专题10 二次根式的加减（9大题型 +过关训练）-2024-2025学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）

专题10 二次根式的加减 目录 【题型一 同类二次根式】 1 【题型二 分母有理化】 1 【题型三 二次根式的加减运算】 2 【题型四 比较二次根式的大小】 2 【题型五 二次根式的混合运算】 3 【题型六 已知字母的取值对二次根式进行化简求值】 3 【题型七 已知条件式对二次根式进行化简求值】 4 【题型八 二次根式中的新定义问题】 4 【题型九 二次根式中的阅读理解类问题】 5 【题型一 同类二次根式】 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）在，，中与是同类二次根式的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练】 1．（22-23九年级上·江苏盐城·开学考试）下列根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东东营·开学考试）如果与最简二次根式是同类二次根式，那么 ． 【题型二 分母有理化】 例题：（23-24八年级下·云南曲靖·期末）化简：= ． 【变式训练】 1．（2024八年级上·上海·专题练习）计算： ． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）观察下列运算： 由得；由 得；由得；…… (1)请写出的结果 ． (2)得出规律= ． (3)计算（写出过程）． 【题型三 二次根式的加减运算】 例题：（24-25九年级上·北京·开学考试）下列各式中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东德州·开学考试）计算 ． 2．（22-23八年级下·云南红河·阶段练习）计算：； 【题型四 比较二次根式的大小】 例题：（23-24八年级下·贵州安顺·期末）估算的结果（    ） A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）比较大小： （填“”“”或“”）． 【题型五 二次根式的混合运算】 例题：（23-24八年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）计算 (1)； (2)． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）计算∶ (1) (2) (3) 【题型六 已知字母的取值对二次根式进行化简求值】 例题：（2024·河北秦皇岛·一模）已知，，则代数式的值为（ ） A． B． C．3 D． 【变式训练】 1．（2024·河北沧州·一模）若 ，则（   ） A．2 B． C． D．3 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知x，y为正整数，，求 ． 【题型七 已知条件式对二次根式进行化简求值】 例题：（23-24八年级下·广东汕头·期中）若，则代数式的值为（    ） A．2005 B．2006 C．2007 D．2008 【变式训练】 1．（22-23八年级下·全国·单元测试）若，则的值是（    ） A． B．4 C．1 D．8 2．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）已知实数a，b，c满足，，则 ． 【题型八 二次根式中的新定义问题】 例题：（23-24九年级下·黑龙江绥化·期中）用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定※． 如：1※．则※的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）对于正整数a，b定义新运算“◎”，规定，则的运算结果为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）对于任意两个不相等的正实数a，b，定义一种新运算“”，即，如：，则 ． 【题型九 二次根式中的阅读理解类问题】 例题：（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）【阅读材料】 小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ； 【类比归纳】 （1）请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方； （2）请运用小明的方法化简：； 【变式探究】 （3）若，且均为正整数，求的值． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）阅读材料，解答下列问题． 材料：我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉．比如遇到一样的式子，可以将其进一步化简：．问题： (1)=______； (2)已知，求的值． 2．（23-24八年级下·安徽六安·期末）阅读下面问题： ； ； ； (1)直接写出：①的值为 ；②的值为 ； (2)试求的值． 一、单选题 1．（2024·贵州·模拟预测）下列二次根式中，与是同类二次根式的是 （    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）估计与最接近的整数是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知，则代数式的值为（    ） A．28 B．20 C． D． 4．（23-24八年级下·全国·期末）将化简为，其中a、b为整数，求之值为何？（　　） A．5 B．3 C． D． 5．（23-24八年级下·全国·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）计算的结果是 ． 7．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则式子的值是 ． 8．（22-23九年级下·四川成都·自主招生）比较大小   （填“”“”或者“”） 9．（22-23八年级下·江西南昌·阶段练习）已知，为实数，且，则 10．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）我们规定运算符号“”的意义是：当时，a； 当时， a，其他运算符号的意义不变，计算： 三、解答题 11．（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）计算 (1) (2) 12．（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的； (1) ； (2)化简：； (3)若，求的值． 13．（23-24八年级下·全国·单元测试）阅读下面的材料，并解答问题： ； ； ． (1)观察上面的等式，请直接写出化简为正整数的结果为 ； (2)计算： ； (3)请利用上面的规律及解法计算：． 14．（23-24八年级下·河南省直辖县级单位·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方，，，则， 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，大小，　　　　（填写，或者） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 15．（2024八年级下·全国·专题练习）若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求a的平方根； (2)对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“”如下：，如：，请求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 二次根式的加减 目录 【题型一 同类二次根式】 1 【题型二 分母有理化】 2 【题型三 二次根式的加减运算】 4 【题型四 比较二次根式的大小】 5 【题型五 二次根式的混合运算】 7 【题型六 已知字母的取值对二次根式进行化简求值】 9 【题型七 已知条件式对二次根式进行化简求值】 11 【题型八 二次根式中的新定义问题】 13 【题型九 二次根式中的阅读理解类问题】 14 【题型一 同类二次根式】 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）在，，中与是同类二次根式的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式的定义和二次根式的化简，先将已知二次根式进行化简，再结合同类二次根式的定义进行判别． 【详解】解：， ， ， 则，与是同类二次根式． 故选C． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·江苏盐城·开学考试）下列根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：、由，与不是同类二次根式，不符合题意； 、由，与不是同类二次根式，不符合题意； 、由，与不是同类二次根式，不符合题意； 、由，与是同类二次根式，符合题意； 故选：． 2．（23-24八年级下·山东东营·开学考试）如果与最简二次根式是同类二次根式，那么 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的性质，同类二次根式的定义，解一元一次方程，先根据二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的定义“根指数相同，被开方数相同”可得，解方程即可求解，掌握同类二次根式的定义，二次根式的性质，解一元一次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， ∵与是同类二次根式， ∴， 解得，， 故答案为： ． 【题型二 分母有理化】 例题：（23-24八年级下·云南曲靖·期末）化简：= ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，进行分母有理化即可计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 故答案为：． 【变式训练】 1．（2024八年级上·上海·专题练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的加减运算，熟练掌握分母有理化的方法是解答的关键．先分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）观察下列运算： 由得；由 得；由得；…… (1)请写出的结果 ． (2)得出规律= ． (3)计算（写出过程）． 【答案】(1)； (2)； (3)9 【分析】（1）根据，即可求解， （2）观察题目所给的式子得到规律即可得到答案， （3）根据对原式进行裂项，即可求解， 本题考查了，运用平方差公式进行分母有理化，二次根式的混合运算，解题的关键在于正确理解题意找到规律求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：； ； ； … ∴可以得到规律， 故答案为：； （3）解： ． 【题型三 二次根式的加减运算】 例题：（24-25九年级上·北京·开学考试）下列各式中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的加减、二次根式的乘法，根据二次根式的加减、乘法法则逐项判断即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算正确，符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； D、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东德州·开学考试）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减，先化简 ，然后根据二次根式的加减法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 2．（22-23八年级下·云南红河·阶段练习）计算：； 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先把各个二次根式化成最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】原式． 【题型四 比较二次根式的大小】 例题：（23-24八年级下·贵州安顺·期末）估算的结果（    ） A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算及无理数的估算，先利用乘法分配律进行乘法运算、再合并同类二次根式，最后进行估算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的结果在和之间． 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式的大小比较的方法和二次根式的运算法则．将、分别平方后，比较即可得． 【详解】解：∵，， ∴、， ∵， ∴． 故选C 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，先取、的绝对值，再平方，比较大小即可得到答案，熟练掌握无理数比较大小的方法是解决问题的关键． 【详解】解：，且， ，则， 故答案为：． 【题型五 二次根式的混合运算】 例题：（23-24八年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算及零指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化简，然后计算加减法即可； （2）先化为最简二次根式，再计算乘除，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则计算，再合并同类二次根式即可； （2）先根据乘法公式计算，再算加减即可． 【详解】（1） ； （2） 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）计算∶ (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）利用二次根式的性质化简，再合并即可； （）利用二次根式的性质化简，再合并即可； （）利用完全平方公式、平方差公式运算，再合并即可； 本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， ； （3）解：原式 ， ． 【题型六 已知字母的取值对二次根式进行化简求值】 例题：（2024·河北秦皇岛·一模）已知，，则代数式的值为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．先根据已知条件，求出和的值，再把所求代数式分解因式，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故选：B． 【变式训练】 1．（2024·河北沧州·一模）若 ，则（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，二次根式混合运算，熟练掌握完全平方公式及化简求值是解题的关键．根据完全平方公式将变形为，再代入，的值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴ ， 故选：D． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知x，y为正整数，，求 ． 【答案】8 【分析】将等式进行因式分解，得到，求得，即可求解．本题考查代数值求值、二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 又，为正整数， 则或 从而， 故答案为：8． 【题型七 已知条件式对二次根式进行化简求值】 例题：（23-24八年级下·广东汕头·期中）若，则代数式的值为（    ） A．2005 B．2006 C．2007 D．2008 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，根据题意得到，进而根据完全平方公式得到，由此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·全国·单元测试）若，则的值是（    ） A． B．4 C．1 D．8 【答案】A 【分析】先将原式变形为，再根据非负性的性质求出a、b、c的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，二次根式的化简求值，正确根据非负数的性质求出a、b、c的值是解题的关键． 2．（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）已知实数a，b，c满足，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，先把代入中得到，再由非负数的性质求出，进而求出，据此可得答案． 【详解】解；∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型八 二次根式中的新定义问题】 例题：（23-24九年级下·黑龙江绥化·期中）用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定※． 如：1※．则※的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义的新运算，进行计算即可解答；本题考查了二次根式的混合运算，理解定义的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ※ ； 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）对于正整数a，b定义新运算“◎”，规定，则的运算结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义计算，二次根式乘法运算，根据题意列出算式，利用二次根式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 2．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）对于任意两个不相等的正实数a，b，定义一种新运算“”，即，如：，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的性质．根据题目所给的新定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【题型九 二次根式中的阅读理解类问题】 例题：（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）【阅读材料】 小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ； 【类比归纳】 （1）请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方； （2）请运用小明的方法化简：； 【变式探究】 （3）若，且均为正整数，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或22 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）仿照小明的方法求解即可； （2）仿照小明的方法，将化成，再代入求解即可； （3）利用所给的方法进行分析，即可求解 【详解】解：（1） ； （2）∵ ， ∴ ； （3）， 或， 或． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）阅读材料，解答下列问题． 材料：我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉．比如遇到一样的式子，可以将其进一步化简：．问题： (1)=______； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）仿照题目给定的方法解答即可； （2）设，结合，解答即可． 本题考查了分母有理化，平方差公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：设， ∵， ∴， ∴， 解得． 故． 2．（23-24八年级下·安徽六安·期末）阅读下面问题： ； ； ； (1)直接写出：①的值为 ；②的值为 ； (2)试求的值． 【答案】(1)①；② (2)44 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、数字类规律探索，二次根式的混合运算，得出规律，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题目中的例子，计算即可得出答案； （2）根据题目中的例子得出，结合规律代入计算即可得出答案． 【详解】（1）解：①； ②； 故答案为：；； （2）解：， ， ， ， …， ， ∴ ． 一、单选题 1．（2024·贵州·模拟预测）下列二次根式中，与是同类二次根式的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查同类二次根式的概念，根据同类二次根式的概念，需要把各个选项化成最简二次根式，被开方数是3的即和是同类二次根式． 【详解】A．与不是同类二次根式，故该选项错误； B．与不是同类二次根式，故该选项错误； C．与是同类二次根式，故该选项正确； D．与不是同类二次根式，故该选项错误； 故选：C． 2．（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）估计与最接近的整数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质，先估算出的范围，再求出与中点与比较大小，进而得到最接近的整数 【详解】解：，，， ，即， ，且， ， ，即， 与最接近的整数是， 故选：C． 【点睛】本题考查利用二次根式的性质估算无理数的范围，得出的范围是，并取与得中点与比较大小是解决问题的关键． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）已知，则代数式的值为（    ） A．28 B．20 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的加减运算，主要考查学生的计算能力． 求出的值，再运用完全平方公式得出，代入计算即可． 【详解】解：，， ， ∴． 故选：B． 4．（23-24八年级下·全国·期末）将化简为，其中a、b为整数，求之值为何？（　　） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式化简和分母有理化，先将进行分母有理化求出a、b，即可求解． 【详解】 ∴ ∴ 故选：A ． 5．（23-24八年级下·全国·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算，用二次根式的加减，乘除运算法则逐一判定即可求解，掌握二次根式的性质化简，二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 二、填空题 6．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减法，先化简，再加减，据此求解即可． 【详解】 故答案为：． 7．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则式子的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，求代数式的值，先把已知条件变形得到，两边平方可得到，然后利用整体代入的方法计算的值．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴代数式的值为24． 故答案为：24． 8．（22-23九年级下·四川成都·自主招生）比较大小   （填“”“”或者“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的比较，利用作差法进行计算，比较即可解答． 【详解】解： ， ∵，，， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为： 9．（22-23八年级下·江西南昌·阶段练习）已知，为实数，且，则 【答案】5 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解出x，把x代入可得y，从而求出答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本想考查了二次根式有意义的条件，重点在于理解，计算细心． 10．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）我们规定运算符号“”的意义是：当时，a； 当时， a，其他运算符号的意义不变，计算： 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，实数新定义运算即二次根式的大小比较，先比较与，与的大小，再根据新定义列出式子，利用二次根式加减运算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查二次根式混合运算，实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式性质进行化简，根据零指数幂运算法则进行计算，再根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的； (1) ； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）利用分母有理化计算即可； （2）先将每一项分母有理化，然后合并即可； （3）先根据分母有理化得出，两边平方得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： = ； （3）解：， ， ，即， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，解答时一定要先化简再代入求值．二次根式运算到最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 13．（23-24八年级下·全国·单元测试）阅读下面的材料，并解答问题： ； ； ． (1)观察上面的等式，请直接写出化简为正整数的结果为 ； (2)计算： ； (3)请利用上面的规律及解法计算：． 【答案】(1) (2)1 (3)2023 【分析】此题考查分母有理化，二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则． （1）分子，分母都乘以，再化简即可； （2）直接利用平方差公式计算即可； （3）先计算括号内的运算，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：1； （3）解： ． 14．（23-24八年级下·河南省直辖县级单位·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方，，，则， 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，大小，　　　　（填写，或者） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键： （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用平方法进行比较即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：猜想，理由如下： ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 15．（2024八年级下·全国·专题练习）若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求a的平方根； (2)对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“”如下：，如：，请求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，求平方根，新定义下的实数运算,二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的定义及二次根式的化简是解题的关键． （1）根据同类二次根式的定义得出，求出a，再根据平方根的定义求出a的平方根即可； （2）先根据新运算求出，再根据新运算求出的值即可． 【详解】（1）最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得， 的平方根是； （2）， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$