21.3.2 公式法(练习)数学人教版五四制八年级上册

21.3.2 公式法 一、单选题 1．下列各式中能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣2x+1 【答案】C 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可． 【解析】解：多项x2+x+1，x2+2x-1，x2-2x+1都不能用平方差公式进行因式分解， 能用平方差公式进行因式分解的是x2-1， 故选：C． 【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 2．因式分解（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可． 【解析】． 故选C． 【点睛】本题考查运用公式法进行因式分解，解题关键在于对公式的熟练掌握与应用，题目比较简单． 3．已知多项式的一个因式为，另一个因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可运用平方差公式对所给代数式进行因式分解得到所求的另一个因式． 【解析】原式=（2x+y-z）（2x-y+z）， ∴另一个因式是2x+y-z， 故选：D． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，用了平方差的形式，所以要熟记平方差公式分解因式． 4．已知M＝3x2－x＋3，N＝2x2＋3x－1，则M、N的大小关系是（    ） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N 【答案】A 【分析】用M与N作差，然后进行判断即可． 【解析】解：M=3x2-x+3，N=2x2+3x-1， ∵M-N=(3x2-x+3)-(2x2+3x-1) =3x2-x+3-2x2-3x+1 =x2-4x+4 =(x-2)2≥0， ∴M≥N． 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解答题的关键． 5．在多项式中，（1）（2）（3）（4）其中能用完全平方公式分解因式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】直接利用完全平方公式分别分解因式进而判断即可． 【解析】解：（1）无法运用完全平方公式分解因式； （2）无法运用完全平方公式分解因式； （3），能运用完全平方公式分解因式； （4），能运用完全平方公式分解因式； 故选B． 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 6．已知，则的值是（    ） A．0 B．1 C．-2 D．-1 【答案】D 【分析】先对进行变形，可以解出a，b的关系，然后在对进行因式分解即可． 【解析】∵， ∴， ， ， ∴，， ∴ 故选：D． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，在解题时要注意符号变换，同时掌握正确的运算是解答本题的关键． 7．已知，则的个位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】把3变成22-1，依次运用平方差公式进行计算，再合并即可． 【解析】 ∵由2的乘法性质可得个位按照2,4,8,6四次一循环,则16次方时个位为6. ∴216-1个位为5,  216+1个位为7,  5×7=35 ∴原式个位为5. 故选C 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，注意：平方差公式为：（a+b）（a-b）=a2-b2． 8．已知，，是的三边，如果满足，则三角形的形状是　　 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】将等号右侧式子移到左侧,再将其因式分解,然后根据：若xy=0,则x=0或y=0,判断即可. 【解析】解: ∵，，是的三边 ∴ ∴或 解得: 或 ∴是等腰三角形或直角三角形. 故选C. 【点睛】此题考查的是因式分解、等腰三角形的判定和直角三角形的判定，掌握因式分解的各个方法、等腰三角形的定义和利用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解决此题的关键. 9．甲、乙两农户各有两块地，如图所示，今年，这两个农户决定共同投资搞饲养业．为此，他们准备将这4块土地换成一块地，那块地的宽为（a+b）米，为了使所换土地的面积与原来4块地的总面积相等，交换之后的土地的长应该是（　　）米． A．a+b B．b+c C．a+c D．a+b+c 【答案】C 【分析】首先计算原来4块地的总面积，再进一步因式分解，出现a＋b的因式． 【解析】解：原来四块地的总面积是a2＋bc＋ac＋ab＝a（a＋c）＋b（a＋c）＝（a＋c）（a＋b）， 则交换之后的土地长是（a＋c）米． 故选C． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决此题的关键是能够熟练运用分组分解法进行因式分解． 10．9（x-y）2+12（x2-y2）+4（x+y）2因式分解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把（x－y）与（x＋y）看做一个整体，运用完全平方公式求解即可． 【解析】解：9（x－y）2＋12（x2－y2）＋4（x＋y）2， ＝[3（x－y）]2＋12（x＋y）（x－y）＋[2（x＋y）]2， ＝[3（x＋y）＋2（x－y）]2， ＝（5x+y）2． 故选B． 【点睛】本题主要考查利用完全平方公式进行因式分解，要把（x－y）与（x＋y）看作一个整体，整理成公式形式是解题的关键． 11．已知a、b、c是正整数，a＞b，且a2-ab-ac+bc=11，则a-c等于（　　） A． B．或 C．1 D．1或11 【答案】D 【分析】此题先把a2－ab－ac＋bc因式分解，再结合a、b、c是正整数和a＞b探究它们的可能值，从而求解． 【解析】解：根据已知a2－ab－ac＋bc＝11， 即a（a－b）－c（a－b）＝11， （a－b）（a－c）＝11， ∵a＞b， ∴a－b＞0， ∴a－c＞0， ∵a、b、c是正整数， ∴a－c＝1或a－c＝11 故选D． 【点睛】此题考查了因式分解；能够借助因式分解分析字母的取值范围是解决问题的关键． 12．已知a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】把已知的式子化成[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]的形式，然后代入求解即可． 【解析】原式=（2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc） =[（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）] =[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2] =×（1+4+1） =3， 故选D. 【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式的求值，正确利用因式分解的方法把所求的式子进行变形是关键． 二、填空题 13．因式分解：____________． 【答案】 【分析】先提公因式，然后再用平方差公式分解因式即可． 【解析】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法，是解题的关键． 14．分解因式： （1）________；（2）________； （3）________；（4）________； （5）________；（6）________； （7）________；（8）________； （9）________． 【答案】                                             【分析】（1）利用十字乘法分解因式即可得到答案； （2）利用十字乘法分解因式即可得到答案； （3）利用十字乘法分解因式即可得到答案； （4）利用十字乘法分解因式即可得到答案； （5）利用十字乘法分解因式即可得到答案； （6）利用十字乘法分解因式即可得到答案； （7）先提公因式 再利用十字乘法分解因式即可得到答案； （8）先利用十字乘法分解因式，再利用平方差公式分解即可； （9）先把原式化为：，再利用完全平方公式与平方差公式分解即可. 【解析】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9） 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9） 【点睛】本题考查的是十字乘法分解因式，分组分解法，利用完全平方公式分解因式，掌握以上因式分解的方法是解题的关键. 15．如果为完全平方数，则正整数n为______． 【答案】2或14或11 【分析】分情况讨论，分别设为首项的平方，末项的平方，中间项，则可得出n的值即可． 【解析】设为首项的平方，则末项为，中间项为乘积两倍为=2×， ∴首项为2，首项平方为， ∴n=2； 设为末项的平方，则首项为，乘积两倍为=2××， ∴末项为，末项平方为， ∴n=14； 设为中间项，则=2××=， ∴n=11， 综上所述，正整数n的值为2或14或11， 故答案为：2或14或11． 【点睛】本题考查了完全平方式的形式，掌握完全平方式的形式是解题的关键． 16．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC为_____三角形． 【答案】等腰或直角或等腰直角． 【分析】首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式，然后分三种情况进行讨论． 【解析】∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4， ∴c2(a+b)(a﹣b)＝（a2+b2）(a+b)(a﹣b)， ∴当a＝b，则△ABC是等腰三角形； 当a≠b，则c2＝a2+b2，则△ABC是直角三角形， 当a＝b，且c2＝a2+b2，则△ABC是等腰直角三角形， ∴△ABC为等腰三角形或直角或等腰直角三角形． 故答案为：等腰或直角或等腰直角． 【点睛】本题考查了用提公因式法与平方差公式分解因式，用提公因式法与平方差公式分解因式得到a，b，c的关系式是解题的关键，注意考虑问题要全面． 17．=_______． 【答案】 【分析】先利用平方差公式把每一个因数化为两个因数的积，约分后可得余下的因数，再计算乘法，从而可得答案． 【解析】解： = = = = 故答案为：． 【点睛】本题考查的是有理数的乘法运算，运用平方差公式对有理数进行简便运算，掌握以上知识是解题的关键． 18．已知，，则_______． 【答案】． 【分析】现将原式进行因式分解，然后代入求值即可 【解析】解： 当，， ∴原式= 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法正确进行因式分解是解题关键． 19．已知，且满足两个等式，．则的值为______． 【答案】4 【分析】由已知条件得到，化简为，然后整体代入即可求值． 【解析】，， ， ， ， （不符合题意，排除）或， 又， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查代数式求值，掌握整体代入是解题关键． 20．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x+y）＝18，（x﹣y）＝0，（x2+y2）＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3﹣xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是_____（写出一个即可）． 【答案】104020 【分析】9x3-xy2=x（9x2-y2）=x（3x+y）（3x-y），当x=10，y=10时，密码可以是10、40、20的任意组合即可． 【解析】9x3-xy2=x（9x2-y2）=x（3x+y）（3x-y）， 当x=10，y=10时，密码可以是104020或102040等等都可以，答案不唯一． 【点睛】本题考查的是因式分解，分解后，将变量赋值，按照因式组合即可． 三、解答题 21．把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）；（7）；（8）． 【答案】（1）；（2）；（3）（4）；（5）；（6）；（7）；（8）． 【分析】（1）直接利用平方差公式进行分解即可； （2）首先提公因式，再利用完全平方公式进行分解即可； （3）直接利用平方差公式进行分解即可； （4）先利用平方差公式进行分解，再利用完全平方公式进行分解即可； （5）直接利用完全平方公式进行分解即可 （6）直接利用完全平方公式进行分解即可； （7）利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式进行分解即可； （8）直接利用完全平方公式进行分解即可． 【解析】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ； （6）原式 ； （7）原式 ； （8）原式 ． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解，注意分解因式要彻底． 22．分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）先利用完全平方公式展开，合并同类项，再用完全平方公式分解因式； （2）先用整式乘法法则去括号，再合并同类项，然后利用平方差公式分解因式； （3）先提公因式，再用完全平方公式分解因式； （4）先提公因式，然后利用平方差公式分解因式． 【解析】解：（1）原式＝； （2）原式＝； （3）原式＝； （4）原式＝． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式、完全平方公式、平方差公式是关键． 23．把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）； （6）；（7）；（8）； （9）；（10）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）． 【分析】（1）直接提取公因式7，进而利用平方差公式分解因式即可； （2）直接提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可； （3）直接提取公因式3，进而利用平方差公式分解因式即可； （4）直接利用平方差公式分解因式即可； （5）直接提取公因式分解因式即可； （6）直接提取公因式分解因式即可； （7）直接利用平方差公式分解因式即可； （8）直接提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可； （9）直接利用平方差公式分解因式即可； （10）直接利用完全平方公式分解因式即可． 【解析】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ； （9） ； （10） ． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 24．分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9） 【分析】（1）先提取公因式y，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式2x，然后利用完全平方公式分解因式即可； （3）先去括号，然后利用完全平方公式分解因式即可； （4）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （5）先提取公因式x，然后利用平方差公式分解因式即可； （6）先把原式变为，再利用平方差公式分解因式即可； （7）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （8）利用十字相乘的方程分解因式即可； （9）利用十字相乘的方程分解因式即可． 【解析】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）． 【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 25．先分解因式，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】先利用分组分解法、公式法、提公因式法进行因式分解，再将a、b的值代入求值即可得． 【解析】原式， ， ， 当，时，原式， ， ． 【点睛】本题考查了利用分组分解法、公式法、提公因式法进行因式分解，因式分解的主要方法包括：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握各方法是解题关键． 26．当时，多项式的值为0，求的值，并将该多项式进行因式分解． 【答案】，． 【分析】先将x的值代入，解关于k的一元一次方程求出k的值，再综合利用分组分解法、提公因式法、公式法进行因式分解即可得． 【解析】当时，多项式的值为0， 即， 解得； 则原多项式为， 因式分解得：原式， ， ， ． 【点睛】本题考查了综合利用分组分解法、提公因式法、公式法进行因式分解，解一元一次方程，熟练掌握因式分解的各方法是解题关键． 27．小明、小花和老师一起探究一个问题：将因式分解． 小花根据大家的提示，整理出解答过程： 请你依照上述做法，将下列各式因式分解： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）（2）根据题干所给方法进行添项，构成乘法公式进行因式分解即可． 【解析】解：（1） ； （2）原式 ． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用乘法公式进行因式分解是解题的关键． 28．完全平方公式是初中数学的重要公式之一：，完全平方公式既可以用来进行整式计算又可以用来进行分解因式， 发现： 应用： (1)写出一个能用上面方法进行因式分解的式子，并进行因式分解； (2)若，请用m，n表示a、b； 拓展：如图在直角三角形ABC中，BC=1，，延长CA至D，使AD=AB，求BD的长（参考上面提供的方法把结果进行化简） 【答案】（1）见解析；（2）a=m2+2n2，b=2mn；拓展：BD=（+）． 【分析】（1）依照样例进行解答即可； （2）把等式右边按照完全平方公式进行计算，然后再根据无理数相等的性质进行解答即可； 拓展：先根据勾股定理求得AB长，继而利用勾股定理求出BD2，再结合上面的方法进行因式分解求得BD长即可． 【解析】（1）4+2=3+2+1=（）2+2+12=（+1）2； （2）(n+m)2=m2+2mn+2n2=m2+2n2+2mn， 又， 所以a=m2+2n2，b=2mn； 拓展：由勾股定理得AC2+BC2=AB2，BC=1，， 所以AB2=12+（）2=1+3=4， ∴AB=2， 又AB=AD， 所以AD=2，CD=2+， BD2=BC2+CD2=12+(2+）2=1+4+4+3=8+4； 8+4=6+4+2=（）2+4+（）2=（+）2， 所以BD2=（+）2， 所以BD=±（+）， 因为BD为三角形的一边， 所以-（+）不合题意舍去， 所以BD=（+）． 【点睛】本题考查了完全平方公式，因式分解的应用，勾股定理等知识，弄清题意，灵活运用相关知识是解题的关键． 29．观察下列分解因式的过程：． 解：原式= 像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法． （1）请你运用上述配方法分解因式：； （2）代数式是否存在最小值？如果存在，请求出当a、b分别是多少时，此代数式存在最小值，最小值是多少？如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）（a-b）（a+5b）；（2）存在最小值，当a=-1，b=3时，最小值为2． 【分析】(1)理解题意，按题意所给方法分解因式即可； (2)根据题中所给方法，对原式进行变形求解即可． 【解析】解：(1) ， ， ， ， ； （2）代数式， =a2+2a+1+b2-6b+9-1-9+12， =， ， ∴当，b-3=0即，b=3时原式有最小值，最小值是2． 【点睛】本题主要考查了配方法分解因式，掌握因式分解的方法，正确理解问题情境是解题关键． 30． (1)【阅读与思考】 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． 请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________． (2)【理解与应用】 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： ①  __________； ②  __________． (3)【探究与拓展】 对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： ①  分解因式__________； ②  若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 【答案】(1) (2)          (3) ②43或 【分析】（1）首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，写出结果即可． （2）①把二次项系数2写成，常数项写成，满足，写出分解结果即可． ②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，写出分解结果即可． （3）①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，写出分解结果即可． ②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，写出分解结果，计算即可． （1） 首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，所以． 故答案为：． （2） ①把二次项系数2写成，，满足，所以． 故答案为：． ②把项系数6写成，把项系数2写成，满足， 所以． 故答案为：． （3） ①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件， 所以． 故答案为：． ②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件， 所以m=或m=， 故m的值为43或-78． 【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，读懂阅读材料，理解其中的内涵是解题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.3.2 公式法 一、单选题 1．下列各式中能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣2x+1 2．因式分解（    ） A． B． C． D． 3．已知多项式的一个因式为，另一个因式是（    ） A． B． C． D． 4．已知M＝3x2－x＋3，N＝2x2＋3x－1，则M、N的大小关系是（    ） A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N 5．在多项式中，（1）（2）（3）（4）其中能用完全平方公式分解因式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．已知，则的值是（    ） A．0 B．1 C．-2 D．-1 7．已知，则的个位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 8．已知，，是的三边，如果满足，则三角形的形状是　　 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 9．甲、乙两农户各有两块地，如图所示，今年，这两个农户决定共同投资搞饲养业．为此，他们准备将这4块土地换成一块地，那块地的宽为（a+b）米，为了使所换土地的面积与原来4块地的总面积相等，交换之后的土地的长应该是（　　）米． A．a+b B．b+c C．a+c D．a+b+c 10．9（x-y）2+12（x2-y2）+4（x+y）2因式分解为（　　） A． B． C． D． 11．已知a、b、c是正整数，a＞b，且a2-ab-ac+bc=11，则a-c等于（　　） A． B．或 C．1 D．1或11 12．已知a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 13．因式分解：____________． 14．分解因式： （1）________；（2）________； （3）________；（4）________； （5）________；（6）________； （7）________；（8）________； （9）________． 15．如果为完全平方数，则正整数n为______． 16．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC为_____三角形． 17．=_______． 18．已知，，则_______． 19．已知，且满足两个等式，．则的值为______． 20．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x+y）＝18，（x﹣y）＝0，（x2+y2）＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3﹣xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是_____（写出一个即可）． 三、解答题 21．把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）；（7）；（8）． 22．分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 23．把下列各式因式分解： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）； （6）；（7）；（8）； （9）；（10）． 24．分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）． 25．先分解因式，再求值：，其中，． 26．当时，多项式的值为0，求的值，并将该多项式进行因式分解． 27．小明、小花和老师一起探究一个问题：将因式分解． 小花根据大家的提示，整理出解答过程： 请你依照上述做法，将下列各式因式分解： （1）； （2） 28．完全平方公式是初中数学的重要公式之一：，完全平方公式既可以用来进行整式计算又可以用来进行分解因式， 发现： 应用： (1)写出一个能用上面方法进行因式分解的式子，并进行因式分解； (2)若，请用m，n表示a、b； 拓展：如图在直角三角形ABC中，BC=1，，延长CA至D，使AD=AB，求BD的长（参考上面提供的方法把结果进行化简） 29．观察下列分解因式的过程：． 解：原式= 像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法． （1）请你运用上述配方法分解因式：； （2）代数式是否存在最小值？如果存在，请求出当a、b分别是多少时，此代数式存在最小值，最小值是多少？如果不存在，请说明理由． 30． (1)【阅读与思考】 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． 请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________． (2)【理解与应用】 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： ①  __________； ②  __________． (3)【探究与拓展】 对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： ①  分解因式__________； ②  若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$