精品解析：2023-2024学年北师大版八年级数学下册期末检测题

北师大版八年级年级数学下册期末复习检测 考试时间:120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，总分40分） 1. 下面四个英文字母图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，根据不等式的性质，下列式子不成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C D. 4. 如图，在中，，以点C为圆心、长为半径画弧，交边于点D；再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交边于点E．若，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 5. 若关于x的方程无解，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2或或 6. 如图，在中，，点D，E分别是的中点，连接，在上有一点F，且，连接．若，则的长为（　　） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 7. 如图，在中，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上，且时，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C D. 8. 若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　） A. ﹣3或 B. 或 C. ﹣3或或 D. ﹣3或 10. 如图，的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，且，连接OE，下列结论①；②OD=AB；③；④；其中成立的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总分20分） 11. 已知，，则的值为_____． 12. 如图，在中，的垂直平分线分别交、于点D、E，连接，若，，则的长为 _____． 13. 若是关于的方程的解，则关于的不等式的最小整数解为_____． 14. 如图，平行四边形ABCD中，O对角线交点，DP平分，CP平分，，，则__________． 15. 如图，已知为等边三角形，，D为中点，E为直线上一点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为 ____________________． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. （1）解不等式组：，并在如图所示的数轴上表示出它的解集． （2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 17. 如下图，某国道通过A、B两个村庄，而C村庄离国道较远，为了相应政府“村村通公路”的号召，C村决定采用自己筹集一部分，政府补贴一部分的方法修建一条水泥路直通国道，已知C村到A、B两村的距离分别为、，A，B两村的距离为，那么这条水泥路的最短距离为多少？ 18. 如图，将向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到． （1）请画出平移后的图形 （2）写出各顶点的坐标． （3）求出的面积 19. 【发现】一个两位数的十位上的数字为a，个位上的数字为b，且，若将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数，则旧、新两位数的平方差是的倍数． 【解决问题】 （1）当时，原来的两位数为 ，新的两位数为 ； （2）用含a的代数式表示原来的两位数和新的两位数（结果需化简）； （3）在（2）的基础上说明【发现】中的结论正确． 20. 如图，在四边形中，对角线与交于点，且，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，． ①求度数； ②求四边形的面积． 21. 如图是小欣在“A超市”买了一些食品的发票，后来不小心发票被弄烂了，有几个数据看不清． （1）根据发票中的信息，请求出小欣这次采购中“雀巢巧克力”与“趣多多‘小饼干’”各买了多少包？ （2）“五一”期间，小欣发现A、B两超市以同样价格出售同样的产品，并且又各自推出不同的优惠方案：在A超市累计购物超过50元后，超过50元的部分打九折；在B超市累计购物超过100元后，超过100元的部分打八折．若小欣花费的金额在100元以上，请问：“五一”期间，小欣去哪家超市购物更划算？ 22. 如图，的边与的边在一条直线上，且点C为的中点，，． （1）求证：； （2）将沿射线方向平移得到，边与边的交点为F，连接，若将分为面积相等的两部分，请用直尺和圆规作出点F（不写作法，保留作图痕迹）． 23. 如图，点是对角线交点，平分，与相交于点，，垂足为点与相交于点，连接．周长为，，． （1）求和的长； （2）求证：； （3）求的长． 24. 课堂上，老师提出下面的问题： 已知，，，试比较M与N的大小．小聪：整式的大小比较可采用“作差法” 老师：比较与的大小． 小聪：∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … （1）请用“作差法”完成老师提出的问题； （2）比较大小： ；（填“＜”“＝”或“＞”） （3）解决上述问题后，小慧同学提出一个有关“糖水甜度”的问题：“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜！你能说明其中的道理吗？” 我们不妨设原有糖水a克，其中含糖b克（），则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖（），糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释其中的奥秘． 25. 如图，中，，于点O，，． （1）求，的长； （2）若点D是射线的一个动点，作于点E，连结． ①当点D在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长． ②设直线交直线于点F连结、，若，则CD的长为 　 　（直接写出结果）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版八年级年级数学下册期末复习检测 考试时间:120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，总分40分） 1. 下面四个英文字母图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是轴对称图形与中心对称图形，属于基础题目，易于掌握． 2. 已知，根据不等式的性质，下列式子不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质．根据不等式的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； 故选：C 3. 下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案． 【详解】解：A、是多项式乘多项式的整式乘法，不是因式分解，故A错误； B、没把一个多项式转化成几个整式积，不是因式分解，故B错误； C、属于整式乘法运算，不是因式分解，故C错误； D、把一个多项式转化成几个整式积，属于因式分解，故D正确； 故选：D． 4. 如图，在中，，以点C为圆心、长为半径画弧，交边于点D；再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交边于点E．若，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本作图得到，平分，从而，求出，然后利用勾股定理计算的长． 【详解】由作法得，平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 故选A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，作图−基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 5. 若关于x的方程无解，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2或或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解的情况求参数，先将分式方程去分母化简，再根据原方程无解求出或，，代入化简后的方程即可得出最后结果． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得， 整理得：， 原方程无解， 或或， 或，， 将或代入， 得：或， 综上可知2或或， 故选：D． 6. 如图，在中，，点D，E分别是的中点，连接，在上有一点F，且，连接．若，则的长为（　　） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．先根据直角三角形的性质可得，从而可得，再根据三角形中位线定理求解即可得． 【详解】解：∵在中，点是斜边的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：C． 7. 如图，在中，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上，且时，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质及A，D，E在一条直线上和的度数，可得出为等边三角形，进一步求出的度数，根据等量代换可得出，据此可解决问题． 【详解】解：由旋转可知，， ， ，即， 故A选项不符合题意； 由旋转可知，， 显然与不一定相等，即与不一定相等， 故B选项不符合题意， 由旋转可知，， ， ， 故C选项不符合题意； ， 是等边三角形， ， 则旋转的角度为， ， ， ， 由旋转可知，， ， ， 故D选项符合题意， 故选：D． 8. 若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，根据方程组的解满足知道将两方程相减是解题的关键．将方程组中两个方程相减可得，根据可得关于k的不等式，继而知k的范围． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 9. 若关于x分式方程无解，则m的值为（　　） A. ﹣3或 B. 或 C. ﹣3或或 D. ﹣3或 【答案】C 【解析】 【分析】首先最简公分母为0，求出增根，在把分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程，字母系数为0，满足这两个条件求出m的值． 【详解】解：当（x+3）（x﹣3）＝0时，x1＝3或x2＝﹣3， 原分式方程可化为：1， 去分母，得x（x+3）＝（x+3）（x﹣3）﹣（mx﹣2）， 整理得（3+m）x＝﹣7， ∵分式方程无解， ∴3+m＝0， ∴m＝﹣3， 把x1＝3或x2＝﹣3，分别代入（3+m）x＝﹣7， 得m或m， 综上所述：m的值为m或m或m＝﹣3， 故选：C． 【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是掌握在本题中分式方程无解满足的两个条件：一次项系数为0，最简公分母为0． 10. 如图，的对角线AC，BD交于点O，AE平分，交BC于点E，且，连接OE，下列结论①；②OD=AB；③；④；其中成立的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】结合平行四边形的性质可证明△ABE为等边三角形，由可判定①，证明∠BAC=90°，可判定②；由平行四边形的面积公式可判定③；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判定④． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC=60°， ∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，∠CAD=∠EAC，OB=OD， ∴∠DAE=∠AEB，∠BAC=∠BCD=120°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE， ∴∠BAE=∠AEB ∴△ABE为等边三角形， ∴∠BAE=∠AEB=60°，AB=BE=AE， ∵ ∴EC=AE， ∴∠EAC=∠ECA=30°， ∴∠CAD=30°，故①正确； ∵∠BAD=120°，∠CAD=30°， ∴∠BAC=90°， ∴BO＞AB， ∴OD＞AB，故②错误； ∴S▱ABCD=AB•AC=AC•CD，故③正确； ∵∠BAC=90°，BC=2AB， ∴E是BC的中点， ∴S△BEO：S△BCD=1：4， ∴S四边形OECD：S△BCD=3：4， ∴S四边形OECD：S▱ABCD=3：8， ∵S△AOD：S▱ABCD=1：4， ∴故④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，等边三角形的性质和判定，灵活运用三角形的面积解决问题是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总分20分） 11. 已知，，则的值为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值．化简式子得，再整体代入，进行计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案：8． 12. 如图，在中，的垂直平分线分别交、于点D、E，连接，若，，则的长为 _____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线性质， 根据垂直平分线的性质可得出，根据线段的和差关系可得出，即可得出． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：5． 13. 若是关于的方程的解，则关于的不等式的最小整数解为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】把代入方程，即可求得的值，然后把的值代入求解即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：． 则 解得：． 所以，最小整数解为2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，一元一次不等式的解法，熟练的解一元一次不等式是解本题的关键． 14. 如图，平行四边形ABCD中，O为对角线交点，DP平分，CP平分，，，则__________． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】延长DP交BC于点F，先证明PD⊥PC，再证明PD=PF，利用中位线定理，平行四边形的性质，计算即可． 【详解】如图，延长DP交BC于点F， 在平行四边形ABCD中：AD∥BC，OD=OB，AB=CD=7，BC=AD=10， ∴∠ADC+∠BCD=180°，∠ADF=∠CFD， ∵平分，平分， ∴∠ADF=∠CDF，∠FCP=∠DCP， ∴∠CDP+∠DCP=90°，∠CDF=∠CFD， ∴DC=CF=7，∠CPD=90° ∴DP=PF， 又∵OD=OB ∴OP是△DBF的中位线， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练运用平行线的性质，平行四边形的性质，中位线的性质是解题的关键． 15. 如图，已知为等边三角形，，D为中点，E为直线上一点，以为边在右侧作等边，连接，则的最小值为 ____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，推断出“点F在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行”是解题的关键．过点D作于点M，点F作于点N，分①点N在点D下方，②点N在点D上方，③点N与点D重合三种情况讨论，都可以得到，重合得到点F在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行，再根据垂线段最短可知：当点N与点A重合时，最小，重合得解． 【详解】过点D作于点M，过点F作于点N， ∵为等边三角形， ∴， 又∵， ∴ 又∵，D为中点， ∴， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ①当点N在点D下方时，作图如下：(两图情况略有不同，但证明过程完全一致) ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵，，， ∴ ∴， ∴此时，点F在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行， ②当点N在点D上方时，作图如下： ∵，， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵，，， ∴ ∴， ∴此时，点F在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行， ③当点与点重合时，作图如下： ； 由图可知：， ∴此时，点F在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行， 综上所述：点F在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行． 根据垂线段最短可知：当点N与点A重合时，最小， 即， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16. （1）解不等式组：，并在如图所示的数轴上表示出它的解集． （2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 【答案】（1），见解析；（2），当时，原式；当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集和掌握分式的混合运算顺序与运算法则是解答此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的a的值代入计算即可． 【详解】解：（1）， 由①得； 由②得； ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示出不等式组的解集： ； （2） ， 由题意得：且， 当时，原式， 当时，原式． 17. 如下图，某国道通过A、B两个村庄，而C村庄离国道较远，为了相应政府“村村通公路”的号召，C村决定采用自己筹集一部分，政府补贴一部分的方法修建一条水泥路直通国道，已知C村到A、B两村的距离分别为、，A，B两村的距离为，那么这条水泥路的最短距离为多少？ 【答案】这条水泥路的最短距离为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，根据垂线段最短确定这条水泥路的最短距离是解本题的关键； 过点C作，根据垂线段最短可知这条水泥路的最短距离为的长度，利用勾股定理的逆定理得为直角三角形，然后利用面积相等即可求解． 【详解】解：过点C作，垂足为D点， 则这条水泥路的最短距离为的长度， ， 在中，，，， 则，即：， ∴为直角三角形， ∴， 这条水泥路的最短距离为． 18. 如图，将向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到． （1）请画出平移后的图形 （2）写出各顶点的坐标． （3）求出的面积 【答案】（1）见解析 （2） （3）6 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换，写出平面直角坐标系内点的坐标，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用割补法求三角形面积． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （2）根据的位置写出坐标即可； （3）把三角形的面积看成矩形面积减去周围的三个三角形面积即可． 【小问1详解】 如图所示， 即为所求； 【小问2详解】 由（1）得，； 【小问3详解】 的面积为． 19. 【发现】一个两位数的十位上的数字为a，个位上的数字为b，且，若将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数，则旧、新两位数的平方差是的倍数． 【解决问题】 （1）当时，原来的两位数为 ，新的两位数为 ； （2）用含a的代数式表示原来的两位数和新的两位数（结果需化简）； （3）在（2）的基础上说明【发现】中的结论正确． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了数字问题，涉及了平方差公式，注意计算的准确性即可． （1）根据，即可求解； （2）根据题意可得即可求解； （3）计算并化简即可求证； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴原来的两位数为：， 新的两位数为：， 故答案为： 【小问2详解】 解：∵一个两位数的十位上的数字为a，个位上的数字为b，且， ∴， ∴原来的两位数为：， 将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数， ∴新的两位数为：． 【小问3详解】 解：根据题意得： ， ∵a是整数， ∴能被整除，即【发现】中的结论正确． 20. 如图，在四边形中，对角线与交于点，且，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，． ①求的度数； ②求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）①；②96 【解析】 【分析】（1）证，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）①由勾股定理得逆定理得是直角三角形，即可得出结论； ②由平行四边形的性质得，再证明平行四边形是菱形，再由菱形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， 在和中， ， ， 又， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：①∵四边形为平行四边形，． ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，； ②由（1）得：四边形是平行四边形，即， 又∵ ∴， 平行四边形是菱形． 则． 即四边形的面积是． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识，题目难度不大，掌握平行四边形的判定与性质，是解答本题的关键． 21. 如图是小欣在“A超市”买了一些食品的发票，后来不小心发票被弄烂了，有几个数据看不清． （1）根据发票中的信息，请求出小欣这次采购中“雀巢巧克力”与“趣多多‘小饼干’”各买了多少包？ （2）“五一”期间，小欣发现A、B两超市以同样的价格出售同样的产品，并且又各自推出不同的优惠方案：在A超市累计购物超过50元后，超过50元的部分打九折；在B超市累计购物超过100元后，超过100元的部分打八折．若小欣花费的金额在100元以上，请问：“五一”期间，小欣去哪家超市购物更划算？ 【答案】（1）买了雀巢巧克力1包，趣多多小饼干4包 （2）若时，去A超市划算；时，去B超市划算；时，两超市一样 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用： （1）设买了雀巢巧克力x包，趣多多小饼干y包，根据发票信息，列出方程组进行求解即可； （2）分别表示出在两个超市需花费的费用，进而列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设买了雀巢巧克力x包，趣多多小饼干y包， 依题意得：， 解得， 即买了雀巢巧克力1包，趣多多小饼干4包． 【小问2详解】 设小欣累计购物额为a元（）， ∵， 若在A超市花费少，则，即， 若在B超市购物花费少，则，即， 若在两超市花费一样多，则， 综上所述，若时，去A超市划算； 时，去B超市划算； 时，两超市一样． 22. 如图，的边与的边在一条直线上，且点C为的中点，，． （1）求证：； （2）将沿射线方向平移得到，边与边的交点为F，连接，若将分为面积相等的两部分，请用直尺和圆规作出点F（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作垂直平分线线，全等三角形的判定和，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． （1）根据证明三角形全等即可； （2）作的垂直平分线交于点，连接即为所求(方法不唯一)． 【小问1详解】 证明：∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：作的垂直平分线交于点，点即为所求． 故点是中点， ∴是中线， ∴． 23. 如图，点是对角线交点，平分，与相交于点，，垂足为点与相交于点，连接．周长为，，． （1）求和的长； （2）求证：； （3）求的长． 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，在中，由勾股定理得，再由平行四边形性质及周长直接求即可得到答案； （2）利用平行四边形性质得到，进而，再由角平分线定义，等量代换即可由等角对等边判定； （3）由（2）中结论，结合等腰三角形三线合一得到，再由平行四边形性质，结合三角形中位线的判定与性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵周长为， ∴； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴ ∴； 小问3详解】 解：由（2）得， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形综合，涉及勾股定理、平行四边形性质、角平分线定义、等角对等边、等腰三角形性质及三角形中位线的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形性质及相关几何判定与性质，数形结合是解决问题的关键． 24. 课堂上，老师提出下面的问题： 已知，，，试比较M与N的大小．小聪：整式的大小比较可采用“作差法” 老师：比较与的大小． 小聪：∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … （1）请用“作差法”完成老师提出的问题； （2）比较大小： ；（填“＜”“＝”或“＞”） （3）解决上述问题后，小慧同学提出一个有关“糖水甜度”的问题：“在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜！你能说明其中的道理吗？” 我们不妨设原有糖水a克，其中含糖b克（），则原糖水的“甜度”可用表示，现向糖水中加入n克糖（），糖水的“甜度”可用表示，请你用数学知识解释其中的奥秘． 【答案】（1） （2）< （3）加糖后糖水会变甜，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意得，，又，则，进而可以判断得解； （2）依据题意，结合（1）当时，从而可得，从而可以得解； （3）依据题意，原糖水的“甜度”为，现糖水的“甜度”为，进而可得，再结合，可得0，进而可以判断得解． 小问1详解】 解：由题意得， ， 又， ， ， ， ∴； 【小问2详解】 由题意，结合（1）当时， ， 故答案为：． 【小问3详解】 由题意，原糖水的“甜度”为，现糖水的“甜度”为． ， 又， ， ， ， ∴在一定质量的糖水中，加入一定质量的糖，糖水会变得更甜． 25. 如图，中，，于点O，，． （1）求，的长； （2）若点D是射线的一个动点，作于点E，连结． ①当点D在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长． ②设直线交直线于点F连结、，若，则CD的长为 　 　（直接写出结果）． 【答案】（1）、 （2）①的长为6或；②或 【解析】 【分析】（1）根据可得的长，分别根据勾股定理可得和的长； （2）①分两种情况：和时，分别画图，根据三角形的中位线定理和证明三角形全等可解决问题； ②分两种情况： i）当D在线段上时，如图3，过B作于G，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，得，可得，证明是等腰三角形，得，最后利用勾股定理可得结论； ii）当D在线段的延长线上时，过B作于G，同i）计算可得结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ； 【小问2详解】 解：①分两种情况： i）当时，过O作于N，如图1所示： ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴； ii）当时，如图2所示： 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为6或； ②分两种情况： i）当D在线段时，过B作于G，如图3所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴； ii）当D在线段的延长线上时，过B作于G，如图4所示： 同理得： ， ∵， ∴， 同理得：是等腰三角形， ∴， ∴， 中， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线性质、三角形的面积、勾股定理、分类讨论等知识；证明是等腰三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$