能力以及用待定系数法求函数解析式与点的坐标的能力． 6．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2，下列对方程20t﹣5t2＝15的两根t1＝1与t2＝3的解释正确的是（　　） A．小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B．小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升 C．小球从飞出到落地要用4s D．小球的飞行高度可以达到25m 【考点】二次函数的应用．版权所有 【分析】根据函数表达式，可以求出h＝0的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间，求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程20t﹣5t2＝15的意义为h＝15时所用的时间，据此解答． 【解答】解：20t﹣5t2＝15的两根t1＝1与t2＝3，即h＝15时所用的时间， ∴小球的飞行高度是15m时，小球的飞行时间是1s或3s，故A错误； h＝20t﹣5t2＝20﹣5（2﹣t）2， ∴对称轴直线为：t＝2，最大值为20，故D错误； ∴t＝3时，h＝15，此时小球继续下降，故B错误； ∵当h＝0时，t1＝0，t2＝4， ∴t2﹣t1＝4， ∴小球从飞出到落地要用4s，故C正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，本题较为简单，正确理解函数值的意义是本题解题的关键． 7．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（　　）元． A．50 B．90 C．80 D．70 【考点】二次函数的应用．版权所有 【分析】根据题意，可以写出利润和售价之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可得到当售价为多少时，可以获得最大利润． 【解答】解：设利润为w元，每顶头盔的售价为x元， 由题意可得：w＝（x﹣50）[200+（80﹣x）×20]＝﹣20（x﹣70）2+8000， ∴当x＝70时，w取得最大值， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． 8．如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为x m，面积为S m2，其中AD≥AB．有下列结论： ①x的取值范围为5≤x≤10； ②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100m2； ③矩形菜园ABCD的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】二次函数的应用．版权所有 【分析】根据墙长为18m，AD≥AB，列不等式组，解不等式组即可求出自变量x的取值范围，从而可判断①；根据矩形的面积＝100列出方程，解方程求x的值，可以判断②；利用二次函数求最值的知识可得出菜园的最大面积，可以判断③． 【解答】解：设这个菜园垂直于墙的一边AB的长为x m．则BC的长为（30﹣2x）米， ∵墙长为18m，AD≥AB， ∴ 解得， ∴x的取值范围为6≤x≤10， 故①错误； 根据题意得：x（30﹣2x）＝100， 解得x1＝5，x2＝10， ∵6≤x≤10， ∴x＝10， ∴AB的长有1个值满足该矩形菜园的面积为100m2， 故②错误； 根据题意得：S＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x＝﹣2（x﹣）2+， ∵﹣2＜0，6≤x≤10， ∴当x＝时，S有最大值，最大值为， 故③正确． 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，熟练掌握最值问题的求法是解答本题的关键． 9．如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为y＝，正常水位时水面宽AB为36m，当水位上升5m时水面宽CD为（　　） A．10m B．12m C．24m D．48m 【考点】二次函数的应用．版权所有 【分析】根据正常水位时水面宽AB，求出当x＝18时y＝﹣9，再根据水位上升5米时y＝﹣4，代入解析式求出x即可． 【解答】解：∵AB＝36米， ∴当x＝18时，y＝﹣×182＝﹣9， 当水位上升5米时，y＝﹣4， 把y＝﹣4代入抛物线表达式得：﹣4＝﹣x2， 解得x＝±12， 此时水面宽CD＝24（m）， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的应用，关键是通过建立适当坐标系求出抛物线解析式． 10．中国廊桥是桥梁与房屋的珠联璧合，代表着中国人的智慧和造艺，是世界文明宝库的一大奇观．如图，这是某座下方为抛物线形的廊桥示意图，已知抛物线的表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF长为（　　） A．米 B．16米 C．米 D．米 【考点】二次函数的应用．版权所有 【分析】已知抛物线上距水面AB高为8米的E，F两点，可知E，F两点纵坐标为8，把y＝8代入抛物线解析式，可求E，F两点的横坐标，根据抛物线的对称性求EF长． 【解答】解：由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯”，可知E，F两点纵坐标为8， 把y＝8代入得：， 解得， ∴由两点间距离公式得：（米）， 故选：A． 【点评】本题考查的是二次函数的应用，读懂题意，筛选信息是解题的关键． 11．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降2.5米时，水面的宽度为米．（　　） A．3 B．6 C．8 D．9 【考点】二次函数的应用．版权所有 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y轴通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A、B两点，OA和OB可求出为AB的一半为2米，抛物线的顶点C坐标为（0，2）， ， 设顶点式为y＝ax2+2，代入点A的坐标（﹣2，0）， 得出4a+2＝0， 解得：a＝﹣0.5， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣0.5x2+2， 当水面下降2.5米时，即当y＝﹣2.5时，﹣0.5x2+2＝﹣2.5， 解得：x＝±3， ∴水面的宽度为3﹣（﹣3）＝6（米）， 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式求出水面宽度即可，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 12．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（单位：m）与运行的水平距离x（单位：m）满足关系式，已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（　　） A．球运行的最大高度是2.43m B．球不会过球网 C．球会过球网但不会出界 D．球会过球网但会出界 【考点】二次函数的应用．版权所有 【分析】根据顶点式的特点可知球运行的最大高度为2.6m，由此即可判断A；求出当x＝9时，y的值，再与2.43m进行比较即可判断B；求出当x＝18时，y的值，再与0比较即可判断C、D． 【解答】解：∵抛物线解析式为， ∴球运行的最大高度为2.6m，故A说法错误，不符合题意； 在中，当x＝9时，， ∴球会过球网，故B说法错误，不符合题意； 在中，当x＝18时，则， ∴球会过球网且会出界，故C说法错误，不符合题意，D说法正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，关键是根据题意列式． 二．填空题 13．如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为8m，两侧距地面4m高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m，则这个门洞内部顶端离地面的距离为 　m　． 【考点】二次函数的应用．版权所有 【分析】由题意可知各点的坐标，A（﹣4，0），B（4，0），D（﹣3，4），又由抛物线的顶点在y轴上，即可设抛物线的解析式为y＝ax2+c，然后利用待定系数法即可求得此二次函数的解析式，继而求得这个门洞的高度． 【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意可知各点的坐标，A（﹣4，0），B（4，0），D（﹣3，4）． 设抛物线的解析式为：y＝ax2+c（a≠0）， 把B（4，0），D（﹣3，4）代入，得： ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2+， 则C（0，）． ∴这个门洞内部顶端离地面的距离为m， 故答案为：m． 【点评】此题考查了二次函数在实际生活中的应用．题目难度适中，解此题的关键是理解题意，求得相应的函数解析式，注意待定系数法的应用． 14．漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱可近似看作抛物线．如图是其中一个桥拱的示意图，拱跨AB＝60m，以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点O垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，通过测量得AE＝2m，DE⊥AB且DE＝1.16m，则桥拱（抛物线）的函数表达式为 　y＝﹣0.01x2+9　． 【考点】二次函数的应用．版权所有 【分析】根据题意得到A、B、E的坐标，设抛物线解析式为y＝a（x+30）（x﹣30），将E的坐标代入解析式求出a的值，即可得到抛物线解析式． 【解答】解：∵拱跨AB＝60m，以AB的中点O为坐标原点， ∴AO＝BO＝30m， ∴A的坐标为（30，0），B的坐标为（﹣30，0）， 设抛物线解析式为y＝a（x+30）（x﹣30）， ∵AE＝2m，DE⊥AB且DE＝1.16m， ∴OE＝AO﹣AE＝30﹣2＝28m， ∴E的坐标为（28，1.16）， ∴a（28+30）（28﹣30）＝1.16， 解得a＝﹣0.01， ∴抛物线解析式为y＝﹣0.01（x+30）（x﹣30）＝﹣0.01x2+9， 故答案为：y＝﹣0.01x2+9． 【点评】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数与坐标轴交点，解答本题的关键是找准等量关系，列出函数关系式． 15．如图1是一座抛物线形拱桥，图2是其示意图，桥拱与水平桥面相交于A、B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9m，AB＝36m，D、E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为 　48　m． 【考点】二次函数的应用．版权所有 【分析】首先建立平面直角坐标系，设AB与y轴交于H，求出OC的长，然后设设该抛物线的解析式为：y＝ax2+k，根据题干条件求出a和k的值，再令y＝0，求出x的值，即可求出D和E点的坐标，DE的长度即可求出． 【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系． 设AB与y轴交于点H， ∵AB＝36， ∴AH＝BH＝18， 由题可知： OH＝7，CH＝9， ∴OC＝9+7＝16， 设该抛物线的解析式为：y＝ax2+k， ∵顶点C（0，16）， ∴抛物线y＝ax2+16， 代入点（18，7） ∴7＝18×18a+16， ∴7＝324a+16， ∴324a＝﹣9， ∴a＝﹣， ∴抛物线：y＝﹣x2+16， 当y＝0时，0＝﹣x2+16， ∴﹣﹣x2＝﹣16， ∴x2＝16×， ∴x＝±24， ∴E（24，0），D（﹣24，0）， ∴OE＝OD＝24， ∴DE＝OD+OE＝24+24＝48， 故答案为：48． 【点评】本题主要考查二次函数综合应用的知识点，解答本题的关键是正确地建立平面直角坐标系，此题难度一般，是一道非常好的试题． 16．一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是4m时，拱顶距离水面是2m．当水面下降1m后，水面宽度是 　2　m．（结果保留根号） 【考点】二次函数的应用．版权所有 【分析】根据题意，建立合适的平面直角坐标系，然后求出抛物线的解析式，再将y＝﹣3代入函数解析式，求出x的值，然后即可求得水面下降1m后，水面宽度． 【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示， 设该抛物线的解析式为y＝ax2， 由题意可知：点（2，﹣2）在该函数图象上， ∴﹣2＝a×22， 解得a＝﹣， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2， 当y＝﹣3时，﹣3＝﹣x2， 解得x1＝﹣，x2＝， ∴当水面下降1m后，水面宽度是：﹣（﹣）＝+＝2（m）， 故答案为：2． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． 17．超市销售的某商品进价10元/件．在销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝﹣5x+150（10≤x≤30），则利润w和售价x之间的函数关系为 　w＝﹣5x2+200x﹣1500（10≤x≤30）　，该商品售价定为 　20　元/件时，每天销售该商品获利最大． 【考点】二次函数的应用．版权所有 【分析】根据利润＝每件商品利润×销售量，可得利润w和售价之间的函数关系式；利用配方法，求所得二次函数的最大值即可得出结论． 【解答】解：∵某商品进价10元/件，售价x元/件， ∴每件商品的利润为：（x﹣10）元； ∵销售量y（件）为：y＝﹣5x+150（10≤x≤30）， ∴利润w和售价x之间的函数关系为：w＝（x﹣10）（﹣5x+150）（10≤x≤30）， ∴w＝﹣5x2+200x﹣1500（10≤x≤30）； ∴w＝﹣5（x﹣20）2+500， ∵﹣5＜0， ∴当x＝20时，w取最大值，最大值为500； 故答案为：w＝﹣5x2+200x﹣1500（10≤x≤30）；20． 【点评】此题考查二次函数的应用，正确读懂题意、列出函数关系式，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 18．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80m，高度为200m．则离地面150m处的水平宽度（即CD的长）为 　40m　． 【考点】二次函数的应用．版权所有 【分析】先建立平面直角坐标系，然后根据题意，设出抛物线解析式，然后根据点（40，0）在抛物线上，可以求出抛物线解析式，再将y＝150代入求出x的值，即可得到CDD的值． 【解答】解：如图，建立平面直角坐标系， 设该抛物线的解析式为y＝ax2+200， 由图可知：点（40，0）在该抛物线上， ∴0＝a×402+200， 解得a＝﹣， ∴y＝﹣x2+200， 当y＝150时，150＝﹣x2+200， 解得x1＝﹣20，x2＝﹣20， ∴点C的坐标为（﹣20，150），点D的坐标为（20，150）， ∴CD＝20﹣（﹣20）＝20+20＝40， 故答案为：40m． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 三．解答题 19．某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为7m，篮圈距地面3m，问此球能否准确投中？ 【考点】二次函数的应用．版权所有 【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+4，根据待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）令x＝7，求出y的值，得出点的坐标，进而即可作出判断． 【解答】解：（1）根据题意结合图形可得，球出手时的坐标为（0，），抛物线的顶点坐标为（4，4）， 设抛物线解析式为：y＝a（x﹣4）2+4， 将点（0，）代入y＝a（x﹣4）2+4可得： ＝16a+4， ∴a＝﹣， 则抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣4）2+4； （2）令x＝7，则y＝﹣×9+4＝3， 即点（7，3）在抛物线上， 所以此球能准确投中． 【点评】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是利用待定系数法求出抛物线解析式． 20．某商场计划用5400元购买一批商品，若将进价降低10%，则可以多购买该商品30件．市场调查反映：售价为每件25元时，每天可卖出250件．如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件． （1）求该商品原来的进价； （2）在进价没有改变的条件下，若每天所得的销售利润2000元时，且销量尽可能大，商品的售价是多少元； （3）在进价没有改变的条件下，商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案． 方案A：每件商品涨价不超过5元；方案B：每件商品的利润至少为16元． 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由． 【考点】二次函数的应用．版权所有 【分析】（1）利用销量×每件利润＝总利润，进而求出即可； （2）利用二次函数的性质得出销售单价； （3）分别求出两种方案的最值进而比较得出答案． 【解答】解：（1）设该商品原来的进价为x元． 由题意：+30＝，解得x＝20， 答：该商品原来的进价为20元． （2）设提价x元， 根据题意得：（25+x﹣20）（250﹣10x）＝2000， 解得x＝15或5， ∵销量尽可能大， ∴x＝5， ∴商品的售价是每件30元． （3）w＝（25+x﹣20）（250﹣10x）＝﹣10x2+200x+1250＝﹣10（x﹣10）2+2250（0≤x≤25）； ∵﹣10＜0， 抛物线对称轴是直线x＝10，开口向下，对称轴左侧w随x的增大而增大，对称轴右侧w随x的增大而减小， 方案A：根据题意得，x≤5，则0≤x≤5， 当x＝5时，利润最大， 最大利润为w＝﹣10×52+200×5+1250＝2000（元）， 方案B：根据题意得，25+x﹣20≥16， 解得：x≥11， 则11≤x≤25， 故当x＝11时，利润最大， 最大利润为w＝﹣10×112+200×11+1250＝2240（元）， ∵2240＞2000， ∴综上所述，方案B最大利润更高． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用函数性质得出最值是解题关键． 21．在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6米，距地面均为1米，绳的最高点距离地面的高度为4米，以水平地面为x轴，垂直于地面且过绳子最高点的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图． （1）求抛物线的函数表达式； （2）身高为1.57米的小明此时进入跳绳，他站直时绳子刚好通过他的头顶，小明与甲的水平距离小于小明与乙的水平距离，求小明离甲的水平距离． 【考点】二次函数的应用．版权所有 【分析】（1）在平面直角坐标系中找出抛物线经过的点的坐标，利用待定系数法求解； （2）将y＝1.57代入抛物线的函数表达式，求出对应的x的值，再根据“小明与甲的水平距离小于小明与乙的水平距离”得出小明所在位置的横坐标，即可求解． 【解答】解：（1）由题意知，抛物线经过点，，（0，4），即（﹣3，1），（3，1），（0，4）， 设抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx+c， 则， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）将y＝1.57代入，得， 解得x＝±2.7， ∵小明与甲的水平距离小于小明与乙的水平距离， ∴x＝﹣2.7，﹣2.7﹣（﹣3）＝0.3（m）， ∴小明离甲的水平距离为0.3m． 【点评】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，正确求出抛物线的函数表达式． 22．如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点时，高度为2.88m，即BA＝2.88m，这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2． （1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式＜不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由． （2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：≈取1.4） 【考点】二次函数的应用．版权所有 【分析】（1）求出抛物线表达式；再确定x＝9和x＝18时，对应函数的值即可求解； （2）当y＝0时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），求出PQ＝6＝8.4，即可求解． 【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88， 将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a＝﹣， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣7）2+2.88； 当x＝9时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24， 当x＝18时，y＝﹣（x﹣7）2+2.88＝0.46＞0， ∴这次发球过网，但是出界了； （2）如图，分别过点O，P作边线的平行线交于点Q， 在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17， 当y＝0时，﹣（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5）， ∴OP＝19， 而OQ＝17， 故PQ＝6≈8.4， ∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1， ∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，关键是弄清楚题意，明确变量的代表的实际意义． 23．高楼火灾越来越受到重视，某区消防中队开展消防技能比赛，如图，在一废弃高楼距地面10m的点A和其正上方点B处各设置了一个火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为12m．待A处火熄灭后，消防员退到点D处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到达点B处，已知点D到高楼的水平距离为12m，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为3m．建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； （2）若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，求A、B之间的距离； （3）若消防员站在到高楼水平距离为9m的地方，想要扑灭距地面高度12～18m范围内的火苗，当水流最高点到高楼的水平距离始终为3m时，直接写出a的取值范围． 【考点】二次函数的应用．版权所有 【分析】（1）根据第一次灭火时水流最高点的坐标为（3，12），设水流所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+12，将点A（0，10）代入解析式解答即可； （2）根据两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，且水流的最高点到高楼的水平距离均为3米，可设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为，将点（12，0）代入即可解答； （3）由题意可知灭火过程中y与x始终满足y＝a（x﹣3）2+h，将（9，0）代入后可得0＝36a+h，解得h＝﹣36a，从而确定y＝a（x﹣3）2﹣36a，把点（0，12）和点（0，18）代入求得取值范围即可． 【解答】解：（1）由题意可知：第一次灭火时水流最高点的坐标为（3，12）， 设水流所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+12， ∵点A（0，10）在抛物线上， ∵10＝a（0﹣3）2+12， 解得：， ∴， 答：消防员第一次灭火时水流所在抛物线解析式为：； （2）两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，且水流的最高点到高楼的水平距离均为3米， ∴可设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为， ∵由题意可知该抛物线过点（12，0）， ∴， 解得：c＝18， ∴， 令x＝0，则y＝16， ∴B（0，16）， ∵A（0，10）， ∴AB＝16﹣10＝6， 答：A、B之间的距离为6m； （3）由题意可知：灭火过程中y与x始终满足y＝a（x﹣3）2+h， 将（9，0）代入后可得0＝36a+h， ∴h＝﹣36a， ∴y＝a（x﹣3）2﹣36a， 当抛物线过点（0，12）时，12＝a（0﹣3）2﹣36a， 解得：； 当抛物线过点（0，18）时，18＝a（0﹣3）2﹣36a， 解得：a＝﹣； ∴﹣≤a≤； 答：当水流最高点到高楼的水平距离始终为3m时，求a的取值范围是﹣≤a≤． 【点评】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$