第九单元：数学广角——集合（讲义）-2024-2025学年三年级上册数学人教版

数学广角-集合 (思维导图+知识梳理+典例分析+高频考题+答案解析) 思维导图 知识梳理 【容斥原理的定义】 在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题． 【容斥原理的重叠问题】 1、原理1：两量重叠问题 （1）、A类与B类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数 （2）、用符号可表示成：A∪B=A+B-A∩B ． 2、原理2：三量重叠问题 （1）、A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数． （2）、用符号表示为：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C 【容斥原理解题方法】 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考． 典例分析 【典例1】三（10）班参加美术的有王芳、刘云、孙成、王天、杨航、王欢、毛维、夏露；参加音乐组的有陈希、宋平、毛维、孟翠、王欢、孙成、吕恒。 ①填一填。 ②既参加美术组又参加音乐组的有（    ）人。 ③这两个小组一共有（    ）人。（用两种方法计算） ④只参加美术组和只参加音乐组的相差（    ）人。 ⑤请你提出一个数学问题，并解答。 【答案】①见详解； ②3； ③12； ④1； ⑤见详解 【思路分析】①根据集合问题的特点，将每个人的名字填入对应的位置即可； ②根据画的图示进行填空即可； ③参加美术的人数＋参加音乐的人数－音乐和美术都参加的人数＝这两个小组一共的人数； 只参加美术组的人数＋只参加音乐组的人数＋音乐和美术都参加的人数＝这两个小组一共的人数；依此计算。 ④用只参加美术组的人数减去只参加音乐组的人数即可。 ⑤根据题意提出问题并解答，符合题意即可。 【详解】① ②既参加美术组又参加音乐组的有王欢、孙成、毛维，一共有3人。 ③8＋7－3 ＝15－3 ＝12（人） 5＋3＋4 ＝8＋4 ＝12（人） ④5－4＝1（人） ⑤只参加美术组的人数和只参加音乐组的人数一共有多少人？ 5＋4＝9（人） 答：只参加美术组的人数和只参加音乐组的人数一共有9人。 【名师点评】熟练掌握集合问题的计算是解答此题的关键。 【典例2】在期末考试中，三（9）班数学得90分以上有28人，语文得90分以上有16人，两门功课都得90分以上有11人，语文或数学得90分以上的一共有（    ）人。 计算方法一： 计算方法二： 【答案】33；画图、计算方法一、方法二均见详解 【思路分析】根据题意将数据填入图中对应的位置，数学得90分以上的同学的人数＋语文得90分以上的同学的人数－两门功课都得90分以上的人数＝语文或数学得90分以上一共的人数，再根据图示用另一种方法计算即可。 【详解】28－11＝17（人） 16－11＝5（人） 计算方法一： 28＋16－11 ＝44－11 ＝33（人） 计算方法二： 17＋11＋5 ＝28＋5 ＝33（人） 【名师点评】熟练掌握集合问题的计算是解答此题的关键。 【典例3】上午去公园的有：李明、张丽、马毅、陈宇、王芳，下午去看电影的有：何文、李明、杨飞、王芳、周清、刘敏，这天去公园的和去看电影的一共有多少人？ 【答案】9人 【思路分析】根据题意可知，上午去公园的有5人，下午去看电影的有6人。既上午去公园，下午又去看电影有李明、王芳，共2人。则用上午去公园的人数加上下午去看电影的人数，再减去公园和电影都看的人数，求出这天去公园的和去看电影的总人数。 【详解】5＋6－2＝9（人） 答：这天去公园的和去看电影的一共有9人。 【名师点评】本题考查集合问题，用各部分的总和减去重叠部分，即可求出实际总量。 【典例4】小雨一家去采摘。爷爷、爸爸、外公、姨妈、小雨、叔叔6人采摘了圣女果，奶奶、妈妈、爷爷、小雨4人采摘了草莓，姑姑、舅舅、外婆3人采摘了小黄瓜。 【答案】9人；8人 【思路分析】（1）根据爷爷、爸爸、外公、姨妈、小雨、叔叔6人采摘了圣女果，姑姑、舅舅、外婆3人采摘了黄瓜，把人数相加即可。 （2）根据爷爷、爸爸、外公、姨妈、小雨、叔叔6人采摘了圣女果，奶奶、妈妈、爷爷、小雨4人采摘了草莓，一共有10人次，要求采摘圣女果和草莓的共有多少人，还要减去里面重复的2人：爷爷和小雨，据此解答即可。 【详解】（1）6＋3＝9（人） 答：采摘圣女果和小黄瓜的共有9个人。 （2）（6＋4）－2 ＝10－2 ＝8（人） 答：采摘圣女果和草莓的共有8人。 【名师点评】本题考查了容斥原理在生活中的应用。 【典例5】三（1）班每人至少购买一本数学教辅资料，其中26人购买了《非常课课通》，29人购买了《课时新体验》，11人这两种教辅资料都购买了。三（1）班有多少人？ 【答案】44人 【思路分析】根据题意可知，三（1）班的人数＝购买《非常课课通》的人＋购买《课时新体验》的人－这两种教辅资料都购买的人数，代入数据即可解答。 【详解】26＋29－11 ＝55－11 ＝44（人） 答：三（1）班有44人。 【名师点评】本题考查集合问题，利用集合的思想方法解决有重复部分的问题。 高频考题 1．有两块一样长的木板，各长130厘米，中间钉在一起成了一块长木板，中间的重叠部分长为10厘米，则这块长木板的长是多少厘米？ 2．三（2）班有36名同学，在一次数学测验中，做对第一道智力题的有21人，做对第二道智力题的有18人，每人至少做对一道题。两道都做对的有几人？ 3．三（1）班有32人订《小学生作文》，有24人订《少年科技》，有8人两种都订了。订这两种报刊的同学共有多少人？ 4．用3根长16分米的绳子连接成一根长绳。 （1）每两根之间接头处长2分米，结成后的长绳长多少分米？ （2）结成后的长绳长42分米，每个接头处长多少分米？ 5．三（3）班有44人，喜欢打乒乓球的有28人，喜欢打羽毛球的有30人，两项运动都不喜欢的有7人。两项运动都喜欢的有多少人？ 6．3位小朋友比赛猜谜语。小月猜出了15个，小军猜出了10个，小华猜出了13个。小军猜出的10个小华也都猜出来了，小华猜出的谜语中有7个小月也猜出来了。 （1）小军和小华一共猜出了多少个谜语？ （2）小月和小华一共猜出了多少个谜语？ 7．同学们排队做操，每行人数同样多，明明的位置从左边数是第4个，从右边数是第5个，从前面数是第6个，从后面数是第7个。做操的同学共有多少人？ 8．同学们进行大扫除。擦窗户的有12人，扫地的有15人，两样都做的有5人。 （1）填写下图。 两样都做的 擦窗户的               扫地的 （2）擦窗户的和扫地的一共有多少人？ （3）你能提出其他数学问题并解答吗？ 9．某校3年级共有学生100人，其中68人爱看体育频道，55人爱看文艺频道，另有3人这两个频道都不爱看。那么这两个频道都爱看的学生有多少人？ 10．电视台调查前一天收看河南2频道和8频道的情况（每人至少收看一个频道），有82人看过2频道，74人看过8频道，56人两个频道都看过。这次共有多少人接受调查？ 11．某旅游团一共有36名游客。在旅游纪念品商店里，每人至少买了1件纪念品，有12人买了帽子，有28人买了折扇，两样都买的有多少人？ 12．三年级一班有45人，参加体育课外小组的有27人，参加音乐课外小组的有31人，每人至少参加一个课外小组，三年级一班两个课外小组都参加的有多少人？ 13．五（1）班组织“垃圾分类宣讲”活动，要求每个同学必须带饮料或适量水果。活动时发现，38人带了饮料，35人带了水果，15人饮料和水果都带了。五（1）班参加“垃圾分类宣讲活动”的一共有多少人？ 14．三年级有423名学生去郊游，带面包的有267人，带火腿肠的有198人，每人至少带这两种食品中的一种，没有学生带其它的食品。三年级的学生两种食品都带的有多少人？ 15．在学校举办的运动会上，参加跳高和跳远的共有35人，其中参加跳高的有28人，参加跳远的有16人，两项都参加的有多少人？ 16．李老师给三（2）班学生出了两道思考题。全班每人至少做对一题，第1题做对的有32人，第2题做对的有28人，两道题都做对的有17人。三（2）班有多少人？ 17．三年级（1）班有45名学生参加团体比赛，其中参加接力赛的有25人，参加拔河赛的有35人，既参加接力赛又参加拔河赛的有多少人？ 18．三年级（1）有52人，每人至少喜欢喝一种，喜欢喝牛奶的有27人，喜欢喝豆浆的有36人。既喜欢喝牛奶又喜欢喝豆浆的有多少人？ 19．三年级有40名学生，其中参加舞蹈社团的有22人，参加美术社团的有20人，还有10人什么都没有参加，既参加舞蹈社团又参加美术社团的有多少人？ 20．三年级有117个小朋友去春游，带矿泉水的有68人，带水果的有87人，每人至少带一样，既带矿泉水又带水果的有多少人？ 21．三（1）班参加数学兴趣小组和音乐兴趣小组的共有42人，其中参加数学兴趣小组的有23人，参加音乐兴趣小组的有26人，同时参加两个兴趣小组的有几人？ 22．三年级有45人，参加学校滑冰比赛的有30人，参加雪雕比赛的有24人，既参加滑冰比赛又参加雪雕比赛的有12人，两项比赛都没参加的有多少人？ 23．三（2）班的同学们到游乐园玩，每人至少玩一项，坐碰碰车的有18人，玩旋转木马的有22人，两样都玩的有6人，去游乐园的同学有多少人？ 24．小华和小林在比赛写描写春天的成语。小华写出了12 个，小林写出了20个，小华写成语中有一部分小林也写出来了。统计发现他俩一共写了24个成语。你能算出小华和小林写的成语相同的有多少个吗？ 25．学校乐队招收新学员，其中会拉小提琴的有25名，会弹电子琴的有22名，两项都会的有5名。学校乐队招收了多少名新学员？ 26．同学们参加兴趣小组，参加绘画小组的有22人，参加舞蹈小组的有18人，两个小组都参加的有9人。 （1）填写下边的图。 （2）参加兴趣小组的一共有（    ）人。 27．幼儿园大班有38人，早晨分早餐时老师问：“谁愿意吃面包？”这时有28人举手；老师又问：“谁愿意吃蛋糕？”这时有32人举手，老师又问：“谁这两种都不愿意吃？”没有人举手。有多少人同时想吃面包和蛋糕？ 28．同学们去春游，带水壶的有78人，带水果的有77人，既带水壶又带水果的有48人，每人至少带一种。参加春游的同学一共有多少人？ 29．师大附小三（1）班在一次语文、数学测试中，有32人语文获优，有35人数学获优，其中语文、数学都获优的有28人，语文、数学都没有获优的有6人。这个班共有学生多少人？ 30．有30人参加数学竞赛，做对第一道题的有26人，做对第二道题的有18人，每人至少做对一道题。两道题都做对的有多少人？ 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案解析 1．250厘米 【思路分析】由题目可知，用两块木板的长度相加－重叠部分的长度＝钉成的木板长，即可解题。 【详解】由分析可知： 130＋130－10 ＝260－10 ＝250（厘米） 答：这块长木板的长是250厘米。 2．3人 【思路分析】用做对第一道题的人数加上第二道题的人数，然后再减去全班的总人数就是两题都做对的人数，据此解答即可。 【详解】21＋18－36 ＝39－36 ＝3（人） 答：两道都做对的有3人。 3．48人 【思路分析】由题目可知，订《小学生作文》的人数＋订《少年科技》的人数－两种报刊都订的人数＝订这两种报刊的总人数，依此列式并计算，即可解题。 【详解】由分析可知： 32＋24－8 ＝56－8 ＝48（人） 答：订这两种报刊的同学共有48人。 4．（1）44分米 （2）3分米 【思路分析】（1）3根16米长的绳子连接成一根长绳，每两根接头需要2分米，3根绳子有2处接头，就用总长度减去2个接口处即为所求。 （2）3根16分米长的绳子连起来，已知结成后的绳长42分米，用总长减去结成后的长度，就是接头处的长度，3根绳子接口处应有2处，求得的接头处长度除以2就是每个接头处的长度。 【详解】（1）16×3－2×2 ＝48－4 ＝44（分米） 答：结成后的长绳长44分米。 （2）（16×3－42）÷2 ＝（48－42）÷2 ＝6÷2 ＝3（分米） 答：每个接头处长3分米 5．21人 【思路分析】三（3）班全班人数减去两项运动都不喜欢的人数，可以算出（44－7）人中，有的喜打乒乓球，有的喜欢打羽毛球。喜欢打乒乓球的人数加上喜欢打羽毛球的人数，再减去（44－7）人，即可算出两项运动都喜欢的有多少人。 【详解】44－7＝37（人） 28＋30－37 ＝58－37 ＝21（人） 答：两项运动都喜欢的有21人。 6．（1）13个 （2）21个 【思路分析】（1）由题目可知，因为小军猜出的10个小华也都猜出来了，所以小军和小华一共猜出的个数就是小华猜中的13个，即可解题。 （2）由题目可知，因为小华猜出的谜语中有7个小月也猜出来了，所以小华和小月一共猜出的个数就是小华猜中的个数加上小月猜中的个数，再减去7个，即可解题。 【详解】由分析可知： （1）答：小军和小华一共猜出13个谜语。 （2）15＋13－7 ＝28－7 ＝21（个） 答：小月和小华一共猜出了21个谜语。 7．96人 【思路分析】从左边数明明是第4个，从右边数是第5个，意味着每行的人数就是4加5再减去1，减去1是因为明明重复了1次。从前面数是第6个，从后面数是第7个，6加7减去明明重复的1次，就是列数，用行数乘列数即为总人数，据此解题。 【详解】4＋5－1 ＝9－1 ＝8（人） 6＋7－1 ＝13－1 ＝12（人） 12×8＝96（人） 答：做操的同学共有96人。 8．（1）图见详解 （2）22人； （3）只擦窗户和只扫地的一共有多少人？17人（答案不唯一） 【思路分析】（1）由题目可知，两样都做的有5人，在两样都做的圈内填5，只擦窗户的有12－5＝7人，在擦窗户的圈内填7，只扫地的有15－5＝10人，在扫地的圈内填10，即可解题； （2）可直接将图中的三个数字相加，即可解题。 （3）根据题目获取有用信息，提出问题，合理即可，答案不唯一。可以提问只擦窗户和只扫地的一共有多少人？将只擦窗户和只扫地的人数相加，即可解题。 【详解】（1）如图：             两样都做的         擦窗户的                扫地的 （2）7＋5＋10＝22（人） 答： 擦窗户的和扫地的一共有22人。 （3）只擦窗户和只扫地的一共有多少人？ 7＋10＝17（人） 答：只擦窗户和只扫地的一共有17人。 9．26人 【思路分析】把爱看体育频道与爱看文艺频道和两个频道都不爱看的人数相加，得到总人数，再减去3年级共有的100人，得到超出部分的人数，即是两个频道都爱看的学生人数。据此解答。 【详解】68＋55＋3－100 ＝123＋3－100 ＝126－100 ＝26（人） 答：这两个频道都爱看的学生有26人。 10．100人 【思路分析】根据题意可知，看过2频道的人数＋看过8频道的人数－两个频道都看过的人数＝接受调查的总人数，依此列式并计算。 【详解】82＋74－56 ＝156－56 ＝100（人） 答：这次共有100人接受调查。 【名师点评】熟练掌握集合问题的计算是解答此题的关键。 11．4人 【思路分析】根据题意，买帽子的人数和买折扇的人数都包含了买这两样纪念品的人数，即两样纪念品都买的人数多算了一次。 【详解】12＋28－36＝4（人） 答：两样都买的有4人。 【名师点评】此题主要考查重叠数问题，解题关键是掌握重叠数＝A类＋B类－AB类。 12．13人 【思路分析】参加体育课外小组人数加音乐课外小组的人数，再减三年级一班的人数即可解答。 【详解】27＋31－45 ＝58－45 ＝13（人） 答：三年级一班两个课外小组都参加的有13人。 【名师点评】熟练掌握集合问题解题方法是解答本题的关键。 13．58人 【思路分析】由题意可得，用38＋35求出至少带一种的同学的总人数，再减去饮料和水果都带的人就是参加宣讲活动的总人数。 【详解】（38＋35）－15 ＝73－15 ＝58（人） 答：五（1）班参加“垃圾分类宣讲活动”的一共有58人。 【名师点评】本题是典型的集合问题，解答规律是：总数量＝A＋B－既A又B。 14．42人 【思路分析】先用加法计算出带火腿肠的和带面包的总人数，再减去三年级的人数，即可求得两种食品都带的人数，据此即可解答。 【详解】267＋198－423 ＝465－423 ＝42（人） 答：三年级的学生两种食品都带的有42人。 【名师点评】求得带买面包和带火腿肠的总人数是解题的关键。 15．9人 【思路分析】根据题意可知，参加跳高和跳远的一共35人，跳高的有28人，跳远的有16人，参加跳高和跳远的总人数＝参加跳高的人数＋参加跳远的人数－两者都参加的人数，代入数据计算即可。 【详解】28＋16－35 ＝44－35 ＝9（人） 答：两项都参加的有9人。 【名师点评】本题主要考查重叠容斥问题，解决这类问题注意其中的重复部分，明确需要求的部分，从而找出解答方法。 16．43人 【思路分析】由题可知，如果将做对第1题和第2题的人数相加，其中两道题都做对的人就会多加一次，要求总人数就再从中减去两道题都做对的人数即可。 【详解】32＋28－17 ＝60－17 ＝43（人） 答：三（2）班有43人。 【名师点评】本题主要考查了集合问题中的求总数：A类和B类的个数总和＝属于A类的个数＋属于B类的个数－同时属于A类和B类的个数。 17．15人 【思路分析】用参加接力赛的人加上参加拔河赛的人数再减去参加团体比赛的总人数即可得到既参加接力赛又参加拔河赛的人数。 【详解】25＋35－45 ＝60－45 ＝15（人） 答：既参加接力赛又参加拔河赛的有15人。 【名师点评】本题主要考查的是集合问题，考查学生对于解决问题知识的掌握。 18．11人 【思路分析】根据题意可知，喜欢喝牛奶的人数＋喜欢喝豆浆的人数－全班的总人数＝既喜欢喝牛奶又喜欢喝豆浆的人数，依此列式并计算即可。 【详解】27＋36－52 ＝63－52 ＝11（人） 答：既喜欢喝牛奶又喜欢喝豆浆的有11人。 【名师点评】熟练掌握集合问题的计算是解答此题的关键。 19．12人 【思路分析】用三年级学生总人数减去什么都没有参加的学生人数，求出参加舞蹈社团和美术社团的学生人数。用参加舞蹈社团的学生人数加上参加美术社团的学生人数，再减去参加舞蹈社团和美术社团的学生人数，求出既参加舞蹈社团又参加美术社团的学生人数。 【详解】22＋20－（40－10） ＝22＋20－30 ＝42－30 ＝12（人） 答：既参加舞蹈社团又参加美术社团的有12人。 【名师点评】本题考查集合问题，用各部分的总和减去实际总量，求出重叠部分。解决本题时应注意，实际总量是参加舞蹈社团和美术社团的学生人数，而不是三年级的学生总人数。 20．38人 【思路分析】把带矿泉水的有68人和带水果的有87人加在一起，然后减去三年级的总人数就是两样都带的人数。 【详解】68＋87－117 ＝155－117 ＝38（人） 答：既带矿泉水又带水果的有38人。 【名师点评】此题考查了利用容积原理解决问题的方法，两样都带的人数被算了2次，就是带矿泉水和带水果的人数比总人数多出的人数，这是解决本题的关键。 21．7人 【思路分析】根据题意，用参加数学兴趣小组和参加音乐兴趣小组的总人数减去三（1）班参加数学兴趣小组和音乐兴趣小组的人数，即可求出同时参加两个兴趣小组的人数。 【详解】23＋26－42 ＝49－42 ＝7（人） 答：同时参加两个兴趣小组的有7人。 【名师点评】本题主要考查容斥问题，解答此题注意23＋26把两个兴趣小组都参加的人数多算了一次。 22．3人 【思路分析】参加学校滑冰比赛的人数＋参加雪雕比赛的人数－两项都参加的人数，是参加比赛的人数，用班级总人数减去参加比赛的人数就是两项比赛都没有参加的人数。 【详解】30＋24－12 ＝54－12 ＝42（人） 45－42＝3（人） 答：两项比赛都没参加的有3人。 【名师点评】对于重叠问题，关键是判断重复计算的部分的数量，求总数的时候需要减去重叠部分。 23．34人 【思路分析】根据题意可知，坐碰碰车的人数＋玩旋转木马的人数－两样都玩的人数＝去，游乐园的总人数，依此列式并计算。 【详解】18＋22－6 ＝40－6 ＝34（人） 答：去游乐园的同学有34人。 【名师点评】熟练掌握集合问题的计算是解答此题的关键。 24．8个 【思路分析】用小华写出成语个数加上小林写出成语个数，再减去他俩一共写出成语个数，求出两人写出相同成语个数。 【详解】12＋20－24 ＝32－24 ＝8（个） 答：小华和小林写的成语相同的有8个。 【名师点评】本题考查集合问题，用各部分的总和减去实际总量，即可求出重叠部分。 25．42名 【思路分析】会拉小提琴的人数加会弹电子琴的人数，再减去两项都会的人数即可解答。 【详解】25＋22－5 ＝47－5 ＝42（名） 答：学校乐队招收了42名新学员。 【名师点评】熟练掌握集合问题解题方法是解答本题的关键。 26．（1）13；9；9 （2）31 【思路分析】（1）用参加绘画小组的人数减去两个小组都参加的人数，求出只参加绘画小组的人数。用参加舞蹈小组的人数减去两个小组都参加的人数，求出只参加舞蹈小组的人数。据此填写集合图。 （2）用参加绘画小组的人数加上参加舞蹈小组的人数，再减去两个小组都参加的人数，求出参加兴趣小组的总人数。 【详解】（1）22－9＝13（人） 18－9＝9（人） （2）22＋18－9＝31（人） 则参加兴趣小组的一共有31人。 【名师点评】本题考查集合问题，熟练掌握集合图中各部分表示的意义。用各部分的总和减去重叠部分，即可求出实际总量。 27．22人 【思路分析】愿意吃面包的人数加上愿意吃蛋糕的人数，然后减去总人数即可得出同时想吃面包和蛋糕的人数。 【详解】28＋32－38 ＝60－38 ＝22（人） 答：有22人同时想吃面包和蛋糕。 【名师点评】此题主要考查学生对集合的基本理解与运用。 28．107人 【思路分析】带水壶的有78人加上带水果的有77人，然后减去两样都带的即可得解。 【详解】78＋77－48 ＝155－48 ＝107（人） 答：参加春游的同学一共有107人。 【名师点评】此题主要考查学生对集合的基本理解与运用。 29．45人 【思路分析】语文获优的人数加上数学获优的人数，然后减去都获优的人数，再加上都没获优的人数即可得解。 【详解】32＋35－28＋6 ＝67－28＋6 ＝39＋6 ＝45（人） 答：这个班共有学生45人。 【名师点评】解决此题的关键是要弄清楚每个集合中包含与排除的关系。 30．14人 【思路分析】用做对第一道题的人数加上做对第二道题的人数，减去参加数学竞赛的人数，求出两道题都做对的人数。 【详解】26＋18－30 ＝44－30 ＝14（人） 答：两道题都做对的有14人。 【名师点评】本题考查集合问题，用各部分的总和减去实际总量，即可求出重叠部分。 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$