解三角形小题题型专练（10大题型）——2025届高三数学一轮复习

解三角形小题题型专练（12大题型）（原卷版） 题型归类 题型一、正（余）弦定理解三角形 题型二、三角形解的个数问题 题型三、判断三角形的形状 题型四、三角形的面积公式及应用 题型五、解三角形的实际应用 方向1、高度测量 方向2、距离测量 方向3、角度测量 题型六、范围或最值问题 方向1、求边或周长的最值（范围） 方向2、求三角形的面积的最值（范围） 方向3、其它最值（范围）问题 题型七、与中线有关的解三角形 题型八、与角分线有关的解三角形 题型九、与高线有关的解三角形 题型十、多三角形或四边形的解三角形 题型一、正（余）弦定理解三角形 典例精选 例1．（2023·北京·7）在中，，则（    ） A． B． C． D． 例2．（2024·全国甲卷（理11文12））在中,内角所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 题型精练 1．（24-25高三·广东梅州·开学考试）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·云南·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，若，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 3．（2024·山西太原·二模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（    ） A．5 B．4或5 C．6 D．4或6 4．（2024·广东肇庆·一模）在中，，，分别是角，，的对边，，，，则的外接圆半径是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）记的内角的对边分别为.已知，外接圆直径为4，则边的长为 . 题型二、三角形解的个数问题 典例精选 例．（23-24高三·河北沧州·模拟）在△ABC中，，且满足该条件的△ABC有两个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型精练 1．（23-24高三·北京顺义·期中）在△ABC中，，，，满足条件的△ABC（    ） A．有无数多个 B．有两个 C．有一个 D．不存在 2．（2024·宁夏银川·三模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若△ABC有两解，则c的取值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2024·广东·三模）在△ABC中，已知，，，若存在两个这样的三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三、判断三角形的形状 典例精选 例1．（2024·陕西渭南·三模）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 例2．（多选）（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在△ABC中，角、、的对边分别为、、，且已知，则（    ） A．若，且△ABC有两解，则的取值范围是 B．若，且，则△ABC恰有一解. C．若，且△ABC为钝角三角形，则的取值范围是 题型精练 1．（2024·山东·二模）在△AB中，设内角的对边分别为，设甲：，设乙：△AB是直角三角形，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2．（2023·甘肃酒泉·三模）在中内角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 3．（2024·河北秦皇岛·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A．为直角三角形 B．为锐角三角形 C．为钝角三角形 D．的形状无法确定 4．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形 C．顶角为的等腰三角形 D．等腰直角三角形 题型四、三角形的面积公式及应用 典例精选 例1．（2021·全国乙卷（理）·15）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则 ． 例2．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B=60°，，，则△ABC的面积为（    ） A． B． C． D． 题型精练 1．（2024·浙江·二模）已知，则△ABC的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三·河南·开学考试）在锐角△ABC中，记角，，的对边分别为，，，若，，且，则△ABC的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三·陕西安康·开学考试）已知△ABC的内角的对边分别为，若的面积为，则 ． 4．（2024·四川乐山·三模）在△ABC中，点是边上靠近点的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·河北保定·三模）已知△ABC外接圆的半径为，且，则△ABC的面积为（    ） A． B． C． D． 题型五、解三角形的实际应用 方向1、高度测量 典例精选 例．（2021·全国甲卷（理）·8）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（    ） A．346 B．373 C．446 D．473 题型精练 1．（24-25高三·福建·阶段练习）“三山一水”城市雕塑位于福建省福州市五一广场，是福州市的标志性雕塑．这座雕塑以福州的自然景观和历史文化为灵感，通过艺术的形式展现了福州“三山两塔一条江”的独特城市风貌和地域文化特色．如图，为了测量“三山一水”城市雕塑的高度，选取了与该雕塑底部在同一平面内的两个测量基点与．现测得，，在点测得雕塑顶端的仰角为，在点测得雕塑顶端的仰角为，则雕塑的高度（    ） A．47.6m B．35.7m C．23.8m D．11.9m 2．（2024·广东湛江·二模）财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点A，点A在大厦底部的射影为点O，两个测量基点B、C与O在同一水平面上，他测得米，，在点B处测得点A的仰角为（），在点C处测得点A的仰角为45°，则财富汇大厦的高度 米. 3．（2024·湖南岳阳·二模）岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度，他首先在处，测得楼顶的仰角为，然后沿方向行走22.5米至处，又测得楼顶的仰角为，则楼高为 米． 方向2、距离测量 典例精选 例．（2024·山东临沂·一模）在同一平面上有相距14公里的两座炮台，在的正东方.某次演习时，向西偏北方向发射炮弹，则向东偏北方向发射炮弹，其中为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点，则炮台与弹着点的距离为（    ） A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里 题型精练 1．（2024·吉林·二模）如图，位于某海域处的甲船获悉，在其北偏东 方向处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救. 甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东，且与甲船相距的处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏南通·二模）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧．若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则该球体建筑物的高度约为（ ）（） A．49.25 m B．50.76 m C．56.74 m D．58.60 m 3．（23-24高三·广东广州·阶段练习）在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东方向，相距12公里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10公里的速度沿南偏东方向前进，若侦察艇以每小时14公里的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为 小时，角的正弦值为 ．    4．（2023·山东济南·三模）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为 米. 方向3、角度测量 典例精选 例1．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度) 题型精练 1．（23-24高三·山东泰安·阶段练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点处，测得仰角为.则（    ） A． B．3 C． D． 2．（2024·山东临沂·一模）在同一平面上有相距14公里的两座炮台，在的正东方.某次演习时，向西偏北方向发射炮弹，则向东偏北方向发射炮弹，其中为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点，则炮台与弹着点的距离为（    ） A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里 3．（2024·上海嘉定·二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为120°，墙的高度均为3米．在时刻，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻最可能为（    ） 太阳高度角 时间 太阳高度角 时间 43.13° 08:30 68.53° 10:30 49.53° 09:00 74.49° 11:00 55.93° 09:30 79.60° 11:30 62.29° 10:00 82.00° 12:00 A． B． C． D． 题型六、范围或最值问题 方向1、求边或周长的最值（范围） 典例精选 例1．（2024·江西·二模）已知△ABC的内角，，的对边分别为，，，且，若△ABC的面积等于，则△ABC的周长的最小值为 ． 例2．（2024·四川达州·二模）在△ABC中，角，，的对边分别为，，，，点在平面内，，则的最大值为 ． 题型精练 1．（2024·江苏连云港·模拟预测）在△ABC中，角的对边分别为，若，，则边的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川成都·模拟预测）设锐角△ABC的三个内角的对边分别为，且，则的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则△ABC周长的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山东日照·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国·二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为的平分线AD交BC于点.若，则△ABC周长的最小值为 . 方向2、求三角形的面积的最值（范围） 典例精选 例1．（24-25高三·广西贵港·开学考试）在△ABC中，，且边上的高为，则（    ） A．△ABC的面积有最大值，且最大值为 B．△ABC的面积有最大值，且最大值为 C．△ABC的面积有最小值，且最小值为 D．△ABC的面积有最小值，且最小值为 例2．（2024·湖北武汉·模拟预测）在三角形中，角，，的对边分别为，，且满足，，则△ABC面积取最大值时，（    ） A． B． C． D． 题型精练 1．（2024·山西太原·三模）已知△ABC 中，是的中点，且 ，则△ABC 面积的最大值（   ） A． B． C．1 D．2 2．（2024·重庆九龙坡·三模）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为，已知，.则 ；的最大值为 . 3．（2024·山东·二模）在△ABC中，内角的对边分别为，，且，则△ABC面积的最大值为 ． 4．（2024·河北唐山·二模）锐角△ABC中，边上的高为4，则△ABC面积的取值范围为 ． 方向3、其它最值（范围）问题 典例精选 例1．（2024·广东肇庆·一模）在△ABC中，角，，所对边长分别为，，，若，则角的最大值为（    ） A． B． C． D． 例2．（2024·全国·模拟预测）在△ABC中，，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 题型精练 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知△ABC角的对边分别为满足，则角的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知△ABC的角对应的边分别为的平分线交边于点，若，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 3．（24-25高三·河南·开学考试）在△ABC中，内角所对的边分别为，若成等差数列，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2024·福建厦门·三模）记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的取值范围是 . 5．（24-25高三·江苏南京·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为钝角，．则的取值范围是 ． 题型七、与中线有关的解三角形 典例精选 例1．（2021·浙江·14）在中，，M是的中点，，则 ， . 例2．（2024·山西·三模）在中，内角所对的边分别为已知的外接圆半径是边的中点，则长为（    ） A． B． C． D． 题型精练 1．（2024·山西太原·一模）在△ABC中，内角，，所对的边分别是，，，已知，那么 ，设边的中点为，若，且△ABC的面积为，则的长是 . 2．（2024·陕西铜川·三模）已知△ABC的内角所对的边分别是，点是的中点.若，且，则 . 3．（2024·河北·三模）已知△ABC的内角，，的对边分别为，，，是的中线．若，且，则△ABC面积的最大值为 ． 题型八、与角分线有关的解三角形 典例精选 例1．（2023·全国甲卷（理）·16）在中，，的角平分线交BC于D，则 ． 例2．（24-25高三·四川达州·开学考试）在中，内角的对边分别为，且△ABC的面积，若的平分线交于点，则（    ） A． B． C． D． 题型精练 1．（2024·河北·三模）中，，．则的角平分线的长为 ． 2．（24-25高三·广东·开学考试）在中，内角的对边分别为，且，若点在边上，且平分，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川内江·三模）在△ABC中，角A的平分线AD与BC边相交于点D，若，则的最小值为 ． 4．（2024·四川绵阳·三模）在△ABC中，是边上一点，，若，且的面积为，则 . 题型九、与高线有关的解三角形 典例精选 例．（2024·陕西·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若△ABC的面积为，周长为，则AC边上的高为（    ） A． B． C． D． 题型精练 1．（2025·江苏·模拟预测）锐角△ABC中，，，，则AB边上的高CD长为（    ） A． B． C． D． 题型十、多三角形或四边形的解三角形 典例精选 例1．（2020·新课标Ⅰ·16）如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB= . 例2．（2022·全国甲卷（理）·16）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ． 精准练习 1．（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，若，，，，则（    ） A． B．2 C． D． 2．（2024·四川乐山·三模）在△ABC中，点是边上靠近点的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江西九江·二模）已知在四边形中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东佛山·模拟预测）在△ABC中，，点在线段上，且，则△ABC的面积为 ． 5．（2024·四川自贡·三模）如图，D为△ABC的边AC上一点，，，，则的最小值为 . 6．（2024·广东佛山·模拟预测）在△ABC中，，点在线段上，且，则△ABC的面积为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 解三角形小题题型专练（10大题型）（解析版） 题型归类 题型一、正（余）弦定理解三角形 题型二、三角形解的个数问题 题型三、判断三角形的形状 题型四、三角形的面积公式及应用 题型五、解三角形的实际应用 方向1、高度测量 方向2、距离测量 方向3、角度测量 题型六、范围或最值问题 方向1、求边或周长的最值（范围） 方向2、求三角形的面积的最值（范围） 方向3、其它最值（范围）问题 题型七、与中线有关的解三角形 题型八、与角分线有关的解三角形 题型九、与高线有关的解三角形 题型十、多三角形或四边形的解三角形 题型一、正（余）弦定理解三角形 典例精选 例1．（2023·北京·7）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以由正弦定理得，即， 则，故， 又，所以. 故选：B. 例2．（2024·全国甲卷（理11文12））在中,内角所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 题型精练 1．（24-25高三·广东梅州·开学考试）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，由正弦定理可得， 所以，因为，则，所以，解得. 故选：C. 2．（2024·云南·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，若，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】因为由正弦定理得， 所以，， 故选：D． 3．（2024·山西太原·二模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（    ） A．5 B．4或5 C．6 D．4或6 【答案】A 【详解】△ABC中，，，， 由正弦定理，有， 为△ABC的内角，则有，所以， ，， ， 由正弦定理，有. 故选：A 4．（2024·广东肇庆·一模）在中，，，分别是角，，的对边，，，，则的外接圆半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由余弦定理，得，所以舍负，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以． 故选：D． 5．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）记的内角的对边分别为.已知，外接圆直径为4，则边的长为 . 【答案】 【详解】，由正弦定理得， 因为，所以， 所以，由得， 因为， 所以，因为，所以，可得， 所以， 因为外接圆直径为4， 所以由正弦定理得， 则边的长为. 故答案为：. 题型二、三角形解的个数问题 典例精选 例．（23-24高三·河北沧州·模拟）在△ABC中，，且满足该条件的△ABC有两个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由正弦定理可得：，所以，所以， 因为满足条件的△ABC有两个，所以，即，所以的取值范围是 故选：D 题型精练 1．（23-24高三·北京顺义·期中）在△ABC中，，，，满足条件的△ABC（    ） A．有无数多个 B．有两个 C．有一个 D．不存在 【答案】D 【详解】因为，，， 由正弦定理，即，所以， 又， 由正弦函数的性质可得不存在，所以满足条件的△ABC不存在. 故选：D 2．（2024·宁夏银川·三模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若△ABC有两解，则c的取值可能为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】由题意可得，即. 故选：A. 3．（2024·广东·三模）在△ABC中，已知，，，若存在两个这样的三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正弦定理可得， 由题意可知：关于A的方程：在有两解， 在同一坐标系内分别作出曲线，和水平直线，    因为它们有两个不同的交点，所以，所以. 故选：C. 题型三、判断三角形的形状 典例精选 例1．（2024·陕西渭南·三模）已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【详解】， 即，故， ， 因为，所以，故， 因为，所以， 故为等腰直角三角形. 故选：D 例2．（多选）（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在△ABC中，角、、的对边分别为、、，且已知，则（    ） A．若，且△ABC有两解，则的取值范围是 B．若，且，则△ABC恰有一解. C．若，且△ABC为钝角三角形，则的取值范围是 D．若，且△ABC为锐角三角形，则的取值范围是 【答案】AD 【详解】A选项：由正弦定理，，， 且，则，选项A正确； 选项B：，所以△ABC无解，故B错误； C选项：①为最大边：，且，此时； ②为最大边：，且，此时，选项C错误； D选项：，且，所以，选项D正确； 故选；AD. 题型精练 1．（2024·山东·二模）在△AB中，设内角的对边分别为，设甲：，设乙：△AB是直角三角形，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】D 【详解】在△AB中，由正弦定理及，得， 即，整理得， 由正弦定理得，则或，即或， 因此甲：或，显然甲不能推乙； 乙：△AB是直角三角形，当角或是直角时，乙不能推甲， 所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件. 故选：D 2．（2023·甘肃酒泉·三模）在中内角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【详解】由正弦定理，余弦定理及得， ，即， 则，即 或为等腰三角形或直角三角形． 故选：D. 3．（2024·河北秦皇岛·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A．为直角三角形 B．为锐角三角形 C．为钝角三角形 D．的形状无法确定 【答案】A 【详解】由，可得， 则， ， ， 即， 由，故只能为锐角，可得， 因为，所以，. 故选：A. 4．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．顶角为的等腰三角形 C．顶角为的等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】由正弦定理可得， 因为，所以， 所以，即， 即，因为，所以， 所以，因为，所以，所以， 因为，所以， 所以，即， 即，因为，所以，所以， 因为.所以， 所以的形状为顶角为的等腰三角形. 故选：B. 题型四、三角形的面积公式及应用 典例精选 例1．（2021·全国乙卷（理）·15）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则 ． 【答案】 【详解】由题意，， 所以， 所以，解得（负值舍去）. 故答案为：. 例2．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B=60°，，，则△ABC的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， ∴，解得，． ∴． 故选：D. 题型精练 1．（2024·浙江·二模）已知，则△ABC的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由余弦定理得， 因为，所以， 可得. 故选：D. 2．（24-25高三·河南·开学考试）在锐角△ABC中，记角，，的对边分别为，，，若，，且，则△ABC的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以，所以， 又△ABC为锐角三角形，所以， 所以，所以，又，所以△ABC为等边三角形， 所以的面积为． 故选：D． 3．（24-25高三·陕西安康·开学考试）已知△ABC的内角的对边分别为，若的面积为，则 ． 【答案】或 【详解】的面积为， 所以，解得， 因为，所以或， 当时，由余弦定理可得，即， 当时，由余弦定理可得，即， 综上或， 故答案为：或. 4．（2024·四川乐山·三模）在△ABC中，点是边上靠近点的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则， ， 由余弦定理得， ，解得，， 所以，， . 故选：C. 5．（2023·河北保定·三模）已知△ABC外接圆的半径为，且，则△ABC的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为 由得， 由余弦定理得 所以由得， 因为，所以，因为， 由余弦定理得，解得， 所以. 故选：B 题型五、解三角形的实际应用 方向1、高度测量 典例精选 例．（2021·全国甲卷（理）·8）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（    ） A．346 B．373 C．446 D．473 【答案】B 【详解】 过作，过作， 故， 由题，易知为等腰直角三角形，所以． 所以． 因为，所以 在中，由正弦定理得： ， 而， 所以 所以． 故选：B． 题型精练 1．（24-25高三·福建·阶段练习）“三山一水”城市雕塑位于福建省福州市五一广场，是福州市的标志性雕塑．这座雕塑以福州的自然景观和历史文化为灵感，通过艺术的形式展现了福州“三山两塔一条江”的独特城市风貌和地域文化特色．如图，为了测量“三山一水”城市雕塑的高度，选取了与该雕塑底部在同一平面内的两个测量基点与．现测得，，在点测得雕塑顶端的仰角为，在点测得雕塑顶端的仰角为，则雕塑的高度（    ） A．47.6m B．35.7m C．23.8m D．11.9m 【答案】C 【详解】设，在中，因,则， 在中，因,则， 在中，由余弦定理得，， 即，解得 故选：C. 2．（2024·广东湛江·二模）财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点A，点A在大厦底部的射影为点O，两个测量基点B、C与O在同一水平面上，他测得米，，在点B处测得点A的仰角为（），在点C处测得点A的仰角为45°，则财富汇大厦的高度 米. 【答案】204 【详解】设米，因为在点B处测得点A的仰角为，所以，所以. 因为在点C处测得点A的仰角为45°，所以米. 由余弦定理，可得， 即，解得. 故答案为：204 3．（2024·湖南岳阳·二模）岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度，他首先在处，测得楼顶的仰角为，然后沿方向行走22.5米至处，又测得楼顶的仰角为，则楼高为 米． 【答案】 【详解】中，，，， 中，，，， 因为米，所以， 解得： 故答案为： 方向2、距离测量 典例精选 例．（2024·山东临沂·一模）在同一平面上有相距14公里的两座炮台，在的正东方.某次演习时，向西偏北方向发射炮弹，则向东偏北方向发射炮弹，其中为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点，则炮台与弹着点的距离为（    ） A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里 【答案】D 【详解】依题意设炮弹第一次命中点为，则，， ，， 在△ABC中， 即，解得， 所以，又为锐角，解得（负值舍去）， 在中 ， 所以，即炮台与弹着点的距离为公里. 故选：D 题型精练 1．（2024·吉林·二模）如图，位于某海域处的甲船获悉，在其北偏东 方向处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救. 甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东，且与甲船相距的处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，， 由正弦定理得， 所以. 故乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为. 故选：B. 2．（2023·江苏南通·二模）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧．若在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且，则该球体建筑物的高度约为（ ）（） A．49.25 m B．50.76 m C．56.74 m D．58.60 m 【答案】B 【详解】如图， 设球的半径为，，， ， ， ，即该球体建筑物的高度约为. 故选：B 3．（23-24高三·广东广州·阶段练习）在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东方向，相距12公里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10公里的速度沿南偏东方向前进，若侦察艇以每小时14公里的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为 小时，角的正弦值为 ．    【答案】2； 【详解】设红方侦查艇经过x小时后在处追上蓝方的小艇，则，，.        根据余弦定理得，解得， 故，. 根据正弦定理得，解得， 故答案为：2；. 4．（2023·山东济南·三模）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为 米. 【答案】 【详解】由题意，，所以， 所以在中，，， 又，所以， 在中，由正弦定理得，，所以， 在中，， 由余弦定理得，， 所以. 故答案为： 方向3、角度测量 典例精选 例．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度) 【答案】 【详解】设， 在中，由正弦定理得， 即’ 即① 在中，由正弦定理得， 即，即，② 因为，得， 利用计算器即可得， 故答案为：. 题型精练 1．（23-24高三·山东泰安·阶段练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点处，测得仰角为.则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，由题意有，， 则有，故， 则， 故， 则. 故选：A. 2．（2024·山东临沂·一模）在同一平面上有相距14公里的两座炮台，在的正东方.某次演习时，向西偏北方向发射炮弹，则向东偏北方向发射炮弹，其中为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点，则炮台与弹着点的距离为（    ） A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里 【答案】D 【详解】依题意设炮弹第一次命中点为，则，， ，， 在中， 即，解得， 所以，又为锐角，解得（负值舍去）， 在中 ， 所以，即炮台与弹着点的距离为公里. 故选：D 3．（2024·上海嘉定·二模）嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为120°，墙的高度均为3米．在时刻，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻最可能为（    ） 太阳高度角 时间 太阳高度角 时间 43.13° 08:30 68.53° 10:30 49.53° 09:00 74.49° 11:00 55.93° 09:30 79.60° 11:30 62.29° 10:00 82.00° 12:00 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示， 设两竖直墙面的交线为，点被太阳光照射在地面上的影子为点， 点分别是点在两条墙脚线上的射影，连接 ，，， 由题意可知就是太阳高度角. ∵四边形中，，， ∴ ， ∴中，， 可得， ∵四边形是圆内接四边形，是其外接圆直径， ∴设的外接圆半径为，则， 在中，， 所以， 对照题中表格，可知时刻时，太阳高度角为，与最接近. 故选：B. 题型六、范围或最值问题 方向1、求边或周长的最值（范围） 典例精选 例1．（2024·江西·二模）已知△ABC的内角，，的对边分别为，，，且，若△ABC的面积等于，则△ABC的周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】由正弦定理结合，可得， 因为，所以，即， 注意到，所以只能，解得， 若△ABC的面积等于， 则，解得， 在三角形中，运用余弦定理有， 三角形的周长，等号成立当且仅当， 综上所述，当且仅当三角形是以顶角的等腰三角形时，△ABC的周长取到最小值，且最小值为. 故答案为：. 例2．（2024·四川达州·二模）在△ABC中，角，，的对边分别为，，，，点在平面内，，则的最大值为 ． 【答案】3 【详解】因为，所以， 整理得， 又，当且仅当时等号成立；，当且仅当时等号成立，所以△ABC为等边三角形；如图，设，，． 在中，由余弦定理得，， ． 在中，由正弦定理得， ，． 在中，由余弦定理得 ，等号在时成立． 所以的最大值为3． 题型精练 1．（2024·江苏连云港·模拟预测）在△ABC中，角的对边分别为，若，，则边的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，， 由正弦定理可得，即， 所以，所以或（舍去），所以， 由正弦定理得,， 而，，所以， 所以，所以，所以的取值范围为. 故选：B 2．（2024·四川成都·模拟预测）设锐角△ABC的三个内角的对边分别为，且，则的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在△ABC中，由可得， 由正弦定理得： 又△ABC为锐角三角形，所以，解得， 令，则， 因为在时单调递增， 所以，则. 故选：C 3．（2024·全国·二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则△ABC周长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 由正弦定理得， 因为，所以，由于，故，则， 由正弦定理得， 故， 又，则，所以，则， 故△ABC周长的最大值为. 故选：D. 4．（2024·山东日照·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】中， 由余弦定理可得： ，整理可得， 又，则， ，，则， 可得，则，即， 故选：C 5．（2024·全国·二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为的平分线AD交BC于点.若，则△ABC周长的最小值为 . 【答案】 【详解】， ， 即， ， ， . ，得， 由，得，当且仅当时，等号成立. 又的周长，当且仅当时，等号成立. 故答案为： 方向2、求三角形的面积的最值（范围） 典例精选 例1．（24-25高三·广西贵港·开学考试）在△ABC中，，且边上的高为，则（    ） A．△ABC的面积有最大值，且最大值为 B．△ABC的面积有最大值，且最大值为 C．△ABC的面积有最小值，且最小值为 D．△ABC的面积有最小值，且最小值为 【答案】D 【详解】因为 所以 所以，又为三角形内角， 所以，所以 设角的对边分别为，边的高为， 由三角形面积公式可得：，又， 所以，又， 所以，当且仅当时取等号， 所以 所以 故选:D 例2．（2024·湖北武汉·模拟预测）在三角形中，角，，的对边分别为，，且满足，，则△ABC面积取最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 又由余弦定理：，所以， 所以. 由正弦定理得：， 所以或（舍去），故. 因为，所以. 由正弦定理：. 所以. 因为，所以. 设，. 则， 由， 由， 所以在上单调递增，在上递减， 所以当时，有最大值. 即当时，的面积最大. 此时 . 故选：A 题型精练 1．（2024·山西太原·三模）已知△ABC 中，是的中点，且 ，则△ABC 面积的最大值（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为所以， 因为是中线，所以，， 所以，当且仅当时，等号成立； △ABC 面积为. 故选：A 2．（2024·重庆九龙坡·三模）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为，已知，.则 ；的最大值为 . 【答案】； 【详解】因为，所以由正弦定理知， 所以，因为，所以， 又，所以，所以，所以； 由已知及余弦定理得：， 所以，当且仅当时，等号成立， ， 则面积的最大值为. 故答案为：； 3．（2024·山东·二模）在△ABC中，内角的对边分别为，，且，则△ABC面积的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为， 所以由余弦定理，得， 所以，又， 则， 所以由余弦定理以及基本不等式得： ， 即，当且仅当时等号成立， 所以，即面积的最大值为， 故答案为：. 4．（2024·河北唐山·二模）锐角△ABC中，边上的高为4，则△ABC面积的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意可知，因为△ABC为锐角三角形，且，边上的高为4， 如图①所示，，， ，解得. 在△ABC中由正弦定理得， 所以， 在中，，即， 所以， 所以△ABC的面积为： ，， 令， 所以，在单调递减， 所以， 所以. 故答案为：. 方向3、其它最值（范围）问题 典例精选 例1．（2024·广东肇庆·一模）在△ABC中，角，，所对边长分别为，，，若，则角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， 由余弦定理得：， 为三角形内角，的最大值为． 故选：C． 例2．（2024·全国·模拟预测）在△ABC中，，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】 已知在△ABC中，，， 所以，，设， 在中，， 在中，， 则 ， 当且仅当，即时取等号. 故选：D. 题型精练 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知△ABC角的对边分别为满足，则角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在△ABC中，由正弦定理及，得，即， 由余弦定理得，当且仅当时取等号， 而，则，所以角的最大值为. 故选：A 2．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知△ABC的角对应的边分别为的平分线交边于点，若，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【详解】   ，因为的平分线交边于点，且， 所以， ，， 而，所以， 化简得，即， 则， 当且仅当时取等号，即最小值为． 故选：C． 3．（24-25高三·河南·开学考试）在△ABC中，内角所对的边分别为，若成等差数列，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】由题知，由正弦定理得， 即， 因为，所以， 又， 所以，得， 所以最多有一个是钝角，所以， 因为 ， 由基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为3. 故选：A 4．（2024·福建厦门·三模）记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，所以， 由余弦定理可得：， 可得，在锐角△ABC中，由余弦定理可得： ， 因为，即，即， 所以， 所以，所以. 故答案为：. 5．（24-25高三·江苏南京·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A为钝角，．则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由，根据正弦定理得：， 由于，可知，即， 因为为钝角，则为锐角，即， 则，则． ． 因为为锐角，所以，即，则， 设，则， ． 因为，则，从而． 故答案为： 题型七、与中线有关的解三角形 典例精选 例1．（2021·浙江·14）在中，，M是的中点，，则 ， . 【答案】； 【详解】由题意作出图形，如图， 在中，由余弦定理得， 即，解得（负值舍去）， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以； 在中，由余弦定理得. 故答案为：；. 例2．（2024·山西·三模）在中，内角所对的边分别为已知的外接圆半径是边的中点，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由的外接圆半径，得， 由和得， 又，解得，所以. 因为中，是边的中点，所以, 于是 . 故选：D. 题型精练 1．（2024·山西太原·一模）在△ABC中，内角，，所对的边分别是，，，已知，那么 ，设边的中点为，若，且△ABC的面积为，则的长是 . 【答案】 ； 【详解】在△ABC中，由正弦定理得，， 因为，所以， 化简得，， 在△ABC中，由余弦定理得，， 又因为，所以 由，得， 由，得，所以. 又因为边的中点为，所以， 所以 故答案为：，. 2．（2024·陕西铜川·三模）已知△ABC的内角所对的边分别是，点是的中点.若，且，则 . 【答案】 【详解】因为，由正弦定理得， 又因为， 所以， 因为，可得，所以 又因为为△ABC的一条中线，可得， 所以， 即，解得或（舍）. 由余弦定理得. 故答案为：. 3．（2024·河北·三模）已知△ABC的内角，，的对边分别为，，，是的中线．若，且，则△ABC面积的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 由正弦定理可得， 由余弦定理，所以， 又，所以， 因为是中边上中线，则， 即，所以， 所以，可得，当且仅当时等号成立， 故， 即△ABC面积的最大值为． 故答案为： 题型八、与角分线有关的解三角形 典例精选 例1．（2023·全国甲卷（理）·16）在中，，的角平分线交BC于D，则 ． 【答案】 【详解】 如图所示：记， 方法一：由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得：． 故答案为：． 方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由正弦定理可得，，解得：，， 因为，所以，， 又，所以，即． 故答案为：． 例2．（24-25高三·四川达州·开学考试）在中，内角的对边分别为，且△ABC的面积，若的平分线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可知，，所以，所以． 在中，由等面积法得， 即， 即，解得，故正确. 故选:A. 题型精练 1．（2024·河北·三模）中，，．则的角平分线的长为 ． 【答案】2 【分析】作出图形，利用余弦定理求得，进而求得的值，利用正弦定理可求得的值，最后在中利用余弦定理求得的长. 【详解】在中，，，， 由余弦定理得， 由余弦定理得， 由题意可得，，， 在中，由正弦定理得，① 在中，由正弦定理得，② ①②得，，则， 在中，由余弦定理得. 故答案为：. 2．（24-25高三·广东·开学考试）在中，内角的对边分别为，且，若点在边上，且平分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以由正弦定理，得， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 因为0，所以， 所以， 由，得， 所以． 故选：C． 3．（2024·四川内江·三模）在△ABC中，角A的平分线AD与BC边相交于点D，若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】依题意，，设， 依题意是角A的角平分线，， 所以，，    由三角形的面积公式得， 整理得，则， 所以 . 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 4．（2024·四川绵阳·三模）在△ABC中，是边上一点，，若，且的面积为，则 . 【答案】 【详解】作的角平分线, 由得, 故是的角平分线， 根据等面积法可得, 由于, 所以， 又，所以， ， 所以，所以， 因此，故为等边三角形， 所以， ， 故答案为： 题型九、与高线有关的解三角形 典例精选 例．（2024·陕西·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若△ABC的面积为，周长为，则AC边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在△ABC中，由正弦定理及， 得，即，由余弦定理得， 则，由△ABC的面积为，得，解得， 由，得，又，因此， 令AC边上的高为，则，所以. 故选：B 题型精练 1．（2025·江苏·模拟预测）锐角△ABC中，，，，则AB边上的高CD长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为且△ABC为锐角三角形，可得， 所以， 因为△ABC为锐角三角形，所以，又， 所以，解得， 由正弦定理可得，所认， 设边上的高长为，所以， . 故选：D. 题型十、多三角形或四边形的解三角形 典例精选 例1．（2020·新课标Ⅰ·16）如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB= . 【答案】 【详解】，，， 由勾股定理得， 同理得，， 在中，，，， 由余弦定理得， ， 在中，，，， 由余弦定理得. 故答案为：. 例2．（2022·全国甲卷（理）·16）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ． 【答案】/ 【详解】[方法一]：余弦定理 设， 则在中，， 在中，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以当取最小值时，. 故答案为：. [方法二]：建系法 令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系. 则C（2t,0），A（1，），B（-t,0） [方法三]：余弦定理 设BD=x,CD=2x.由余弦定理得 ，， ，， 令，则， ， ， 当且仅当，即时等号成立. [方法四]：判别式法 设，则 在中，， 在中，， 所以，记， 则 由方程有解得： 即，解得： 所以，此时 所以当取最小值时，，即. 精准练习 1．（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，若，，，，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】在△ABC中，由余弦定理， 得，所以， 因为，所以， 在中，， 由正弦定理，得，所以． 故选:D． 2．（2024·四川乐山·三模）在△ABC中，点是边上靠近点的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则， ， 由余弦定理得， ，解得，， 所以，， . 故选：C. 3．（2024·江西九江·二模）已知在四边形中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，由，且，可得， 由正弦定理得，所以， 在中，由余弦定理得， 所以． 故选：D. 4．（2024·广东佛山·模拟预测）在△ABC中，，点在线段上，且，则△ABC的面积为 ． 【答案】 【详解】设，则， 在中，由余弦定理可得 ， 在中，由余弦定理可得 ，    又因为，所以， 所以，解得， 又，所以△ABC是直角三角形且， 所以. 故答案为：. 5．（2024·四川自贡·三模）如图，D为△ABC的边AC上一点，，，，则的最小值为 . 【答案】 【详解】设，则， 在中，，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 所以，当时，有最小值，此时取最小值， 所以. 故答案为：. 6．（2024·广东佛山·模拟预测）在△ABC中，，点在线段上，且，则△ABC的面积为 ． 【答案】 【详解】设，则， 在中，由余弦定理可得 ， 在中，由余弦定理可得 ，    又因为，所以， 所以，解得， 又，所以△ABC是直角三角形且， 所以. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$