21.2.2 完全平方公式(练习)数学人教版五四制八年级上册

21.2.2完全平方公式 一、单选题 1．下列式子满足完全平方公式的是（  ） A．（3x﹣y）（﹣y﹣3x） B．（3x﹣y）（3x+y） C．（﹣3x﹣y）（y﹣3x） D．（﹣3x﹣y）（y+3x） 2．等于（　　） A． B． C． D． 3．若多项式是一个完全平方式，则m的值为（    ） A．12 B． C．6 D． 4．若，下列等式：①  ②  ③  ④  ⑤，其中错误的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．如图，将完全相同的四个矩形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为（    ） A． B． C． D． 6．已知a－b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值是(  ) A．4 B．9 C．13 D．15 7．如图所示，有三种卡片，其中边长为的正方形卡片有1张，长为、宽为的矩形卡片有4张，边长为的正方形卡片有4张，用这9张卡片刚好能拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 8．已知（a+b）2=7，（a﹣b）2=4，则a2+b2的值为（  ） A．11 B．3 C． D． 9．已知，则的值是　　 A．3 B．7 C．9 D．11 10．不论x，y为何有理数，x2+y2﹣10x+8y+45的值均为（　　） A．正数 B．零 C．负数 D．非负数 二、填空题 11．（1）________；（2）________； （3）________；（4）________． 12．(-2ax-3by)(2ax+3by)＝_______． 13．要使成为一个完全平方式，可以加上一个单项式______. 14．如果是一个完全平方式，则__________． 15．已知△ABC的三边长为整数a，b，c，且满足a2＋b2-6a-4b＋13=0，则c为______ 16．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，则＋＝ _______；当＋＝40时，则图3中阴影部分的面积_________． 17．已知，且满足两个等式，．则的值为______． 18．我国宋朝数学家杨辉在他的著作详解九章算法中提出“杨辉三角”如图，此图揭示了为非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，它只有一项，系数为1；系数和为1； ，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2； ，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8； ； 则的展开式共有______项，系数和为______． 三、解答题 19．运用完全平方公式计算： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 20．计算： （1）；                 （2）； （3）；                   （4）； （5）；                     （6）； （7）；                （8）． 21．先化简，再求值：，其中，． 22．已知m﹣n＝6，mn＝4． (1)求m2+n2的值． (2)求（m+2）（n﹣2）的值． 23．（1）填空：________________； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 24．阅读：将代数式x2+2x+3转化为（x+m）2+k的形式（其中m，k为常数），则x2+2x+3=x2+2x+1﹣1+3=（x+1）2+2，其中m=1，k=2． （1）仿照此法将代数式x2+6x+15化为（x+m）2+k的形式，并指出m，k的值． （2）若代数式x2﹣6x+a可化为（x﹣b）2﹣1的形式，求b﹣a的值． 25．如图1所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成4个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积； 方法1：______； 方法2：______； (2)由（1）写出，，mn这三个代数式之间的等量关系：______； (3)根据（2）中得到的等量关系，解答问题：若，，求． 26．一个正方形的一边增加，另一边减少，所得长方形的面积与这个正方形每一边都减少所得的正方形面积相等，求原正方形的面积. 解：设原正方形的边长为，则： （1）当一边增加，另一边减少后，所得的这个长方形的长为______，宽为______，所以面积为______；（用含代数式表示） （2）每边都减少后，所得的这个正方形的边长为______，面积为______；（用含的代数式表示） （3）由长方形和这个正方形的面积相等，可以得到一个方程：______. 解这个方程，得______， 故原正方形的面积为______. 27．探究应用. （1）计算：______；______； （2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式______；（请用含，的字母表示） （3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（    ）； A．        B． C．    D． （4）直接用公式计算：______；； （5）根据你的理解，分解下列因式：______. 28．阅读下列材料并回答问题： 我们知道，两数和的平方公式“”可以用平面图形的面积来表示（如图1）.实际上，有些代表恒等式也可以用平面图形的面积表示，例如，可以用图形2或3的面积表示.              1                        2              3                        4 （1）.请写出图形4所表示的一个代数恒等式：______； （2）.试画出一个平面图形，使它的面积能够表示代数恒等式：； （3）.请依照上述方法另写出一个关于、的代数恒等式，并设计画出一个与之相对应的平面图形.（要求：与上述所列举的代数恒等式不同） 29．阅读理解并填空： （1）为了求代数式的值，我们必须知道x的值．若，则这个代数式的值为6；若，则这个代数式的值为_________；可见，这个代数式的值因x的取值不同而_________（填“变化”或“不变”），尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围． （2）数学书课本里“我们把多项式及叫做完全平方式”，在运用完全平方式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样的，把一个完全平方式进行部分因式分解可以来解决代数式值得最大（或最小）值的问题． 例如：，因为是非负数，所以，这个代数式，当x的值是_______时；有最小值为_________：尝试并探究解答（要求写出解答过程） （3）求下列两个代数式有最大值还是最小值，最大值或最小值为多少？并写出相应的x的值？ ①； ②； （4）求代数式有最大值还是最小值，最大值或最小值为多少？并写出相应的a，b的值？ （5）求代数式有最大值还是最小值，最大值或最小值为多少？并写出相应x的值？ ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.2完全平方公式 一、单选题 1．下列式子满足完全平方公式的是（   ） A．（3x﹣y）（﹣y﹣3x） B．（3x﹣y）（3x+y） C．（﹣3x﹣y）（y﹣3x） D．（﹣3x﹣y）（y+3x） 【答案】D 【分析】首先将各式变形，再根据完全平方公式的知识求解即可求得答案． 【解析】解：A、∵（3x-y）（-y-3x）=-（3x-y）（y+3x），∴不是完全平方式，故本选项错误； B、（3x-y）（3x+y），不是完全平方式，故本选项错误； C、∵（-3x-y）（y-3x）=（3x+y）（3x-y），∴不是完全平方式，故本选项错误； D、∵（-3x-y）（y+3x）=-（3x+y）（y+3x）=-（3x+y）2，∴是完全平方式，故本选项正确． 故选D． 【点睛】此题考查了完全平方公式．解题的关键是注意符号的变化． 2．等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式进行求解即可． 【解析】解：， 故选C． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟知完全平方公式是解题的关键． 3．若多项式是一个完全平方式，则m的值为（     ） A．12 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】利用完全平方公式的结构特征解答即可． 【解析】解：∵9x2-mx+4是一个完全平方式， ∴-m=±12， ∴m=±12． 故选：B． 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 4．若，下列等式：①  ②  ③  ④  ⑤，其中错误的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】利用完全平方公式 以及平方差公式， 进行逐一判断即可． 【解析】解：故①说法正确； 故②说法错误； 故③说法正确，④说法错误； ，故⑤说法正确； 错误的有2个， 故选C． 【点睛】本题主要考查了乘法公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 5．如图，将完全相同的四个矩形纸片拼成一个正方形，则可得出一个等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】我们通过观察可看出大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，从而得出结论． 【解析】解：由图形可得：大正方形的边长为：a+b，则其面积为：（a+b）2， 小正方形的边长为：（a-b），则其面积为：（a-b）2，长方形面积为：ab， 大正方形的面积又可以表示为（a-b） 2+4ab， 故（a+b）2=（a-b）2+4ab． 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，认真观察，熟练掌握长方形、正方形、组合图形的面积计算方法是正确解题的关键． 6．已知a－b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值是(  ) A．4 B．9 C．13 D．15 【答案】C 【分析】先根据完全平方公式变形：a2+b2=（a-b）2+2ab，再整体代入求出即可． 【解析】解：∵a-b=3，ab=2， ∴a2+b2=（a-b）2+2ab=32+2×2=13， 故选C． 【点睛】本题考查了对完全平方公式的应用，注意：完全平方公式是：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2． 7．如图所示，有三种卡片，其中边长为的正方形卡片有1张，长为、宽为的矩形卡片有4张，边长为的正方形卡片有4张，用这9张卡片刚好能拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可根据拼前与拼后面积不变，求出正方形的边长． 【解析】解：设拼成后大正方形的边长为x，则a2+4ab+4b2＝x2， 则（a+2b）2＝x2， ∴x＝a+2b， 故选A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景以及整式的混合运算，解题的关键是依据面积相等列方程． 8．已知（a+b）2=7，（a﹣b）2=4，则a2+b2的值为（  ） A．11 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】直接利用完全平方公式把两个等式展开，然后相加化简求出答案即可 【解析】∵（a+b）2=7，（a﹣b）2=4，   ∴a2+2ab+b2=7，a2﹣2ab+b2=4， ∴2（a2+b2）=11， ∴a2+b2= ． 故选D． 【点睛】此题考查了完全平方式，牢记公式是解题的关键. 9．已知，则的值是　　 A．3 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】利用完全平方公式将两边平方，即可得出的值． 【解析】解：， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式的特征是解题的关键． 10．不论x，y为何有理数，x2+y2﹣10x+8y+45的值均为（　　） A．正数 B．零 C．负数 D．非负数 【答案】A 【解析】因为x2+y2－10x+8y+45=, 所以x2+y2－10x+8y+45的值为正数, 故选A. 二、填空题 11．（1）________；（2）________； （3）________；（4）________． 【答案】                    【分析】（1）先提取一个负号，然后利用完全平方公式求解即可； （2）先提取一个负号，然后利用平方差公式求解即可； （3）先提取一个负号，然后利用平方差公式求解即可； （4）先提取一个负号，然后利用完全平方公式求解即可． 【解析】解：（1）原式＝； （2）； （3）； （4）． 故答案为：；；；． 【点睛】本题主要考察了完全平方公式和平方差公式，解题的关键在于能够熟练掌握两个公式． 12．(-2ax-3by)(2ax+3by)＝_______． 【答案】-4a2 x2-12abxy-9 b2 y2 【解析】(-2ax-3by)(2ax+3by)＝-(2ax+3by)2＝-4a2x2-12abxy-9b2y2，故答案为-4a2x2-12abxy-9b2y2. 13．要使成为一个完全平方式，可以加上一个单项式______. 【答案】或 【分析】根据完全平方公式的特征即可得出答案. 【解析】①若把看成，把1看成，则缺少了中间项，中间项为±8x； ②若把看成2ab，把1看成，则缺少了项，项为； 故答案为或. 【点睛】本题考查的是完全平方公式，需要熟练掌握完全平方公式的特征. 14．如果是一个完全平方式，则__________． 【答案】-1或3 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【解析】解：∵=， ∴2(m-1)x=±2×x×2， 解得m=-1或m=3． 故答案为-1或3 【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 15．已知△ABC的三边长为整数a，b，c，且满足a2＋b2-6a-4b＋13=0，则c为______ 【答案】2或3或4 【分析】由a2＋b2－6a－4b＋13＝0，，得（a-3）2+（b-2）2=0，求得a、b的值，再根据三角形的三边关系定理求得c的取值范围，根据c为整数即可求得c值． 【解析】∵a2+b2-6a-4b+13=0，∴（a-3）2+（b-2）2=0， ∴a-3=0，b-2=0， 解得a=3，b=2， ∵1＜c＜5，且c为整数， ∴c=2、3、4， 故答案为：2或3或4． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式、三角形三边关系，根据非负数的性质求得a、b的值，再利用三角形的三边关系确定c的值是解决此类题目的基本思路． 16．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，则＋＝ _______；当＋＝40时，则图3中阴影部分的面积_________． 【答案】     34     20 【分析】①分别用代数式表示出和，利用完全平方公式的变形化简，即可求得； ②利用两个正方形的面积减去2个三角形的面积即得,运用①中的结论，即可求得． 【解析】①， ＋＝ ＋＝ ② ＋＝=40 ， 故答案为：34；20． 【点睛】本题考查了完全平方公式，几何图形的面积，整式的乘法，熟悉完全平方公式是解题的关键． 17．已知，且满足两个等式，．则的值为______． 【答案】4 【分析】由已知条件得到，化简为，然后整体代入即可求值． 【解析】，， ， ， ， （不符合题意，排除）或， 又， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查代数式求值，掌握整体代入是解题关键． 18．我国宋朝数学家杨辉在他的著作详解九章算法中提出“杨辉三角”如图，此图揭示了为非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律． 例如：，它只有一项，系数为1；系数和为1； ，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2； ，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8； ； 则的展开式共有______项，系数和为______． 【答案】     ##1+n     【分析】本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b）n-1相邻两项的系数和．因此根据项数以及各项系数的和的变化规律，得出（a+b）n的项数以及各项系数的和即可． 【解析】根据规律可得，（a+b）n共有（n+1）项， ∵1=20 1+1=21 1+2+1=22 1+3+3+1=23 ∴（a+b）n各项系数的和等于2n 故答案为n+1，2n 【点睛】本题主要考查了完全平方式的应用，能根据杨辉三角得出规律是解此题的关键．在应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式． 三、解答题 19．运用完全平方公式计算： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）3969；（6）9604． 【分析】利用完全平方公式直接求解即可． 【解析】解：（1） ， （2） ， （3） ， （4） ， （5） ， ， ， （6） ， ， ． 【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式． 20．计算： （1）；                 （2）； （3）；                   （4）； （5）；                     （6）； （7）；                （8）． 【答案】（1）3；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）． 【分析】（1）先去括号，然后合并同类项即可； （2）利用平方差和完全平方公式先去括号，然后合并同类项即可； （3）先提取公因式，然后利用平方差公式求解即可； （4）利用平方差和完全平方公式先去括号，然后合并同类项即可； （5）利用平方差和完全平方公式求解即可； （6）利用完全平方公式求解即可； （7）利用平方差公式求解即可； （8）利用平方差公式求解即可． 【解析】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ． 【点睛】本题主要考查了乘法公式和整式的运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 21．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先利用完全平方公式与平方差公式计算乘法，再合并同类项，最后代入计算即可． 【解析】 ， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，涉及了完全平方公式，平方差公式，解题的关键是熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则． 22．已知m﹣n＝6，mn＝4． (1)求m2+n2的值． (2)求（m+2）（n﹣2）的值． 【答案】(1)44 (2)-12 【分析】（1）利用完全平方公式变形计算可得； （2）根据多项式乘以多项式法则去括号，再代入计算． 【解析】（1）解：∵m﹣n＝6，mn＝4． ∴m2+n2=（m-n）2+2mn=62+2×4=44； （2）∵m﹣n＝6，mn＝4． ∴（m+2）（n﹣2） =mn-2m+2n-4 =mn-2（m-n）-4 =4-2×6-4 =-12． 【点睛】此题考查了利用完全平方公式的变形计算，多项式乘以多项式计算法则，正确掌握各计算法则和公式是解题的关键． 23．（1）填空：________________； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 【答案】（1）2，2；（2）23；（3）7． 【分析】（1）用完全平方公式进行解答即可得， （2）用完全平方公式进行解答即可得， （3）先将变形为，即可求得 ． 【解析】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴； （2）； （3） ， ， ， 则． 【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是要灵活运用完全平方公式． 24．阅读：将代数式x2+2x+3转化为（x+m）2+k的形式（其中m，k为常数），则x2+2x+3=x2+2x+1﹣1+3=（x+1）2+2，其中m=1，k=2． （1）仿照此法将代数式x2+6x+15化为（x+m）2+k的形式，并指出m，k的值． （2）若代数式x2﹣6x+a可化为（x﹣b）2﹣1的形式，求b﹣a的值． 【答案】（1）x2+6x+15=（x+3）2+6，m=3，k=6；（2）b﹣a=﹣5． 【解析】试题分析： （1）将代数式配方即可； （2）先将代数式配方，并把配方后的式子和代数式对比即可得到的值，再代入中计算即可. 试题解析： （1）∵ x2+6x+15=x2+6x+32+6=（x+3）2+6， ∴m=3．k=6； （2）∵x2﹣6x+a=x2﹣6x+9﹣9+a=（x﹣3）2+a﹣9=（x﹣b）2﹣1， ∴b=3，a﹣9=﹣1，即a=8，b=3， ∴b﹣a=﹣5． 25．如图1所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成4个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积； 方法1：______； 方法2：______； (2)由（1）写出，，mn这三个代数式之间的等量关系：______； (3)根据（2）中得到的等量关系，解答问题：若，，求． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）一种方法是先表示出大正方形面积和四个长方形的面积，用大正方形面积减去四个长方形的面积表示出阴影部分面积；另一种方法是先用m、n表示出阴影部分边长，再用正方形面积公式表示之． （2）(m+n)2，(m−n)2，mn分别表示大正方形，小正方形和长方形面积，由图知大正方形面积-四个长方形面积=小正方形面积，可得它们之间的关系． （3）由（2）得出的关系式变形即可得结果． 【解析】（1）解：方法1：由图形可知，大正方形面积减去四个小长方形面积来表示即为阴影部分面积，大正方形边长为，则大正方形面积为，所以阴影部分面积为； 方法2：阴影部分为正方形，边长为，故面积可表示为； 故答案为：；． （2）∵与都表示同一个图形面积， ∴－4． 故答案为：－4． （3）∵2a+b=6，ab=4， ∴ 【点睛】本题主要考查完全平方差公式和完全平方和公式的联系，会用代数式表示图形面积是解决问题的关键；两数的完全平方和比它们的完全平方差多了两数积的4倍，该结论经常用到． 26．一个正方形的一边增加，另一边减少，所得长方形的面积与这个正方形每一边都减少所得的正方形面积相等，求原正方形的面积. 解：设原正方形的边长为，则： （1）当一边增加，另一边减少后，所得的这个长方形的长为______，宽为______，所以面积为______；（用含代数式表示） （2）每边都减少后，所得的这个正方形的边长为______，面积为______；（用含的代数式表示） （3）由长方形和这个正方形的面积相等，可以得到一个方程：______. 解这个方程，得______， 故原正方形的面积为______. 【答案】（1），，；（2）  ；（3） ，， 25 【分析】（1）根据“一边增加，另一边减少”求出长方形的长和宽，再根据面积公式计算面积即可得出答案； （2）根据“每边都减少”求出边长，再根据面积公式计算面积即可得出答案； （3）根据（1）（2）求出的面积公式列出等式计算，即可得出答案. 【解析】解：（1）由题意可得，长为：宽为：面积为： （2）由题意可得，边长为：面积为： （3）由题意可得： 解得： 故原正方形的面积为25. 【点睛】本题考查的是列代数式，认真审题、理清题目意思是解决本题的关键. 27．探究应用. （1）计算：______；______； （2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式______；（请用含，的字母表示） （3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（    ）； A．        B． C．    D． （4）直接用公式计算：______；； （5）根据你的理解，分解下列因式：______. 【答案】（1），；（2）；（3）C；（4）    ；（5） 【分析】（1）利用多项式乘多项式法则计算，即可得出答案； （2）根据（1）给出的结果推理即可得出答案； （3）在四个选项中分析哪一个最符合题意即可得出答案； （4）直接套用公式即可得出答案； （5）将公式反过来用即可得出答案. 【解析】解：（1）， ； （2）根据（1）可总结出： （3）C符合公式，故选C； （4）， 在中a=2m，b=3 故中间项为：，展开为：； （5）根据公式可得， 【点睛】本题考查了完全平方公式，是一道探索性题目，很好的体现了探索的过程：根据具体的例子得到一个一般性的结论，然后利用结论解决问题来验证结论，有利于培养同学们的探索精神. 28．阅读下列材料并回答问题： 我们知道，两数和的平方公式“”可以用平面图形的面积来表示（如图1）.实际上，有些代表恒等式也可以用平面图形的面积表示，例如，可以用图形2或3的面积表示.              1                        2              3                        4 （1）.请写出图形4所表示的一个代数恒等式：______； （2）.试画出一个平面图形，使它的面积能够表示代数恒等式：； （3）.请依照上述方法另写出一个关于、的代数恒等式，并设计画出一个与之相对应的平面图形.（要求：与上述所列举的代数恒等式不同） 【答案】（1）；（2）见解析；（3）（答案不唯一），图见解析. 【分析】（1）根据图形面积的两种计算方法写出等式即可； （2）根据上面的规律得出矩形两边为a+b和c+d，画出图形即可； （3）根据上面的规律写出关于x、y的代数恒等式并作图即可. 【解析】（1）； （2）的示意图如下： （3）关于x、y的代数恒等式为，作图如下： 【点睛】本题是对整式乘法的考查，熟练掌握整式运算及数形结合是解决本题的关键. 29．阅读理解并填空： （1）为了求代数式的值，我们必须知道x的值．若，则这个代数式的值为6；若，则这个代数式的值为_________；可见，这个代数式的值因x的取值不同而_________（填“变化”或“不变”），尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围． （2）数学书课本里“我们把多项式及叫做完全平方式”，在运用完全平方式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样的，把一个完全平方式进行部分因式分解可以来解决代数式值得最大（或最小）值的问题． 例如：，因为是非负数，所以，这个代数式，当x的值是_______时；有最小值为_________：尝试并探究解答（要求写出解答过程） （3）求下列两个代数式有最大值还是最小值，最大值或最小值为多少？并写出相应的x的值？ ①； ②； （4）求代数式有最大值还是最小值，最大值或最小值为多少？并写出相应的a，b的值？ （5）求代数式有最大值还是最小值，最大值或最小值为多少？并写出相应x的值？ 【答案】（1）11，变化；（2）-1，2；（3）①有最小值-6，x=2；②有最大值59，x=7；（4）有最小值5，a=2，b=-3；（5）有最小值-17，x=3 【分析】（1）把x的值代入计算即可． （2）根据非负数的性质即可得出答案； （3）①②先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案； （4）利用完全平方公式变形，根据非负数的性质即可得出答案； （5）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案． 【解析】解：（1）当x=1时，x2+2x+3=1+2+3=6． 当x=2时，x2+2x+3=4+4+3=11， 这个代数式的值因x的取值不同而变化； 故答案为：11；变化； （2）∵x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2， ∴当x=-1时，这个代数式的值的最小值为2； （3）①， ∴的最小值是-6，相应的x的值是2； ②， ∴-x2+14x+10的最大值是59，相应的x的值是7； （4） = = ∴代数式有最小值5，此时a=2，b=-3； （5）根据题意得： ∴2x2-12x+1=2（x-3）2-17， ∴代数式2x2-12x+1的最小值是-17，相应的x的值是3． 【点睛】此题考查了完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的性质进行解答． ( 2 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