精品解析：广西柳州市2024-2025学年九年级上学期期中数学模拟试题

广西柳州市2024-2025学年九年级上学期期中数学模拟试题 注意事项： 第I卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题 1. 第届亚洲杯足球赛将于年在中国举办．以下是四届亚洲杯会徽的部分图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 3. 从 1 到 9这9个自然数中任取一个，是偶数的概率是（　　） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，圆心在原点O，则P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（   ） A. ⊙O上 B. 在⊙O内 C. 在⊙O外 D. 不能确定 5. 将二次函数的图象向右平移2个单位长度得到的新图象的表达式为（　　） A. B. C. D. 6. 利用配方法解一元二次方程时，将方程配方为，则、的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 向空中发射一枚炮弹，经过秒后的高度为米，且时间与高度的关系为（），若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ） A. 第8秒 B. 第10秒 C. 第12秒 D. 第15秒 8. 下列事件中属于必然事件是（ ） A. 等腰三角形的三条边都相等 B. 两个偶数的和为偶数 C. 任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上 D. 立定跳远运动员的成绩是 9. 若x支球队参加篮球比赛，共比赛了36场，每2队之间比赛一场，则下列方程中符合题意的是　　 A B. C. D. 10. 平面直角坐标系中，已知二次函数的部分图象如图所示，给出下面三个结论： ①；② 二次函数有最大值4；③ 关于x的方程有两个实数根，．上述结论中，所有正确结论的序号是（　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 11. 一副直角三角板，按如图所示的方式叠放在一起，其中，，若，则（ ） A. B. C. D. 12. 如图所示，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______ 14. 在一个不透明的布袋中，有红球、白球共20个，它们除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，则随机从口袋中摸出一个球是红球的概率是________． 15. 某圆锥底面圆的半径5，其侧面积为，则此圆锥的母线长是____________. 16. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根． （1）k的值为 _____； （2）两个根的积为 _____． 17. 如图，量角器直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发绕点C沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第10秒时，点E在量角器上对应的读数是_____度． 18. 如图，在矩形中，是边上的点，经过三点的与相切于点．若，，则的半径是__________． 三、解答题 19. 解方程 （1）（公式法） （2） 20. 已知二次函数的图像经过，两点． （1）求和的值； （2）试判断点是否在此函数图像上？ 21. 在平面直角坐标系中，、、，，． （1）如图，求点D的坐标； （2）如图，点F在BC上，若，△CEF的面积为S，请用含t的代数式表示S； （3）如图，在（2）的条件下，点G在AB上，点H在CD的延长线上，连接GF、GH，若，，．求线段EF的长． 22. 如图，在中，，点在边上不与点，重合，将线段绕点顺时针旋转，连接． （1）根据题意补全图形，并证明：； （2）取的中点，连接，用等式表示线段与之间的数量关系 23. 某学校为增进学生的体质，对每个学生只选一个拿手体育项目进行测试，李平就本班同学“自己选测的体育项目”进行了一次调查统计，下面是他通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答以下问题： （1）该班共有___________名学生，选测“其他”的学生有___________名，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“排球”部分所对应的圆心角度数为多少？ （3）若全校有3000名学生，请计算出全校“其他”部分的学生人数． 24. 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若x1+x2﹣x1x2＝1，计算m的值． 25. 拋物线分别交轴于点,交轴于点.抛物线的对称轴与轴相交于点,直线与抛物线的对称轴相交于点. （1）直接写出抛物线的解折式和点的坐标； （2）如图1,点为线段上的动点,点为线段上的动点,且.在点,点移动的过程中,是否有最小值？如果有,请求出最小值； （3）以点为旋转中心,将直线绕点逆时针旋转,旋转角为 ()，直线旋转时,与抛物线的对称轴相交于点,与抛物线的另一个交点为点. ①如图2,当直线旋转到与直线重合时,判断线段的数量关系?并说明理由 ②当为等腰三角形时,请直按写出点的坐标. 26. 某市调整出租车运价，调整方案见表格及图象（其中，，为常数）． 行驶路程 收费标准 调价前 调价后 不超过的部分 起步价元 起步价 元 超过不超出的部分 每公里元 每公里元 超出的部分 每公里元 设行驶路程时，调价前的运价（元），调价后的运价为（元）．如图，折线表示与之间的函数关系式，线段表示当时，与的函数关系式，根据图表信息，完成下列各题： 填空：________，________，________； 写出与之间的函数关系式； 写出当时，与的函数关系式，并在上图中画出其图象； 求在什么情况下调整后运价比调整前的运价低． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广西柳州市2024-2025学年九年级上学期期中数学模拟试题 注意事项： 第I卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题 1. 第届亚洲杯足球赛将于年在中国举办．以下是四届亚洲杯会徽的部分图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义，即可 【详解】A、 属于中心对称图形，符合题意； B、 属于轴对称图形，故不符合题意； C、 不是中心对称，故不符合题意； D、 不是中心对称，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查中心对称图形的知识，解题的关键是学会识别中心对称图形． 2. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、，化简后为，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意； B、，当时，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意； C、含有2个未知数，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意； D、是关于x的一元二次方程，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 3. 从 1 到 9这9个自然数中任取一个，是偶数的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵在1到9这9个自然数中，偶数共有4个， ∴从这9个自然数中任取一个，是偶数的概率为：. 故选B. 4. 在平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，圆心在原点O，则P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（   ） A. 在⊙O上 B. 在⊙O内 C. 在⊙O外 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【详解】∵点P的坐标为（-3，4）， ∴由勾股定理可得：OP=， 又∵⊙O的半径为5， ∴点P在⊙O上． 故选A． 【点睛】本题考查了点与圆的位置根据．点和圆的位置关系是由点到圆心的距离和圆的半径间的大小关系确定的：（1）当时，点在圆外；（2）当时，点在圆上；（3）当时，点在圆内． 5. 将二次函数的图象向右平移2个单位长度得到的新图象的表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象平移的问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位长度得到的新图象的表达式为， 故选：C． 6. 利用配方法解一元二次方程时，将方程配方为，则、的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据配方法的一般步骤将常数项7移项后，再等式两边同时加上一次项系数-6的一半的平方，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴，． 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点是用配方法解一元二次方程，熟记配方法的一般步骤是解此题的关键． 7. 向空中发射一枚炮弹，经过秒后的高度为米，且时间与高度的关系为（），若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ） A. 第8秒 B. 第10秒 C. 第12秒 D. 第15秒 【答案】B 【解析】 【分析】本题需先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时的值． 【详解】解：∵此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴是：， ∴炮弹所在高度最高时： 时间是第10秒． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的关键． 8. 下列事件中属于必然事件的是（ ） A. 等腰三角形的三条边都相等 B. 两个偶数的和为偶数 C. 任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上 D. 立定跳远运动员的成绩是 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、等腰三角形的三条边都相等，不是必然事件，不符合题意； B、两个偶数的和为偶数，是必然事件，符合题意； C、任意抛一枚均匀硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意； D、立定跳远运动员的成绩是，是不可能事件，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 9. 若x支球队参加篮球比赛，共比赛了36场，每2队之间比赛一场，则下列方程中符合题意的是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可以列出相应的方程，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得，， 故选C． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 10. 平面直角坐标系中，已知二次函数的部分图象如图所示，给出下面三个结论： ①；② 二次函数有最大值4；③ 关于x的方程有两个实数根，．上述结论中，所有正确结论的序号是（　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数图象的性质等等，根据开口向下可得，根据对称轴为直线得到，由此可判断①；根据顶点坐标为，即可判断②；根据对称性求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，即可判断③。 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵二次函数对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由函数图象可知，该二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数有最大值4，故②正确； ∵二次函数与x轴的一个交点坐标为， ∴由对称性可知，二次函数与x轴的另一个交点坐标为， ∴关于x的方程有两个实数根，，故③正确； 故选D. 11. 一副直角三角板，按如图所示的方式叠放在一起，其中，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，平行的性质，外角的性质，根据熟悉相关性质是解题的关键． 【详解】由三角板可知，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 12. 如图所示，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形外接圆的作法，先做出过A，B，C三点的△ABC的外接圆，从而得出答案． 【详解】解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的△ABC的外接圆， 由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点， 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形外接圆的确定，熟练掌握圆上各点到圆心的距离相等得出其外接圆是解题的关键． 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 二、填空题 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数进行求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键． 14. 在一个不透明的布袋中，有红球、白球共20个，它们除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，则随机从口袋中摸出一个球是红球的概率是________． 【答案】25% 【解析】 【分析】根据频率与概率的关系解答． 【详解】解：根据频率与概率的关系可得所求概率即为25%， 故答案为：25% ． 【点睛】本题考查用频率估计概率，正确理解用频率估计概率的意义和方法是解题关键． 15. 某圆锥底面圆的半径5，其侧面积为，则此圆锥的母线长是____________. 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积；设母线长为l，根据圆锥侧面积公式建立方程即可求解． 【详解】解：设母线长为l， 由题意得：， 解得：； 故答案为：6． 16. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根． （1）k的值为 _____； （2）两个根积为 _____． 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】（1）若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式，建立关于k的方程，即可求出k的值； （2）利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴且， 解得，； 故答案为：； （2）关于x的一元二次方程是，即， ∴两个根的积为1． 故答案为： 1． 【点睛】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）的根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．同时考查了根与系数的关系． 17. 如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发绕点C沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第10秒时，点E在量角器上对应的读数是_____度． 【答案】60 【解析】 【分析】易得：点C和弧AEB都在以AB为直径的圆上，∠ACP＝30°，由∠AOE＝2∠ACO，即可得到答案. 【详解】∵∠ACB＝90°， ∴点C和弧AEB都在以AB为直径的圆上， ∵第10秒时，∠ACP＝10秒×3°/秒＝30°， ∴∠AOE＝2∠ACO＝60°， 即点E在量角器上对应的读数是60度． 故答案为60． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键. 18. 如图，在矩形中，是边上的点，经过三点的与相切于点．若，，则的半径是__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长，交于，过点作于，连接，证得四边形是矩形，得到，，由，得到四边形是矩形，四边形是矩形，推出，由勾股定理，得到，求出即可． 【详解】解：连接并延长，交于，过点作于，连接， ∵与相切于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴ 解得 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆的垂径定理及切线的性质定理，矩形的判定及性质，勾股定理，熟记各定理并熟练应用是解题的关键． 三、解答题 19. 解方程 （1）（公式法） （2） 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】（1）将方程整理成一般形式，然后求出的值，代入公式求解即可； （2）利用平方差公式进行因式分解，即可得到两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：（1）原方程可化为 ， ∴， ∴， （2） ∴2(x+3)+3(x-3)=0或2(x+3)-3(x-3)=0 ∴， 【点睛】本题考查了解一元二次方程，因式分解．能灵活运用公式法和因式分解法是解题的关键． 20. 已知二次函数的图像经过，两点． （1）求和的值； （2）试判断点是否在此函数图像上？ 【答案】（1） （2）不在 【解析】 【分析】（1）已知了抛物线上两点的坐标，可将其代入抛物线中，通过联立方程组求得、的值； （2）将点坐标代入抛物线的解析式中，即可判断出点是否在抛物线的图象上． 【小问1详解】 解：把，两点代入二次函数得 ， 解得，； 【小问2详解】 解：由（1）得， 把代入，得， 点在不在此函数图象上． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键． 21. 在平面直角坐标系中，、、，，． （1）如图，求点D坐标； （2）如图，点F在BC上，若，△CEF的面积为S，请用含t的代数式表示S； （3）如图，在（2）的条件下，点G在AB上，点H在CD的延长线上，连接GF、GH，若，，．求线段EF的长． 【答案】（1）点D（-2，4）；（2）S△EFC=；（3）EF=． 【解析】 【分析】（1）由，．可得四边形ABCD为平行四边形，可得点D的纵坐标与点C的纵坐标相同，可求点D的纵坐标为4，设点D的横坐标为,列方程5-=2-(-5)解之即可； （2）连结EB，过E作EH⊥BC与H，过B作BG⊥EC与G，由、，根据勾股定理可求BC=，可得CF=CB-BF=5-t，EC=5=BC，BM=OE=4，利用面积S△EBC=，可求，利用面积公式S△EFC=； （3）过BR⊥EC于R，FT⊥EC于T，延长TF交x轴于S，由HD=CF=5-t，D（-2，4），可得H（5-t，4），由AG=BF=t，可得G（t-5，0），设FS=m，TF=4-m，FB=t，CF=5-t，由勾股定理TC=，BS=，由TC+BS=3，可得+=3，解得m=，可求BS==，点F，在Rt△HGF中，∠HCF=90°，由勾股定理HG2+GF2=HF2，20+=，解得，可得F，EF=即可． 【详解】解：（1）∵，． ∴四边形ABCD为平行四边形， 点D的纵坐标与点C的纵坐标相同， ∴点D的纵坐标为4， 设点D的横坐标为, 则5-=2-(-5)， 解得=-2, ∴点D（-2，4）； （2）连结EB，过E作EH⊥BC与H，过B作BG⊥EC与G， ∵点E在y轴上， ∴E（0，4）， ∵、， ∴BC=， ∴CF=CB-BF=5-t， ∵EC=5=BC，BM=OE=4， ∴S△EBC=， ∴， ∴， ∴S△EFC=； （3）过BR⊥EC于R，FT⊥EC于T，延长TF交x轴于S， ∵HD=CF=5-t，D（-2，4）， ∴H（5-t，4）， ∵AG=BF=t， ∴G（t-5，0）， 设FS=m，TF=4-m，FB=t，CF=5-t， ∴TC=，BS=， ∵TC+BS=3， ∴+=3， ∴（）2=（3-）2， 整理得-6， ∴36（t2-m2）=（8m-10t）2， 解得m=， ∴BS==， 点F， 在Rt△HGF中，∠HCF=90°， ∴HG2+GF2=HF2， HG= GF=， HF=， ∴20+=， 解得 ，， ∴F， ∴ET=，FT=4-， ∴EF=． 【点睛】本题考查平行四边形判定与性质，勾股定理，等腰三角形判定与性质，三角形面积，利用线段和差建构方程，解无理方程，掌握平行四边形判定与性质，勾股定理，等腰三角形判定与性质，三角形面积，利用线段和差建构方程，解无理方程是解题关键． 22. 如图，在中，，点在边上不与点，重合，将线段绕点顺时针旋转，连接． （1）根据题意补全图形，并证明：； （2）取的中点，连接，用等式表示线段与之间的数量关系 【答案】（1）见解析 （2）．见解析 【解析】 【分析】（1）先根据题意，画出图形，然后根据旋转的性质以及等角的余角相等，即可求解． （2）证明，根据相似三角形的性质，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：图形如图所示； ， ，， ； 【小问2详解】 解：结论：． 理由：连接． ，， ， 将线段绕点顺时针旋转， ， 是等腰直角三角形， 是边上的中线 则是等腰直角三角形， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 23. 某学校为增进学生的体质，对每个学生只选一个拿手体育项目进行测试，李平就本班同学“自己选测的体育项目”进行了一次调查统计，下面是他通过收集数据后，绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答以下问题： （1）该班共有___________名学生，选测“其他”的学生有___________名，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“排球”部分所对应的圆心角度数为多少？ （3）若全校有3000名学生，请计算出全校“其他”部分的学生人数． 【答案】（1）50；10；见解析 （2） （3）600 【解析】 【分析】（1）用跳绳人数为15人占总人数的求出该班人数，求出选测跳远的人数，然后再求出选测“其他”的学生人数，然后补全条形统计图即可； （2）用360度乘“排球”部分所占的百分比求出“排球”部分所对应的圆心角度数即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：全班总人数为：（人）， 选测跳远的人数为：（人）， 选测“其他”的学生有：（人）， 补全条形统计图，如图所示： 故答案为：50；10． 【小问2详解】 解：在扇形统计图中，“排球”部分所对应的圆心角度数为： ． 【小问3详解】 解：（人）． 答：全校“其他”部分的学生人数为600人． 【点睛】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，解题的关键是数形结合，熟练掌握扇形统计图和条形统计图的特点． 24. 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若x1+x2﹣x1x2＝1，计算m的值． 【答案】（1）m≤4；（2）3 【解析】 【分析】（1）由方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系即可得出x1+x2＝4，x1x2＝m，代入x1+x2﹣x1x2＝1，得到4﹣m＝1，解得m＝3． 【详解】解：（1）∵方程有两个实数根， ∴Δ＝16﹣4m≥0， ∴m≤4； （2）由根与系数的关系，得：x1+x2＝4，x1x2＝m， ∵x1+x2﹣x1x2＝1， ∴4﹣m＝1， ∴m＝3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程有两个不相等的实数根找出（2）根据根与系数的关系得到关于m的方程． 25. 拋物线分别交轴于点,交轴于点.抛物线对称轴与轴相交于点,直线与抛物线的对称轴相交于点. （1）直接写出抛物线的解折式和点的坐标； （2）如图1,点为线段上的动点,点为线段上的动点,且.在点,点移动的过程中,是否有最小值？如果有,请求出最小值； （3）以点为旋转中心,将直线绕点逆时针旋转,旋转角为 ()，直线旋转时,与抛物线的对称轴相交于点,与抛物线的另一个交点为点. ①如图2,当直线旋转到与直线重合时,判断线段的数量关系?并说明理由 ②当为等腰三角形时,请直按写出点的坐标. 【答案】（1），；（2）有最小值，；（3）①，见解析；②的坐标分别为，. 【解析】 【分析】⑴用待定系数法可得抛物线的解析式为：； 根据对称轴求法，可得. ⑵根据三角函数即可解得； ⑶①设直线的解析式为，由待定系数法可得直线的解析式为，再根据三角函数即可得到答案； ②根据等腰三角形的性质即可得到答案. 【详解】解：⑴因为拋物线分别交轴于点,用待定系数法可得 ，解得抛物线的解析式为：； 由抛物线的对称轴与轴相交于点,根据对称轴求法，可得. ⑵在移动的过程中，有最小值. ∵ ∴中，，∴， ∵，∴， 过点作，交于点， 根据垂线段最短，的长就是的最小值. ∵，，∴ ∴在中，. ⑶① 理由如下：设直线的解析式为 将，代入 于是得 ，解得 ∴直线的解析式为， ∵点，∴点，∴ ∵，∴ ∴在中，由⑵得， ∴，∴， ∴ ∴. ②当为等腰三角形时点的坐标分别为，. 【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、三角函数和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式. 26. 某市调整出租车运价，调整方案见表格及图象（其中，，为常数）． 行驶路程 收费标准 调价前 调价后 不超过的部分 起步价元 起步价 元 超过不超出的部分 每公里元 每公里元 超出的部分 每公里元 设行驶路程时，调价前的运价（元），调价后的运价为（元）．如图，折线表示与之间的函数关系式，线段表示当时，与的函数关系式，根据图表信息，完成下列各题： 填空：________，________，________； 写出与之间的函数关系式； 写出当时，与的函数关系式，并在上图中画出其图象； 求在什么情况下调整后的运价比调整前的运价低． 【答案】（1）7，，；（2）；（3），图详见解析；（4）当时是方案调价前运价低，当时是方案调价后运价低． 【解析】 【分析】（1）根据题意及图像直接可得、、的值； （2）由题及图像可知是分段函数，所以根据图像中出现的点的坐标直接分段去求出一次函数解析式即可； （3）设与的函数关系式：，由（1）可知k的值，然后由图像点的坐标代值求b即可； （4）由（2）、（3）可知的一次函数表达式，联立此两个一次函数解析式建立方程求解，即可知问题的答案． 【详解】解：， ， ； 故答案为：；；． 由图象可以得出，与的函数关系式为： 即 根据题意设一次函数表达式为． ，解得． ∴ ． ∴ 与之间的函数表达式为． 当时，， 当时，， ∴ 图象经过． 图象如下图所示： 由得知，当时，，， 令，即， 解得，， 交点为， 其意义为当时两种方案一样， 当时是方案调价前运价低，当时是方案调价后运价低． 【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用，关键是分析图像及题目中的表格，由此得出点的坐标进而求解分段函数及一次函数表达式，最后一问根据联立函数表达式求解问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$