专题08 二次根式（9大题型 +过关训练）-2024-2025学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）

专题08 二次根式 目录 【题型一 辨别二次根式】 1 【题型二 二次根式有意义的条件】 2 【题型三 求二次根式的值】 3 【题型四 由二次根式的非负性求字母的值】 5 【题型五 由二次根式的非负性求字母的取值范围】 6 【题型六 由二次根式的值求参数】 7 【题型七 根据二次根式是整数求字母的值】 9 【题型八 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】 10 【题型九 复合二次根式的化简求值】 11 【题型一 辨别二次根式】 例题：（21-22八年级上·全国·单元测试）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，熟知式子叫二次根式是解题的关键．根据二次根式的定义即可逐一判断． 【详解】解：A、的被开方数，在实数范围内无意义，不是二次根式，故本选项错误； B、的被开方数，在实数范围内无意义，不是二次根式，故本选项错误； C、的根指数为2，且被开方数，是二次根式，故本选项正确； D、的被开方数，在实数范围内无意义，不是二次根式，故本选项错误． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·四川眉山·开学考试）下列各式中为二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，注意有意义的条件是根号内的数为非负数．根据二次根式有意义的条件逐个判断即可． 【详解】二次根式有意义的条件是根号内的数为非负数 解：A．是二次根式，故A符合题意； B．，是负数，无意义，不是二次根式，故B不符合题意； C．是三次根式，不是二次根式，故C不符合题意； D．中，无意义，不是二次根式，故D不符合题意． 故选：A． 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列各式中，不是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的定义，直接根据二次根式的定义：一般地我们把形如的式子叫做二次根式，逐项判定即可得出结论． 【详解】解：．，，符合二次根式的定义，故该选项不符合题意； ．，，不符合二次根式的定义，故该选项符合题意； ．，，符合二次根式的定义，故该选项不符合题意； ．，，符合二次根式的定义，故该选项不符合题意； 故选：B． 【题型二 二次根式有意义的条件】 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0．根据二次根式有意义的条件计算即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·宁夏石嘴山·期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“被开方数是非负数”．根据二次根式有意义的条件得到，解之即可求出的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选：B． 2．（22-23八年级下·山东滨州·期中）在代数式中，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【题型三 求二次根式的值】 例题：（23-24八年级下·浙江温州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查二次根式，将已知数值代入原式并进行正确的运算是解题的关键．将代入二次根式中计算即可． 【详解】解：当时， 原式， 故选：C 【变式训练】 1．（2024·河北张家口·三模）若，则计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质和化简，先根据求出，即可求解． 【详解】∵ ∴ ∴ 故选：A． 2．（21-22八年级上·全国·单元测试）已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先将变形为，再将代入即得答案． 【详解】∵， ∴ ． 故答案为：． 【题型四 由二次根式的非负性求字母的值】 例题：1．（24-25九年级上·北京·开学考试）要使二次根式有意义，x的值可以是（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义，即被开方数为非负数，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴ 故选：A 【变式训练】 1．（23-24七年级下·云南昭通·期末）若为实数，且满足，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查非负数的性质，解题的关键是熟知绝对值的性质.根据非负数的性质列出算式，求出、的值，根据乘方法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，，， ∴， 故选． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）已知a，b为实数，且a，b满足，则 【答案】/ 【分析】本题考查代数式求值，涉及到二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件得出a，b值，代入所求代数式求值即可得到结论． 【详解】解：， 即， ，解得， 将代入得， ， 故答案为：． 【题型五 由二次根式的非负性求字母的取值范围】 例题：（23-24九年级下·山东烟台·期末）若成立，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 由题意得，，，计算求解即可． 【详解】解：∵成立， ∴，， 解得，， 故选：C． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·四川眉山·开学考试）已知实数a满足，则 ． 【答案】2022 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件以及实数的运算．根据二次根式有意义可得a的取值范围，再根据绝对值的性质解答即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：2022． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）若，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据开平方和一个数的平方的性质将式子进行化简，利用负数的绝对值等于它的相反数即可求出的取值范围．本题考查了二次根式以及绝对值化简，解题的关键在于一个未知数开方的结果要带绝对值，一个带根号的未知数的平方等于原来的数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【题型六 由二次根式的值求参数】 例题：（20-21九年级上·四川眉山·阶段练习）若|x+2|+＝0，则的值为（　　） A．5 B．﹣6 C．6 D．36 【答案】C 【分析】先根据非负数的性质求出x、y，然后把x、y的值代入所求式子根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵|x+2|+＝0， ∴x+2＝0，y－3=0，解得：x=﹣2，y=3， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了非负数的性质和算术平方根的定义，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即，解得， 故选：C． 2．（23-24九年级上·甘肃天水·阶段练习）计算：如果，那么 ； ． 【答案】 5 【分析】根据二次根式的非负性解答即可，即． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：5，． 【点睛】本题考查了二次根式的双重非负性，熟知是解题的关键． 【题型七 根据二次根式是整数求字母的值】 例题：（23-24八年级下·广东韶关·期中）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解：是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为6， 故选：D． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．11 【答案】B 【分析】先根据二次根式求出m的取值范围，再根据是整数对m的值进行分析讨论． 【详解】解：由题意得：，解得， 又因为是整数， ∴是完全平方数， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，自然数m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3， 故答案选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等于0的整数是解答本题的关键． 2．（22-23八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若为整数，则x的最小正整数值为 ． 【答案】2 【分析】对被开方数进行分解，得，要使为整，则最小要保证被开方式能开尽，得出答案． 【详解】解： 的最小正整数值是2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了最简二次根式的内容，其中对被开方数的分解是解决本题的关键． 【题型八 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】 例题：（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ）． A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据数轴确定，结合，化简计算即可． 本题考查了数轴，绝对值，二次根式的化简，熟练掌握化简的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故． 故选D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）若a，b为实数，，则化简式子等于（　　） A．a B． C．b D． 【答案】C 【分析】此题考查了实数的绝对值和二次根式的性质，利用绝对值和二次根式的性质化简后合并同类项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．（22-23八年级下·山东泰安·期末）已知，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质得，再根据将绝对值化简，即得答案． 【详解】解：原式 ， ， ，， ∴原式 ． 故答案为：． 【题型九 复合二次根式的化简求值】 例题：（22-23八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先把变形为，然后把代入计算即可． 【详解】解：， ∴ 故答案为：． 2．（22-23八年级上·河南郑州·开学考试）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，由于即，； ． 由上述例题的方法化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，读懂阅读材料中的方法是解题的关键．先将原式变形，再由，，仿照阅读材料中的方法计算即可． 【详解】解：，这里， 由于，， ∴， ∴ ． 一、单选题 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）若 有意义，则 的值是（   ） A． B．2 C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求一个数的算术平方根，根据题意得，可求出，再得代数式，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∴， 故选：B ． 2．（22-23八年级上·河南郑州·期末）如果有意义，那么代数式的值为（    ） A． B．8 C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，化简绝对值和二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据绝对值的意义和二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴； 故选B． 3．（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义即可求出答案． 【详解】由题意可知：， ， ∵是整数，是正整数， ∴或7或8， ， 故选：D． 4．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题关键．将代入二次根式计算求值即可． 【详解】解：当时，， 故选：C． 5．（23-24九年级上·辽宁盘锦·开学考试）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如（）是二次根式，注意二次根式的被开方数是非负数即可得解． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，该选项不符合题意； B、当时，不是二次根式，该选项不符合题意； C、是三次根式，该选项不符合题意； D、 ， 是二次根式，该选项符合题意； 故选：D． 二、填空题 6．（2024·湖南长沙·模拟预测）要使二次根式有意义，则应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解决问题的关键．根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解． 【详解】解：根据二次根式有意义得：， 解得：． 故答案为：． 7．（22-23八年级下·湖北恩施·期末）阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 【答案】/ 【分析】仿照题意进行求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意是解题的关键． 8．（23-24九年级上·云南昆明·开学考试）当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义以及二次根式求值．代入求值是解题的关键． 把的值代入已知二次根式中，然后将其化为最简二次根式． 【详解】解：把代入，得． 故答案为：． 9．（23-24八年级下·全国·期中）已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式的结果等于 ． 【答案】 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式和绝对值，根据点在数轴上的位置，确定式子的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的意义，进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴． ∴原式． 故答案为： 10．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据题意求出的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得， ， ， 故． 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24八年级下·湖北·阶段练习）（1）已知，如图所示，实数在数轴上的位置．化简：． （2）先化简，再求值：，其中分别为的整数部分和小数部分． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先根据数轴判断，，的正负数，再根据绝对值的意义化简求解； （2）根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式和合并同类项的方法可以化简题目中的式子，然后根据、分别为的整数部分和小数部分，可以写出、的值，然后代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：（1）根据数轴可得：， ，，， ； （2） ， ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为， 、分别为的整数部分和小数部分， ，， 原式． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与求值，整式的化简求值、估算无理数的大小，绝对值的化简，熟练掌握各知识点是解题的关键． 12．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）已知满足等式． (1)求出的值分别是多少？ (2)试求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了化简二次根式和二次根式有意义的条件： （1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于求出a的值，进而求出b的值即可； （2）根据（1）所求，代值计算即可． 【详解】（1）解：∵式子有意义， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵，， ∴ ． 13．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）先阅读下列解答过程： 材料一：形如的式子的化简，只要我们找到两个正数，使， 即，，那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， 所以． 材料科二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如： ， 请根据材枓解答下列问题： (1)填空：①______；  ②______． (2)化简：（诸写出计算过程）； (3)化简：． 【答案】(1)①；② (2) (3)1 【分析】本题主要考查了化简二次根式，分母有理化： （1）①仿照题意求解即可；②根据分母有理化的方法求解即可； （2）根据例题把，变成，然后根据阅读材料进行化简； （3）先根据阅读材料将分母进行化简，然后分母有理化，再合并同类二次根式化为最简形式． 【详解】（1）解：①∵，，即，， ∴； ②； （2）解：解： ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：； （3）解： ． 14．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，3，3 (2)①无解，②不能，理由见解析 【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程． （1）根据题意可直接进行求解； （2）①先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； ②先设，根据题意中的方法解该方程，根据方程的解的情况即可解答． 【详解】（1）解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． （2）解：① 移项，得 去根号，两边同时平方得， 即 解得：， 检验：时，方程左边右边， ∴不是原方程的解，原方程无解； ②若代数式的值等于7，即， 移项，得， 两边同时平方，得， 化简，得， 两边同时平方，得， ∴该方程无解， ∴代数式的值不能等于7． 15．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）若求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， 解得， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 二次根式 目录 【题型一 辨别二次根式】 1 【题型二 二次根式有意义的条件】 1 【题型三 求二次根式的值】 2 【题型四 由二次根式的非负性求字母的值】 2 【题型五 由二次根式的非负性求字母的取值范围】 2 【题型六 由二次根式的值求参数】 3 【题型七 根据二次根式是整数求字母的值】 3 【题型八 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】 3 【题型九 复合二次根式的化简求值】 4 【题型一 辨别二次根式】 例题：（21-22八年级上·全国·单元测试）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·四川眉山·开学考试）下列各式中为二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列各式中，不是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【题型二 二次根式有意义的条件】 例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·宁夏石嘴山·期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·山东滨州·期中）在代数式中，的取值范围是 ． 【题型三 求二次根式的值】 例题：（23-24八年级下·浙江温州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式训练】 1．（2024·河北张家口·三模）若，则计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·全国·单元测试）已知，则代数式的值是 ． 【题型四 由二次根式的非负性求字母的值】 例题：1．（24-25九年级上·北京·开学考试）要使二次根式有意义，x的值可以是（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【变式训练】 1．（23-24七年级下·云南昭通·期末）若为实数，且满足，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）已知a，b为实数，且a，b满足，则 【题型五 由二次根式的非负性求字母的取值范围】 例题：（23-24九年级下·山东烟台·期末）若成立，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·四川眉山·开学考试）已知实数a满足，则 ． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·阶段练习）若，则的取值范围是 ． 【题型六 由二次根式的值求参数】 例题：（20-21九年级上·四川眉山·阶段练习）若|x+2|+＝0，则的值为（　　） A．5 B．﹣6 C．6 D．36 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 2．（23-24九年级上·甘肃天水·阶段练习）计算：如果，那么 ； ． 【题型七 根据二次根式是整数求字母的值】 例题：（23-24八年级下·广东韶关·期中）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练】 1．（22-23七年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．11 2．（22-23八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若为整数，则x的最小正整数值为 ． 【题型八 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】 例题：（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ）． A． B． C． D．2 【变式训练】 1．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）若a，b为实数，，则化简式子等于（　　） A．a B． C．b D． 2．（22-23八年级下·山东泰安·期末）已知，化简： ． 【题型九 复合二次根式的化简求值】 例题：（22-23八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川达州·期末）已知 ，则 ． 2．（22-23八年级上·河南郑州·开学考试）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，由于即，； ． 由上述例题的方法化简：． 一、单选题 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）若 有意义，则 的值是（   ） A． B．2 C． D．7 2．（22-23八年级上·河南郑州·期末）如果有意义，那么代数式的值为（    ） A． B．8 C． D．无法确定 3．（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 4．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24九年级上·辽宁盘锦·开学考试）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·湖南长沙·模拟预测）要使二次根式有意义，则应满足的条件是 ． 7．（22-23八年级下·湖北恩施·期末）阅读材料：如果我们能找到两个正整数，使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根式” ． 8．（23-24九年级上·云南昆明·开学考试）当时，二次根式的值为 ． 9．（23-24八年级下·全国·期中）已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式的结果等于 ． 10．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）已知，则 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·湖北·阶段练习）（1）已知，如图所示，实数在数轴上的位置．化简：． （2）先化简，再求值：，其中分别为的整数部分和小数部分． 12．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）已知满足等式． (1)求出的值分别是多少？ (2)试求的值． 13．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）先阅读下列解答过程： 材料一：形如的式子的化简，只要我们找到两个正数，使， 即，，那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， 所以． 材料科二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如： ， 请根据材枓解答下列问题： (1)填空：①______；  ②______． (2)化简：（诸写出计算过程）； (3)化简：． 14．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 15．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）若求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$