21.3.2 公式法（教学课件）数学人教版五四制八年级上册

八年级上册数学 第二十一章 整式的乘法与因式分解 21.3.2 公式法 (a+b)(a-b)=a2-b2 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 公式变形: 1.(a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.(b + a )( -b + a ) = a2 - b2 填一填： (1) (x+5)(x-5)=__________ (2) (3x+y)(-y+3x)=__________ (3) (-3a+1)(-1-3a)=__________ x2-25 9x2-y2 9a2-1 一、运用平方差公式因式分解 2 (1) 982-22=_______. (2) 已知a+b=4，a-b=2，则a2-b2=____. 你能说说算得快的原因吗？ 9600 8 解:(1) 982-22=(98+2)(98-2)=100×96=9600 (2) a2-b2=(a+b)(a-b)=4×2=8 把整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的等号两边互换位置，就得到 a2-b2=(a+b)(a-b) 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 例1.下列多项式不能用平方差公式分解因式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】解：A. ，故该选项不符合题意；     B. ，不能用平方差公式分解因式，故该选项符合题意；     C. ，故该选项不符合题意；     D. ，故该选项不符合题意． 故选B． B 下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？ (1) x2+y2 ( )____________________； (2) x2-y2 ( )____________________； (3) -x2+y2 ( )____________________； (4) -x2-y2 ( )____________________. 不能 能 能 不能 这是平方和 x2-y2=(x+y)(x-y) -x2+y2=(y+x)(y-x) 这是平方和的相反数 【点睛】符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2-( )2的形式. 简单说成“两数是平方，减号在中央.” 例2.分解因式： (1) 4x2-9 (2) (x+p)2-(x+q)2 分析：在(1)中，4x2=(2x)2，9=32，4x2-9=(2x)2-32； 在(2)中，把(x+p)和(x+q)各看成一个整体，设x+p=m，x+q=n，则原式化为m2-n2. 解：(1) 4x2-9 =(2x)2-32 =(2x+3)(2x-3) (2) (x+p)2-(x+q)2 =[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)] =(2x+p+q)(p-q) 【点睛】公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 例3.分解因式： (1) x4-y4 (2) a3b-ab 分析：对于(1)，x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形式，这样就可以用平方差公式进行因式分解了； 对于(2)，a3b-ab有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分解. 解：(1) x4-y4 =(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y) (2) a3b-ab =ab(a2-1) =ab(a+1)(a-1) 【点睛】分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止． 分解因式： (1) a2- b2 (2) 9a2-4b2 (3) x2y-4y (4) -a4+16 解：(1) a2- b2 =(a+b)(a-b) (2) 9a2-4b2=(3a+2b)(3a-2b) (3) x2y-4y=y(x2-4) =y(x+2)(x-2) (4) -a4+16=16-a4=(4+a2)(4-a2) =(4+a2)(2+a)(2-a) 例4.计算下列各题： (1)1012－992； (2)53.52×4－46.52×4. 解：(1)原式＝(101＋99)×(101－99)＝400； (2)原式＝4×(53.52－46.52) =4×(53.5＋46.5)×(53.5－46.5) ＝4×100×7=2800. 【点睛】较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化. 利用因式分解简便运算: (1) 9982-22 (2) 1.992-2.992 (3)1.222×9-1.332×4. 解:(1)原式=(998+2)(998-2)=1000×996=996000 (2)原式=(1.99+2.99)(1.99-2.99)=4.98×(-1)=-4.98 (3)原式=1.222×32-1.332×22 =(1.22×3+1.33×2)×(1.22×3-1.33×2) =(3.66+2.66)×(3.66-2.66) =6.32×1 =6.32 例5.求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除． 证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n•2=8n. ∵n为整数， ∴8n被8整除， 即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除． 【点睛】解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除． 1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　) A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn C．－x2－y2 D．－x2＋9 D 2.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（　　） A．-21 B．21 C．-10 D．10 A 课堂练习 3．计算： 解：原式＝ ． 4.把下列各式分解因式： x2－4＝______________． a2－4b2＝______________． a3－a＝______________． 9xy3-36x3y=_________________; (x＋2)(x－2) (a＋2b)(a－2b) a(a＋1)(a－1) 9xy(y+2x)(y-2x) 5.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是_____________. 4 6.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值． 原式=-40×5=-200． 解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n) =(4m+n)(3n-2m) =-(4m+n)（2m-3n)， 当4m+n=40，2m-3n=5时， 平方差公式分解因式 公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. 课堂小结 互动探究：用完全平方公式分解因式 这两个多项式有什么共同的特点？ 观察多项式 与 （1）每个多项式有几项？ （3）中间项和第一项，第三项有什么关系？ （2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 三项 这两项都是数或式的平方，并且符号相同 是第一项和第三项底数的积的±2倍 二、运用完全平方公式因式分解 我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫作完全平方式. 完全平方式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. Administrator (A) - 完全平方式的特点需要学生掌握，这是基本知识。 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解. 2 a b +b2 ± =(a ± b)² a2 首2 +尾2 ±2×首×尾 (首±尾)2 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 例题讲解 例1 下列各式是不是完全平方式？ （1）a2－4a+4; （2）1+4a²; （3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2; （5）x2+x+0.25. 是 （2）因为它只有两项； 不是 （3）4b²与-1的符号不统一； 不是 分析： 不是 是 （4）因为ab不是a与b的积的2倍. 前边我们学习了乘法公式： 根据乘法公式，你能将多项式 与多项式 分解因式吗？ 　　 把整式的乘法公式——完全平方公式 反过来就得到因式分解的完全平方公式： 例2 分解因式： （1）16x2+24x+9； （2）-x2+4xy-4y2. 分析：(1)中， 16x2=(4x)2, 9=3²,24x=2·4x·3, 所以16x2+24x +9是一个完全平方式，即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2. 2 a b +b2 a2 (2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为-(x2-4xy+4y2),然后再利用公式分解因式. 解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x + 3)2； = (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2 (2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2) =-(x-2y)2. 针对训练 分解因式： （1）x2 +12x + 36； (2)－2xy － x2 －y2 ； （3）a2 +2a +1 ； (4) 4x2 －4x+1. (1) (x ＋6); (2) － (x ＋ y )2； (3) (a ＋1)2； (4) (2x －1 )2； 解： 能用完全平方公式分解因式的多项式具有的特点 (1)多项式为三项式； (2)其中有两项是平方式，且这两个平方项的符号相同； (3)第三项是两个平方项幂的底数的积的2倍或－2倍． 归纳总结 例3 把下列各式分解因式： (1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2-12(a+b)+36. 解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2）=3a（x+y）2； 分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式； (2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36. (2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62=(a+b-6)2. 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. 分解因式： (1)3x3－6x2y＋3xy2； (2)18a2(a＋2b)＋12ab(a＋2b)＋2b2(a＋2b)； (3)(x＋2)(x＋4)＋x2－4. 针对训练 [解析]第(3)小题中的x2－4利用平方差公式可转化为(x＋2)(x－2)，这时多项式有公因式(x＋2)，因此再利用提公因式法便可进行因式分解． (1)3x3－6x2y＋3xy2； 解:＝3x(x2－2xy＋y2) ＝3x(x－y)2. (2)18a2(a＋2b)＋12ab(a＋2b)＋2b2(a＋2b)； 解:＝2(a＋2b)(9a2＋6ab＋b2) ＝2(a＋2b)(3a＋b)2. (3)(x＋2)(x＋4)＋x2－4. 解:＝(x＋2)(x＋4)＋(x＋2)(x－2) ＝(x＋2)[(x＋4)＋(x－2)] ＝(x＋2)(2x＋2) ＝2(x＋2)(x＋1)． 【归纳总结】因式分解的步骤: 一提：先考虑用提公因式法(公因式可以是单项式或多项式)； 二套：然后考虑用公式法(平方差公式或完全平方公式)，能连续用公式分解的要继续分解； 三查：检查每个因式是否被分解彻底． 例4 把下列完全平方公式分解因式： (1)1002－2×100×99+99²； (2)342＋34×32＋162. 解：(1)原式=（100－99)² (2)原式＝(34＋16)2 本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算。 =1. ＝2500. 例5 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值． ＝112＝121. 解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0， ∴(x－2)2＋(y－5)2＝0. ∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0， ∴x－2＝0，y－5＝0， ∴x＝2，y＝5， ∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2 几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0. 例6 已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． ∴△ABC是等边三角形． 解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得 a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0， 即(a－b)2＋(b－c)2＝0， ∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c， 1.下列式子为完全平方式的是( ) A. a2+2a+b2 B. a2+2a+2 C. a2-2+b2 D. a2+2a+1. 2.分解因式x2-2x+1的最终结果是( ) A.x(x-2)+1 B. (x+1) (x-2) C. (x-1)2 D. (x+1)2 3.分解因式后结果是-(x-y)2的多项式是( ) A.-x2+2xy-y2 B. x2-2xy-y2 C. x2-2xy+y2 D. -x2-2xy-y2 D C A 课堂练习 4.下列分解因式错误的是( ) A. x2-y2= (x+y) (x-y) B. x2+6x+9= (x+3)2 C. x2+xy=x (x+y) D. x2+y2= (x+y)2 5.若x2- 2(k+1)x+4是完全平方式，则k的值为( ) A.1或-3 B. -1或3 C.±1 D.±3 6.已知，则代数式的值为（     ） A．2020 B．2024 C．2021 D．2034 D A D 7．分解因式：___________． 8．因式分解：______________． 9．分解因式__________________________． 10．若x2﹣8x+m2＝(x﹣4)2，那么m＝_____． 11．若可以用完全平方式来分解因式，则m的值为__________． 或9 12．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4). （1）解： ； （2）解： ； 12．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4). （3）解： 12．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4). （4）解：＝ ＝ ＝． 13．计算： （1）（2）. 解：（1） ． （2）20222-2022×4042+20212 =20222-2×2022×2021+20212 =（2022-2021）2 =12 =1． 14.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值； (2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值． 解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 当a－b＝3时，原式＝32＝9. (2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2. 当ab＝2，a＋b＝5时， 原式＝2×52＝50. 15．已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足：，求的周长． 解：∵， ∴， ∴， ∴a-2=0，b-5=0， 解得a=2，b=5， ∵的三边长a、b、c都是正整数，5-2<c<5+2， ∴3<c<7， 15．已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足：，求的周长． ∴c=4或5或6， 当c=4时，的周长为2+4+5=11； 当c=5时，的周长为2+5+5=12； 当c=6时，的周长为2+5+6=13； 综上，的周长为11或12或13． 完全平方公式分解因式 公式 a2±2ab+b2=(a±b)2 特点 （1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负. 课堂小结 谢 谢！ $$