21.1.2-21.1.3 幂的乘方与积的乘方(练习)数学人教版五四制八年级上册

21.1.2-21.1.3 幂的乘方与积的乘方 一、单选题 1．下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．下列计算中，正确的是（    ） A．（a2b3）2=a4b5 B．（3x2y2）2=6x4y4 C．（-xy）3=-xy3 D．（-m3n2）2=m6n4 3．计算：，其中，第一步运算的依据是（　　） A．同底数幂的乘法法则 B．幂的乘方法则 C．乘法分配律 D．积的乘方法则 4．如果，那么、的值等于（    ） A．， B．， C．， D．， 5．若x，y均为正整数，且，则x＋y的值为（      ） A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5 6．计算的结果是（    ） A． B． C．0.75 D．-0.75 7．已知，，则（    ） A． B． C．432 D．216 8．如果，，，那么，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 9．若，．则下列关系式成立的是（    ） A． B． C． D． 10．若，，则下列结论正确的是（   ） A．a＜b B． C．a＞b D． 二、填空题 11．(103)6＝_______；(－a2)5＝________；(－mn)4＝________；(a3)2·(a2)4＝_______． 12．计算 （1）______； （2）______. 13．下列算式①；②；③；④中，结果等于的有__． 14．( )2；( )2；( )2； 15．若，则________． 16．计算：_______，________． 17．已知xn=2，yn=3，则(x2y)2n=_______. 若(9m+1)2=316，则正整数m的值为_____. 18．已知，，则__________． 三、解答题 19．下面的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 20．计算： （1） （2） 21．已知，m，n为正整数，求． 22．某工厂要生产一种外形是长方体的零件，已知其底面是正方形，它的边长是3×102cm，高是2×102cm，这个零件的体积是多少？ 23．（1）若，，求的值； （2）若，求的值； （3）比较大小：，，． 24．若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果，求x的值； （2）如果，求x的值； （3）若，，用含x的代数式表示y． 25．基本事实：若am=an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n．试利用上述基本事实分别求下列各等式中x的值：①2×8x=27；  ②2x+2+2x+1=24．​ 26．用简便方法计算 27．阅读材料，根据材料回答： 例如1： . 例如2： 8×0.125＝8×8×8×8×8×8×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125 ＝(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125) ＝(8×0.125)6 ＝1. （1）仿照上面材料的计算方法计算：； （2）由上面的计算可总结出一个规律：(用字母表示) ； （3）用（2）的规律计算：. 28．如果10b=n，那么b为n的“劳格数”，记为b=d（n）．由定义可知：10b=n与b=d（n）表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：d（10）=____ ，d（10-2）=______； (2)“劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）；根据运算性质，填空：=________．（a为正数） (3)若d（2）=0.3010，分别计算d（4）；d（5）． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.1.2-21.1.3 幂的乘方与积的乘方 一、单选题 1．下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则计算逐一判断即可． 【解析】解：A，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，正确，，该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解题的关键． 2．下列计算中，正确的是（    ） A．（a2b3）2=a4b5 B．（3x2y2）2=6x4y4 C．（-xy）3=-xy3 D．（-m3n2）2=m6n4 【答案】D 【分析】根据积的乘方和幂的乘方运算法则逐项分析判断即可 【解析】解：A、（a2b3）2=a4b6，故该选项不正确，不符合题意； B、（3x2y2）2=9x4y4，故该选项不正确，不符合题意；； C、（-xy）3=-x3y3，故该选项不正确，不符合题意；； D、（-m3n2）2=m6n4， 故该选项正确，符合题意；； 故答案为：D 【点睛】本题考查了积的乘方和幂的乘法，掌握积的乘方和幂的乘方运算法则是解题的关键． 3．计算：，其中，第一步运算的依据是（　　） A．同底数幂的乘法法则 B．幂的乘方法则 C．乘法分配律 D．积的乘方法则 【答案】D 【分析】根据题意可知，第一步运算的依据是积的乘方法则：积的乘方，等于每个因式乘方的积． 【解析】解：计算：，其中，第一步运算的依据是积的乘方法则． 故选：D． 【点睛】本题主要考查幂的运算，关键是熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 4．如果，那么、的值等于（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先根据同底数幂的乘法和积的乘方计算法则计算出，由此进行求解即可得到答案． 【解析】解：∵ ∴3n=9，3m+3=15， 解得：n=3，m=4， 故选C． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，积的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则． 5．若x，y均为正整数，且，则x＋y的值为（      ） A．3 B．5 C．4或5 D．3或4或5 【答案】C 【分析】先把2x+1•4y化为2x+1+2y，128化为27，得出x+1+2y=7，即x+2y=6因为x，y均为正整数，求出x，y，再求了出x+y． 【解析】解：∵2x+1•4y=2x+1+2y，27=128， ∴x+1+2y=7，即x+2y=6 ∵x，y均为正整数， ∴或， ∴x+y=5或4， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是化为相同底数的幂求解． 6．计算的结果是（    ） A． B． C．0.75 D．-0.75 【答案】D 【分析】先将化为，再用幂的乘方的逆运算计算，再计算乘法即可得到答案． 【解析】 = = = =, 故选：D． 【点睛】此题考查有理数数的乘法运算，掌握幂的乘方的逆运算是解题的关键． 7．已知，，则（    ） A． B． C．432 D．216 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则的逆运用，即可得到答案． 【解析】∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则的逆运用，熟练掌握同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则是解题的关键． 8．如果，，，那么，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的乘方得出指数都是11的幂，再根据底数的大小比较即可． 【解析】解：a=355=（35）11=24311， b=444=（44）11=25611， c=533=（53）11=12511， ∵256＞243＞125， ∴b＞a＞c． 故选：C． 【点睛】本题考查了幂的乘方，关键是掌握amn=（an）m． 9．若，．则下列关系式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，根据幂的乘方可得，再将代入即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了幂的乘方及求代数式的值．熟悉幂的运算性质是解题的关键． 10．若，，则下列结论正确的是（   ） A．a＜b B． C．a＞b D． 【答案】B 【解析】， 故选B. 【点睛】本题考查了有关幂的运算、幂的大小比较的方法，一般说来，比较几个幂的大小，或者把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数. 二、填空题 11．(103)6＝_______；(－a2)5＝________；(－mn)4＝________；(a3)2·(a2)4＝_______． 【答案】     1018     －a10     m4n     a14 【分析】依次使用幂的乘方公式及同底数幂的乘法公式即可. 【解析】(103)6＝103×6=1018； (－a2)5＝－a2×5=－a10； (－mn)4＝(mn)4= m4n； (a3)2·(a2)4＝a6·a8= a14． 【点睛】此题主要考察幂的乘方公式，再结合同底数幂的乘法公式进行计算. 12．计算 （1）______； （2）______. 【答案】          【分析】根据幂的乘方的定义，将底数看作整体计算即可. 【解析】（1）； （2）. 【点睛】本题考查幂的乘方的计算，计算时需注意幂的乘方的符号，偶次幂为正，奇次幂为负. 13．下列算式①；②；③；④中，结果等于的有__． 【答案】①②④． 【分析】根据有理数的乘方运算法则进行计算判断即可． 【解析】解：①； ②； ③； ④． 所以结果等于的有①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查有理数的乘方运算，熟练掌握有理数乘方法则是解题的关键． 14．( )2；( )2；( )2； 【答案】               【分析】根据整式的积的乘方的逆用即可得． 【解析】， ， ， 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了整式的积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键． 15．若，则________． 【答案】9 【分析】由题意利用幂的乘方运算法则和同底数幂乘法的运算法则进行计算，进而代入求值即可． 【解析】解：． 故答案为：9． 【点睛】本题考查幂运算的代入求值，熟练掌握幂的乘方运算法则和同底数幂乘法的运算法则是解题的关键． 16．计算：_______，________． 【答案】          1 【分析】先根据积的乘方进行计算，再求出即可． 【解析】 故答案为-8；1 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，能灵活运用积的乘方进行计算是解此题的关键． 17．已知xn=2，yn=3，则(x2y)2n=_______. 若(9m+1)2=316，则正整数m的值为_____. 【答案】     144     3 【分析】（1）利用积的乘方公式与幂的乘方公式把(x2y)2n化成与已知条件相关联的式子，再进行计算；（2）利用幂的乘方逆运算把等式都化成底数为3，再进行计算. 【解析】∵xn=2，yn=3， ∴(x2y)2n= x4n y2n=( xn)4·( yn)2=24×32=144； ∵(9m+1)2=[]2==316 ∴4m+4=16 解得m=3 【点睛】此题主要考查积的乘方公式，解题的关键是灵活运用幂的乘方公式逆运算进行化简解答. 18．已知，，则__________． 【答案】1 【分析】本题的思路是将等式两边化成同底数幂，推出指数相等．由于，因此对等式两边同时取y次方，可以得到，再把160换成得到，接着把换成（都等于160）得到，从而推出，最后对中的指数去括号，整体代入可得结果． 【解析】解：∵， ∴， ∴ ∵，, ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，将等式两边化成同底数幂，推出指数相等是解题的关键． 三、解答题 19．下面的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）不对，应为；（2）不对，应为；（3）不对，应为；（4）不对，应为；（5）不对，应为；（6）不对，应为． 【分析】（1）同底数幂的乘法：底数不变，指数相加，所以原运算错误，再按照运算法则改正即可； （2）同底数幂的乘法：底数不变，指数相加，所以原运算错误，再按照运算法则改正即可； （3）幂的乘方：底数不变，指数相乘，所以原运算错误，再按照运算法则改正即可； （4）先计算幂的乘方运算，再按照同底数幂的乘法进行运算，所以原运算错误，再按照运算法则改正即可； （5）积的乘方：把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，所以原运算错误，再按照运算法则改正即可； （6）积的乘方：把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，所以原运算错误，再按照运算法则改正即可； 【解析】解：（1）； 以上运算错误，正确的为：； （2）； 以上运算错误，正确的为： （3）； 以上运算错误，正确的为： （4）； 以上运算错误，正确的为： （5）； 以上运算错误，正确的为： （6）． 以上运算错误，正确的为： 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘方，幂的乘方，积的乘方运算，掌握幂的运算法则是解题的关键. 20．计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先计算积的乘方，幂的乘方，再合并同类项即可； （2）计算同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项即可． 【解析】解：（1）， =， =， =； （2）， ， ． 【点睛】本题考查幂的混合运算，掌握幂的运算法则是解题关键． 21．已知，m，n为正整数，求． 【答案】 【分析】根据同底数幂的逆用及幂的乘方的逆用运算法则即可求出答案． 【解析】解：， 【点睛】本题考查同底数幂的逆用及幂的乘方的逆用，解题的关键是熟练运用同底数幂的逆用及幂的乘方的逆用运算法则，本题属于基础题型． 22．某工厂要生产一种外形是长方体的零件，已知其底面是正方形，它的边长是3×102cm，高是2×102cm，这个零件的体积是多少？ 【答案】1.8107 cm3. 【分析】根据题意建立方程式，并根据幂的乘方与积的乘方的性质进行作答. 【解析】长方体体积＝(3×102)22×102＝1.8107 cm3. 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方的性质，熟练掌握幂的乘方与积的乘方的性质是本题解题关键. 23．（1）若，，求的值； （2）若，求的值； （3）比较大小：，，． 【答案】（1）108；（2）8；（3）． 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据求解即可； （3）先得到，，，然后比较大小即可． 【解析】解：（1）∵，， ∴； （2）∵， ∴； （3），， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 24．若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果，求x的值； （2）如果，求x的值； （3）若，，用含x的代数式表示y． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先,将底数都化为2，再利用同底数幂的乘除法法则计算； （2）利用积的乘方逆运算解答； （3）利用等式的性质及幂的乘方逆运算将式子变形为，，即可得到x与y的关系式，由此得到答案． 【解析】解：（1）∵， ∴， ∴， 解得； （2）∵， ∴， ， ， ； （3）∵，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查整式的乘法公式：同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方以及幂的乘方的计算法则，熟记法则及其逆运算是解题的关键． 25．基本事实：若am=an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n．试利用上述基本事实分别求下列各等式中x的值：①2×8x=27；  ②2x+2+2x+1=24．​ 【答案】①；②. 【分析】①先化为同底数幂相乘，再根据指数相等列出方程求解即可； ②先把化为，然后求出的值为，再进行计算即可得解. 【解析】①原方程可化为，， ， ， 解得； ②原方程可化为，， ， ， ， 解得. 【点睛】本题考查了幂的乘方的性质，积的乘方的性质，是基础题，熟练掌握并灵活运用各性质是解题的关键. 26．用简便方法计算 【答案】1 【分析】先利用积的乘方运算法则得( )2017；接下来再利用乘法交换律和1的任何次幂都是1进行计算即可， 【解析】原式=()2017 =() 2017 =12017 =1. 【点睛】此题考查有理数的乘法，积的乘方，解题关键在于利用乘法交换律进行解答. 27．阅读材料，根据材料回答： 例如1： . 例如2： 8×0.125＝8×8×8×8×8×8×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125 ＝(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125) ＝(8×0.125)6 ＝1. （1）仿照上面材料的计算方法计算：； （2）由上面的计算可总结出一个规律：(用字母表示) ； （3）用（2）的规律计算：. 【答案】(1)1；（2）；（3）. 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可求解； （2）根据题意找到规律即可； （3）逆用积的乘方法则计算即可求解． 【解析】解：（1）= = = = =. （2）根据题意可得： （3）    = = = ==. 【点睛】此题考查整式的混合运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方的知识点． 28．如果10b=n，那么b为n的“劳格数”，记为b=d（n）．由定义可知：10b=n与b=d（n）表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：d（10）=____ ，d（10-2）=______； (2)“劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）；根据运算性质，填空：=________．（a为正数） (3)若d（2）=0.3010，分别计算d（4）；d（5）． 【答案】(1)1，﹣2 (2)3 (3)0.6020，0.699． 【分析】（1）由“劳格数”的定义运算转化为同底数幂解答即可； （2）根据幂的乘方公式转化求解即可； （3）根据积的乘方公式、幂的乘方转化求解即可. （1） 解：∵10b＝10， ∴b＝1， ∴d（10）＝1； 10b＝10﹣2，∴b＝﹣2， ∴d（10﹣2）＝﹣2； 故答案为1，﹣2； （2） 解：∵d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n） ∴ 故答案为3； （3） 解：∵d（2）＝0.3010， ∴d（4）＝2d（2）＝0.6020， d（5）＝d（）＝d（10）﹣d（2）＝1﹣0.3010＝0.699． 【点睛】本题考查新定义，有理数的运算；理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键. 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