第三章 勾股定理课件 2024-2025学年鲁教版（五四制）数学七年级上册

鲁教版 七年级上 第三章　勾股定理 1　探索勾股定理 第1课时　认识勾股定理 练点1　勾股定理 1. [2024·德州期末]已知 a ， b ， c 分别是△ ABC 中∠ A ，∠ B ，∠ C 的对边，下列说法正确的有(　C　) ①若∠ C ＝90°，则 a2＋ b2＝ c2； ②若∠ B ＝90°，则 a2＋ c2＝ b2； ③若∠ A ＝90°，则 b2＋ c2＝ a2； ④总有 a2＋ b2＝ c2. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 基础题 返回 2. 如图，∠ OAB ＝∠ OBC ＝∠ OCD ＝90°， AB ＝ BC ＝ CD ＝1， OA ＝2，则 OD2＝ ⁠. (第2题) 7　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 练点2　用勾股定理求线段长 3. [2024·枣庄峄城区期末]已知一直角三角形的木板，三边的 平方和为1 800，则斜边长为(　B　) A. 80 B. 30 C. 90 D. 120 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 4. [2023·济南市中区期中]如图， AD 是△ ABC 的中线，若 AB ＝ AC ＝13， BC ＝10，则 AD ＝ ⁠. (第4题) 12　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 练点3　用勾股定理求图形面积 5. [母题·教材P67随堂练习T1 2023·德州期末] 如图，数字代 表所在正方形的面积，则 A 所代表的正方形的面积为 (　C　) A. 10 B. 28 C. 100 D. 不能确定 (第5题) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 6. [2024·滨州期末]如图，在四边形 ABCD 中，∠ ABC ＝ ∠ ADC ＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方 形，面积依次为 S1， S2， S3， S4，下列结论正确的是 (　B　) A. S3＋ S4＝4( S1＋ S2) B. S1－ S2＝ S3－ S4 C. S4－ S1＝ S3－ S2 D. S4－3 S1＝ S3－3 S2 (第6题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 【点拨】 连接 AC ，根据勾股定理， 得 AC2＝ AB2＋ BC2， AC2＝ AD2＋ CD2， 所以 AC2＝ S4＋ S1， AC2＝ S3＋ S2， 所以 S1＋ S4＝ S2＋ S3， 所以 S1－ S2＝ S3－ S4. 【答案】B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 7. [2023·济宁期中]如图，带阴影的长方形的面积是 ⁠ cm2. (第7题) 45　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 【点拨】 根据勾股定理知，题图中直角三角形的另一直角边长度的 平方为172－82＝152， 所以另一直角边的长度为15 cm， 所以带阴影的长方形的面积＝3×15＝45(cm2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 纠易错　因没有明确已知边是哪条边而忽视分类讨论致错 (分类讨论思想) 8. [2024·枣庄滕州市月考]一个直角三角形的两边长分别为3 和4，那么它的斜边长的平方为(　C　) A. 5或7 B. 25 C. 25或16 D. 5 【点拨】 当3和4是直角边长时， 根据勾股定理得斜边长的平方＝32＋42＝25， C 当4是斜边长时，斜边长的平方＝42＝16. 故斜边长的平方为25或16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 9. [2024·淄博期中]如图，直线 AO ⊥ OB ，垂足为 O ，线段 AO ＝3， BO ＝4，以点 A 为圆心， AB 的长为半径画弧， 交直线 AO 于点 C . 则 OC 的长为(　D　) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 D 【点拨】 因为 AO ⊥ OB ，所以∠ AOB ＝90°. 又因为 AO ＝3， BO ＝4，所以 AB ＝5， 所以 AC ＝ AB ＝5，所以 OC ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 10. [新视角·规律探究题2023·德州期末] “勾股树”是以正方 形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的 两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出 来的图形，假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股 树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理继续作图， 则第六代勾股树中正方形的个数为(　B　) A. 126 B. 127 C. 128 D. 129 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 【点拨】 第一代勾股树中正方形有1＋2＝3(个)， 第二代勾股树中正方形有1＋2＋22＝7(个)， 第三代勾股树中正方形有1＋2＋22＋23＝15(个)， …… 第六代勾股树中正方形有1＋2＋22＋23＋24＋25＋26＝ 127(个). 【答案】B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 11. [新考向·数学文化2023·淄博期末] 如图，将四个全等的直 角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小 正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”.设直角三角形 较长直角边长为 x ，较短直角边长为 y .已知 xy ＝8，大正 方形的边长为5，则小正方形的面积为 ⁠. 9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 【点拨】 由题意知，小正方形的边长为 x － y . 因为大正方形的边长为直角三角形的斜边长， 所以 x2＋ y2＝52， 所以( x － y )2＝ x2＋ y2－2 xy ＝25－16＝9， 即小正方形的面积为9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 12. 如图，在四边形 ABCD 中，∠ B ＝∠ D ＝90°， AB ＝20 m， BC ＝15 m， CD ＝7 m，求四边形 ABCD 的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 【解】连接 AC . 因为∠ B ＝∠ D ＝90°， 所以△ ABC 与△ ACD 都是直角三角形. 在Rt△ ABC 中，根据勾股定理， 得 AC2＝ AB2＋ BC2＝202＋152＝625， 在Rt△ ACD 中，根据勾股定理， 得 AD2＝ AC2－ CD2＝625－72＝576，则 AD ＝24 m. 所以 S四边形 ABCD ＝ S△ ABC ＋ S△ ACD ＝ AB · BC ＋ AD · CD ＝ ×20×15＋ ×24×7＝234(m2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 13. [新视角 动点探究题]如图，在长方形 ABCD 中， BC ＝ AD ＝4， AB ＝ CD ＝10， E 为 CD 边上一点， DE ＝7， 动点 P 从点 A 出发，以每秒1个单位的速度沿边 AB 向终 点 B 运动，连接 PE ， BE ，设点 P 运动的时间为 t 秒. (1)求 BE 的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 创新拓展题 返回 【解】因为 CD ＝10， DE ＝7，所以 CE ＝10－7＝3. 在Rt△ CBE 中， 因为∠ DCB ＝90°， 所以 BE2＝ BC2＋ CE2＝42＋32＝52，所以 BE ＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 创新拓展题 返回 (2)若△ BPE 为直角三角形，求 t 的值. 【解】当∠ BPE ＝90°时，易得四边形 APED 为长方形， 所以 AP ＝ DE ＝7，则 t ＝7÷1＝7； 当∠ BEP ＝90°时， BE2＋ PE2＝ BP2， 作 PQ ⊥ CD 于点 Q ，易得四边形 APQD 为长方形， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 创新拓展题 返回 所以 PQ ＝ AD ＝4， QD ＝ AP ＝ t ， 所以 EQ ＝7－ t ， 所以在Rt△ PEQ 中， EP2＝42＋(7－ t )2， 所以在Rt△ BPE 中，52＋42＋(7－ t )2＝(10－ t )2，解得 t ＝ . 综上，当 t ＝7或 时，△ BPE 为直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 创新拓展题 返回 $$鲁教版 七年级上 第三章　勾股定理 1　探索勾股定理 第2课时　验证并应用勾股定理 练点1　勾股定理的验证 1. [母题 教材P72习题T2] 如图是用硬纸板做成的两个直角边 长分别为 a ， b ，斜边长为 c 的全等三角形，以及一个腰 长为 c 的等腰直角三角形拼成的图形，观察图形，可以验 证(　A　) A A. a2＋ b2＝ c2 B. ( a － b )2＝ a2－2 ab ＋ b2 C. a2－ b2＝( a ＋ b )( a － b ) D. ( a ＋ b )2＝ a2＋2 ab ＋ b2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 2. [新考向 数学文化] 意大利著名画家达·芬奇用下图证明了 勾股定理.若设图①中空白部分的面积为 S1，图③中空白部 分的面积为 S2，则下列表示 S1， S2的等式成立的是(　A　) A. S1＝ a2＋ b2＋ ab B. S1＝ a2＋ b2＋2 ab C. S2＝ c2 D. S2＝ c2＋ ab A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 练点2　勾股定理的应用 3. [情境题·生活应用2024·东营期末] 如图，一棵大树被台风 刮断，若树在离地面3 m处折断，树顶端落在离树底部4 m 远处，则树折断之前高(　C　) A. 5 m B. 7 m C. 8 m D. 10 m (第3题) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 4. [新考向·知识情境化2023·德州期末] 如图，一只小鸟从树 尖 C 处径直飞向塔尖 A 处.已知树 CD 高6米，塔 AB 高12 米，树与塔之间的水平距离为8米，则小鸟飞行的最短距 离为(　B　) A. 8米 B. 10米 C. 11米 D. 12米 (第4题) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 5. [情境题·生活应用2023·青岛期末] 如图，甲、乙两船从港 口 A 同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东42°方向 航行，乙船向南偏东48°方向航行，0.5小时后，甲船到达 C 岛，乙船到达 B 岛，若 C ， B 两岛相距17海里，问乙船 的航速是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 【解】根据题意可知∠ BAC ＝180°－42°－48°＝ 90°， AC ＝16×0.5＝8(海里)，在Rt△ ABC 中， AB2＝ BC2－ AC2＝172－82＝225，所以 AB ＝15海里，所以乙船 的航速是 ＝30(海里/时). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 纠易错　因考虑问题不全面而漏解 6. 在Rt△ ABC 中，∠ ABC ＝90°， AB ＝3， BC ＝4，过点 B 的直线把△ ABC 分割成两个三角形，使其中只有一个是 等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 ⁠ ⁠. 3.6或4.32或 4.8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 所以 AC ＝5. 所以 AC 边上的高为 ＝ ＝2.4. 设过点 B 的直线与 AC 交于点 P ， 【点拨】 在Rt△ ABC 中，∠ ABC ＝90°， AB ＝3， BC ＝4， 所以 AC2＝ AB2＋ BC2＝25， S△ ABC ＝ AB · BC ＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 如图①，当 AP ＝ AB ＝3时， S△ ABP ＝ ×3×2.4＝3.6. 如图②，当 BP ＝ AB ＝3时， 过点 B 作 BD ⊥ AC ，垂足为 D ， 则 AD ＝ DP ， BD ＝2.4， 所以 AD2＝ DP2＝32－2.42＝3.24.所以 AD ＝1.8. 所以 AP ＝2 AD ＝3.6. 所以 S△ ABP ＝ ×3.6×2.4＝4.32. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 如图③，当 CP ＝ CB ＝4时， S△ BCP ＝ ×4×2.4＝4.8. 综上所述，这个等腰三角形的面积是3.6或4.32或4.8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 基础题 返回 7. [2024·威海乳山市期中]如图，将一根长20 cm的铅笔放入 底面直径为9 cm，高为12 cm的圆柱形笔筒中，设铅笔露 在笔筒外面的长度为 x cm，则 x 的最小值是(　A　) A. 5 B. 7 C. 12 D. 13 (第7题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 【点拨】 当铅笔如图放置时 x 最小.在Rt△ ABC 中， AC2＝ AB2＋ BC2＝92＋122＝152，所以 AC ＝15 cm，所以 x 的最小值是20－15＝5. 【答案】A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 8. [新考向·数学文化2023·潍坊期中] “赵爽弦图”巧妙地利 用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的伟大成 就，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形 和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直 角边长为 a ，较短直角边长为 b ，若 ab ＝24，大正方形的 面积为129，则小正方形的边长为(　D　) A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 (第8题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 【点拨】 由题意可知，中间的小正方形的边长为 a － b . 因为 ab ＝24， a2＋ b2＝129， 所以( a － b )2＝ a2＋ b2－2 ab ＝129－2×24＝81， 而 a － b ＞0，所以 a － b ＝9. 【答案】D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 9. 如图，有一个绳索拉直的秋千，绳索 AB 的长度为5米，若 将它往水平方向向前推进3米(即 DE ＝3米)，且绳索保持 拉直的状态，则此时秋千上升的高度为(　A　) A. 1米 B. 2米 C. 3米 D. 4米 (第9题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 【点拨】 如图，过点 C 作 CF ⊥ AB 于点 F ， 根据题意得 AC ＝ AB ＝5米， CF ＝ DE ＝3米， 由勾股定理可得 AF2＋ CF2＝ AC2， 所以 AF ＝4米， 所以 BF ＝ AB － AF ＝5－4＝1(米)， 所以此时秋千上升的高度为1米. 【答案】A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 10. [2024·西安期中]对角线互相垂直的四边形叫做“垂美” 四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD ，对角 线 AC ， BD 交于点 O . 若 AD ＝1， BC ＝4，则 AB2＋ CD2＝ ⁠. 17　 (第10题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 由勾股定理，得 AB2＋ CD2＝ AO2＋ BO2＋ CO2＋ DO2， AD2＋ BC2＝ AO2＋ DO2＋ BO2＋ CO2， 所以 AB2＋ CD2＝ AD2＋ BC2. 又因为 AD ＝1， BC ＝4， 所以 AB2＋ CD2＝12＋42＝17. 【点拨】 因为 AC ⊥ BD ， 所以∠ AOD ＝∠ AOB ＝∠ BOC ＝∠ COD ＝90°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 11. [情境题 生活应用] 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一 架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙的距离 BC ＝0.7 米，顶端到地面的距离 AC ＝2.4米.若梯子底端位置保持 不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端到地面的距离A'D＝2 米，求小巷的宽度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 【解】在Rt△ ACB 中，由勾股定理，得 AB2＝ AC2＋ BC2＝2.42＋0.72＝6.25. 在Rt△A'BD中，由勾股定理， 得 BD2＋A'D2＝A'B2， 易知A'B＝ AB ，所以 BD2＋22＝6.25， 所以 BD ＝1.5米. 所以 CD ＝ BC ＋ BD ＝0.7＋1.5＝2.2(米)， 即小巷的宽度为2.2米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 12. [2023·青岛崂山区期末]如图，在甲村至乙村的公路 AB 旁有一块山地正在开发，现需要在 C 处进行爆破. 已知点 C 与公路上的停靠站 A 的距离为300米，与公 路上的另一停靠站 B 的距离为400米，且 CA ⊥ CB . 为了安全起见，爆破点 C 周围半径250米范围内不得 有人进入，在进行爆破时，公路 AB 是否需要暂时封 锁？如果需要，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 【解】公路 AB 需要暂时封锁. 理由如下：过点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D . 因为 BC ＝400米， AC ＝300米，∠ ACB ＝90°， 所以根据勾股定理得 AB ＝500米. 易知 S△ ABC ＝ AB · CD ＝ BC · AC ， 所以 CD ＝ ＝ ＝240(米). 因为240米＜250米， 所以公路 AB 需要暂时封锁. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 综合应用题 返回 13. [新考向·数学文化2023·潍坊其中] 阅读材料，解决问题： 三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“弦图”，利用 面积法给出了勾股定理的证明.实际上，该“弦图”与完 全平方公式有着密切的关系.如图，这是由8个全等的直角 边长分别为 a ， b ，斜边长为 c 的三角形拼成的“弦图”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 创新拓展题 返回 (1)正方形 ABCD 的面积可表示为 ，正方形 PQMN 的面积可表示为 ；(用含 a ， b 的式 子表示)(答案不唯一) ( a ＋ b )2　 ( a － b )2　 (答案不唯一) (2)请结合下图用面积法说明( a ＋ b )2， ab ，( a － b )2三者 之间的等量关系； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 创新拓展题 返回 【解】因为正方形 ABCD 的面积＝正方形 MNPQ 的面积＋直角三角形的面积×8，所以( a ＋ b )2＝( a － b )2＋ ab ×8，即( a ＋ b )2＝( a － b )2＋4 ab ，所以( a ＋ b )2， ab ，( a － b )2三者之间的等量关系是( a ＋ b )2＝( a － b )2＋4 ab . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 创新拓展题 返回 (3)已知 a ＋ b ＝5， ab ＝4，求正方形 EFGH 的面积. 【解】因为正方形 EFGH 的面积＝正方形 ABCD 的面积－直角三角形的面积×4，所以正方形 EFGH 的面积＝( a ＋ b )2－ ab ×4＝( a ＋ b )2－2 ab ＝52－2×4＝17. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 创新拓展题 返回 $$鲁教版 七年级上 第三章　勾股定理 2　一定是直角三角形吗 练点1　由边的数量关系判定直角三角形 1. [2023·德州期中]下列选项不能判定△ ABC 为直角三角形的 是(　A　) A. ∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝3∶4∶5 B. ∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝2∶3∶5 C. AB ∶ BC ∶ AC ＝3∶4∶5 D. AB ＝13， BC ＝5， AC ＝12 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 2. [母题 教材P75习题T3] 如图，正方形 ABCD 是由9个边长 为1的小正方形组成的，点 E ， F 均在格点(每个小正方形 的顶点都是格点)上，连接 AE ， AF ，则∠ EAF 的度数是 (　C　) C A. 35° B. 40° C. 45° D. 50° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 3. 如图，在△ ABC 中， AB ＝13， BC ＝12， AC ＝5，点 D 是 BC 上一点，且 CD ＝3. (1)试判断△ ABC 的形状，并说明理由； 【解】△ ABC 是直角三角形.理由： 因为 AB2＝132＝169， BC2＝122＝144， AC2＝52＝25， 所以 BC2＋ AC2＝ AB2， 所以△ ABC 是直角三角形，且∠ ACB ＝90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 (2)求 AD2. 【解】在Rt△ ACD 中，因为∠ ACD ＝90°， AC ＝5， CD ＝3， 所以 AD2＝ AC2＋ CD2＝52＋32＝34. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 练点2　勾股数 4. [2024·泰安新泰市期末]下列各组数中，是勾股数的是 (　D　) A. 4，5，6 B. 1，2，3 C. 1.5，2，2.5 D. 9，40，41 【点拨】 A. 42＋52＝41≠62＝36，故不是勾股数； D B. 12＋22＝5≠32＝9，故不是勾股数； C. 存在小数，故不是勾股数； D. 92＋402＝1 681＝412，故是勾股数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 5. 若3，4， a 为勾股数，则 a 的平方为(　B　) A. 7 B. 25 C. 25或49 D. 25或7 【点拨】 当 a 最大时， a2＝32＋42＝25； 当4最大时， a2＝42－32＝7，7不是正整数的平方，所以此 种情况不符合题意. 综上所述， a2为25. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 纠易错　因忽视勾股数是正整数这一条件而致错 6. 下列各组数中，是勾股数的是(　D　) A. ， ， B. 6，7，8 C. 3，4，6 D. 8，15，17 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 基础题 返回 7. 如果将直角三角形的三条边长都扩大到原来的5倍，那么 得到的新的三角形是(　C　) A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定 【点拨】 C 设原直角三角形的两直角边长分别为 a ， b ，斜边长为 c ，则 a2＋ b2＝ c2，三条边长都扩大到原来的5倍后为5 a ， 5 b ，5 c . 因为(5 a )2＋(5 b )2＝25 a2＋25 b2＝25( a2＋ b2)＝25 c2＝(5 c )2，所以得到的新的三角形是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 8. 在△ ABC 中， AB ＝6 cm， BC ＝8 cm， AC ＝10 cm，则 △ ABC 的面积是(　A　) A. 24 cm2 B. 30 cm2 C. 40 cm2 D. 48 cm2 【点拨】 因为 AB ＝6 cm， BC ＝8 cm， AC ＝10 cm， 所以 AB2＋ BC2＝ AC2， 所以△ ABC 是直角三角形，且∠ B ＝90°， 所以△ ABC 的面积是 AB · BC ＝ ×6×8＝24(cm2). A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 9. [2023·济宁]如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长 都是一个单位长度，点 A ， B ， C ， D ， E 均在小正方形 方格的顶点上，线段 AB ， CD 交于点 F ，若∠ CFB ＝α， 则∠ ABE 等于(　C　) A. 180°－α B. 180°－2α C. 90°＋α D. 90°＋2α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 【点拨】 如图，取顶点 G ，连接 BG ， EG ， 则易知 BG ∥ CD ， 所以∠ ABG ＝∠ CFB ＝α. 易知 BG2＝12＋42＝17， BE2＝12＋42＝17， EG2＝32＋52＝34， 所以 BG2＋ BE2＝ EG2， 所以△ BEG 是直角三角形，且∠ GBE ＝90°， 所以∠ ABE ＝∠ GBE ＋∠ ABG ＝90°＋α. 【答案】C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 10. [新考向·数学文化2023·泸州] 《九章算术》是中国古代重 要的数学著作，该著作中给出了勾股数 a ， b ， c 的计算 公式： a ＝ ( m2－ n2)， b ＝ mn ， c ＝ ( m2＋ n2)，其中 m ＞ n ＞0， m ， n 是互质的奇数.下列四组勾股数中，不 能由该勾股数计算公式直接得出的是(　C　) A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 6，8，10 D. 7，24，25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 【点拨】 当 m ＝3， n ＝1时， a ＝ ( m2－ n2)＝ ×(32－12)＝4， b ＝ mn ＝3×1＝3， c ＝ ( m2＋ n2)＝ ×(32＋12)＝5； 当 m ＝5， n ＝1时， a ＝ ( m2－ n2)＝ ×(52－12)＝12， b ＝ mn ＝5×1＝5， c ＝ ( m2＋ n2)＝ ×(52＋12)＝13； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 当 m ＝7， n ＝1时， a ＝ ( m2－ n2)＝ ×(72－12)＝24， b ＝ mn ＝7×1＝7， c ＝ ( m2＋ n2)＝ ×(72＋12)＝25. 因为没有符合条件的 m ， n (4，2不是互质的奇数)使 a ， b ， c 为6，8，10，所以选项C符合题意. 【答案】C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 11. [新视角 规律探究题] 如果正整数 a ， b ， c 满足等式 a2＋ b2＝ c2，那么正整数 a ， b ， c 叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列表，观察表中每列数的规律，可知 x ＋ y 的值为 ⁠. 79　 a b c 3 4 5 8 6 10 15 8 17 24 10 26 … … … x y 65 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 【点拨】 由题可得3＝22－1，4＝2×2，5＝22＋1…… 所以 a ＝ n2－1， b ＝2 n ， c ＝ n2＋1( n 为大于1的正整数)， 当 c ＝ n2＋1＝65时， n ＝8(负值舍去)， 所以 x ＝63， y ＝16， 所以 x ＋ y ＝79. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 12. 如图，在四边形 ABCD 中， AB ＝ BC ， AD2＋ CD2＝2 AB2， CD ⊥ AD 于点 D . 求∠ ABC 的度数. 【解】连接 AC . 因为 CD ⊥ AD ，所以∠ ADC ＝90°.所 以 AD2＋ CD2＝ AC2.又因为 AD2＋ CD2＝2 AB2，所以 AC2 ＝2 AB2.又因为 AB ＝ BC ，所以 AC2＝ AB2＋ BC2.所以 △ ABC 是直角三角形，∠ ABC ＝90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 13. [母题·教材P73例题2023·淄博博山区期末] 如图，在四边 形 ABCD 中， AB ⊥ BC 于点 B ， AB ＝4， BC ＝3， DC ＝12， AD ＝13. (1)求 A ， C 两点之间的距离； 【解】连接 AC . 因为 AB ⊥ BC ， AB ＝4， BC ＝3， 所以 AB2＋ BC2＝ AC2，即42＋32＝ AC2， 所以 AC ＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 (2)求四边形 ABCD 的面积. 【解】因为 AC ＝5， AD ＝13， CD ＝12，所以 AD2＝ AC2＋ CD2，所以△ ACD 是直角三角形，∠ DCA ＝90°.在Rt△ ABC 中， S△ ABC ＝ BC · AB ＝ ×3×4＝6，在Rt△ ADC 中， S△ ADC ＝ CD · AC ＝ ×12×5＝ 30，所以 S四边形 ABCD ＝ S△ ADC － S△ ABC ＝24. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综合应用题 返回 14. [新考向 数学文化] 勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载.如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”，这三个正整数叫做一组“勾股数”.在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表： m 2 3 3 4 … n 1 1 2 3 … a 22＋12 32＋12 32＋22 42＋32 … b 4 6 12 24 … c 22－12 32－12 32－22 42－32 … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 创新拓展题 返回 其中 m ， n 为正整数，且 m ＞ n . (1)观察表格，当 m ＝2， n ＝1时，此时对应的 a ， b ， c 的值能否成为直角三角形三边的长？说明你的理由. 【解】能.理由：当 m ＝2， n ＝1时， a ＝5， b ＝4， c ＝3.因为32＋42＝52， 所以 a ， b ， c 的值能成为直角三角形三边的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 创新拓展题 返回 (2)探究 a ， b ， c 与 m ， n 之间的关系并用含 m ， n 的代 数式表示： a ＝ ， b ＝ ， c ＝ ⁠. m2＋ n2　 2 mn 　 m2－ n2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 创新拓展题 返回 (3)以 a ， b ， c 为三边长的三角形是否一定为直角三角 形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例. 【解】以 a ， b ， c 为三边长的三角形一定为直角三角 形.理由：因为 a2＝( m2＋ n2)2＝ m4＋2 m2 n2＋ n4， b2＋ c2＝4 m2 n2＋ m4－2 m2 n2＋ n4＝ m4＋2 m2 n2＋ n4， 所以 a2＝ b2＋ c2， 所以以 a ， b ， c 为三边长的三角形一定为直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 创新拓展题 返回 $$鲁教版 七年级上 第三章　勾股定理 3　勾股定理的应用举例 练点1　用展开法求最短距离 1. [母题·教材P77引例变式 2023·临沂期中] 如图，一圆柱高 8 cm，底面周长是12 cm，一只蚂蚁从点 A 爬到与点 A 相对 的点 B 处吃食，要爬行的最短路程是(　D　) A. 20 cm B. 24 cm C. 14 cm D. 10 cm (第1题) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础题 返回 2. [新考向·知识情境化2023·青岛市北区月考] 某校“光学 节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜(如图).在 三棱镜的侧面上，从顶点 A 到顶点A'镶有一圈金属丝，已 知此三棱镜的高为9 cm，底面的等边三角形的边长为4 cm，则这圈金属丝的长度至少为(　D　) A. 8 cm B. 10 cm C. 12 cm D. 15 cm (第2题) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础题 返回 练点2　用对称法求最短距离 3. [2024·青岛市北区月考]如图，这是一个长方体透明玻璃鱼 缸，其中长 AB ＝80 cm，高 AD ＝60 cm，水深 ED ＝40 cm，在鱼缸内紧贴内壁的 P 处有一鱼饵， P 在水面线 EF 上，且 EP ＝60 cm.一只小虫想从鱼缸外的 D 点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁 P 处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为 ⁠. 100 cm　 (第3题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础题 返回 练点3　勾股定理的实际应用 4. [2023·烟台栖霞市期末]如图，一文物被探明位于 A 点地下 48 m深处，由于 A 点地面下有障碍物，考古人员不能垂直 下挖，他们从距离 A 点14 m的 B 处斜着挖掘，那么要找到 该文物至少要挖(　C　) A. 14 m B. 48 m C. 50 m D. 60 m (第4题) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础题 返回 5. [新视角·身边的数学2024·临沂期末] 如图是一个桌面摆件 示意图，四边形 ABCD 是长方形，若对角线 AC ⊥ EO ， 垂足是 E ， AB ＝15 cm， BC ＝8 cm， AE ＝25 cm，则 CE ＝(　C　) A. 6 cm B. 7 cm C. 8 cm D. 9 cm C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础题 返回 纠易错　将长方体展开时，因忽视其展开方式不唯一而致错 6. 如图是一个长方体纸盒，长为12 cm，宽为9 cm，高为5 cm，求点 A 到点 B 的表面最短距离(结果精确到1 cm，参考数据：21.592≈466，18.442≈340，19.242≈370). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础题 返回 【解】将长方形 ACDF 与长方形 FDBG 在同一平面上展 开，如图①，连接 AB . 在Rt△ ACB 中，根据勾股定理， 得 AB2＝ AC2＋ BC2＝122＋(5＋9)2＝340.将长方形 ACDF 与长方形 DCEB 在同一平面上展开，如图②，连接 AB . 在 Rt△ AEB 中，根据勾股定理，得 AB2＝ BE2＋ AE2＝52＋ (12＋9)2＝466.将长方形 AHGF 与长方形 FDBG 在同一平 面上展开，如图③，连接 AB . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础题 返回 在Rt△ ADB 中，根据勾股定理，得 AB2＝ AD2＋ BD2＝(5＋ 12)2＋92＝370.因为340＜370＜466，所以点 A 到点 B 的表面 最短距离是如图①所示的情况.此时 AB ≈18 cm.故点 A 到点 B 的表面最短距离约为18 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 基础题 返回 7. [新考向·数学文化2024·烟台期末] 我国古代有这样一道数 学问题：枯木一根直立地上，高三丈，周八尺，有葛藤自 根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？大意是： 如图所示，把枯木看做一个圆柱体，则该圆柱的高为3 丈，底面周长为8尺，有葛藤自点 A 处缠绕而上，绕五周 后其末端恰好到达点 B 处，则问题中葛藤的最短长度 是 丈(一丈＝十尺). 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 所以 AB ＝5丈. 【点拨】 如图， AB 表示葛藤的最短长度， 由题意可知 BC ＝3丈， AC ＝8×5÷10＝4(丈)， 在Rt△ ABC 中， AB2＝ AC2＋ BC2＝42＋32＝25， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 8. [情境题·生活应用2023·烟台栖霞市期中] LED感应灯是一 种通过感应模块自动控制光源点亮的新型智能照明产品.当 人(或动物)移至LED灯一定距离时灯亮，人走开灯灭，给 人们的生活带来了极大的便利.如图，有一个由感应器 A 控 制的LED灯安装在门的上方、离地面高4.5 m的墙壁上， 当人移至距离感应器5 m及5 m以内时，灯就会自动点亮. 请问：一个身高1.5 m的人走到离 门多远的地方，该灯刚好点亮？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 【解】过 C 作 CE ⊥ AB ，垂足为 E ，则 AE ＝ AB － BE ＝4.5－1.5＝3(m)， AC ＝5 m. 在Rt△ ACE 中，由勾股定理，得 CE2＝ AC2－ AE2＝ 52－32＝16， 所以 CE ＝4 m. 故一个身高1.5 m的人走到离门4 m远的地方，该灯刚 好点亮. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 9. [母题·教材P78例1 2023·济宁任城区期中] 如图，在波平如 镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30 cm.突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐平水面，如果知道红莲移动的水平距离为60 cm，求水深是多少厘米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 【解】如图，设水深 AB 为 h cm，由题意， 在Rt△ ABC 中， AB ＝ h cm， AC ＝( h ＋30)cm， BC ＝60 cm， 由勾股定理，得 AC2＝ AB2＋ BC2， 即( h ＋30)2＝ h2＋602，解得 h ＝45. 故水深是45 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 10. [母题 教材P78习题T3] 如图，长方体的长和宽分别为4 cm和2 cm，高为5 cm.已知一只蚂蚁从 P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达 Q 点，求蚂蚁爬行的最短路径长. (第10题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 【解】长方体的侧面展开图如图所示， PQ 为蚂蚁爬行的 最短路径.由题意可知 PA ＝4＋2＋4＋2＝12(cm)， QA ＝ 5 cm，∠ PAQ ＝90°， 所以 PQ2＝ PA2＋ QA2＝122＋52＝169， 所以 PQ ＝13 cm，即蚂蚁爬行的最短路径长是13 cm. (第10题答图) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 综合应用题 返回 11. 如图，牧童在 A 处放牛，其家在 B 处， A ， B 到河岸的 距离分别为 AC ＝400 m， BD ＝200 m，已知 CD ＝800 m，牧童从 A 处把牛牵到河边饮水后回家，问在何处饮水 能使所走的总路程最短？最短路程是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 创新拓展题 返回 【解】如图，作点 A 关于直线 CD 对称的点A'，连接A'B 交 CD 于点 M ，连接 AM ，则 AM ＝A'M，易知在点 M 处 饮水能使所走的总路程最短，最短路程为A'B的长.过点A' 作A'H⊥ BD ，交 BD 的延长线于点 H ，则四边形A'CDH 为长方形，所以A'H＝ CD ＝800 m， DH ＝A'C＝ AC ＝ 400 m，所以 BH ＝ BD ＋ DH ＝200＋400＝600(m).在 Rt△A'HB中，由勾股定理，得A'B2＝A'H2＋ BH2＝8002 ＋6002＝1 000 000，故A'B＝1 000 m， 所以最短路程是1 000 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 创新拓展题 返回 $$