专题09 二次根式的乘除（7大题型 +过关训练）-2024-2025学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）

专题09 二次根式的乘除 目录 【题型一 二次根式乘除法则成立的条件】 1 【题型二 二次根式乘除法混合运算】 1 【题型三 最简二次根式的辨别】 2 【题型四 化为最简二次根式】 2 【题型五 由最简二次根式的概念求值】 3 【题型六 将根号内和外因式或数的移动】 3 【题型七 二次根式的乘除运算的实际应用】 3 【题型一 二次根式乘除法则成立的条件】 例题：（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）若在实数范围内成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023八年级上·全国·专题练习）能使等式成立的条件是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·湖北咸宁·期中）若等式成立，则x的取值范围是 ． 【题型二 二次根式乘除法混合运算】 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）计算：； 【变式训练】 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）计算： (1)； (2)． 2．（24-25九年级上·甘肃天水·开学考试）计算： (1) (2) 【题型三 最简二次根式的辨别】 例题：（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·开学考试）下列根式中，不是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）二次根式、、、中，最简二次根式是 ． 【题型四 化为最简二次根式】 例题：（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）化为最简二次根式的结果为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·河南鹤壁·期中）将化为最简二次根式，其结果是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·河南南阳·期末）化为最简二次根式是 【题型五 由最简二次根式的概念求值】 例题：（21-22八年级下·河北邯郸·期中）若是最简二次根式，且可与合并，则a的值是（    ） A． B． C． D．3 【变式训练】 1．（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）若是最简二次根式，则自然数 ． 【题型六 将根号内和外因式或数的移动】 例题：（22-23八年级下·山东临沂·期末）把根号外的因式移进根号内，结果等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）式子化简的结果是（ ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·广东广州·期中）已知，，化简 ． 【题型七 二次根式的乘除运算的实际应用】 例题：（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）已知长方形相邻两边的长分别为、，则它的面积是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为18和32，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B． C．7 D．14 2．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两块面积分别为和的两块正方形木板，剩余木板的面积为 ． 一、单选题 1．（23-24八年级下·云南昭通·期末）下面式子中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列计算：①；②；③；④． 其中错误的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 3．（22-23九年级下·山东淄博·期中）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·河南平顶山·阶段练习）若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（    ） A．6.5 B．3 C．2 D．4 二、填空题 5．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）已知为最简二次根式，且能够与合并，则的值是 ． 6．（22-23八年级上·宁夏中卫·期中）化简： ． 7．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）当 时， 最简二次根式与 可以合并． 8．（22-23八年级下·湖南湘西·阶段练习）一只蚂蚁从棱长为的正方体纸箱的A点沿纸箱外表面爬到B点，那么它的最短路线的长是 ．    9．（23-24八年级下·全国·单元测试）如果是一个正整数，那么x可取的最小正整数值为 ． 10．（22-23八年级下·江西赣州·阶段练习）已知：，则 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·福建南平·期末）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分） (1)背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其它部分贴壁纸，若壁纸造价为22元，大理石造价为200元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 12．（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）已知x，y为实数，且，求代数式的值． 13．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）计算： (1) (2) 14．（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读理解： 形如的式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使，，，，那么便有． 例如：化简． 解：这里，， 由于，，即，， 所以＝． 请根据材料解答下列问题： (1)填空：＝ ； (2)化简：（请写出计算过程）； (3)化简：． 15．（23-24八年级下·广西百色·期中）某小区有一块长为，宽为的长方形空地．解答下面的问题： (1)求该空地的周长（结果化为最简二次根式）； (2)现要在该空地上种植草坪进行绿化，若种植草坪的造价为元/，求绿化该空地所需的总费用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 二次根式的乘除 目录 【题型一 二次根式乘除法则成立的条件】 1 【题型二 二次根式乘除法混合运算】 2 【题型三 最简二次根式的辨别】 4 【题型四 化为最简二次根式】 5 【题型五 由最简二次根式的概念求值】 6 【题型六 将根号内和外因式或数的移动】 7 【题型七 二次根式的乘除运算的实际应用】 8 【题型一 二次根式乘除法则成立的条件】 例题：（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）若在实数范围内成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的除法法则，根据直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴，， 解得：， 故选：D． 【变式训练】 1．（2023八年级上·全国·专题练习）能使等式成立的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件可得到关于的一元一次不等式组，求解即可得到答案． 【详解】根据题意，得 由①，得 ． 解不等式②，得 ． 所以，不等式组的解集为． 所以，等式成立的条件是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和二次根式有意义的条件，能根据二次根式有意义的条件得到一元一次不等式组是解题的关键． 2．（22-23八年级下·湖北咸宁·期中）若等式成立，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义分别列出不等式，求解即可． 【详解】解：由题意，，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的定义，掌握二次根式有意义的基本条件是解题关键． 【题型二 二次根式乘除法混合运算】 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法混合计算，直接根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)27； (2)． 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可； （2）根据二次根式的混合运算法则求解即可； 【详解】（1） ； （2） ． 2．（24-25九年级上·甘肃天水·开学考试）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化简每一项，再进行合并同类二次根式； （2）先进行二次根式的乘除法运算，最后再合并同类二次根式． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 【题型三 最简二次根式的辨别】 例题：（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·开学考试）下列根式中，不是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式，故符合题意； B、是最简二次根式，故不符合题意； C、是最简二次根式，故不符合题意； D、是最简二次根式，故不符合题意； 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·福建福州·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式是被开方数不含能开得尽的因数或因式，被开方数不含分母，可得答案． 【详解】解：．，故该选项不符合题意； ．是最简二次根式，故该选项符合题意； ．，故该选项不符合题意； ．，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）二次根式、、、中，最简二次根式是 ． 【答案】、 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：、是最简二次根式， 被开方数含有分母，被开方数含有能开得尽方的因式，都不是最简二次根式． 故答案为：、． 【题型四 化为最简二次根式】 例题：（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）化为最简二次根式的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简，解题关键是熟练运用二次根式性质进行化简，准确进行计算． 【详解】， 故选：B． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·河南鹤壁·期中）将化为最简二次根式，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的化简方法即可得． 【详解】解：原式， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握化简方法是解题关键． 2．（22-23九年级上·河南南阳·期末）化为最简二次根式是 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，和化简方法即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质，化简方法是解题的关键． 【题型五 由最简二次根式的概念求值】 例题：（21-22八年级下·河北邯郸·期中）若是最简二次根式，且可与合并，则a的值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：， ∵是最简二次根式，且可与合并， ， ， 故选D． 【点睛】本题考查同类二次根式以及最简二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式以及最简二次根式，本题属于基础题型． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【答案】A 【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式． ． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）若是最简二次根式，则自然数 ． 【答案】0或1 【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式是解题的关键． 由是最简二次根式，可得，由n是自然数，作答即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， 又∵n是自然数， ∴或1， 故答案为：0或1． 【题型六 将根号内和外因式或数的移动】 例题：（22-23八年级下·山东临沂·期末）把根号外的因式移进根号内，结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质化简即可得到答案． 【详解】解：, 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式性质，熟练掌握二次根式性质化简是解决问题的关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）式子化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的性质：时，；时，；时，，二次根式有意义的条件，熟练掌握是解决问题的关键．由得，得到，得到，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵中，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 2．（22-23八年级下·广东广州·期中）已知，，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，根据算术平方根的非负性可求得结果，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： ． 【题型七 二次根式的乘除运算的实际应用】 例题：（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）已知长方形相邻两边的长分别为、，则它的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键．直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵长方形相邻两边的长分别为、， ∴它的面积是：． 故选：A 【变式训练】 1．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为18和32，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B． C．7 D．14 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根，二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．先求出大、小正方形的边长，进而列式计算阴影部分的面积即可． 【详解】解：由题意可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴图中阴影部分的面积为：， 故选：A． 2．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出两块面积分别为和的两块正方形木板，剩余木板的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的化简和运算是解题的关键． 先求出正方形的边长，即可求出剩余木板的面积． 【详解】解：由题意得两个正方形的边长为，， ∴剩余木板的面积为， 故答案为：15． 一、单选题 1．（23-24八年级下·云南昭通·期末）下面式子中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，根据被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，这样的二次根式叫做最简二次根式，进行判断即可． 【详解】解：，，，不是二次根式，是最简二次根式， 故选：D． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列计算：①；②；③；④． 其中错误的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式乘除运算．根据二次根式乘除运算法则，逐项判断即可求解． 【详解】解：①，正确； ②，正确； ③，原计算错误； ④，正确． 故选：C 3．（22-23九年级下·山东淄博·期中）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，以及二次根式的乘除法，根据二次根式的性质及二次根式乘除法则计算即可得到答案． 【详解】解∶． ，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 4．（23-24八年级上·河南平顶山·阶段练习）若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（    ） A．6.5 B．3 C．2 D．4 【答案】C 【分析】先化简，再根据与最简二次根式是同类二次根式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：， ∵与最简二次根式能合并成一项， ∴与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简、最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解题关键． 二、填空题 5．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）已知为最简二次根式，且能够与合并，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，根据最简二次根式可合并，可得同类二次根式，根据同类二次根式，可得关于的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：由最简二次根式与可以合并，得 ． 解得， 故答案为：． 6．（22-23八年级上·宁夏中卫·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，二次根式的性质，掌握相关运算法则是解题关键．先计算二次根式的乘法，再计算除法，最后化为最简二次根式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）当 时， 最简二次根式与 可以合并． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的定义，两个最简二次根式可以合并，则它们是同类二次根式，根据同类二次根式的定义可得到，然后解方程即可． 【详解】解：∵ 最简二次根式与 可以合并， ∴， 解得， 故答案为：． 8．（22-23八年级下·湖南湘西·阶段练习）一只蚂蚁从棱长为的正方体纸箱的A点沿纸箱外表面爬到B点，那么它的最短路线的长是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和点B间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于棱长，另一条直角边长等于两条棱长，利用勾股定理可求得． 【详解】解：∵展开后如下图所示，则有， 由勾股定理得：， ∴或（舍去）． ∴它的最短路线的长是， 故答案为：．    9．（23-24八年级下·全国·单元测试）如果是一个正整数，那么x可取的最小正整数值为 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，首先化简，再确定x的最小正整数的值． 【详解】∵， ∴x可取的最小正整数的值为2， 故答案为：2． 10．（22-23八年级下·江西赣州·阶段练习）已知：，则 ． 【答案】2 【分析】根据平方差公式及二次根式的除法即可得解． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∴， 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了平方差公式及二次根式的除法，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 三、解答题 11．（23-24八年级下·福建南平·期末）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分） (1)背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其它部分贴壁纸，若壁纸造价为22元，大理石造价为200元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1)背景墙的周长为 (2)整个电视背景墙需要花费元 【分析】本题主要考查二次根式的应用： （1）背景墙长方形的周长，根据最简二次根式的定义化简即可； （2）分别求出大理石的面积和壁纸的面积即可，求解面积需要根据二次根式的乘法和加减运算法则计算． 【详解】（1）背景墙长方形的周长． 答：背景墙的周长为． （2）长方形的面积： ． 大理石的面积：． 壁纸的面积：． 整个电视墙的总费用：(元)． 答：整个电视背景墙需要花费元． 12．（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）已知x，y为实数，且，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，化简二次根式，代数式求值，先根据二次根式被开方数的非负性求出x的值，进而求出y值，再代入求值即可． 【详解】解：， ，， ， ， ， ． 13．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算． （1）先利用二次根式的性质化简，然后再进行加减运算即可． （2）先利用二次根式的性质化简，化简绝对值，然后计算二次根式的乘法，最后再进行二次根式的加减运算． 【详解】（1）解： （2） 14．（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读理解： 形如的式子的化简，只要我们找到两个正数a，b，使，，，，那么便有． 例如：化简． 解：这里，， 由于，，即，， 所以＝． 请根据材料解答下列问题： (1)填空：＝ ； (2)化简：（请写出计算过程）； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】本题是一道阅读理解题，主要考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键是掌握题目中告知问题的解题思路与方法，然后利用这种解题方法解决新问题． （1）直接根据阅读材料进行变换化简即可； （2）根据例题把，变成，然后根据阅读材料进行化简； （3）先根据阅读材料将各式化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：∵，，即，， ∴． （2）解：首先把化为，这里，， ∵，，即，， ∴． （3）解： ． 15．（23-24八年级下·广西百色·期中）某小区有一块长为，宽为的长方形空地．解答下面的问题： (1)求该空地的周长（结果化为最简二次根式）； (2)现要在该空地上种植草坪进行绿化，若种植草坪的造价为元/，求绿化该空地所需的总费用． 【答案】(1)该空地的周长是m (2)绿化该空地所需的总费用是元 【分析】本题考查二次根式的应用，根据题意列出算式和掌握二次根式运用法则是解题的关键． （1）根据长方形周长公式列式计算即可； （2）用空地面积乘以，列式计算即可． 【详解】（1）解： 答：该空地的周长是m． （2）解： （元）． 答：绿化该空地所需的总费用是元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$