精品解析：北师大版2023-2024学年八年级数学下册期中测试题

期中测试卷 （满分120分时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题每小题3分共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 5. 如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列三角形中可由△OBC平移得到的是（　　） A. △OCD B. △OAB C. △OAF D. △OEF 6. 如图，中，，AD平分，点E为AC的中点，连接DE，若的周长为26，则BC的长为　　 A. 20 B. 16 C. 10 D. 8 7. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转m°得到△EDC，若点A、D、E在同一直线上，∠ACB=n°，则∠ADC的度数是（　　） A. （m﹣n）° B. （90+n－m）° C. （90－n+m）° D. （180﹣2n﹣m）° 8. 用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A. B. C. D. 9. 如图所示，在中，，，MQ平分交PN于点Q，延长MN至点G，取，若，则NG的长是(　　 ) A. a B. C. D. 10. 如图，是等边的角平分线，，垂足为点E，线段的垂直平分线交于点P，垂足为F，若，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共8小题每小题4分共32分．本题要求把正确结果填在规定的横线上不需要解答过程） 11. 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设黑色部分的面积为S1，正方形的面积为S，则=__． 12. 已知不等式的解集为，则的取值范围是__________. 13. 如图，在中，的垂直平分线分别交于两点，的周长是25，则的周长为________． 14. 如图，函数和的图象相交于点A(1，2)，则不等式的解集是________． 15. 如图，把△ABC绕点A顺时针方向旋转36°得到△AB′C′，若B′C′正好经过B点，则∠ABC＝_____． 16. 如图所示，△ABC中，AB＝AC，过AC上一点E作DE⊥AC，EF⊥BC，垂足分别为E，F，若∠BDE＝140°，则∠DEF＝_____． 17. 如图，在中，于点于点且点是的中点，的周长是，则_____． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，点D为线段AB的中点，将线段BC绕点B顺时针旋转90°，得到线段BE，连接DE，则DE最大值是______．\ 三、解答题（本大题共8小题满分58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 小明解不等式的过程如图，请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程. 解：去分母得：……① 去括号得：……② 移项得：……③ 合并同类项得：……④ 两边都除以，得……⑤ 20. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，已知点，，. （1）将三角形先沿着轴负方向平移6个单位，再沿轴负方向平移2个单位得到三角形，在图中画出三角形； （2）直接写出点，，的坐标. 21. 如图，点D、E在△ABC边BC上，AD＝AE，BD＝CE． （1）求证：AB＝AC； （2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形． 22 如图所示，已知，平分，平分，求证：． 23. 随着人们生活水平不断提高，人们对生活饮用水质量要求也越来越高，更多的居民选择购买家用净水器．一商家抓住商机，从生产厂家购进了A，B两种型号家用净水器．已知购进2台A型号家用净水器比1台B型号家用净水器多用200元；购进3台A型号净水器和2台B型号家用净水器共用6600元， (1)求A，B两种型号家用净水器每台进价各多少元？ (2)该商家用不超过26400元共购进A，B两种型号家用净水器20台，再将购进的两种型号家用净水器分别加价50%后出售，若两种型号家用净水器全部售出后毛利润不低于12000元，求商家购进A，B两种型号家用净水器各多少台？(注：毛利润=售价-进价) 24. 如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点， （1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形； （2）如图2，CD与AB交点为F，若AD=BD，EF=3，DE=4，求CD的长． 25. 如图，在中，的延长线于E，的延长线于F，M为的中点，分别连接． （1）若，求的周长； （2）若，求的三个内角的度数． 26. 如图四边形是平行四边形，点P为边上一动点，连接并延长交的延长线于点M，过M作，垂足是 N，连接，，设点 P 运动时间为t（s）解答下列问题： （1）若，，，点 P 从点A 出发沿方向运动速度为．当t为何值时，四边形是平行四边形？ （2）在（1）条件下是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形？若存在求出相应的t的值；若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中测试卷 （满分120分时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题每小题3分共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据一元一次不等式的定义进行辨别．含有一个未知数并且未知数的次数是一次的不等式叫一元一次不等式． 【详解】解：A分母中含有未知数，所以不是一元一次不等式； B未知数的最高次数是2，所以不是一元一次不等式； C是二元一次不等式，所以不是一元一次不等式； Ｄ是一元一次不等式，所以D符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查一元一次不等式的识别，熟记一元一次不等式的定义是解本题的关键． 2. 下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意， B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意， C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意， D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意. 故选B． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，再画数轴表示即可. 【详解】， 2x≥1+1, 2x≥2, ∴x≥1, 在数轴上表示为： 故选A. 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键.去括号时，不要漏乘没有分母的项；系数化为1时，如果未知数的系数是负数，则不等号的方向要改变，如果系数是正数，则不等号的方不变. 不等式的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点. 4. 如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE＝DF＝4，再利用三角形面积公式和S△ADB＋S△ADC＝S△ABC得到×4×7＋×4×AC＝24，然后解一次方程即可． 【详解】作DF⊥AC于F，如图， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF＝4， ∵S△ADB＋S△ADC＝S△ABC， ∴×4×7＋×4×AC＝24， ∴AC＝5， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问题，属于中考常考题型． 5. 如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列三角形中可由△OBC平移得到的是（　　） A. △OCD B. △OAB C. △OAF D. △OEF 【答案】C 【解析】 【分析】利用正六边形的性质得到图中的三角形都为全等的等边三角形，然后利用平移的性质可对各选项进行判断． 【详解】解：∵O是正六边形ABCDEF的中心， ∴AD∥BC，AF∥CD∥BE， ∴△OAF沿FO方向平移可得到△OBC． 故选C． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 6. 如图，中，，AD平分，点E为AC的中点，连接DE，若的周长为26，则BC的长为　　 A. 20 B. 16 C. 10 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质可得，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】，AD平分， ， ， 点E为AC的中点， ． 的周长为26， ， ． 故选A． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 7. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转m°得到△EDC，若点A、D、E在同一直线上，∠ACB=n°，则∠ADC的度数是（　　） A. （m﹣n）° B. （90+n－m）° C. （90－n+m）° D. （180﹣2n﹣m）° 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质即可得到∠ACD和∠CAD的度数，再根据三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转m°得到△EDC． ∴∠DCE=∠ACB=n°，∠ACE=m°，AC=CE， ∴∠ACD=m°-n°， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴∠CAD=（180°-m°）， ∵在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°， ∴∠ADC=180°-∠CAD-∠ACD=180°-（180°-m°）-（m°-n°）=90°+n°-m°=（90+n-m）°， 故选B． 【点睛】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等． 8. 用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 9. 如图所示，在中，，，MQ平分交PN于点Q，延长MN至点G，取，若，则NG的长是(　　 ) A. a B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】∵在△PMN中，∠P=36°， ∴∠PMN=∠PNM=72°， ∵MQ平分∠PMN， ∴∠PMQ=36°， ∴∠P=∠PMQ， ∴PQ=QM， ∵NG=NQ， ∴∠G=∠NQG， ∵∠PNM=∠G+∠GQN=72°， ∴∠G=∠GQN=36°， ∴QN=NG， ∵PM=PN=12，MQ=a， ∴NG=QN=12-a， 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解决本题的关键． 10. 如图，是等边的角平分线，，垂足为点E，线段的垂直平分线交于点P，垂足为F，若，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度直角三角形的性质．连接，由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得，由是等边的角平分线，根据等边三角形的性质可得，，进而可得，然后由直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，可得，，然后由，可得，代入数据计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵线段的垂直平分线交于点P， ∴， ∴， ∵是等边的角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题每小题4分共32分．本题要求把正确结果填在规定的横线上不需要解答过程） 11. 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设黑色部分的面积为S1，正方形的面积为S，则=__． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形的边长为a，则正方形内切圆的直径为a，由正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，可得黑色部分的面积为S1=×圆的面积，分别求得S1和S，即可求得结论. 【详解】设正方形的边长为a，则正方形内切圆的直径为a， ∵正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称， ∴黑色部分的面积为S1=×圆的面积=π×（）2=， 正方形的面积为S=a2，所以. 故答案为． 【点睛】本题主要考查了正方形的内切圆，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键． 12. 已知不等式的解集为，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质，可知3-k<0,从而求出k的取值范围. 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴3-k<0 解得： 【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键. 13. 如图，在中，的垂直平分线分别交于两点，的周长是25，则的周长为________． 【答案】17 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线性质得出，，求出，，求出的周长为，代入求出即可． 【详解】解：的垂直平分线分别交、于，两点， ，， 即， 的周长为25， ， ， 的周长为， 故答案为：17． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能熟记线段垂直平分线性质定理的内容是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 14. 如图，函数和的图象相交于点A(1，2)，则不等式的解集是________． 【答案】x<1 【解析】 【分析】观察函数图象得到，当时，直线都在直线的下方，于是可得到不等式的解集． 【详解】由图象可知，在点左侧，的图象在下面， 即当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 15. 如图，把△ABC绕点A顺时针方向旋转36°得到△AB′C′，若B′C′正好经过B点，则∠ABC＝_____． 【答案】72° 【解析】 【分析】由旋转的性质可得AB＝AB'，∠ABC＝∠B'，∠BAB'＝36°，由等腰三角形的性质可得∠B'＝∠ABB'＝72°＝∠ABC． 【详解】解：∵把△ABC绕点A顺时针方向旋转36°得到△AB′C′， ∴AB＝AB'，∠ABC＝∠B'，∠BAB'＝36° ∴∠B'＝∠ABB'＝72°＝∠ABC 故答案为72° 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练旋转的性质是本题的关键． 16. 如图所示，△ABC中，AB＝AC，过AC上一点E作DE⊥AC，EF⊥BC，垂足分别为E，F，若∠BDE＝140°，则∠DEF＝_____． 【答案】65° 【解析】 【分析】由DE⊥AC，∠BDE＝140°，可计算出∠A，再利用等腰三角形的性质求出∠C，最后利用EF⊥BC及同角的余角相等得到∠DEF的度数． 【详解】解：∵DE⊥AC，∠BDE＝140°， ∴∠A＝50°， 又∵AB＝AC， ∴∠C＝＝65°， ∵EF⊥BC， ∴∠DEF＝∠C＝65°． 故答案为：65°． 【点睛】考查了垂直的性质，等腰三角形的性质和三角形的外角性质． 17. 如图，在中，于点于点且点是的中点，的周长是，则_____． 【答案】10 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得BF=CF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=BC，DE=DF=AB，再根据△DEF的周长求出DE，然后求解即可． 【详解】∵AB=AC，AF⊥BC， ∴BF=CF=BC=×6=3，EF=BC=3， ∵BE⊥AC，AF⊥BC，点D是AB的中点， ∴DE=DF=AB， ∵△DEF的周长是13， ∴DE=DF=×(13−3)=5， ∴AB=2DE=2×5=10． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和直角三角形的性质定理，掌握等腰三角形“三线合一”， 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，点D为线段AB的中点，将线段BC绕点B顺时针旋转90°，得到线段BE，连接DE，则DE最大值是______．\ 【答案】 【解析】 【分析】将线段BD绕点B顺时针旋转90°，得到线段BP，连接PE，PD，证明△CBD≌△EBP，可得PE=DB=1，DP=，根据PD+PE≥DE，即可得出DE的最大值． 【详解】如图，将线段BD绕点B顺时针旋转90°，得到线段BP，连接PE， PD， 则DB=PB，∠DBP=90°， ∵将线段BC绕点B顺时针旋转90°，得到线段BE， ∴BC=BE，∠CBE=90°， ∴∠CBD=∠EBP， ∴△CBD≌△EBP（SAS）， ∴PE=CD， ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，点D为线段AB的中点， ∴DB=CD=AB=1， ∴PE=1，PB=1， ∴DP=， ∵PD+PE≥DE， ∴DE≤+1， ∴DE最大值为+1， 故答案为+1． 【点睛】本题考查图形的旋转，解题的关键是掌握图形旋转的性质． 三、解答题（本大题共8小题满分58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 小明解不等式的过程如图，请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程. 解：去分母得：……① 去括号得：……② 移项得：……③ 合并同类项得：……④ 两边都除以，得……⑤ 【答案】错误的编号有：①②⑤； 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式；去分母时，每项都要乘以6，不等号的右边，没有乘以6，故后面的答案都错了；步骤②的去括号出错，步骤⑤的不等号要改变方向. 【详解】解：错误的编号有：①②⑤； 去分母，得（） 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 两边都除以，得 20. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，已知点，，. （1）将三角形先沿着轴负方向平移6个单位，再沿轴负方向平移2个单位得到三角形，在图中画出三角形； （2）直接写出点，，的坐标. 【答案】（1）详见解析；（2），， 【解析】 【分析】（1）分别将点A，B，C向左平移6个单位，再向下平移2个单位，再首尾顺次连接即可得． （2）根据所作图形可得三顶点的坐标． 【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求． （2）由图知，A1（-4，2），B1（-5，-1），C1（-3，0）． 【点睛】本题主要考查作图-平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． 21. 如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE． （1）求证：AB＝AC； （2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形． 【答案】（1）证明见解析 （2）△ABD、△AEC、△ABE、△ADC 【解析】 【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC； （2）根据等腰三角形的判定与性质、三角形内角和及三角形外角和解答即可． 【小问1详解】 证明：过点A作AF⊥BC于点F，如图所示： ∵AD＝AE， ∴DF＝EF， ∵BD＝CE， ∴BF＝CF， ∴AB＝AC； 【小问2详解】 解：由（1）知AB＝AC， ∠BAC＝108°， ， AD＝AE，∠DAE＝36°， ， 是的一个外角， ， 同理，， ∠B＝∠BAD＝36°，∠C＝∠EAC＝36°，∠BAE＝∠BEA＝72°，∠ADC＝∠DAC＝72°， ∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，涉及到中垂线的判定与性质、三角形内角和定理和三角形外角性质等知识，熟练掌握辅助线的作法，灵活利用数形结合思想是解决问题的关键． 22. 如图所示，已知，平分，平分，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．首先过作，再根据角平分线的性质可得，，进而得到． 【详解】解：过作， 平分， ， 平分， ， ． 23. 随着人们生活水平的不断提高，人们对生活饮用水质量要求也越来越高，更多的居民选择购买家用净水器．一商家抓住商机，从生产厂家购进了A，B两种型号家用净水器．已知购进2台A型号家用净水器比1台B型号家用净水器多用200元；购进3台A型号净水器和2台B型号家用净水器共用6600元， (1)求A，B两种型号家用净水器每台进价各为多少元？ (2)该商家用不超过26400元共购进A，B两种型号家用净水器20台，再将购进的两种型号家用净水器分别加价50%后出售，若两种型号家用净水器全部售出后毛利润不低于12000元，求商家购进A，B两种型号家用净水器各多少台？(注：毛利润=售价-进价) 【答案】（1）型号家用净水器每台进价为1000元，型号家用净水器每台进价为1800元；（2） 则商家购进型号家用净水器12台，购进型号家用净水器8台；购进型号家用净水器13 台，购进型号家用净水器7台；购进型号家用净水器14台，购进型号家用净水器6台； 购进型号家用净水器15台，购进型号家用净水器5台． 【解析】 【分析】（1）设A型号家用净水器每台进价为x元，B型号家用净水器每台进价为y元，根据“购进2台A型号家用净水器比1台B型号家用净水器多用200元；购进3台A型号净水器和2台B型号家用净水器共用6600元”列二元一次方程组求解可得； （2）设商家购进A型号家用净水器m台，则购进B型号家用净水器（20-m）台，根据“购进总费用不超过26400元、毛利润不低于12000元”列不等式组，注意不超过是小于等于，不低于是大于等于，列出不等式组，解之可得． 【详解】【解】：（1）设型号家用净水器每台进价为元，型号家用净水器每台进价为元， 根据题意知， 解得：， 答：型号家用净水器每台进价为1000元，型号家用净水器每台进价为1800元； （2）设商家购进型号家用净水器台，则购进型号家用净水器台， 根据题意，得：， 解得：， 因为为整数， 所以或13或14或15， 则商家购进型号家用净水器12台，购进型号家用净水器8台； 购进型号家用净水器13台，购进型号家用净水器7台； 购进型号家用净水器14台，购进型号家用净水器6台； 购进型号家用净水器15台，购进型号家用净水器5台． 【点睛】此题考查一元一次不等式组的实际运用，二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系与不等关系是解决问题的关键． 24. 如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点， （1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形； （2）如图2，CD与AB交点为F，若AD=BD，EF=3，DE=4，求CD的长． 【答案】（1）详见解析；（2）. 【解析】 【分析】(1) 求出∠ACB=90°，∠ADB=90°，根据直角三角形定点和底边中点的连线等于底边的一半即可求解. (2)求出DE⊥AB，再根据相关关系求出△ECD是等腰三角形，可得CD的长. 详解】（1）证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD， ∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，又∵E为AB的中点， ∴CE=AB，DE=AB ∴CE=DE，即△ECD等腰三角形； （2）∵AD=BD，E为AB的中点， ∴DE⊥AB， 已知DE=4，EF=3， ∴DF=5， 过点E作EH⊥CD， ∵∠FED=90°，EH⊥DF， ∴EH==， ∴DH==， ∵△ECD等腰三角形， ∴CD=2DH=． 【点睛】本题考查三角形垂直，线段转化等相关知识，学会合理转化是关键. 25. 如图，在中，的延长线于E，的延长线于F，M为的中点，分别连接． （1）若，求的周长； （2）若，求的三个内角的度数． 【答案】（1）11，（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质和等腰三角形的性质，具体关键是根据直角三角形的性质得出等腰三角形． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的中线，可得周长； （2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和可求结果． 【详解】解：（1）∵，M为的中点， ∴； ∵，M为的中点， ∴； 所以的周长为． （2）由（1）可知， 所以， 所以， 同理， 所以，． 26. 如图四边形是平行四边形，点P为边上一动点，连接并延长交的延长线于点M，过M作，垂足是 N，连接，，设点 P 运动时间为t（s）解答下列问题： （1）若，，，点 P 从点A 出发沿方向运动速度为．当t为何值时，四边形是平行四边形？ （2）在（1）的条件下是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形？若存在求出相应的t的值；若不存在请说明理由． 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质及判定，勾股定理，运用反证法是解题的关键． （1）连接，，当时，可推出，得到，从而四边形是平行四边形，根据，，代入，即可求解； （2）根据已知条件得出，由四边形是平行四边形得到，假设四边形是平行四边形，则，得到四边形是平行四边形，从而得到，，根据得到得．另外若四边形是平行四边形，平行且等于，从而四边形是平行四边形，由（1）可得此时，与当时，四边形是平行四边形相矛盾，即四边形不是平行四边形． 【小问1详解】 解：连接，， ∵在中，， ∴， ∵ ∴当时，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 假设四边形平行四边形，则，， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴ 又∵ ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形， 若四边形是平行四边形，则，， ∵ ∴平行且等于 ∴四边形是平行四边形， 由（1）可得此时， 与当时，四边形是平行四边形相矛盾， ∴四边形不是平行四边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$