用空间向量研究距离问题课时练习题-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

课时精练11　用空间向量研究距离问题 一、基础巩固 选择题每小题5分，共25分 1.已知△ABC的顶点A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD的长为(　　) 3 4 5 6 2.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则点D1到直线AC的距离为(　　) a 3.在三棱柱ABC­A1B1C1中，＝(0，2，－3)，＝(－2，0，－3)，＝，则该三棱柱的高为(　　) 2 4 4.如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是(　　) 5 　　　8 　　　 5.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且A1M＝λ(0<λ<2)，设点N为ME的中点，则点N到平面D1EF的距离为(　　) λ λ 6.在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2，1).已知点P(－1，3，2)，则点P到平面OAB的距离d＝________. 7.直角△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是________. 8.如图所示，在直二面角D－AB－E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为________. 9.(10分)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离. 10.(10分)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离. 二、综合运用 11.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，M，N分别为CD，BB1的中点，则直线MN与A1B的距离为________. 12.如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥平面BCDE，如图②.若点F是线段BE的靠近点E的三等分点，点P是线段A1F上的点，直线l过点B且垂直于平面BCDE，则点P到直线l的距离的最小值为________. 13.(15分)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点. (1)求证：B1D⊥平面ABD； (2)求证：平面EGF∥平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离. 三、创新拓展 14.(15分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 参考答案 1.C　[取a＝＝(4，－5，0)，u＝＝， 所以BD＝＝＝5.] 2.D　[法一　连接BD，AC交于点O(图略)，则D1O＝＝a为所求. 法二　如图建立空间直角坐标系， 易得C(a，a，0)，D1(0，a，2a)， 取a＝＝(－a，0，2a)，u＝＝， 则点D1到直线AC的距离为＝＝a.] 3.B　[设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)， 则所以 令z＝2，则x＝－，y＝3，所以n＝(－，3，2)是平面ABC的一个法向量.所以点A1到平面ABC的距离d＝＝，故该三棱柱的高为.故选B.] 4.C　[以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(0，12，0)，D1(0，0，5). 设B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x＞0). 设平面A1BCD1的法向量为n＝(a，b，c)， 由n⊥，n⊥，得n·＝(a，b，c)·(－x，0，0)＝－ax＝0，n·＝(a，b，c)·(0，－12，5)＝－12b＋5c＝0， 所以a＝0，b＝c，所以可取n＝(0，5，12). 又＝(0，0，－5)，所以点B1到平面A1BCD1的距离为＝. 因为B1C1∥平面A1BCD1， 所以B1C1到平面A1BCD1的距离为.] 5.D　[以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系(图略)， 则M(2，λ，2)，D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，＝(－2，0，1)，＝(0，2，0)，＝(0，λ，1). 设平面D1EF的法向量为n＝(x，y，z)， 则 取x＝1，得n＝(1，0，2)， 所以点M到平面D1EF的距离为： d＝＝＝. 因为N为EM的中点， 所以N到平面D1EF的距离为，选D.] 6.2　[d＝＝＝2.] 7.3　[以C为坐标原点，CA，CB，CP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(4，0，0)，B(0，3，0)，P， 所以＝(－4，3，0)，＝. 取a＝＝，u＝＝， 则P到AB的距离为d＝ ＝＝3.] 8.　[取AB的中点O，连接OE.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz(其中z轴平行于BC)， 则A(0，－1，0)，E(1，0，0)，D(0，－1，2)，C(0，1，2)， ＝(0，0，2)，＝(1，1，0)，＝(0，2，2). 设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令y＝1，∴n＝(－1，1，－1).故点D到平面ACE的距离d＝＝＝.] 9.解　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图. 则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，＝(1，－2，1)，＝(1，0，－2). 取a＝＝(1，0，－2)， u＝＝， 所以点A到直线EF的距离为 ＝＝. 10.解　如图所示，建立空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，G(2，1，0)， ∴＝(1，－2，1)，＝(2，－1，－1)，＝(0，－1，0). 设n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，则 ∴ ∴x＝y＝z，可取n＝(1，1，1)， ∴点A到平面EFG的距离为d＝＝＝， 即点A到平面EFG的距离为. 11.　[以A为原点，以AD，AB，AA1为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图. 则M(3，2，0)，N(0，4，1)，A1(0，0，2)，B(0，4，0)， 即＝(－3，2，1)，＝(0，4，－2). 由题意可知MN与A1B为异面直线， 设MN，A1B公垂线的方向向量为n＝(x，y，z)， 则有⇒ 令y＝1，则z＝2，x＝， 即n＝，|n|＝. 又＝(－3，－2，2)在n上的射影的长度为 d＝＝ ＝＝. 即直线MN与A1B的距离为.] 12.　[如图建立空间直角坐标系Cxyz， 则D(－2，0，0)，A1(0，0，2)，B(0，3，0)，E(－2，2，0). 设F(x0，y0，0)， 则＝(x0，y0－3，0)，＝(－2，－1，0). 由题知＝， ∴即F. 设P(x1，y1，z1)，则＝(x1，y1，z1－2)， ＝， 设＝λ，即(x1，y1，z1－2) ＝λ， ∴x1＝－λ，y1＝λ，z1＝2－2λ， 即P. 设点P在直线l上的射影为P′， 则P′(0，3，2－2λ)， 点P到直线l的距离的平方||2＝λ2＋＝λ2－14λ＋9. 由题知λ∈[0，1]， 故当λ＝时，点P到直线l的距离最小，最小值为.] 13.(1)证明　如图所示，由条件知，BA，BC，BB1两两互相垂直，以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Bxyz. 则B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)， 设BA＝a(a＞0)， 则A(a，0，0). ∴＝(a，0，0)，＝(0，2，2)，＝(0，2，－2)， ∴·＝0，·＝0＋4－4＝0. ∴B1D⊥BA，B1D⊥BD， 又∵BD∩BA＝B，BD，BA⊂平面ABD， ∴B1D⊥平面ABD. (2)证明　由题意知E(0，0，3)， G，F(0，1，4). ∴＝，＝(0，1，1)， ∴·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0. ∴B1D⊥EG，B1D⊥EF， 又EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EFG， ∴B1D⊥平面EFG， 又平面EFG与平面ABD不重合， 结合(1)可知，平面EGF∥平面ABD. (3)解　由(1)，(2)知，＝(0，1，4)， ＝(0，2，－2)是平面ABD的法向量， ∴点F到平面ABD的距离为 d＝＝＝. 由(2)知，平面EGF与平面ABD的距离等于点F到平面ABD的距离， ∴两平面间的距离为. 14.解　取AD的中点O，在△PAD中， ∵PA＝PD，∴PO⊥AD. 又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD， ∴PO⊥平面ABCD. 建立如图所示的空间直角坐标系，易得 A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)， 则＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0). 假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为， 设Q(0，y，0)(－1≤y≤1)，则＝(－1，y，0). 设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)， 则∴ 即x0＝y0＝z0，取x0＝1， 则平面PCD的一个法向量为n＝(1，1，1). ∴点Q到平面PCD的距离 d＝＝＝， ∴y＝－或y＝(舍去). 此时＝，＝， 则||＝，||＝， ∴存在点Q满足题意，此时＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$