21.1.4.1 整式的乘法(练习)数学人教版五四制八年级上册

21.1.4.1 整式的乘法 一、单选题 1．的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算（a+3）（﹣a+1）的结果是（　　） A．﹣a2﹣2a+3 B．﹣a2+4a+3 C．﹣a2+4a﹣3 D．a2﹣2a﹣3 3．计算等于（    ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 5．若，则的值为（　　） A．5 B．3 C． D． 6．下列各题中，计算正确的是(    )． A． B． C． D． 7．小轩计算一道整式乘法的题：，由于小轩将第一个多项式中的“+2m”抄成“-2m”，得到的结果为．则m的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．根据需要将一块边长为的正方形铁皮按如图的方法截去一部分后，制成的长方形铁皮（阴影部分）的面积是多少？几名同学经过讨论给出了不同的答案，其中正确的是（   ） ①；②；③；④ A．①②④ B．①②③④ C．① D．②④ 9．若的结果中不含项，则的值为（　　） A． B． C． D． 10．若，则a+b= A．-2 B． C．2 D．4 二、填空题 11．（1）________；  （2）________． 12．（1）________；（2）________； （3）________；（4）________； （5）________；（6）________． 13．已知，则＝___________． 14．一个长方体的长为，宽为，高为，则它的体积是________． 15．如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，用代数式表示图中阴影部分的面积_____． 16．若的展开式中不含项，且项的系数为，则的算术平方根为_______． 17．有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a＋b），宽为（a＋b）的长方形，则需要A类卡片_____张，B类卡片_____张，C类卡片_____张． 18．计算：________；________； ________；________； …… 猜想：________． 三、解答题 19．（1）；        （2）． 20．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 21．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 22．某中学扩建教学楼，测量地基时，量得地基长为宽为，试用表示地基的面积，并计算当时地基的面积． 23．甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是． (1)求的值； (2)若整式中的a的符号不抄错，且，请计算这道题的正确结果． 24．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 由上面计算的结果找规律，观察右图，填空： ． 25．长方形的长为厘米，宽为厘米，其中，如果将原长方形的长和宽各增加3厘米，得到的新长方形面积记为，如果将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形面积记为． （1）若、为正整数，请说明：与的差一定是5的倍数； （2）如果，求将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积． 26．阅读理解： （1）计算后填空：______；______； （2）归纳、猜想后填空： ； （3）运用2的猜想结论，直接写出计算结果： ______. 27．阅读下列材料： 让我们来规定一种运算：，例如：，再 如：.按照这种运算的规定，请解答下列各个问题： （1）______；（只填最后结果） （2）当______时，； （3）若，求与之间的关系式.（写出解题过程） 28．请先阅读下列解题过程，再仿做下面的题． 已知x2+x-1=0，求x3+2x2+3的值． 解：x3+2x2+3=x3+x2-x+x2+x+3 =x（x2+x-1）+x2+x-1+4 =0+0+4=4 如果1+x+x2+x3=0，求x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8的值． 29．阅读材料并解答问题： 七年级第一学期课本中有这样一个思考题：“你能根据图1中的图形来说明完全平方公式吗？”说明如下： 图1中的面积可以表示为；图1中的面积又可以表示为；所以这个图形说明了完全平方公式除了完全平方公式可以用图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示． （1）请写出图2所表示的代数恒等式：__________________________________； （2）请画一个图形，使它的面积能表示． 30．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图可以得到．请解答下列问题： （1）写出图中所表示的数学等式； （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值； （3）小明同学打算用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张相邻两边长为分别为、的长方形纸片拼出了一个面积为 长方形，那么他总共需要多少张纸片？ 31．观察下列各式: ······ 根据规律 (其中为正整数) ; 计算： ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.1.4.1 整式的乘法 一、单选题 1．的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【解析】解：， 故选C． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行求解． 2．计算（a+3）（﹣a+1）的结果是（　　） A．﹣a2﹣2a+3 B．﹣a2+4a+3 C．﹣a2+4a﹣3 D．a2﹣2a﹣3 【答案】A 【分析】运用多项式乘多项式法则，直接计算即可． 【解析】解：（a+3）（﹣a+1） ＝﹣a2﹣3a+a+3 ＝﹣a2﹣2a+3． 故选：A． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 3．计算等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式乘以多项式的运算法则即可求解． 【解析】， 故选D． 【点睛】此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 4．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用单项式乘以多项式的运算法则将原式展开，再合并同类项即可解答． 【解析】， 故选B． 【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则和合并同类项是解答本题的关键． 5．若，则的值为（　　） A．5 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先去括号，再根据等式的恒等性求出p、q的值，再求出的值即可． 【解析】解：∵，， ∴p=-3，q=2， ∴p+q=-1， 故选：C． 【点睛】本题考查了多项式与多项式相乘，掌握多项式与多项式相乘的法则是解题关键． 6．下列各题中，计算正确的是(    )． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先进行积的乘方公式再进行同底数幂乘法乘法对各选项进行计算、筛选即可． 【解析】解：选项A：，故错误； 选项B：，故错误； 选项C： ，故错误； 选项D：，故正确． 故选：D 【点睛】本题考查了积的乘方和单项式乘法运算，解答关键是根据相关法则进行计算． 7．小轩计算一道整式乘法的题：，由于小轩将第一个多项式中的“+2m”抄成“-2m”，得到的结果为．则m的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由题意得：，把等式左边利用多项式乘多项式进行计算，合并同类项后与等式右边对比，即可得出m的值； 【解析】解：由题意得：， ∴， ∴12m=72， ∴m=6， 故选：C 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解决问题的关键． 8．根据需要将一块边长为的正方形铁皮按如图的方法截去一部分后，制成的长方形铁皮（阴影部分）的面积是多少？几名同学经过讨论给出了不同的答案，其中正确的是（   ） ①；②；③；④ A．①②④ B．①②③④ C．① D．②④ 【答案】A 【分析】因为正方形的边长为x，一边截去宽5的一条，另一边截去宽6的一条，所以阴影部分长方形的长和宽分别为x﹣5与x﹣6．然后根据长方形面积计算公式进行计算． 【解析】解：①由题意得：阴影部分长方形的长和宽分别为x﹣5、x﹣6， 则阴影的面积＝（x﹣5）（x﹣6）＝x2﹣11x+30．故该项正确； ②如图所示： 阴影部分的面积＝x2﹣5x﹣6（x﹣5），故该项正确； ④如图所示： 阴影部分的面积＝x2﹣6x﹣5（x﹣6），故该项正确； ③由④知本项错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了整式的乘除运算﹣多项式乘多项式．实际上也是去括号、合并同类项，理解好图形面积的多种表达形式是解题关键． 9．若的结果中不含项，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用多项式乘多项式运算法则将原式展开，然后合并同类项，使xy项系数为零即可解答． 【解析】 = =， ∵的结果中不含项， ∴﹣m+4=0， 解得：m=4， 故选：A． 【点睛】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，会根据多项式积中不含某项的系数为零求解参数是解答的关键． 10．若，则a+b= A．-2 B． C．2 D．4 【答案】D 【解析】当 时， ；当 时，；解得： ，故选D. 二、填空题 11．（1）________；  （2）________． 【答案】          ． 【分析】（1）根据幂的运算、多项式乘单项式的运算法则即可求解； （2）根据幂的运算、多项式乘单项式的运算法则即可求解． 【解析】（1） （2） 故答案为：；． 【点睛】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知幂的运算、多项式乘单项式的运算法则． 12．（1）________；（2）________； （3）________；（4）________； （5）________；（6）________． 【答案】                              ． 【分析】（1）根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可； （2）根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可； （3）先计算乘方，然后根据根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可； （4）先计算乘方，然后根据根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可； （5）先计算乘方，然后根据根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可； （6）先计算乘方，然后根据根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可． 【解析】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 故答案为：；；；；；． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方和幂的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行求解． 13．已知，则＝___________． 【答案】-8 【分析】把所给代数式整理后再把代入计算即可． 【解析】 ． 故答案为：-8． 【点睛】此题主要考查了单项式与多项式的乘法，以及代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算，也可以运用整体代入的思想，本题就利用了整体代入进行计算． 14．一个长方体的长为，宽为，高为，则它的体积是________． 【答案】 【分析】根据长方体的体积公式即可求解． 【解析】长方体的体积为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知长方体的体积公式． 15．如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，用代数式表示图中阴影部分的面积_____． 【答案】 【分析】由图形可得，阴影部分的面积是：大正方形面积的一半与小正方形的面积之和减去以（a+b）为底边，高为b的三角形的面积之差再加上以b为底边，高为（a-b）的三角形的面积之和，从而可以解答本题． 【解析】∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∴图中阴影部分的面积是： +b2−+=， 故答案为． 【点睛】本题考查列代数式，解题的关键是利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件． 16．若的展开式中不含项，且项的系数为，则的算术平方根为_______． 【答案】 【分析】先将计算写成多项式降幂排列，然后根据题意列方程组求出的值． 【解析】 ∵积中不含项，且的系数是， ∴，， ∴，， ∴的算术平方根为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义与多项式乘以多项式的运算，熟练进行多项式乘法运算是解题的关键． 17．有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a＋b），宽为（a＋b）的长方形，则需要A类卡片_____张，B类卡片_____张，C类卡片_____张． 【答案】     2     1     3 【分析】首先分别计算大矩形和三类卡片的面积，再进一步根据大矩形的面积应等于三类卡片的面积和进行分析所需三类卡片的数量． 【解析】解：长为2a＋b，宽为a＋b的矩形面积为(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2， ∵A图形面积为a2，B图形面积为b2，C图形面积为ab， ∴需要A类卡片2张，B类卡片1张，C类卡片3张． 故答案为：2；1；3． 【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法运算的应用，正确列出算式是解答本题的关键．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 18．计算：________；________； ________；________； …… 猜想：________． 【答案】计算：，，，，猜想：． 【分析】先利用多项式乘以多项式的计算法则求出；；；；由此可以推测． 【解析】解：； ； ； ； 由此可以猜测． 故答案为：；；；；． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式以及数字规律问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则进行求解． 三、解答题 19．（1）；        （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据单项式乘以单项式的计算法则进行求解即可； （2）根据同底数幂的乘法计算法则进行求解即可． 【解析】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题主要考查了整式的乘法计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则． 20．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则计算得出答案． 【解析】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 21．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【分析】（1）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案； （2）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案； （3）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案； （4）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案； （5）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案； （6）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案. 【解析】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 【点睛】本题考查的是多项式乘以多项式，掌握“多项式乘以多项式的法则：把一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”是解题的关键. 22．某中学扩建教学楼，测量地基时，量得地基长为宽为，试用表示地基的面积，并计算当时地基的面积． 【答案】，1300． 【分析】根据题意可直接利用长×宽进行求解面积，然后把代入求解即可． 【解析】解：根据题意得： 地基的面积是：， 当时，地基面积为： ． 【点睛】本题主要考查整式的乘除的应用，熟练掌握整式的乘法是解题的关键． 23．甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是． (1)求的值； (2)若整式中的a的符号不抄错，且，请计算这道题的正确结果． 【答案】(1)-14． (2) 【分析】（1）根据题意，列出关于a和b的代数式的值，直接代入计算即可； （2）先求出b的值，再代入计算． 【解析】（1）解：甲抄错了a的符号的计算结果为：， 因为对应的系数相等，故， 乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果为：． 因为对应的系数相等，故，， ∴ （2）解：乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果得出： ， 故， ∴b=-1， 把a=3，b=-1代入， 得(x+3)(2x-1)=2x2+5x-3， 故答案为：2x2+5x-3． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常考题型，解题时要细心． 24．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 由上面计算的结果找规律，观察右图，填空： ． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；括号内依次填． 【分析】利用多项式乘多项式直接去括号，再合并同类项即可．根据前4个式子的结果可以得出规律，即可得出答案． 【解析】解：（1） （2） （3） （4） 由上面的规律可知． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 25．长方形的长为厘米，宽为厘米，其中，如果将原长方形的长和宽各增加3厘米，得到的新长方形面积记为，如果将原长方形的长和宽分别减少2厘米，得到的新长方形面积记为． （1）若、为正整数，请说明：与的差一定是5的倍数； （2）如果，求将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积． 【答案】（1）见解析；（2）将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积为50平方厘米 【分析】（1）由题意，根据长方形的面积公式分别写出S1与S2，再求差，变形即可得答案； （2）根据S1＝2S2，得到ab−7a−7b＝1，再写出将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积，整体代入即可求得答案． 【解析】（1）证明：由题意得：S1=（a+3）（b+3）=ab+3（a+b）+9 S2=（a-2）（b-2）=ab-2（a+b）+4 S1-S2=[ab+3（a+b）+9]-[ab-2（a+b）+4] =ab+3（a+b）+9-ab+2（a+b）-4 =5（a+b）+5 =5（a+b+1） ∴S1与S2的差一定是5的倍数． （2）∵S1=2S2 ∴ab+3（a+b）+9=2[ab-2（a+b）+4] ∴ab-7a-7b-1=0 ∴ab-7a-7b=1 ∴将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积为：（a-7）（b-7）=ab-7a-7b+49=1+49=50． ∴将原长方形的长和宽分别减少7厘米后得到的新长方形面积为50平方厘米． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式在长方形面积问题中的应用，正确地根据题意列出算式，是解题的关键． 26．阅读理解： （1）计算后填空：______；______； （2）归纳、猜想后填空： ； （3）运用2的猜想结论，直接写出计算结果： ______. 【答案】（1） ，；（2），；（3） 【分析】（1）根据多项式乘多项式的运算法则即可求解. （2）根据已知的等式找到规律即可求解； （3）根据（2）中规律直接写出即可. 【解析】（1）= = 故填： ，； （2）根据已知的等式找到规律为 故填：，； （3）由规律可得； 故填：. 【点睛】此题主要考查多项式的乘法，解题的关键是熟知多项式乘多项式的运算法则. 27．阅读下列材料： 让我们来规定一种运算：，例如：，再 如：.按照这种运算的规定，请解答下列各个问题： （1）______；（只填最后结果） （2）当______时，； （3）若，求与之间的关系式.（写出解题过程） 【答案】（1）3.5；（2）；（3） 【分析】（1）根据规定的运算方法直接计算即可； （2）根据规定的计算方法直接列出方程，求得方程的解即可 （3）根据规定的计算方法直接列出方程，化简即可求解. 【解析】（1）-1×0.5−2×（−2）=-0.5+4=3.5； 故填：3.5； （2）由题意知：2x−（0.5-x）＝0 2x−0.5+x＝0 3x＝0.5 x＝． 故填：； （3）由题意，得 ， ， ， . ∴与之间的关系式为. 【点睛】此题考查整式的混合运算，抓住规定的运算的方法，列式计算即可． 28．请先阅读下列解题过程，再仿做下面的题． 已知x2+x-1=0，求x3+2x2+3的值． 解：x3+2x2+3=x3+x2-x+x2+x+3 =x（x2+x-1）+x2+x-1+4 =0+0+4=4 如果1+x+x2+x3=0，求x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8的值． 【答案】0 【分析】先模仿例题将式子变形，再代入1+x+x2+x3=0求值． 【解析】x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8 =x(1+x+ x2+x3)+ x5(1+x+x2+x3) =x·0+ x5·0 =0 【点睛】本题考查单项式乘多项式，解题的关键是学会模仿例题，整体代入求解. 29．阅读材料并解答问题： 七年级第一学期课本中有这样一个思考题：“你能根据图1中的图形来说明完全平方公式吗？”说明如下： 图1中的面积可以表示为；图1中的面积又可以表示为；所以这个图形说明了完全平方公式除了完全平方公式可以用图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示． （1）请写出图2所表示的代数恒等式：__________________________________； （2）请画一个图形，使它的面积能表示． 【答案】（1）；（2）见解析. 【分析】（1）用两种方法表示出图2的面积，化简即可； （2）先画出一个长和宽分别为的长方形，再按原式进行分割. 【解析】解：（1）图2中的图形长和宽分别为，所以其面积可以表示为；图2中的面积又可以表示为， 所以图2所表示的代数恒等式为 （2）如图即为所求（图形不唯一） 【点睛】本题考查了多项式乘多项式的图形表示，熟练运用图形表示代数恒等式是解题的关键. 30．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图可以得到．请解答下列问题： （1）写出图中所表示的数学等式； （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值； （3）小明同学打算用张边长为的正方形，张边长为的正方形，张相邻两边长为分别为、的长方形纸片拼出了一个面积为 长方形，那么他总共需要多少张纸片？ 【答案】（1）；（2）50；（3）143. 【分析】（1）直接求得正方形的面积，再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可. （2）将，代入（1）中得到的式子，然后计算即可； （3）长方形的面积，然后运算多项式乘多项式，从而求得x、y、z的值，代入即可求解. 【解析】解：（1） （2）由（1）可知： （3）根据题意得， 所以，， 所以 答：小明总共需要张纸． 【点睛】本题主要考查整式的运算，难度较大，熟练掌握整式的运算以及代数式求值是解题关键. 31．观察下列各式: ······ 根据规律 (其中为正整数) ; 计算： 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）归纳总结得到一般性规律，即可得到结果； （2）根据一般性结果，将n=31，x=5代入（1）中即可； （3）将代数式适当变形为（1）的形式，根据前面总结的规律即可计算出结果. 【解析】（1）根据上述规律可得，故填：； （2）由（1）可知= = = = 【点睛】本题考查整式的乘法，能根据题例归纳总结出一般性规律是解题关键，（3）中能对整式适当变形是解题关键，但需注意变形时要为等量变形. 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