专题16 幂函数、对勾函数（2大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第一册）

专题16 幂函数、对勾函数 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 题型一、幂函数 3 题型二、对勾函数 5 压轴能力测评（13题） 6 一、幂函数 解析式 图像 在第一象限内指数的变化规律：在上，指数越大，幂函数图像越靠近轴，简记“指大图低"；在上，指数越大，幂函数图像越远离轴。 定义域 当取正整数时，定义域为R； 当取零或负整数时，定义域为； 当取分数时，可以化为根式，利用根式的要求求定义域； 定点 图像过点和点 图像过点 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在第一象限内，当时，图像上凸；当时，图像下凸 在第一象限内，图像都下凸 奇偶性 当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数 微结论 (1) 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限； (2) 幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. (互质且) 奇偶性 都为奇数 奇函数 为奇数，为偶数 既不是奇函数，也不是偶函数 为偶数，为奇数 偶函数 二、对勾函数 解析式 图像 定义域 值域 奇偶性 奇函数 单调性 在上是增函数，在是减函数 在上是增函数，在是减函数 【注】基本不等式，当且仅当时取到最小值，即时， 【题型一 幂函数】 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽·阶段练习）函数与在同一平面直角坐标系中的图象不可能为（    ） A．   B．   C．   D．   二、多选题 2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知幂函数的图像关于y轴对称，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 3．（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若幂函数的图象经过点，则函数的解析式为 B．若函数，则在区间上单调递减 C．若正实数m，n满足，则 D．若函数，则对任意，，且，有 三、解答题 4．（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）已知幂函数满足. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 5．（23-24高一下·山东滨州·开学考试）已知幂函数的图象过点 (1)解不等式：； (2)设，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 6．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知幂函数在区间上是单调递增，定义域为R的奇函数满足时，. (1)求的解析式； (2)在时，解不等式； (3)若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 【题型二 对勾函数】 一、多选题 1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，下面有关结论正确的有（    ） A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递减 D．图象关于原点对称 二、填空题 2．（22-23高一上·广东东莞·期中）因函数的图象形状象对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”该函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数，若对勾函数 对于任意的，都有，则实数的最大值为 . 3．（23-24高一上·江西·阶段练习）形如的函数被我们称为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上是减函数，在上是增函数.已知函数在上的最大值比最小值大，则 . 三、解答题 4．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知函数，其中. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围. 5．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）由于函数的图象形状如勾，因此我们称形如“”的函数叫做“对勾函数”，该函数有如下性质：在上是减函数，在上是增函数． (1)已知函数，，利用题干性质，求函数的单调区间和值域； (2)若对于，都有恒成立，求m的取值范围． 6．（23-24高一上·河南郑州·期中）对勾函数是形如的函数，其中为自变量，是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，因其图象而得名.已知对勾函数，在区间上的单调性是：在区间上单调递减，在区间上单调递增. (1)若对勾函数，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增； (2)若对勾函数，写出函数的单调区间（不必证明）并作出函数的图象.    (3)已知对勾函数，，二次函数，设的最大值为，若，，求实数的取值范围 一、单选题 1．（24-25高三上·山东济宁·开学考试）“或”是“幂函数在上是减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，则下列选项错误的是（    ） A．的图象过点 B．的图象关于轴对称 C．在上单调递增 D． 3．（2024高二下·湖南·学业考试）已知，且函数在上是增函数，则（    ） A． B． C． D．3 4．（24-25高三上·山东青岛·开学考试）设，若是的最小值，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·江苏徐州·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·山东德州·阶段练习）已知函数，，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一上·河南新乡·阶段练习）关于幂函数，下列结论正确的是（    ） A．的图象经过原点 B．为偶函数 C．的值域为 D．在区间上单调递增 8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（ ） A．4 B．12 C． D． 三、填空题 9．（23-24高一上·天津·期中）若幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为 ． 10．（23-24高一上·湖北武汉·期末）若幂函数为偶函数，则不等式的解集为 . 11．（22-23高一上·江苏盐城·阶段练习）因函数的图像形状像对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”．该函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数，若对勾函数对于任意的，都有，则实数t的最大值为 ． 四、解答题 12．（23-24高一上·北京·期中）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)证明在上是增函数； (3)求在上的最大值及最小值． 13．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数． (1)若是幂函数，且是奇函数，求实数的值； (2)若在第一象限内是严格增函数，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 幂函数、对勾函数 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 题型一、幂函数 3 题型二、对勾函数 8 压轴能力测评（13题） 14 一、幂函数 解析式 图像 在第一象限内指数的变化规律：在上，指数越大，幂函数图像越靠近轴，简记“指大图低"；在上，指数越大，幂函数图像越远离轴。 定义域 当取正整数时，定义域为R； 当取零或负整数时，定义域为； 当取分数时，可以化为根式，利用根式的要求求定义域； 定点 图像过点和点 图像过点 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在第一象限内，当时，图像上凸；当时，图像下凸 在第一象限内，图像都下凸 奇偶性 当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数 微结论 (1) 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限； (2) 幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. (互质且) 奇偶性 都为奇数 奇函数 为奇数，为偶数 既不是奇函数，也不是偶函数 为偶数，为奇数 偶函数 二、对勾函数 解析式 图像 定义域 值域 奇偶性 奇函数 单调性 在上是增函数，在是减函数 在上是增函数，在是减函数 【注】基本不等式，当且仅当时取到最小值，即时， 【题型一 幂函数】 一、单选题 1．（23-24高一上·安徽·阶段练习）函数与在同一平面直角坐标系中的图象不可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】对B选项，根据确定，二次函数开口向下，不满足，其他选项满足类幂函数和二次函数性质，得到答案. 【详解】，当时，二次函数对称轴为， 对选项A：根据确定，二次函数开口向下，对称轴在轴右边，满足； 对选项B：根据确定，二次函数开口向下，不满足； 对选项C：根据确定，二次函数开口向上，对称轴在轴左边，满足； 对选项D：取，则，，满足图像； 故选：B 二、多选题 2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知幂函数的图像关于y轴对称，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据题意，由幂函数的性质可得，再由其单调性以及奇偶性即可得到结果. 【详解】因为幂函数的图像关于y轴对称， 所以函数为偶函数，则，即， 又，由幂函数的单调性可知，函数在上单调递减， 所以，故B正确，A错误； 因为，在上单调递减，且函数为偶函数 则，故D正确，C错误. 故选：BD 3．（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若幂函数的图象经过点，则函数的解析式为 B．若函数，则在区间上单调递减 C．若正实数m，n满足，则 D．若函数，则对任意，，且，有 【答案】ACD 【分析】根据待定系数法求解即可判断A；结合幂函数的单调性性质判断B；根据幂函数的单调性判断C；根据作差法比较大小即可判断D. 【详解】解：对于选项A，设幂函数为，代入点，即，解得，所以幂函数的解析式为，故A正确； 对于选项B，函数是偶函数且在区间上单调递减，所以函数在区间上单调递增，故B错误； 对于选项C，因为函数在上单调递增，，满足， 所以， 因为函数在上单调递减，则，故C正确； 对于选项D，由于，,\ 则，，， 所以 ， 所以，故D正确. 故选：ACD． 三、解答题 4．（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）已知幂函数满足. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据幂函数的定义求出的值，结合单调性，确定的值，从而得到的解析式； （2）根据的单调性求解不等式. 【详解】（1）由是幂函数， 可得，解得或； 当时，在上单调递减，不满足； 当时，在上单调递增，满足， 故. （2）由（1）知，则函数的定义域为，且函数在上单调递增， 又， 所以解得， 所以实数的取值范围是. 5．（23-24高一下·山东滨州·开学考试）已知幂函数的图象过点 (1)解不等式：； (2)设，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象所过点求出幂函数解析式，再由二次不等式求解即可； （2）分离参数后由题意转化为求二次函数的最小值即可得解. 【详解】（1）因为幂函数的图象过点， 所以，解得 所以， 由， 所以， 整理得，即 解得或 故不等式的解集为 （2）由（1）可知，，则， 由得，， 即， 令，根据题意，存在实数，， 则 ，由于， 所以当时，取最小值，故， 所以的取值范围为. 6．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知幂函数在区间上是单调递增，定义域为R的奇函数满足时，. (1)求的解析式； (2)在时，解不等式； (3)若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性，奇函数的性质进行求解即可； （2）运用平方法进行求解即可； （3）利用函数的奇偶性和单调性，结合配方法进行求解即可. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以有，或， 当时，函数在区间上是单调递减，不符合题意； 当时，在区间上是单调递增，符合题意， 所以， 因为函数是定义域为R的奇函数，则， 所以当时， 因此的解析式为：； （2）因为时，， 所以由，又， 所以， 所以不等式的解集为； （3）当时，，此时函数单调递增，且， 当时，，此时函数单调递增，且，而， 因此奇函数是R上的增函数，于是由 恒成立， 又， 所以， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用奇函数的性质和单调性进行求解. 【题型二 对勾函数】 一、多选题 1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，下面有关结论正确的有（    ） A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递减 D．图象关于原点对称 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合定义域的求法，基本不等式，以及函数单调性的定义和奇偶性的判定的方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数有意义，则满足， 所以函数定义域为，所以A正确； 对于B中，当时，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以； 当时，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 所以函数的值域为，所以B正确； 对于C中，函数在上单调递减，所以C不正确； 对于D中，函数定义域为，关于原点对称， 且满足，所以函数为奇函数， 函数的图象关于原点对称，所以D正确. 故选：ABD. 二、填空题 2．（22-23高一上·广东东莞·期中）因函数的图象形状象对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”该函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数，若对勾函数 对于任意的，都有，则实数的最大值为 . 【答案】/0.75 【分析】由，移项后代入，构造新的关系式，对分类讨论，转化为恒成立问题即可解决. 【详解】因为，则，，即 当，因为，则，. 当即时，恒成立，所以. 综上, 所以实数的最大值为. 故答案为： 3．（23-24高一上·江西·阶段练习）形如的函数被我们称为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上是减函数，在上是增函数.已知函数在上的最大值比最小值大，则 . 【答案】1 【分析】由奇偶性和单调性的综合性得到在上的最大值比最小值大，根据函数的单调性，讨论相对于区间的位置关系来求得最值差构建关于的方程，求解即可. 【详解】j为奇函数，且在上的最大值比最小值大， 所以在上的最大值比最小值大. 由对勾函数的性质可得在上单调减，在上单调递增. 当时，即时， 在上单调递增. 则， 解得. 当时，即时， 在上单调递减，在上单调递增. ， 因为，所以， 所以， 解得（舍去）或9（舍去）. 综上， 故答案为：1. 三、解答题 4．（23-24高一上·上海长宁·期末）已知函数，其中. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围. 【答案】(1)奇函数 (2) 【分析】（1）分和两种情况，根据函数的奇偶性的定义讨论求解； （2）设,然后由为上的增函数，则成立求解. 【详解】（1）当时，函数的定义域为， 对，， 所以函数为奇函数； 当时，的定义域为， 对，， 此时， 此时，函数是奇函数； （2）设， 则， ， 因为，所以，， 若为上的增函数，则成立， 则成立，所以成立，解得， 所以实数的取值范围是. 5．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）由于函数的图象形状如勾，因此我们称形如“”的函数叫做“对勾函数”，该函数有如下性质：在上是减函数，在上是增函数． (1)已知函数，，利用题干性质，求函数的单调区间和值域； (2)若对于，都有恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)递减区间是，递增区间是，值域是； (2). 【分析】（1）换元并利用对勾函数的单调性求解即得. （2）变形函数式，再利用对勾函数单调性求出最小值即得. 【详解】（1）函数，，令，则， 由对勾函数性质知，函数在上单调递减，在上单调递增， 而在上单调递增，又当时，，当时，， 因此在上单调递减，在上单调递增，，， 所以函数的递减区间是，递增区间是，值域是. （2）当时，， 令，显然函数在上单调递增， 则当时，，于是当时，取得最小值5， 因为对，都有成立，则， 所以m的取值范围是. 6．（23-24高一上·河南郑州·期中）对勾函数是形如的函数，其中为自变量，是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，因其图象而得名.已知对勾函数，在区间上的单调性是：在区间上单调递减，在区间上单调递增. (1)若对勾函数，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增； (2)若对勾函数，写出函数的单调区间（不必证明）并作出函数的图象.    (3)已知对勾函数，，二次函数，设的最大值为，若，，求实数的取值范围 【答案】(1)证明见解析 (2)单调增区间是和；单调减区间是和；图象见解析 (3) 【分析】（1）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证； （2）结合已知与奇函数的对称性写出单调区间，作出图象； （3）求出的最大值为，将条件转化为，的恒成立问题，再利用已知函数的单调性，求出函数的最小值，则由可得的范围. 【详解】（1）， 任取，不妨设， 因为， 因为，所以，，，所以， 所以，即， 所以在区间上单调递增． （2）函数的单调增区间是和；单调减区间是和； 函数的图象如图：    （3）由题意 当时，，则， 由，，得，恒成立， 由题意知，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则， 要使在恒成立，则 则，解得. 故实数的取值范围是. 一、单选题 1．（24-25高三上·山东济宁·开学考试）“或”是“幂函数在上是减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义和性质可求参数的值，从而可判断两者之间的关系 【详解】因为是幂函数且在上是减函数， 故，故， 故“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件， 故选：B. 2．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，则下列选项错误的是（    ） A．的图象过点 B．的图象关于轴对称 C．在上单调递增 D． 【答案】D 【分析】根据函数的性质求解即可. 【详解】对于选项A，因为，所以的图象过点，故A正确； 对于选项B，函数定义域为，且，所以为偶函数，图象关于轴对称，故B正确； 对于选项C，当时，，根据幂函数性质可知，在上单调递增，故C正确； 对于选项D，因为，所以，故D错误. 故选：D 3．（2024高二下·湖南·学业考试）已知，且函数在上是增函数，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据分段函数的单调性，列出不等式求解即可. 【详解】因为函数在上是增函数， 所以，解得， 又，所以. 故选：C 4．（24-25高三上·山东青岛·开学考试）设，若是的最小值，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的最值，结合二次函数和基本不等式，二次不等式求解. 【详解】由于，当，，由于是的最小值， 则为减区间，即有，则恒成立. 由，当且仅当时取等号，所以 ，解得. 综上，a的取值范围为. 故选：A. 5．（23-24高二下·江苏徐州·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数在上单调递增，可知各段分别在对应自变量范围上单调递增，且在时满足，在分析函数的单调性时需分类讨论. 【详解】因为函数在上单调递增， 当，即时，需满足，解得， 所以； 当，即时，需满足， 即，解得，又，所以, 综上，实数的取值范围为. 故选：B 6．（23-24高二下·山东德州·阶段练习）已知函数，，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用换元法将函数，转化为，利用双勾函数的性质求得的值域，根据二次函数的性质求得的值域，再根据对于任意，总存在，使得成立，则由的值域包含的值域求解. 【详解】，， ，， 设，则，则函数等价为， 由对勾函数的单调性可得， 时，单调递减， 时，单调递增， 当时，函数取得最小值，， 当时，，当时，， 设函数的值域为，则函数的值域； 由，在上是减函数， 则最大值为，最小值，， 设的值域为，则， 若对于任意，总存在，使得成立， 则等价为，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D． 【点睛】关键点点睛：根据对于任意，总存在，使得成立，得出的值域包含的值域，是解决本题的关键. 二、多选题 7．（23-24高一上·河南新乡·阶段练习）关于幂函数，下列结论正确的是（    ） A．的图象经过原点 B．为偶函数 C．的值域为 D．在区间上单调递增 【答案】BC 【分析】由题意，得，利用幂函数的性质判断各选项即可. 【详解】由题意，，所以，即 对于A，的定义域为， 故的图象不经过原点，A错误； 对于B，因为的定义域为， ，故为偶函数，B正确； 对于C，由于，故值域为，C正确； 对于D，由于，故在区间上单调递减，D错误． 故选：BC． 8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（ ） A．4 B．12 C． D． 【答案】AD 【分析】根据对勾函数的单调性，对进行分类讨论，从而得到的可能取值. 【详解】依题意可得在上单调递减，在上单调递增， 当，即时在上单调递增，所以， ， 所以，解得； 当，即时，在上单调递减，所以， ， 所以，解得，不符合题意，故舍去； 当，即时在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 若且，即，， 所以，解得或，两个解均舍去； 若且，即，， 所以，解得或（舍去）； 综上可得或. 故选：AD 三、填空题 9．（23-24高一上·天津·期中）若幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先由函数单调性得，进而求出或，接着由幂函数奇偶性得，再结合函数的单调性分类讨论即可解不等式. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 所以，解得， 又，所以或， 当时，幂函数为，图象关于y轴对称，满足题意； 当时，幂函数为，图象不关于y轴对称，舍去， 所以，不等式为， 因为函数在和上单调递减， 所以或或， 解得或. 故答案为：. 10．（23-24高一上·湖北武汉·期末）若幂函数为偶函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由幂函数的概念和性质确定的值，再根据单调性求解不等式. 【详解】因为为幂函数， 则，解得，或， 当时，，为奇函数，不符合题意； 当时，，为偶函数，符合题意， 且在上单调递减，在上单调递增， 若，则， 解得或，即不等式的解集为. 故答案为：. 11．（22-23高一上·江苏盐城·阶段练习）因函数的图像形状像对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”．该函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数，若对勾函数对于任意的，都有，则实数t的最大值为 ． 【答案】/0.75 【分析】由，移项后代入，构造新的关系式，对分类讨论，转化为恒成立问题即可解决. 【详解】因为，则， 所以，即 当，即时，因为，不合题意； 当即时，恒成立，所以. 所以实数的最大值为. 故答案为： 四、解答题 12．（23-24高一上·北京·期中）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)证明在上是增函数； (3)求在上的最大值及最小值． 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)证明见解析； (3)最大值、最小值分别为. 【分析】（1）直接利用函数的奇偶性定义判断并证明. （2）利用单调性定义进行判断证明：取值、作差、定号、得结论. （3）利用（2）的结论，求出函数在区间上的最值． 【详解】（1）函数的定义域为，是奇函数， 对任意的，， 所以函数为奇函数. （2）对区间上的任意两个数，且， 则， 由，则，，， 从而，即， 所以函数在区间上为增函数. （3）由（2）知，函数在上单调递增，，， 所以函数在上的最大值、最小值分别为. 13．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数． (1)若是幂函数，且是奇函数，求实数的值； (2)若在第一象限内是严格增函数，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合幂函数的定义可求的值，根据奇函数的定义验证即可； （2）根据在第一象限内是严格增函数需满足的条件列出不等式组，求解即可. 【详解】（1）若是幂函数，则，解得：或， 当时，，此时是奇函数，符合题意， 当时，，此时是偶函数，不符合题意， 所以； （2）若在第一象限内是严格增函数， 则需满足或， 解得或， 即或或， 所以的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$