21.2.1 平方差公式(练习)数学人教版五四制八年级上册

21.2.1平方差公式 一、单选题 1．下列多项式的乘法中用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 2．在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是　　 A．2 B． C． D．1 4．为了应用平方差公式计算，必须先适当变形，下列各变形中，正确的是（ ）. A． B． C． D． 5．已知a+b+3＝0，且a﹣b﹣4＝0，则a2﹣b2＝（　　） A．12 B．﹣12 C．24 D．±12 6．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 7．计算的值是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），将余下的部分拼成一个梯形（如图2），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到个关于的等式为（    ） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2 B．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 C．a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b） D．a2＋ab＝a（a＋b） 9．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”(　　) A．56 B．66 C．76 D．86 10．若……，则A的值是 A．0 B．1 C． D． 二、填空题 11．在括号中填上适当的整式： （1）( )；             （2）( )； （3）( )；            （4）( )． 12．填空 （1）________；（2）________． 13．(1)______=______. (2)______；. 14．计算：______． 15．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是__________（用a、b的代数式表示）． 16．若，则____________，____________. 17．若，，则的值为____________． 18．已知，，，，…，，则=________． 三、解答题 19．计算：（1）；    （2）； （3）． 20．运用平方差公式计算： （1）；（2）；（3） （4）；（5）；（6）． 21．计算： （1）；                     （2）； （3）；                   （4）； （5）；              （6）． 22．先化简，再求值：，其中． 23．如图，大正方形与小正方形的边长分别为a、b，其面积之差是10，求阴影部分的面积． 24．公式的探究与应用： (1)如图①所示，可以求出阴影部分的面积是 (写成两数平方差的形式)． (2)若将图①中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图②所示的长方形，则此长方形的面积是 (写成多项式乘法的形式)． (3)比较两图阴影部分的面积，可以得到一个公式： ． (4)运用公式计算： (1－)(1－)(1－)…(1－)(1－)． 25．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是       ．（请选择正确的选项） A、 B、 C、 (2)用你选的等式进行简便计算：； (3)用你选的等式进行简便计算：． 26．提出问题：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，，16就是一个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是哪个数？ 解决问题：小颖的方法是一个一个找出来： ，，，，， …… 小明认为小颖的方法太麻烦．他想到：设是正整数，由于 (1)（    ）（    ）=________，所以，除1外，所有的奇数都是智慧数． (2)又因为（    ）（    ）=________，所以，除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． 还剩什么数没搞清楚呢？还剩被4除余2的数．小亮认为，如果是智慧数，那么必有两个正整数和，使得，即① 因为和这两个数的奇偶性相同，所以①式中等号右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数，可见等式左、右两边不相等，所以不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数． 得出结论：由此，可得结论，把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数． (3)应用结论：下列偶数中是智慧数的是（    ） A、2014    B、2018    C、2020    D、2022 (4)在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是________． (5)拓展应用：已知智慧数按从小到大的顺序构成如下列： 3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…… 则第2025个智慧数是________． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.1平方差公式 一、单选题 1．下列多项式的乘法中用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：根据平方差公式的使用条件：两个二项式相乘，其中两项相同，两项互为相反数． 符合这个条件的只有． 故选：． 2．在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平方差公式为，抓住两个因式中，一项是两数和，另一项是两数差，字母可以表示数也可以表示式，对选项进行一一分析看是否符合公式特征即可． 【解析】解：∵平方差公式为， 两个因式中都是两项式，一项是两数和，另一项两数差， A. ，不能用平方差公式计算，故选项A符合题意； B. 两个因式中都是两项式，一项是两数和，另一项是两数差，，能用平方差公式计算，故选项B不符合题意； C. 两个因式中都是两项式，一项是两数和，另一项是两数差，，能用平方差公式计算，故选项C不符合题意； D. 两个因式中都是两项式，把第二个括号中利用加法交换律换位，一项是两数和，另一项是两数差，可以用平方差公式计算，故选项D不符合题意． 故选择A． 【点睛】本题考查平方差公式的应用，掌握平方差公式的特征是解题关键． 3．计算的结果是　　 A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据平方差公式计算可得选项. 【解析】解： ． 故选：D． 4．为了应用平方差公式计算，必须先适当变形，下列各变形中，正确的是（ ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于平方差公式是把多项式分解为两个数的和与两个数的差的积的形式，所以根据这个特点即可判定选择项． 【解析】解：（a-b+c）（a+b-c）=[a-（b-c）][a+（b-c）]． 故选：D． 故答案选择：D. 【点睛】本题考查的是平方差公式，需要熟练掌握平方差公式的特征. 5．已知a+b+3＝0，且a﹣b﹣4＝0，则a2﹣b2＝（　　） A．12 B．﹣12 C．24 D．±12 【答案】B 【分析】根据平方差公式，即可求解． 【解析】解：∵a+b+3＝0，a﹣b﹣4＝0 ∴a+b＝-3，a﹣b＝4， ∴a2﹣b2=（a+b）（a-b）=-3×4=-12． 故选B． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握平方差公式是解题的关键． 6．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】先利用平方差公式，得=，再整体代入化简求值即可． 【解析】解：∵， ∴=====． 故选B． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握整式的混合运算法则以及平方差公式是解题的关键． 7．计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原式乘以变形的1，即（2-1），变形后，利用平方差公式计算即可得到结果． 【解析】解： =（22-1）（22+1）（24+1）…（22n+1） =（24-1）（24+1）…（22n+1）， =（28-1）（28+1）…（22n+1）， =（22n-1）（22n+1）， =24n-1， 故选C． 【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式及巧添1=（2-1）是解本题的关键． 8．如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图1），将余下的部分拼成一个梯形（如图2），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到个关于的等式为（    ） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2 B．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 C．a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b） D．a2＋ab＝a（a＋b） 【答案】C 【分析】根据两个图形阴影部分的面积相等、正方形和梯形的面积公式即可得． 【解析】解：图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分的面积为， 则由图1和图2中阴影部分的面积相等得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了平方差公式与几何图形，正确找出等量关系是解题关键． 9．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”(　　) A．56 B．66 C．76 D．86 【答案】C 【分析】利用“神秘数”定义判断即可． 【解析】解：∵76=38×2=（20+18）（20-18）=202﹣182， ∴76是“神秘数”，而其余各数均不能表示为两个连续偶数的平方差， 故选：C． 【点睛】此题考查了平方差公式，正确理解“神秘数”的定义是解本题的关键． 10．若……，则A的值是 A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】把变成然后利用平方差公式计算即可 【解析】…… …… …… 故选D 【点睛】能够灵活运用平方差公式解题是本题关键 二、填空题 11．在括号中填上适当的整式： （1）( )；             （2）( )； （3）( )；            （4）( )． 【答案】                    【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【解析】解：（1）； （2）； （3）； （4）； 故答案为：；；；． 【点睛】本题考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构特点是解本题的关键． 12．填空 （1）________；（2）________． 【答案】          【分析】直接根据平方差公式进行计算即可． 【解析】解：（1）； （2）； 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差的结构特点是解本题的关键． 13．(1)______=______. (2)______；. 【答案】               【分析】（1）根据平方差公式直接计算即可； （2）两次运用平方差公式计算即可. 【解析】解：（1）； （2）， 故答案为，，. 【点睛】本题考查了平方差公式，熟记公式是解题关键. 14．计算：______． 【答案】-1 【分析】构造平方差公式计算即可． 【解析】 = = = -1． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用,熟练掌握平方差公式是解题的关键． 15．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是__________（用a、b的代数式表示）． 【答案】ab 【解析】设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，由图①和②列出方程组得， 解得， ②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积=（）2-4×（）2=ab． 故答案为：ab. 16．若，则____________，____________. 【答案】     a+c ；     b 【分析】利用单平方差公式把原式变形，注意a+c看成是一个整体． 【解析】解：． ∴A=a+c；B=b. 故填：a+c；b 【点睛】此题主要考查了因式分解的平方差公式的特点：两个数的和乘以两个数的差，此题解题关键是分别找出两个括号的符号相同的和符号不同的项，然后变形就比较简单． 17．若，，则的值为____________． 【答案】 【分析】根据，，即可得出，再根据平方差公式进行化简式子，即可得出答案． 【解析】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴ = = = =． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平方差公式的运用，掌握平方差公式是解题的关键． 18．已知，，，，…，，则=________． 【答案】6066 【分析】通过观察，找到题中规律，得到，从而求得的值． 【解析】解：∵，，，， ∴， ∴，， ∴ 故答案为：6066． 【点睛】本题考查了规律的探究，平方差公式在简便运算中的运用，通过观察发现题中规律是解题的关键． 三、解答题 19．计算：（1）；    （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）、（2）直接根据平方差公式计算求解即可； （3）变形后运用平方差公式求解即可． 【解析】解：（1）原式． （2）原式． （3）原式． 【点睛】本题考查平方公式的运用，理解并熟练运用平方差公式是解题关键． 20．运用平方差公式计算： （1）；（2）；（3） （4）；（5）；（6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）3999999；（6）999996． 【分析】（1）平方差公式是：（a＋b）（a−b）＝，根据以上公式进行计算即可； （2）平方差公式是：（a＋b）（a−b）＝，根据以上公式进行计算即可； （3）平方差公式是：（a＋b）（a−b）＝，根据以上公式进行计算即可； （4）平方差公式是：（a＋b）（a−b）＝，根据以上公式进行计算即可； （5）先变形，再根据平方差公式进行计算即可； （6）先变形，再根据平方差公式进行计算即可． 【解析】解：（1） ＝ ＝； （2） （3） （4） （5）2001×1999 ＝（2000＋1）×（2000−1） ＝ ＝4000000−1 ＝3999999 （6）998×1002 ＝（1000−2）×（1000＋2） ＝ ＝1000000−4 ＝999996． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，能灵活运用公式进行计算是解此题的关键，注意：（a＋b）（a−b）＝． 21．计算： （1）；                     （2）； （3）；                   （4）； （5）；              （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【分析】根据整式的乘法运算法则和平方差公式，对每个式子逐个计算即可． 【解析】解：（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【点睛】此题考查了整式的乘法以及平方差公式，熟练掌握整式乘法的运算法则以及平方差公式是解题的关键． 22．先化简，再求值：，其中． 【答案】，－4 【分析】先将所给代数式依据整式的混合运算法则与平方差公式进行变形，化简，再代入求值即可． 【解析】原式 ＝ ， 当时， 原式 ＝－3－1 ＝－4． 【点睛】本题考查整式的混合运算与化简求值，掌握整式的运算法则与平方差公式的熟练运用是关键． 23．如图，大正方形与小正方形的边长分别为a、b，其面积之差是10，求阴影部分的面积． 【答案】阴影部分的面积是5 【分析】直接利用正方形的性质结合三角形面积求法，利用平方差公式即可得出答案． 【解析】由题知： 阴影部分的面积是：AE•BC+AE•BD＝AE（BC+BD）＝（AB﹣BE）（BC+BD） ＝（a﹣b）（a+b）＝（a2﹣b2）＝×10＝5． 答：阴影部分的面积是5． 【点睛】本题主要考查平方差公式与三角形的面积公式，用代数式表示阴影部分的面积是解题的关键． 24．公式的探究与应用： (1)如图①所示，可以求出阴影部分的面积是 (写成两数平方差的形式)． (2)若将图①中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图②所示的长方形，则此长方形的面积是 (写成多项式乘法的形式)． (3)比较两图阴影部分的面积，可以得到一个公式： ． (4)运用公式计算： (1－)(1－)(1－)…(1－)(1－)． 【答案】(1)a²-b²;(2)(a+b)(a-b);(3)a²-b²=(a+b)(a-b);(4) . 【分析】（1）利用面积公式：大正方形的面积-小正方形的面积=阴影面积； （2）利用矩形公式即可求解； （3）利用面积相等列出等式即可； （4）利用平方差公式简便计算． 【解析】(1)如图①所示，可以求出阴影部分的面积是a2－b2(写成两数平方差的形式)． (2)若将图①中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图②所示的长方形，则此长方形的面积是(a＋b)(a－b)(写成多项式乘法的形式)． (3)比较两图阴影部分的面积，可以得到一个公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)． (4)原式＝(1－)(1＋)(1－)(1＋)(1－)(1＋)…(1－)(1＋)(1－)(1＋) ＝××××××…×××× ＝×＝. 【点睛】本题综合考查了证明平方差公式和使用平方差公式的能力． 25．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是       ．（请选择正确的选项） A、 B、 C、 (2)用你选的等式进行简便计算：； (3)用你选的等式进行简便计算：． 【答案】(1)A (2)8 (3)146927 【分析】（1）根据图1中去掉边长为b的正方形后的图形面积与图2中的图形面积相等列出式子即可得到答案； （2）根据（1）的结论进行求解即可； （3）先推出，则可以得到所求式子，在推出，进而推出所求式子据此求解即可． （1） 解：由题意得：图1中去掉边长为b的正方形后的图形面积为：， 图2中图形面积为， ∵图1中去掉边长为b的正方形后的图形面积与图2中的图形面积相等， ∴， 故选A； （2） 解： ； （3） 解：∵， ， ， ∴， ∴ ， ∵，，， ∴， ∴， ， ∴ ， ∴原式=146927． 【点睛】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，应用平方差公式进行简便计算，数字类的规律探索，正确理解题意掌握平方差公式是解题的关键． 26．提出问题：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，，16就是一个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是哪个数？ 解决问题：小颖的方法是一个一个找出来： ，，，，， …… 小明认为小颖的方法太麻烦．他想到：设是正整数，由于 (1)（    ）（    ）=________，所以，除1外，所有的奇数都是智慧数． (2)又因为（    ）（    ）=________，所以，除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． 还剩什么数没搞清楚呢？还剩被4除余2的数．小亮认为，如果是智慧数，那么必有两个正整数和，使得，即① 因为和这两个数的奇偶性相同，所以①式中等号右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数，可见等式左、右两边不相等，所以不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数． 得出结论：由此，可得结论，把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数． (3)应用结论：下列偶数中是智慧数的是（    ） A、2014    B、2018    C、2020    D、2022 (4)在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是________． (5)拓展应用：已知智慧数按从小到大的顺序构成如下列： 3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…… 则第2025个智慧数是________． 【答案】(1)，； (2)，； (3)C (4)2701 (5)2703 【分析】（1）根据平方差公式即可求解； （2）根据平方差公式即可求解； （3）除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数； （4）综合（1）和（2）可得，除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数； （5）观察可知，智慧数按从小到大顺序可按3个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数，则第组的第一个数为，且为正整数），用2025除以3可知2025是第675组的第3个数，用4乘以675，再加上3即可得出答案． （1） 解：，所以，除1外，所有的奇数都是智慧数． 故答案为：，； （2） 解：又因为，所以，除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． 还剩什么数没搞清楚呢？还剩被4除余2的数．小亮认为，如果是智慧数，那么必有两个正整数和，使得，即① 因为和这两个数的奇偶性相同，所以①式中等号右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数，可见等式左、右两边不相等，所以不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数． 得出结论：由此，可得结论，把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数． 故答案为：，； （3） 解：， ， ， ， 是智慧数的是C． 故选：C； （4） 解：把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数， 又， 第2022个智慧数在（组，并且是第1个数，即． 故答案为：2701； （5） 解：观察可知，智慧数按从小到大顺序可按3个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数， 第组的第一个数为，且为正整数）． ， 第2025个智慧数是第675组中的第3个数，即为． 故答案为：2703． 【点睛】本题考查了同余问题，新定义“智慧数”以及平方差公式的运用，解题关键是根据题目条件挖掘素材，得到方法，本题属于基础题，难度不大，题中文字较多，很多学生不喜欢这样的文字题，解决该类型题时，只要仿照文中给定的办法即可得出结论． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$