21.4 圆周角（圆周角定理及其推论、圆内接四边形）（教学课件）数学北京版九年级上册

21.4 圆周角 主讲： 京改版九年级上册 第22章 圆（下） 章节导入 圆心角：顶点在圆心的角. 定理：圆心角度数等于它所对弧的度数. 圆心角度数 弧的度数 思路： 转化 什么是圆心角？如何求出这个圆心角的度数？ 学习目标 目标 1 目标 2 1.掌握理解圆周角的定理； 2.掌握理解圆周角的定理及其推论； 自学指导 仔细阅读教材P123---P127。用5分钟的时间看谁又快又好地解决以下问题： 1.什么是圆周角？ 2.圆周角定理和推论有哪些？ 如果只改变圆心角 顶点的位置，除了圆心外还可以在哪里？ 实践 探究新知 顶点C在圆上 顶点C在圆内（不含圆心） 什么是圆周角？ 圆周角： 顶点在圆上，且两边都与圆相交的角. √ 判断：下列各图中的角是不是圆周角，并说理. （1） （2） （4） （3） （5） 顶点在圆内 顶点在圆外 两条边都不和圆相交 顶点在圆上，且两边都与圆相交. 一边不和圆相交 典型例题 × × × × 一条弧所对的圆周角有无数个. 画图：画出 所对圆周角，可以画几个？ 从圆心与圆周角的位置关系分类： 圆心在角的边上 圆心在角的内部 圆心在角的外部 图1 图2 图3 思考：如何对这些圆周角进行分类，分类的标准是什么？画图说明. 猜想：圆周角度数和谁有关系，有什么关系？ （1）与它所对弧的度数有关. （2）与同弧上的圆心角度数有关. 分类 圆周角∠C 圆心角∠AOB 弧 关系 圆心在角的边上 圆心在角的内部 圆心在角的外部 分别测量所画的三种情况圆周角、圆心角的度数，猜想它们的关系. 猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 44° 50° 35° 88° 100° 70° 88° 100° 70° 如何证明猜想？已知、求证分别是什么？ 求证： . 图1 图2 图3 已知：在⊙O中 . 所对的圆周角是 ， 圆心角是 证明： （1）圆心O在∠ACB的边上 . 即 图1 . ∴ ， ∵ ， ∠AOB是∆BOC的外角 ∵ . ∴ 第一种情况： 圆心在圆周角的边上 分解 分解 图2 第二种情况： 圆心在圆周角的内部 （2）圆心O在∠ACB内部 作直径CD， 证明： 图2 由（1）中的结果，有 ∠ACD=，∠BCD= ∴∠ACD+∠BCD= 即∠ACB= 第三种情况： 圆心在圆周角的外部 图1 转化 作直径 图3 分解 分解 图3 （3）圆心O在∠ACB外部 证明： 图3 作直径CD， 由（1）中的结果，有 ∠ACD=，∠BCD= ∴∠BCD-∠ACD= 即∠ACB= 图1 图3 图2 圆心在圆周角的外部 圆心在圆周角的内部 圆心在圆周角的边上 综上所述， . 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. . 所对的圆周角是∠C ， 圆心角是∠AOB ， ∵ ∴ 知识要点 圆周角定理 知识要点 圆心角 圆周角 顶点在圆心的角. 顶点在圆上， 且两边都和圆 相交的角. 圆心角度数等于它所对弧的度数. 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角（弧的度数）的一半. 与圆有关的角 定义 图形 定理 三者的关系 请同学们在笔记本上画⊙O，并画出 所对的圆心角及圆周角. 一条弧所对的圆心角只有一个， 所对的圆周角有无数个. 所对的圆周角，即∠C 和∠D的大小有什么关系？ 结论：同弧所对的圆周角相等. 等弧所对的圆周角是否也相等？ 结论：同弧或等弧所对的圆周角相等. 等弧所对的圆周角是否也相等？ 结论：同弧或等弧所对的圆周角相等. 相等的圆周角所对的弧是否也相等？ 结论：在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. 相等的圆周角所对的弧是否也相等？ 图1 图2 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中,相等的圆周角所 对的弧相等. ∵ , 在⊙O中 ∵∠ E=∠F ， ∴∠E=∠F. ∴ . 反之： 符号语言： 已知：如图，A，B，C，D为⊙O上的四个点，点E为DC延长线上的一点，求证： （1）∠BCD+∠A＝180°； （2）∠ABC+∠ADC＝180°． 证明：（1）连接OB、OD， ∠BCD∠BOD， ∠A∠BOD， ∴∠BCD+∠A360°＝180°； （2）同理可证：∠ABC+∠ADC＝180°． 典型例题 四个顶点均在同一个圆上的四边形，叫做这个圆的内接四边形. 知识要点 圆的内接四边形 推论2：圆内接四边形对角互补. ∵四边形ACBD是圆内接四边形， 符号语言： ∠C 和∠D有可能相等吗？什么时候相等？ AB是圆的直径 （半圆） ∴∠C +∠D=180° 推论3：半圆（或直径）所对的圆周角是直角. AB是圆的直径 （半圆） ∵AB是⊙O的直径， ∴∠C =90°. 符号语言： ∵ A，B，C 都在⊙O上 且∠C =90°， ∴ AB是⊙O的直径. AB是圆的直径 （半圆） 推论4：90°的圆周角所对的弦是直径. 符号语言： 已知：如图，CD为⊙O的直径，AC，AE分别交⊙O于B，D两点，∠A＝23°，∠BED＝21°，求∠DCE的度数． 解：∵∠A＝23°，∠BED＝21°， ∴∠CBE＝∠A+∠BED＝44°， ∴∠CDE＝∠CBE＝44°， ∵CD是圆的直径， ∴∠CED＝90°， ∴∠DCE＝90°﹣∠CDE＝46°． 典型例题 如图，已知在⊙O中，直径AB＝10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线CD交⊙O于D，求BC、AD、BD的长． 解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∵AB＝10cm，AC＝6cm， ∴BC8（cm）， ∵∠ACB的平分线CD交⊙O于点D， ∴，∴AD＝BD， ∴∠BAD＝∠ABD＝45°， ∴AD＝BD＝AB•cos45°＝105（cm） 典型例题 推论2：圆内接四边形对角互补. 推论3：半圆（或直径）所对的圆周角是直角. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中,相等的圆周角所 对的弧相等. 推论4：90°的圆周角所对的弦是直径. 知识要点 ，AD=CD. ∠1=∠2=∠3=∠4 ， = （2）若∠1=∠2，你还能从图中找出哪些相等的量？ （1）∠1=∠ ；∠2= ∠ . 3 4 1.已知：A，B，C，D是⊙O上的四个点， 基础检测 （3）若AC是直径，∠1=∠2，那么∠3= °. 45 （4）若∠1+∠2=∠BAD=90°，那么AC______BD （填“>”、“<”、“=”）. = 1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABC＝60°，则∠D的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 2．如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，⊙O的半径为1，圆心O在格点上，则tan∠EDB等于（　　） A．1 B． C． D． 一展身手 B A 挑战自我 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠PBC＝∠C．（1）求证：CB∥PD； （2）若BC＝12，BE＝8，求⊙O的半径． （1）证明：∵∠P＝∠C，∠PBC＝∠C， ∴∠P＝∠PBC，∴CB∥PD； （2）解：如图所示，连接CO， 设OC＝OB＝x，则OE＝OB﹣BE＝（x﹣8）， 在Rt△COE中：由勾股定理得CE2＝CO2﹣OE2， 在Rt△CBE中：由勾股定理得CE2＝BC2﹣BE2， ∴x2﹣（x﹣8）2＝122﹣82，解得x＝9 ∴⊙O的半径为9． 课堂小结 圆周角 顶点在圆上，且两边都与圆相交的角. 2.圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 1.圆周角： 推论2：圆内接四边形对角互补. 推论3：半圆（或直径）所对的圆周角是直角. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. 推论4：90°的圆周角所对的弦是直径. 3.圆周角定理推论： 主讲： 感谢聆听 京改版九年级上册 $$