专题02 常用的逻辑用语（单元测试）-【课后优辅导】2024-2025学年高一数学上学期讲义（沪教版2020）

专题02 常用的逻辑用语单元测试 考试时间：120分钟 满分：150分 一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.把答案填在答题卡中的横线上. 1．（23-24高一上·上海·期中）用反证法证明命题：“已知，则且”时，应假设 . 2．（23-24高一上·上海·期中）已知命题“如果，那么”是真命题，则实数的取值范围是 . 3．（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）已知，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ； 4．（20-21高一上·上海浦东新·阶段练习）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是 5．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）若“”是“”的充分条件，则m的取值范围是 ． 6．（20-21高一上·上海浦东新·阶段练习）关于x的不等式的解集为，则实数k的取值范围是 7．（23-24高一上·上海闵行·期中）若、中至少有一个小于0，则是 命题.（填“真”或“假”） 8．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知命题甲：，命题乙：，则甲是乙的 条件. 9．（23-24高一上·上海普陀·期中）设，，若，则实数组成的集合 . 10．（16-17高一上·上海闵行·期中）对于任意两个正实数a，b，定义，其中常数．若，且与都是集合的元素，则 ． 11．（23-24高一上·上海·期中）设，则“”是“”的 条件.（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”） 12．（23-24高一上·上海·期中）定义区间、，、的长度均为，其中.若不等式组的解集中各区间长度和等于8，则实数t的取值范围是 . 二、单选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（23-24高一上·上海杨浦·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 14．（20-21高二下·新疆伊犁·期末）用反证法证明命题“任意三角形最多有一个钝角”的第一步应假设（    ） A．任意三角形都没有钝角 B．存在一个三角形恰有一个钝角 C．任意三角形都有两个钝角 D．存在一个三角形至少有两个钝角 15．（23-24高一上·上海闵行·期中）陈述句“或”的否定形式是（    ）． A．且 B．且 C．且 D．或 16．（12-13高二·全国·课后作业）“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，则以下四个命题：⑴的元素都不是P的元素；⑵中有不属于元素；⑶中有的元素；⑷的元素不都是的元素，其中真命题的个数有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（23-24高一上·上海·期中）命题甲：集合为空集；命题乙：关于x的不等式的解集为．若命题甲、乙都是真命题，求实数k的取值范围． 18．（23-24高一上·上海·期中）命题甲：关于的不等式的解集是空集.命题乙：指数函数随着增大而减小. (1)若命题甲、命题乙中至少有一个真，求实数的取值范围； (2)当命题甲是假命题且命题乙为真命题时，证明：. 19．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知集合为非空集合，. (1)当时，求，； (2)求能使成立的实数的取值范围. 20．（23-24高一上·上海闵行·期中）（1）已知实数，满足，求证：. （2）若实数，为正数，且满足，用反证法证明：和中至少有一个成立. 21．（23-24高一上·上海·期中）完成下列各题 (1)设，，比较M、N的大小； (2)已知条件：，条件：，若是的充分条件，求实数m的数值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 常用的逻辑用语单元测试 考试时间：120分钟 满分：150分 一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.把答案填在答题卡中的横线上. 1．（23-24高一上·上海·期中）用反证法证明命题：“已知，则且”时，应假设 . 【答案】或. 【难度】0.94 【知识点】反证法的概念辨析 【分析】利用反证法的概念直接求解. 【详解】用反证法证明命题：“已知，则且”时， 应假设: 或. 故答案为：或. 2．（23-24高一上·上海·期中）已知命题“如果，那么”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】已知命题的真假求参数 【分析】由命题为真求解即可. 【详解】已知命题“如果，那么”是真命题， 则实数的取值范围是. 故答案为： 3．（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）已知，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ； 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数 【分析】根据充分、必要条件分析可知：是的真子集，结合包含关系分析求解. 【详解】由题意可知：是的真子集， 则且等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 4．（20-21高一上·上海浦东新·阶段练习）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据题意，分类讨论的值，判断得出且，由此求出不等式组的解集，即可得实数的取值范围. 【详解】解：由题可知，不等式有且只有一个整数解， 显然，当时，，解得：，不满足条件； 故，关于的不等式， 即， 当时，不等式即， 得它的解集为：，，，不满足条件； 当时，不等式即， 由于此时，故它的解集为，， ，，即， 求得或， 则实数的取值范围. 故答案为：. 【点睛】本题考查根据不等式的解集情况求参数范围，考查一元二次不等式的解法，考查运算能力和分类讨论思想，属于中档题． 5．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）若“”是“”的充分条件，则m的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】根据题意，由条件可得，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，则，所以m的取值范围是. 故答案为： 6．（20-21高一上·上海浦东新·阶段练习）关于x的不等式的解集为，则实数k的取值范围是 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求绝对值不等式中参数值或范围 【分析】由绝对值不等式求出，只需小于等于最小值即可得解. 【详解】由于， 所以要使不等式的解集为，只需即可. 故答案为： 【点睛】本题考查绝对值不等式在求最值中的应用，属于基础题. 7．（23-24高一上·上海闵行·期中）若、中至少有一个小于0，则是 命题.（填“真”或“假”） 【答案】假 【难度】0.85 【知识点】判断命题的真假 【分析】利用反例判断命题的真假即可. 【详解】、中至少有一个小于0包括、都小于0和、两个数中一个小于0，一个大于0， 故当，时，满足条件，但是， 所以命题：若、中至少有一个小于0，则为假命题. 故答案为：假 8．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知命题甲：，命题乙：，则甲是乙的 条件. 【答案】必要不充分 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据题意，利用充分条件、必要条件的判定法方法，结合特例和不等式的性质，即可求解. 【详解】当时，满足命题甲：，此时命题乙不成立，即充分性不成立； 反之：若命题乙：成立时，可得命题甲一定成立，即必要性成立， 所以命题甲是命题乙成立的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 9．（23-24高一上·上海普陀·期中）设，，若，则实数组成的集合 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据集合的包含关系分类讨论求解. 【详解】由解得，或，所以， 当时，方程无解，则，满足题意； 当时，由解得，所以或7，解得或， 综上，实数组成的集合. 故答案为： 10．（16-17高一上·上海闵行·期中）对于任意两个正实数a，b，定义，其中常数．若，且与都是集合的元素，则 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】利用不等式求值或取值范围、集合新定义、描述法表示集合 【分析】由已知结合新定义及元素与集合的关系，利用不等式的性质可求． 【详解】由与都是集合的元素， 不妨设， 因为，所以， 由已知，所以，则， 又，所以，即， 所以， 所以，， 则，即， 因为，所以，则，即. 故答案为：． 11．（23-24高一上·上海·期中）设，则“”是“”的 条件.（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”） 【答案】必要不充分 【难度】0.94 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据必要条件与充分条件判断即可. 【详解】由“”无法得到“”，而“”可得“” 所以“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 12．（23-24高一上·上海·期中）定义区间、，、的长度均为，其中.若不等式组的解集中各区间长度和等于8，则实数t的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】先解不等式，并求出解集区间的长度，再从分类讨论解不等式，结合题意即可得出答案. 【详解】由，得且， 由得，解得， 由得，解得或， 所以不等式的解集为， 此不等式解集的长度恰好为， 由得， 当时，此不等式的解集为空集，舍去； 当时，此不等式的解集为， 要满足题意则，解得； 当时，此不等式的解集为， 要满足题意则，解得， 综上所述，实数t的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：分别解不等式和是解决本题的关键. 二、单选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（23-24高一上·上海杨浦·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，解得或， 所以由推不出，即充分性不成立， 由推得出，即必要性成立， 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B 14．（20-21高二下·新疆伊犁·期末）用反证法证明命题“任意三角形最多有一个钝角”的第一步应假设（    ） A．任意三角形都没有钝角 B．存在一个三角形恰有一个钝角 C．任意三角形都有两个钝角 D．存在一个三角形至少有两个钝角 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】反证法证明 【分析】根据假设法的步骤可知，第一步应该假设结论不成立. 【详解】第一步应该假设结论不成立，则应该假设“存在一个三角形有两个或三个钝角”或“存在一个三角形至少有两个钝角”. 故选：D. 15．（23-24高一上·上海闵行·期中）陈述句“或”的否定形式是（    ）． A．且 B．且 C．且 D．或 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】写出原命题的否命题及真假判断 【分析】根据命题的否定的概念求解即可. 【详解】“或”的否定形式是：且. 故选：C 16．（12-13高二·全国·课后作业）“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，则以下四个命题：⑴的元素都不是P的元素；⑵中有不属于元素；⑶中有的元素；⑷的元素不都是的元素，其中真命题的个数有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的真假 【详解】试题分析：原命题为假则它的否定为真，故（4）为真命题，“的元素不都是的元素”又说明“中有不属于元素”故（2）正确，选B. 考点：命题的否定. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（23-24高一上·上海·期中）命题甲：集合为空集；命题乙：关于x的不等式的解集为．若命题甲、乙都是真命题，求实数k的取值范围． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据命题的真假判断集合中参数的取值范围即可. 【详解】因为集合为空集， 所以当时，为空集；当时， 所以； 又因为关于x的不等式的解集为，则， 因为甲乙为真命题，所以实数k的取值范围是 18．（23-24高一上·上海·期中）命题甲：关于的不等式的解集是空集.命题乙：指数函数随着增大而减小. (1)若命题甲、命题乙中至少有一个真，求实数的取值范围； (2)当命题甲是假命题且命题乙为真命题时，证明：. 【答案】(1)或； (2)证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小、由指数（型）的单调性求参数、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）求出命题甲、命题乙都为真时a的范围，再根据给定条件求解即可. （2）由（1）的信息，求出a的范围，再利用作差法推理即得. 【详解】（1）命题甲为真命题时，，解得， 命题乙为真命题时，，解得或， 由命题甲、命题乙中至少有一个真，得或， 所以实数的取值范围是得或. （2）由（1）知，命题甲是假命题，则，又命题乙为真命题，因此， 而，显然， 即有，所以. 19．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知集合为非空集合，. (1)当时，求，； (2)求能使成立的实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】根据交集结果求集合或参数、并集的概念及运算、交集的概念及运算 【分析】（1）当时，求得，，结合集合交集、并集的运算，即可求解； （2）由得到，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）当时，集合， ， 由集合交集和并集的定义与运算，可得，. （2）由非空集合，， 因为，可得，因为，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 20．（23-24高一上·上海闵行·期中）（1）已知实数，满足，求证：. （2）若实数，为正数，且满足，用反证法证明：和中至少有一个成立. 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】作差法比较代数式的大小、反证法证明 【分析】（1）利用作差法比较大小即可证明；（2）利用反证法结合不等式性质证明即可. 【详解】（1） ，因为，所以，所以； （2）假设结论不成立，即有且，由已知，实数，为正数， 所以有且，故，所以， 与已知矛盾，假设不成立， 所以有和中至少有一个成立. 21．（23-24高一上·上海·期中）完成下列各题 (1)设，，比较M、N的大小； (2)已知条件：，条件：，若是的充分条件，求实数m的数值范围. 【答案】(1). (2) 【难度】0.65 【知识点】根据充分不必要条件求参数、作差法比较代数式的大小 【分析】（1）利用作差法的方法比较大小； （2）由题意是的充分条件，，考虑和两类情况进行讨论.. 【详解】（1）， 所以； （2）因为是的充分条件，设, 则是的充分条件，即 若，当，即时，满足条件, 若，要使, 则,即 , 综上，实数的范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$