第三章 勾股定理 复习课件 2024-2025学年鲁教版（五四制）七年级数学上册

鲁教版 七年级上 第三章　勾股定理 全章热门考点整合应用 名师点金 　　本章主要学习了勾股定理、直角三角形的判定及勾股定 理的应用.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系， 它把直角三角形的“形”的特点转化为三边长的“数”的关 系，是数形结合的典范，是直角三角形的重要性质之一，也 是今后学习直角三角形的依据之一.本章热门考点可概括为一 个定理、一个判定、一个概念、三种方法、两个应用和三种 思想. 全章热门考点整合应用 考点1　一个定理——勾股定理 1. [2024·济南市中区月考]如图，∠ B ＝∠ OAF ＝90°， BO ＝3 cm， AB ＝4 cm， AF ＝12 cm，求半圆形(阴影部分) 的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 全章热门考点整合应用 【解】在Rt△ ABO 中， BO ＝3 cm， AB ＝4 cm， 根据勾股定理得 AO2＝ BO2＋ AB2＝25，所以 AO ＝5 cm. 在Rt△ AFO 中，由勾股定理得 FO2＝ AO2＋ AF2＝169， 所以 FO ＝13 cm. 所以半圆形的面积＝ π· ＝ π× ＝ (cm2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 全章热门考点整合应用 考点2　一个判定——直角三角形的判定 2. [情境题·生活应用2024·烟台菜阳市期末] 图①是某品牌婴 儿车，图②为其简化结构示意图.根据安全标准需满足 BC ⊥ CD ，现测得 AB ＝ CD ＝6 dm， BC ＝3 dm， AD ＝ 9 dm，其中 AB 与 BD 之间由一个固定为90°的零件连接(即 ∠ ABD ＝90°)，通过计算说明该车是否符合安全标准. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 全章热门考点整合应用 【解】在Rt△ ABD 中， BD2＝ AD2－ AB2＝92－62＝45， 在△ BCD 中， BC2＋ CD2＝32＋62＝45， 所以 BC2＋ CD2＝ BD2，所以∠ BCD ＝90°， 所以 BC ⊥ CD . 故该车符合安全标准. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 全章热门考点整合应用 3. [母题·教材P73例题2023·烟台海阳市期中] 一个零件的截面 形状如图所示，工人师傅量得这个零件的各边尺寸如下： AB ＝3 dm， AD ＝4 dm， BC ＝12 dm， CD ＝13 dm，且 ∠ DAB ＝90°，求这个零件的截面面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 全章热门考点整合应用 【解】如图，连接 BD . 因为 AB ＝3 dm， AD ＝4 dm，∠ DAB ＝90°， 所以 BD2＝ AB2＋ AD2＝32＋42＝52，所以 BD ＝5 dm. 又因为 BC ＝12 dm， CD ＝13 dm， 所以 BD2＋ BC2＝ CD2，所以∠ DBC ＝90°. 所以四边形 ABCD 的面积＝ AB · AD ＋ BD · BC ＝ ×3×4 ＋ ×5×12＝36(dm2).所以这个零件的截面面积是36 dm2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 全章热门考点整合应用 考点3　一个概念——勾股数 4. 如果 x ， y ， z 为正整数，且满足 x2＋ y2＝ z2，那么( x ， y ， z )叫做一组勾股数.如(3，4，5)就是一组勾股数. (1)请你再写出两组勾股数：( ， ， )， ( ， ， ).(答案不唯一) (2)在△ ABC 中，三条边长分别为 a ， b ， c ，其中 a ＝ n ， b ＝ －1， c ＝ ＋1( n 是大于2的偶数).试说明： ( a ， b ， c )是一组勾股数. 6　 8　 10　 5　 12　 13　 (答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 全章热门考点整合应用 【解】(2)由题意知边长 c 最大，因为 a2＋ b2＝ n2＋ ＝ n2＋ － ＋1＝ ＋ ＋1， c2＝ ＝ ＋ ＋1，所以 a2＋ b2＝ c2. 又易知 a ， b ， c 均为正整数，所以( a ， b ， c )是一组 勾股数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 全章热门考点整合应用 考点4　三种方法 方法1 化曲(折)为直法 5. [2024·烟台莱州市期中]如图， ABCD 是长方形地面，长 AB ＝10 m，宽 AD ＝5 m，中间竖有一堵砖墙，高 MN ＝1 m.一只蚂蚁从点 A 爬到点 C ，它必须翻过中间那堵墙，求它至少要走多少米. (第5题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 全章热门考点整合应用 【解】如答图，将砖墙展开，连接 AC ，原长方形的长度 增加2 m，则展开后的 AB ＝10＋2＝12 (m). 因为在展开后的长方形 ABCD 中， AB ＝12 m， BC ＝ AD ＝5 m， 所以 AC2＝ BC2＋ AB2＝52＋122＝169， 所以 AC ＝13 m， 所以蚂蚁从点 A 爬到点 C ， 它至少要走13 m. (第5题答图) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 全章热门考点整合应用 方法2 对称找点法 6. [2024·枣庄峄城区月考]如图，一只蚂蚁在圆柱形玻璃杯的 外壁、距离底端2 cm的 A 处发现在自己左上方距离顶端2 cm的与点 A 相对的 B 处内壁有一滴蜂蜜，已知玻璃杯底面的周长为12 cm，高为8 cm，求蚂蚁吃到蜂蜜需走的最短距离. (第6题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 全章热门考点整合应用 【解】如答图， 将杯子侧面的一半展开，作 B 关于 EC 的对称点B'，连接 B'A，则B'A即为最短距离. 过点 B '作 B ' D ⊥ AC ，交 AC 的延长线于点 D . 由题意，得B'D＝12÷2＝6(cm)， AD ＝8－2＋2＝8(cm)， 所以B'A2＝B'D2＋ AD2＝62＋82＝102， 所以B'A＝10 cm. 答：蚂蚁吃到蜂蜜需走的最短距离为10 cm. (第6题答图) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 全章热门考点整合应用 方法3 化斜为直法 7. [新视角·阅读理解题2023·济南历城区期中] 在△ ABC 中， AB ＝15， BC ＝14， AC ＝13，求△ ABC 的面积. 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你 按照他们的解题思路完成解答过程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 全章热门考点整合应用 如图，作 AD ⊥ BC 于点 D ，设 BD ＝ x ，用含 x 的代数式 表示 CD →根据勾股定理，利用 AD 作为“桥梁”，建立 方程模型求出 x →利用勾股定理求出 AD 的长，再计算 △ ABC 的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 全章热门考点整合应用 【解】在△ ABC 中， AB ＝15， BC ＝14， AC ＝13， 作 AD ⊥ BC 于点 D ， 设 BD ＝ x ，则 CD ＝14－ x ， 由勾股定理，得 AD2＝ AB2－ BD2＝152－ x2， AD2＝ AC2 － CD2＝132－(14－ x )2， 所以152－ x2＝132－(14－ x )2，解得 x ＝9，所以 AD ＝12， 所以 S△ ABC ＝ BC · AD ＝ ×14×12＝84. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 全章热门考点整合应用 考点5　两个应用 应用1勾股定理的应用 8. [新考向·知识情境化2023·青岛黄岛区月考] 一艘轮船以10海里/时的速度由西向东航行，某台风中心正以20海里/时的速度由南向北移动，距台风中心50海里(包括边界)的圆形区域都属台风影响区.如图，当轮船行至 A 处时，接到台风警报，台风中心正位于 A 处正南方向的 B 处，且 AB ＝100海里.若该轮船继续向东航行，途中是否会遇到台风？ 若遇到，从接到台风警报开始，最早经过多长时间轮船就会进入台风影响区？ (第8题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 全章热门考点整合应用 【解】途中会遇到台风，设从接到台风警报开始，最早经 过 t 小时轮船就会进入台风影响区，如答图，此时轮船位 于 C 处，台风中心移到 E 处，连接 CE ，则 AC ＝10 t 海 里， AE ＝ AB － BE ＝(100－20 t )海里. 因为 AC2＋ AE2＝ EC2， 所以(10 t )2＋(100－20 t )2＝502， (第8题答图) 解得 t1＝3， t2＝5(不合题意，舍去). 答：最早经过3小时轮船就会进入台风影响区. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 全章热门考点整合应用 应用2 直角三角形的判定的应用 9. [情境题·生活应用2024·枣庄峄城区月考] 如图，在笔直的 公路 AB 旁有一座山，为方便运输货物，现要从公路 AB 上 的 D 处开凿隧道修通一条公路到 C 处，已知点 C 与公路上 的停靠站 A 之间的距离为15 km，与公路上另一停靠站 B 之间的距离为20 km，停靠站 A ， B 之间的距离为25 km， 且 CD ⊥ AB . (1)求修建的公路 CD 的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 全章热门考点整合应用 【解】因为 AC ＝15 km， BC ＝20 km， AB ＝25 km，所以 AC2＋ BC2＝152＋202＝252＝ AB2， 所以△ ACB 是直角三角形，∠ ACB ＝90°. 又因为 CD ⊥ AB ，所以 S△ ABC ＝ AC · BC ＝ CD · AB ， 所以 CD ＝ ＝ ＝12 (km). 故修建的公路 CD 的长是12 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 全章热门考点整合应用 (2)若公路 CD 修通后，一辆货车从 C 处经过 D 点到 B 处的 路程是多少？ 【解】在Rt△ BDC 中， BD2＝ BC2－ CD2＝202－122＝256，所以 BD ＝16 km，所以 CD ＋ BD ＝12＋16＝ 28(km).所以一辆货车从 C 处经过 D 点到 B 处的路程是28 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 全章热门考点整合应用 考点6　三种思想 思想1 方程思想 10. [2024·烟台期末]如图，在长方形 ABCD 中， E 为 CD 边上 的点， CE ＝3 cm， AB ＝8 cm.若沿 AE 折叠△ ADE ，点 D 恰好落在 BC 边上的 F 点处，求阴影部分的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 全章热门考点整合应用 【解】由折叠可知△ ADE 和△ AFE 关于直线 AE 成轴对称，所以 AF ＝ AD ，EF ＝ DE . 因为 CE ＝3 cm， AB ＝8 cm， 所以 EF ＝ DE ＝8－3＝5(cm). 在Rt△ ECF 中，由勾股定理，得 CF ＝ ＝ ＝4(cm). 设 BF ＝ x cm，则 AF ＝ AD ＝ BC ＝( x ＋4)cm. 在Rt△ ABF 中，由勾股定理，得 AB2＋ BF2＝ AF2， 即82＋ x2＝( x ＋4)2.解得 x ＝6.所以阴影部分的面积为 ×6×8＋ ×4×3＝30(cm2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 全章热门考点整合应用 思想2 转化思想 11. 求下列图形中阴影部分的面积： (1)如图①，在圆 O 中， BA ⊥ AC ， AB ＝8， AC ＝6； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 全章热门考点整合应用 【解】因为 AB ＝8， AC ＝6， BA ⊥ AC ， 所以 S△ ABC ＝ AB · AC ＝ ×8×6＝24， BC2＝ AB2＋ AC2＝82＋62＝100.所以 BC ＝10.所以 BO ＝ BC ＝5.所 以 S半圆形＝ π×52＝ ， 所以 S阴影＝ S半圆形－ S△ ABC ＝ －24. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 全章热门考点整合应用 (2)如图②，四边形 BCDE 为长方形，点 A 在 DC 的延长 线上， AB ＝13， AD ＝14， CD ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 全章热门考点整合应用 【解】因为 AD ＝14， CD ＝2，所以 AC ＝ AD － CD ＝12. 因为四边形 BCDE 是长方形，所以∠ BCD ＝90°，所 以∠ ACB ＝90°.所以在Rt△ ABC 中， CB2＝ AB2－ AC2＝132－122＝25.所以 CB ＝5.所以 S阴影＝2×5＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 全章热门考点整合应用 思想3 分类讨论思想 12. [2024·大连月考]如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， CD 是 AB 边上的高，点 P 是边 AB 上的动点， AB ＝5， AC ＝4. (1)求 BC ， CD 的长； (第12题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 全章热门考点整合应用 【解】在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AB ＝5， AC ＝4， 所以 BC2＝ AB2－ AC2＝52－42＝32，所以 BC ＝3. 因为 CD 是 AB 边上的高，所以 S△ ABC ＝ AC · BC ＝ AB · CD ，所以 CD ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 全章热门考点整合应用 (2)当△ BCP 是等腰三角形时，求 AP 的长. 【解】①当 BP ＝ BC ＝3时， AP ＝ AB － BP ＝5－3＝2； ②当 BP ＝ CP 时，如答图①，过点 P 作 PH ⊥ BC 于点 H ，所以∠ BPH ＝∠ CPH ， 因为∠ ACB ＝90°，所以 PH ∥ AC ， 所以∠ A ＝∠ BPH ，∠ ACP ＝∠ CPH ， 所以∠ A ＝∠ ACP ，所以 AP ＝ PC ＝ BP ＝ AB ＝ ； ③当 PC ＝ BC ＝3时，如答图②， (第12题答图) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 全章热门考点整合应用 BD2＝ BC2－ CD2＝32－ ＝ ， 所以 BD ＝ PD ＝ ，所以 AP ＝5－2× ＝ .综上所 述，当△ BCP 是等腰三角形时， AP 的长为2或 或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 全章热门考点整合应用 $$