21.2.2 完全平方公式（教学课件）数学人教版五四制八年级上册

八年级上册数学 第二十一章 整式的乘法与因式分解 21.2.2 完全平方公式 多项式与多项式是如何相乘的？ (x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15. (a+b)(m+n) =am +an +bm +bn 复习引入 一块边长为a米的正方形实验田，因其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种. 你能用不同的方法表示试验田的总面积吗？ ①总面积=(a+b)2 ②总面积=a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 ab b2 a2 ab 你发现了什么？ (a+b)2=a2+2ab+b2 计算下列各式，你能发现什么规律？ (1) (p+1)2=(p+1)(p+1)=_________；(2) (m+2)2=_________； (3) (p-1)2=(p-1)(p-1)=_________；(4) (m-2)2=_________. p2+2p+1 m2+4m+4 P2-2p+1 m2-4m+4 计算：(a+b)2，(a-b)2. (a+b)2=(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 (a-b)2=(a-b)(a-b) =a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2 探究 (a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a－b)2=a2－2ab＋b2. 可以合写成 (a±b)2=a2±2ab＋b2 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. 注：公式中的字母a、b可以表示数、单项式和多项式. (简记为：“首平方，尾平方，积的2倍中间放”) 你能根据图(1)和图(2)中图形的面积说明完全平方公式吗？ 图(1):(a+b)2 =a2 图(2):(a-b)2 +ab +ab +b2 a2 ab ab b2 =a2+2ab+b2 =a2 =a2-2ab+b2 -ab +b2 -ab a2 ab ab b2 思考 (a+b)2= a2+2ab+b2. (a-b)2= a2-2ab+b2. 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题： 1.说一说积的次数和项数； 2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a,b有什么关系？ 3.两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a,b有什么关系？它的符号与什么有关？ 思考 公式特征： 4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式. 1.积为二次三项式； 2.积中两项为两数的平方和； 3.另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同； (a+b)2= a2+2ab+b2. (a-b)2= a2-2ab+b2. 例1 运用完全平方公式计算： (1) (4m+n)2 (2) 解：(1)(4m+n)2 =(4m)2+2•(4m)•n+n2 =16m2+8mn+n2 解：(2) =y2-2•y•+()2 =y2-y+ 典型例题 运用完全平方公式计算： (1) (x+6)2 (2) (y-5)2 (3) (-2x+5)2 (4) 解：(1)原式= x2+2·x·6+62 = x2+12x+36 (2)原式= y2-2·y·5+52 = y2-10y+25 (3)原式=(5-2x)2 = 52-2·5·2x+(2x)2 = 25-20x+4x2 (4)原式= 10 例2 运用完全平方公式计算： (1) 1022 (2) 992 解：(1) 1022=(100+2)2 =1002+2×100×2+22 =10000+400+4 =10404 解：(2) 992=(100-1)2 =1002-2×100×1+12 =10000-200+1 =9801 11 利用完全平方公式简便计算： (1)； (2)． （1）解：原式= = = = ； （2）解：原式= = = (a+b)2与(-a-b)2相等吗？(a-b)2与(b-a)2相等吗？(a-b)2与a2-b2相等吗？为什么？ (-a-b)2=(-a)2-2·(-a)·b+b2 只有当b=0或a=b时，(a-b)2=a2-b2. =a2+2ab+b2=(a+b)2 (b-a)2=b2-2ba+a2 =a2-2ab+b2=(a-b)2 (a-b)2与a2-b2不一定相等. 思考 例3 计算： (1)(2) . （1）解：原式＝ ； （2）解：原式= = 例4 常见的完全平方公式的变形 完全平方公式 变形 (a＋b)2＝a2＋ 2ab＋b2 ①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab　 ②2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2) (a－b)2＝a2－ 2ab＋b2 ①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab　 ②2ab＝(a2＋b2)－(a－b)2 ③(a－b)2＝(a＋b)2－4ab ④(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab 1.已知x+y=10,xy=24,则x2+y2=_____ 52 变式：已知 则 _____ 98 拓展训练 8或-8 变式：如果x2+6x+m2是完全平方式，则m的值是_____ 3.已知ab=2,(a+b)2=9,则(a-b)2的值为______ 变式：若题目条件不变，则a-b的值为_____ ±1 1 2.如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果， 则k=______ 3或-3 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． a+b+c=a+(b+c) a-b-c=a-(b+c) 添括号法则 (1)计算(x+2y-3)(x-2y+3)时，第一步将整式变形为 ； (2)计算(a+b+c)2时可将 当作完全平方式中的a，把 当作完全平方式中的b. ［x+(2y-3)］［x-(2y-3)］ 例5　运用乘法公式计算： c a+b (1) (x+2y-3)(x-2y+3)； (2) (a+b+c)2. 解:（1）原式 =［x+(2y-3)］［x-(2y-3)］ =x2-(2y-3)2 =x2-(4y2-12y+9) =x2-4y2+12y-9； （2）原式=[(a+b)+c]2 =(a+b)2+c2+2(a+b)c =a2+b2+2ab+c2+2ac+2bc =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. 1. 在等号右边的括号内填上适当的项，并用去括号法则检验. （1）a＋b－c＝a＋（ ）； （2）a－b＋c＝a－（ ）； （3）a－b－c＝a－（ ）； （4）a＋b＋c＝a－（ ）. 练一练 2. 运用乘法公式计算： （1）(a＋2b－1)2； （2）(2x＋y＋z) (2x－y－z) . A 课堂练习 2．计算(－1－x)2的结果是(　　) A．1＋x2 B．1－2x＋x2 C．1－2x－x2 D．1＋2x＋x2 3．化简：(1－x)2＋2x＝________． 4．已知a＋b＝2，ab＝－1，则a2＋b2＝________． D 1＋x2 6 5.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2. 6.已知x+y=8,x-y=4,求xy. 解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37； a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43. 解：∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①; ∵x-y=4, ∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②; 由①-②得 4xy=48 ∴xy=12. 完全平方公式 法则 注意 (a±b)2= a2±2ab+b2 1.项数、符号、字母及其指数 2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行 常用 结论 3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构特点及结果两方面) a2+b2=(a+b)2–2ab=(a–b)2+2ab; 4ab=(a+b)2–(a–b)2. 课堂小结 谢 谢！ 1．下列式子正确的是(　　) A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 B.＝a2－b2 C.＝a2＋2ab＋b2 D.＝a2－ab＋b2 $$