青岛版八年级上学期期中必刷压轴57题（15个考点专练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（青岛版）

2024-2025学年青岛版八年级上学期期中知识大串讲【期末押题】 必刷压轴57题（15个考点专练） 目录 考点1：全等三角形的判定与性质 1 考点2：尺规作图 3 考点3：轴对称的性质 6 考点4：角平分线的性质 6 考点5：线段垂直平分线的性质 8 考点6：关于x轴、y轴对称的点的坐标 8 考点7：轴对称-最短路线问题 9 考点8：翻折变换（折叠问题） 9 考点9：等腰三角形的判定与性质 10 考点10：等边三角形的判定与性质 12 考点11：分式的基本性质 13 考点12：分式的运算 13 考点13：分式方程的解 15 考点14：解分式方程 15 考点15：分式方程的应用 16 考点1：全等三角形的判定与性质 1．如图，在中，，，垂足分别为、，、交于点，已知，，则的长是　　 A．4 B．5 C．1 D．2 2．如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．则下列说法正确的个数为　　 ①；②，③若，则；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图，将两个全等的直角三角形、拼在一起（图，不动． （1）若将绕点逆时针旋转，连接，是的中点，连接、（图，证明：． （2）若将图1中的向上平移，不变，连接，是的中点，连接、（图，判断并直接写出、的数量关系． （3）在（2）中，若的大小改变（图，其他条件不变，则（2）中的、的数量关系还成立吗？说明理由． 4．阅读下题及证明过程：已知：如图，是中边上一点，是上一点，，，求证：． 证明：在和中， ，，， 第一步 第二步 问上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程． 考点2：尺规作图 5．阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 小芸的作法如下： 老师说：“小芸的作法正确．” 请回答：小芸的作图依据是 　 6．在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图1，当点在线段上，如果，则　　度； （2）设，． ①如图2，当点在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点在直线上移动，画图并探究，之间有怎样的数量关系？ 7．已知：如图，直线与直线相交于点，点是直线上一点． 求作：点，使直线，且点到，两点的距离相等．（在题目的原图中完成作图） 结论：． 8．已知： 如图，中，． （1） 在边上确定点的位置， 使． 请画出图形， 不写画法； （2） 在图中画出一条直线，使得直线分别与、边交于点、，并且沿直线将剪开后可拼成一个等腰梯形 ． 请画出直线及拼接后的等腰梯形， 并简要说明你的剪拼方法 ． 考点3：轴对称的性质 9．是内一点，分别作点关于直线、的对称点、，连接、，则下列结论正确的是　　 A． B． C．且 D． 10．如图，是由大小一样的小正方形组成的网格，的三个顶点均落在小正方形的顶点上．在网格上能画出的三个顶点都落在小正方形的顶点上，且与成轴对称的三角形共有　　 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 考点4：角平分线的性质 11．如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为50和39，则的面积为　　 A．11 B．5.5 C．7 D．3.5 12．如图，在中，平分交于点，交于点，于点，且，，则的面积是　　． 13．如图，的三边、、长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点，则　　． 14．如图，有三幢公寓楼分别建在点、点、点 处，、、 是连接三幢公寓楼的三条 道路，要修建一超市，按照设计要求，超市要在的内部，且到、的距离必须相等，到两条道路、的距离也必须相等，请利用尺规作图确定超市的位置． （不要求写出作法、证明，但要保留作图痕迹）． 考点5：线段垂直平分线的性质 15．如图，在中，，，，的垂直平分线交的延长线于点，则的长为　　 A． B． C． D．2 16．中，，，的垂直平分线与的垂直平分线分别交于点、且，则的值为　　 A．6 B．10 C．6或14 D．6或10 17．如图，的周长为，的垂直平分线交于，为垂足，，则的周长为　． 18．如图，，是、的垂直平分线的交点，那么　　． 考点6：关于x轴、y轴对称的点的坐标 19．点、点关于轴对称，则的值为　　 A．0 B． C．1 D． 20．、、为的三条边，满足条件点与点关于轴对称，判断的形状 　　． 21．已知点与点关于轴对称，则　　，　 　． 考点7：轴对称-最短路线问题 22．如图，矩形中，，，为边的中点，点、为边上两个动点，且，当　　时，四边形的周长最小． 23．如图，钝角三角形的面积为15，最长边，平分，点、分别是、上的动点，则的最小值为　　． 24．如图，，点、分别在边、上，且，，点、分别在边、上，则的最小值是　　． 考点8：翻折变换（折叠问题） 25．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是　　 A． B． C． D． 26．在矩形纸片中，，．如图所示，折叠纸片，使点落在边上的处，折痕为，当点在边上移动时，折痕的端点、也随之移动，若限定点、分别在线段、边上移动，则点在边上可移动的最大距离为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 27．已知中，，，，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点处，折痕交另一直角边于，交斜边于，则的周长为　 　． 28．如图，将边长为2的等边三角形沿轴正方向连续翻折2020次，依次得到点，，，，，则点的坐标是 　　 ． 考点9：等腰三角形的判定与性质 29．如图，在中，，点为所在平面内一点，且点与的任意两个顶点构成，，均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点的个数为　　个． 30．如图，是的边上的高，由下列条件中的某一个就能推出是等腰三角形的是　　． ①；②；③；④． 31．在一次数学课上，周老师在屏幕上出示了一个例题： 在中，，分别是，上的一点，与交于点，画出图形（如图）， 给出下列四个条件：①；②；③；④． （1）要求同学从这四个等式中选出两个作为已知条件，可判定是等腰三角形． 请你用序号在横线上写出所有情形．答：　 　； （2）选择第（1）题中的一种情形，说明是等腰三角形的理由，并写出解题过程．解：我选择 　　． 32．如图，等腰梯形中，，点是延长线上的一点，且． 求证：． 考点10：等边三角形的判定与性质 33．边长为的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为　　 A． B． C． D． 34．如图，过边长为1的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，当时，连交边于，则的长为 　　． 35．为等边三角形，、、分别在边、、上，且，则为　　三角形． 36．已知：在和中，，． （1）如图①，若，求证：①②． （2）如图②，若，则与间的等量关系式为　　，的大小为　 　（直接写出结果，不证明） 考点11：分式的基本性质 37．如果把的与，均为正）都扩大10倍，那么这个代数式的值　　 A．不变 B．扩大50倍 C．扩大10倍 D．缩小到原来的 38．不改变分式的值，把它的分子和分母中的各项系数都化为整数，则所得结果为　　 A． B． C． D． 39．若分式中的、的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值　　 A．是原来的20倍 B．是原来的10倍 C．是原来的 D．不变 考点12：分式的运算 40．计算的结果为 　　． 41．学完分式运算后，老师出了一道题“化简：”． 小明的做法是：原式； 小亮的做法是：原式； 小芳的做法是：原式． 其中正确的是　　 A．小明 B．小亮 C．小芳 D．没有正确的 42．若，对任意自然数都成立，则　　，　 　；计算：　 　． 43．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下： 则第次运算的结果　　 （用含字母和的代数式表示）． 44．化简：． 45．解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题．例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”，等等． （1）设，，求与的积； （2）提出（1）的一个“逆向”问题，并解答这个问题． 46．先化简，再求值：，其中． 47．先将化简，然后请自选一个你喜欢的值代入求值． 考点13：分式方程的解 48．若分式方程的解为，则的值为　　． 49．观察分析下列方程：①，②，③；请利用它们所蕴含的规律，求关于的方程为正整数）的根，你的答案是：　　 ． 50．若关于的方程无解，则的值是　 　． 考点14：解分式方程 51．分式方程的解为　　． 52．用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是　　 A． B． C． D． 53．用换元法解方程，若设，则可得关于的整式方程　　 ． 考点15：分式方程的应用 54．某银行拟贷款一定数额人民币给甲公司，按银行的贷款规定，在物价不变时，年贷款利率为，若物价上涨，甲公司应根据借贷期间物价上涨的相应指数付给银行利率，已知当年物价上涨，这时，银行应将年贷款利率提高　　个百分点时，才能保证实质利率为． 中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成． （1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 56．为了迎接市中学生田径运动会，计划由某校八年级（1）班的3个小组制作240面彩旗，后因一个小组另有任务，改由另外两个小组完成制作彩旗的任务．这样，这两个小组的每个同学就要比原计划多做4面彩旗．如果这3个小组的人数相等，那么每个小组有多少名学生？ 57．为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息： 信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍． 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年青岛版八年级上学期期中知识大串讲【期末押题】 必刷压轴57题（15个考点专练） 目录 考点1：全等三角形的判定与性质 1 考点2：尺规作图 9 考点3：轴对称的性质 14 考点4：角平分线的性质 15 考点5：线段垂直平分线的性质 18 考点6：关于x轴、y轴对称的点的坐标 21 考点7：轴对称-最短路线问题 22 考点8：翻折变换（折叠问题） 25 考点9：等腰三角形的判定与性质 27 考点10：等边三角形的判定与性质 32 考点11：分式的基本性质 37 考点12：分式的运算 38 考点13：分式方程的解 42 考点14：解分式方程 43 考点15：分式方程的应用 44 考点1：全等三角形的判定与性质 1．如图，在中，，，垂足分别为、，、交于点，已知，，则的长是　　 A．4 B．5 C．1 D．2 【思路点拨】由垂直于，垂直于，利用垂直的定义得到一对角为直角，再由一对对顶角相等，利用三角形的内角和定理得到一对角相等，再由一对直角相等，以及一对边相等，利用得到三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，由，即即可求出的长． 【规范解答】解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 则． 故选：． 【考点评析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 2．如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．则下列说法正确的个数为　　 ①；②，③若，则；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】①根据三角形内角和定理可得可得，然后根据平分，平分，可得，，再根据三角形内角和定理即可进行判断； ②当是的中线时，，进而可以进行判断； ③延长至，使，连接，根据，证明，得，然后根据等腰三角形的性质进而可以进行判断； ④作的平分线交于点，可得，证明，，可得，，进而可以判断； ⑤过作，于点，，由④知，为的角平分线，可得，所以可得，根据，，进而可以进行判断． 【规范解答】解：①在中，， ， 平分，平分， ，， ，故①正确； ②当是的中线时，， 而平分，故②错误； ③如图，延长至，使，连接， ， ， ， ， ，， 为角平分线， ， ， ， ， ，故③正确； ④如图，作的平分线交于点， 由①得， ， ， ， ，， ，， ，， ，故④正确； ⑤过作，于点，， 由④知，为的角平分线， ， ， ，， ，故⑤正确． 综上所述：正确的有①③④⑤，共4个， 故选：． 【考点评析】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的性质和判定，作辅助线，构建三角形全等是关键，有难度． 3．如图，将两个全等的直角三角形、拼在一起（图，不动． （1）若将绕点逆时针旋转，连接，是的中点，连接、（图，证明：． （2）若将图1中的向上平移，不变，连接，是的中点，连接、（图，判断并直接写出、的数量关系． （3）在（2）中，若的大小改变（图，其他条件不变，则（2）中的、的数量关系还成立吗？说明理由． 【思路点拨】（1）连接，根据全等三角形的对应边相等可得，，全等三角形对应角相等可得，再根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等即可得证； （2）延长、相交于，延长交于，根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后求出，再根据两直线平行，内错角相等求出，同理求出，根据两直线平行，同位角相等求出，然后求出，再根据等角对等边即可得证； （3）延长交于，根据两直线平行，内错角相等可得，，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可． 【规范解答】证明：（1）如图2，连接，由已知得， ，，， ， ， ， 即， 在和中，， ， ； （2）． 理由如下：如图3，延长、相交于，延长交于， ，， 是的中点，是的中点， ， ， 同理：， ， ， ， ； 解法二：如图3中，延长交于点． ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （3）还成立． 如图4，延长交于， ， ，， 又是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等角对等边的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及三角形的中位线定理，综合性较强，但难度不大，作辅助线构造出等腰三角形或全等三角形是解题的关键． 4．阅读下题及证明过程：已知：如图，是中边上一点，是上一点，，，求证：． 证明：在和中， ，，， 第一步 第二步 问上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程． 【思路点拨】上面证明过程不正确，因为没有正确理解全等三角形的判定方法，指的是两边一角且角为这两边的夹角，所以上面证明过程不正确．这就要求我们要真正理解且正确运用全等三角形的判定方法． 【规范解答】解：上面证明过程不正确；错在第一步．正确过程如下： 在中， 又 ． 在和中， ， ． 【考点评析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、． 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 考点2：尺规作图 5．阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 小芸的作法如下： 老师说：“小芸的作法正确．” 请回答：小芸的作图依据是 　到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．　． 【思路点拨】通过作图得到，，则可根据线段垂直平分线定理的逆定理判断为线段的垂直平分线． 【规范解答】解：，， 垂直平分（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线． 故答案为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线． 【考点评析】本题考查了基本作图：基本作图有：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线． 6．在中，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图1，当点在线段上，如果，则　90　度； （2）设，． ①如图2，当点在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点在直线上移动，画图并探究，之间有怎样的数量关系？ 【思路点拨】（1）问要求的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论； （2）问在第（1）问的基础上，将转化成三角形的内角和； （3）问是第（1）问和第（2）问的拓展和延伸，要注意分析两种情况． 【规范解答】解：（1）， ． 即． 在与中， ， ， ． ， ， 又 ； 故答案为：90； （2）①， 理由：， ． 即． 在与中， ， ． ． ， ， ； ②当点在射线上时，； 理由：， ， 在和中 ， ， ， ， ； 当点在射线的反向延长线上时，． 理由：， ， 在和中， ， ， ，， ， 即． 【考点评析】本题考查三角形全等的判定，以及全等三角形的性质；两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角是关键．本题的亮点是由特例引出一般情况． 7．已知：如图，直线与直线相交于点，点是直线上一点． 求作：点，使直线，且点到，两点的距离相等．（在题目的原图中完成作图） 结论：． 【思路点拨】首先以为顶点，为边作一个角等于，再作出的垂直平分线，即可找到点． 【规范解答】解：如图所示： 点即为所求， 【考点评析】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握作一个角等于已知角的方法和线段垂直平分线的作法． 8．已知： 如图，中，． （1） 在边上确定点的位置， 使． 请画出图形， 不写画法； （2） 在图中画出一条直线，使得直线分别与、边交于点、，并且沿直线将剪开后可拼成一个等腰梯形 ． 请画出直线及拼接后的等腰梯形， 并简要说明你的剪拼方法 ． 【思路点拨】（1） 本题可通过做等腰三角形来达到角相等的目的 ． 作图思路， 可以为圆心，为半径画弧交于，； （2） 在 （1） 的基础上， 可过的中点作的平行线，与交于点，过点作的平行线， 与交于点，将绕点顺时针旋转到，则四边形为拼接后的等腰梯形 ． 【规范解答】解： （1） 答案见图 1 （任 选一种即可） ． （2） 答案见图 2 ． 剪拼方法： 取的中点，过点作的平行线，与交于点，过点作的平行线， 与交于点，将绕点顺时针旋转到，则四边形为拼接后的等腰梯形 ． 【考点评析】本题主要考查了等腰三角形的性质及图形的翻折转换等知识点 ． 考点3：轴对称的性质 9．是内一点，分别作点关于直线、的对称点、，连接、，则下列结论正确的是　　 A． B． C．且 D． 【思路点拨】作出图形，根据轴对称的性质求出、的数量与夹角即可得解． 【规范解答】解：如图，点关于直线、的对称点、， ， ，， ， ， ， 度数任意， 不一定成立． 故选：． 【考点评析】本题考查了轴对称的性质，是基础题，熟练掌握性质是解题的关键，作出图形更形象直观． 10．如图，是由大小一样的小正方形组成的网格，的三个顶点均落在小正方形的顶点上．在网格上能画出的三个顶点都落在小正方形的顶点上，且与成轴对称的三角形共有　　 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【思路点拨】认真读题，观察图形，根据图形特点先确定对称轴，再根据对称轴找出相应的三角形． 【规范解答】解：如图：与成轴对称的三角形有： ①关于对称；②关于对称； ③关于对称；④关于对称；⑤关于的垂直平分线对称．共5个． 故选：． 【考点评析】此题考查轴对称的基本性质，结合了图形的常见的变化，要根据直角三角形的特点从图中找到有关的直角三角形再判断是否为对称图形． 考点4：角平分线的性质 11．如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为50和39，则的面积为　　 A．11 B．5.5 C．7 D．3.5 【思路点拨】作交于，作，利用角平分线的性质得到，将三角形的面积转化为三角形的面积来求． 【规范解答】解：作交于，作于点， ， ， 是的角平分线，， ， 在和中， ， ， 和的面积分别为50和39， ， ． 故选：． 【考点评析】本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求． 12．如图，在中，平分交于点，交于点，于点，且，，则的面积是　4　． 【思路点拨】根据角平分线的性质定理可得；最后根据三角形的面积底高，求出的面积是多少即可． 【规范解答】解：平分，，， ， 故答案为：4． 【考点评析】此题主要考查了角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 13．如图，的三边、、长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点，则　　． 【思路点拨】首先过点作于点，作于点，作于点，由，，是的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得，又由的三边、、长分别为40、50、60，即可求得的值． 【规范解答】解：过点作于点，作于点，作于点， ，，是的三条角平分线， ， 的三边、、长分别为40、50、60， ． 故答案为：． 【考点评析】此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 14．如图，有三幢公寓楼分别建在点、点、点 处，、、 是连接三幢公寓楼的三条 道路，要修建一超市，按照设计要求，超市要在的内部，且到、的距离必须相等，到两条道路、的距离也必须相等，请利用尺规作图确定超市的位置． （不要求写出作法、证明，但要保留作图痕迹）． 【思路点拨】如图，由于按照设计要求，在的内部，且到、的距离必须相等，因此确定在线段的垂直平分线上，又到两条道路、的距离也必须相等，由此确定在的平分线上，所以是线段的垂直平分线和的平分线的交点． 【规范解答】解：如图： 【考点评析】此题主要考查了线段的垂直平分线的性质和角平分线的性质，由已知能够确定点具有的性质是解决问题的关键． 考点5：线段垂直平分线的性质 15．如图，在中，，，，的垂直平分线交的延长线于点，则的长为　　 A． B． C． D．2 【思路点拨】利用线段的垂直平分线的性质和三角形相似进行计算． 【规范解答】解：，，， 根据勾股定理得：， 而的垂直平分线交的延长线于点， ，， ， ， 又，，， ， 从而得到． 解法二：连接． 垂直平分线段， ，设，则， 在中，， ， 解得， ． 故选：． 【考点评析】本题主要考查直角三角形性质、线段垂直平分线的性质及相似三角形性质的应用及方程的数学思想． 16．中，，，的垂直平分线与的垂直平分线分别交于点、且，则的值为　　 A．6 B．10 C．6或14 D．6或10 【思路点拨】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后分两种情况讨论求解． 【规范解答】解：、的垂直平分线分别交于点、， ，， ， ，， 当与无重合时，如图1， ， 当与有重合时，如图2， ， 综上所述，或14． 故选：． 【考点评析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，难点在于要分情况讨论． 17．如图，的周长为，的垂直平分线交于，为垂足，，则的周长为　13　． 【思路点拨】根据垂直平分线的性质计算． 的周长 【规范解答】解：的垂直平分线交于，为垂足 ，， 的周长为， 的周长． 故填13． 【考点评析】本题考查了线段垂直平分线的性质；解决本题的关键是利用线段的垂直平分线性质得到相应线段相等． 18．如图，，是、的垂直平分线的交点，那么　　． 【思路点拨】根据题意确定点是的外心，所以连接．利用圆周角定理可知，然后等腰的性质和三角形内角和定理来求的度数即可． 【规范解答】解：是、的垂直平分线的交点， 点是的外心． 如图，连接． 则． 又， ． ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了线段垂直平分线的性质．解答该题的技巧性在于利用线段垂直平分线的性质找到三角形外接圆的圆心，利用圆周角定理、三角形内角和定理将所求的角与已知角的数量关系联系起来． 考点6：关于x轴、y轴对称的点的坐标 19．点、点关于轴对称，则的值为　　 A．0 B． C．1 D． 【思路点拨】根据关于关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得、的值，进而得到答案． 【规范解答】解：点、点关于轴对称， ，， ， 故选：． 【考点评析】此题主要考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 20．、、为的三条边，满足条件点与点关于轴对称，判断的形状 　等边三角形　． 【思路点拨】由两点关于轴对称可得，，进而根据三角形三边关系判断的形状即可． 【规范解答】解：点与点关于轴对称， ，， ， 是等边三角形， 故答案为：等边三角形． 【考点评析】主要考查两点关于轴对称的坐标的特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 21．已知点与点关于轴对称，则　3　，　 　． 【思路点拨】根据题意可设平面直角坐标系中任意一点，其坐标为，则点关于轴的对称点的坐标是． 【规范解答】解：根据题意，得，． 解得，． 【考点评析】本题比较容易，考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，是需要识记的内容． 记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数． 考点7：轴对称-最短路线问题 22．如图，矩形中，，，为边的中点，点、为边上两个动点，且，当　4　时，四边形的周长最小． 【思路点拨】要使四边形的周长最小，由于与都是定值，只需的值最小即可．为此，先在边上确定点、的位置，可在上截取线段，作点关于的对称点，连接与交于一点即为点，过点作的平行线交于一点，即为点，则此时最小，然后过点作的平行线交的延长线于点，那么先证明，再由即可求出的长度． 【规范解答】解：如图，在上截取线段，作点关于的对称点，连接与交于一点即为点，过点作的平行线交于一点，即为点，过点作的平行线交的延长线于点． ，，， ， ， 设，则， 在中，，， ， ， 解得． 故答案为4． 【考点评析】本题考查了矩形的性质，轴对称最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求． 23．如图，钝角三角形的面积为15，最长边，平分，点、分别是、上的动点，则的最小值为　3　． 【思路点拨】过点作于点，交于点，过点作于，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【规范解答】解：过点作于点，交于点，过点作于， 平分，于点，于， ， 的最小值． 三角形的面积为15，， ， ． 即的最小值为3． 故答案为3． 【考点评析】本题考查了轴对称最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目． 24．如图，，点、分别在边、上，且，，点、分别在边、上，则的最小值是　　． 【思路点拨】作关于的对称点，作关于的对称点，连接，即为的最小值． 【规范解答】解：作关于的对称点，作关于的对称点， 连接，即为的最小值． 根据轴对称的定义可知：，， 为等边三角形，为等边三角形， ， 在△中， ． 故答案为． 【考点评析】本题考查了轴对称最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键． 考点8：翻折变换（折叠问题） 25．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】由题意知图，图中的． 【规范解答】解：， ， 在图中， 在图中， 故选：． 【考点评析】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． 26．在矩形纸片中，，．如图所示，折叠纸片，使点落在边上的处，折痕为，当点在边上移动时，折痕的端点、也随之移动，若限定点、分别在线段、边上移动，则点在边上可移动的最大距离为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】根据翻折变换，当点与点重合时，点到达最左边，当点与点重合时，点到达最右边，所以点就在这两个点之间移动，分别求出这两个位置时的长度，然后两数相减就是最大距离． 【规范解答】解：如图1，当点与点重合时，根据翻折对称性可得 ， 在△中，， 即， 解得， 如图2，当点与点重合时，根据翻折对称性可得， ， 点在边上可移动的最大距离为2． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了折叠问题，也考查了勾股定理，它们的综合性比较强，对于学生的综合能力要求比较高，平时加强训练． 27．已知中，，，，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点处，折痕交另一直角边于，交斜边于，则的周长为　11或10　． 【思路点拨】解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． 【规范解答】解：当角翻折时，点与点重合，与的和就是，也就是说等于8，为的一半，故的周长为； 当翻折时，点与点重合．同理与的和为，为的一半，所以的周长为．故的周长为10或11． 【考点评析】本题考查图形的翻折变换． 28．如图，将边长为2的等边三角形沿轴正方向连续翻折2020次，依次得到点，，，，，则点的坐标是 　　． 【思路点拨】根据等边三角形的性质易求得的坐标为；在等边三角形翻折的过程中，点的纵坐标不变，而每翻折一次，横坐标增加2个单位（即等边三角形的边长），可根据这个规律求出点的坐标． 【规范解答】解：易得； 而，，； 以此类推，，即； 当时，． 故答案为：． 【考点评析】考查了规律型：点的坐标．解答此类规律型问题时，通常要根据简单的条件得到一般化规律，然后根据规律求特定的值． 考点9：等腰三角形的判定与性质 29．如图，在中，，点为所在平面内一点，且点与的任意两个顶点构成，，均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点的个数为　6　个． 【思路点拨】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出的垂直平分线，首先的外心满足，再根据圆的半径相等，以点为圆心，以长为半径画圆，的垂直平分线相交于两点，分别以点、为圆心，以长为半径画圆，与的垂直平分线相交于一点，再分别以点、为圆心，以长为半径画圆，与相交于两点，即可得解． 【规范解答】解：如图所示，作的垂直平分线，①的外心为满足条件的一个点， ②以点为圆心，以长为半径画圆，、为满足条件的点， ③分别以点、为圆心，以长为半径画圆，为满足条件的点， ④分别以点、为圆心，以长为半径画圆，、为满足条件的点， 综上所述，满足条件的所有点的个数为6． 故答案为：6． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，主要利用了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的外心到三个顶点的距离相等，圆的半径相等的性质，作出图形更形象直观． 30．如图，是的边上的高，由下列条件中的某一个就能推出是等腰三角形的是　②③④　． ①；②；③；④． 【思路点拨】可根据等腰三角形三线合一的性质来判断①②是否正确；③④要通过作等腰三角形来判断其结论是否成立． 【规范解答】解：应添加的条件是②③④； 证明：②当时， 是的平分线，且是边上的高； 则， 是等腰三角形， 故②正确； 从以上推导看，①，证明不了， 只有当时，才可证明， 故①错误； ③延长至，使；延长至，使；连接、； ， ，又； 是等腰三角形； ； ， ； 同理，得； ，即，是等腰三角形； ④中，，根据勾股定理，得： ， 即； ①， ②； ①②得：， ； ， 是等腰三角形， 故②③④正确； 对于①， 故答案为：②③④． 【考点评析】此题主要考查的是等腰三角形的判定和性质；本题的难点是结论③的证明，能够正确的构建出等腰三角形是解答③题的关键． 31．在一次数学课上，周老师在屏幕上出示了一个例题： 在中，，分别是，上的一点，与交于点，画出图形（如图）， 给出下列四个条件：①；②；③；④． （1）要求同学从这四个等式中选出两个作为已知条件，可判定是等腰三角形． 请你用序号在横线上写出所有情形．答：　①③，①④，②③和②④　； （2）选择第（1）题中的一种情形，说明是等腰三角形的理由，并写出解题过程．解：我选择 　　． 【思路点拨】（1）要证是等腰三角形，就要证，根据已知条件即可找到证明的组合； （2）可利用与全等，得出，再得出与相等，就能证明与相等． 【规范解答】解：（1）①③，①④，②③和②④； （2）以①④为条件，理由： ， ． 又， ，即， ， 是等腰三角形． 故答案为：①③，①④，②③和②④；①④． 【考点评析】此题主要考查利用等角对等边来判定等腰三角形；题目对学生的要求比较高，利用等量加等量和相等是正确解答本题的关键． 32．如图，等腰梯形中，，点是延长线上的一点，且． 求证：． 【思路点拨】先根据等腰梯形的性质得出，再根据平行线的性质得出，，再根据即可得出，进而得出结论． 【规范解答】证明：四边形是等腰梯形， ， ， ， ． ， 是等腰三角形， ， ． 【考点评析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质及等腰梯形的性质，熟知等腰梯形的两底角相等是解答此题的关键． 考点10：等边三角形的判定与性质 33．边长为的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】连接、、，求出，根据证两三角形全等得出，求出，过作，过作于，得出平行四边形得出，求出的长，求出第一个正六边形的边长是，是等边三角形的边长的；同理第二个正六边形的边长是等边三角形的边长的；求出第五个等边三角形的边长，乘以即可得出第六个正六边形的边长． 【规范解答】解：连接、、． 六边形是正六边形， ，，，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， 、分别为、中点， ， ， 六边形是正六边形，是等边三角形， ， ， 同理， 即， 等边三角形的边长是， 第一个正六边形的边长是，即等边三角形的边长的， 过作于，过作于， 则， ， 四边形是平行四边形， ， ，（已证）， ， ， 同理， ，即第二个等边三角形的边长是，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是； 同理第第三个等边三角形的边长是，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是； 同理第四个等边三角形的边长是，第四个正六边形的边长是； 第五个等边三角形的边长是，第五个正六边形的边长是； 第六个等边三角形的边长是，第六个正六边形的边长是， 即第六个正六边形的边长是， 故选：． 【考点评析】本题考查了正六边形、等边三角形的性质、平行四边形的性质和判定、全等三角形的性质和判定的应用，能总结出规律是解此题的关键，题目具有一定的规律性，是一道有一定难度的题目． 34．如图，过边长为1的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，当时，连交边于，则的长为 　　． 【思路点拨】过作交于，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证，推出，推出即可． 【规范解答】解：过作交于． ，是等边三角形， ，是等边三角形， ， ， ， ，， ． 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中． 35．为等边三角形，、、分别在边、、上，且，则为　等边　三角形． 【思路点拨】根据已知，利用可以判定，从而可得，，即为等边三角形． 【规范解答】解：为等边三角形， ， 又， ， ， ， 即为等边三角形． 故填等边． 【考点评析】本题考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质；找到三个三角形全等的条件，证得三角形全等，利用全等的性质解题是正确解答本题的关键． 36．已知：在和中，，． （1）如图①，若，求证：①②． （2）如图②，若，则与间的等量关系式为　　，的大小为　 　（直接写出结果，不证明） 【思路点拨】（1）①根据已知先证明，再由证明，所以． ②由，可得，再结合图形，利用角的和差，可得． （2）由（1）小题的证明可知，，． 【规范解答】解：（1）①证明：， ， ． 在和中， ， ， ； ②证明：， ， ， ， ； （2），． 【考点评析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确运用等边三角形的性质是解题的关键． 考点11：分式的基本性质 37．如果把的与，均为正）都扩大10倍，那么这个代数式的值　　 A．不变 B．扩大50倍 C．扩大10倍 D．缩小到原来的 【思路点拨】依题意分别用和去代换原分式中的和，利用分式的基本性质化简即可． 【规范解答】解：分别用和去代换原分式中的和，得 ，可见新分式与原分式的值相等； 故选：． 【考点评析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 38．不改变分式的值，把它的分子和分母中的各项系数都化为整数，则所得结果为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】只要将分子分母要同时扩大10倍，分式各项的系数就可都化为整数． 【规范解答】解：不改变分式的值，如果把其分子和分母中的各项的系数都化为整数，则分子分母要同时扩大10倍，即分式， 故选：． 【考点评析】解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，分式的值不变． 39．若分式中的、的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值　　 A．是原来的20倍 B．是原来的10倍 C．是原来的 D．不变 【思路点拨】依题意分别用和去代换原分式中的和，利用分式的基本性质化简即可． 【规范解答】解：分别用和去代换原分式中的和，得 ， 可见新分式与原分式相等． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 考点12：分式的运算 40．计算的结果为 　　． 【思路点拨】先把除法统一为乘法，分子分母能分解因式的先分解因式，然后约分化到最简即可． 【规范解答】解：原式，故答案为． 【考点评析】解答本题的关键就是找到能约分的因式，进行约分． 41．学完分式运算后，老师出了一道题“化简：”． 小明的做法是：原式； 小亮的做法是：原式； 小芳的做法是：原式． 其中正确的是　　 A．小明 B．小亮 C．小芳 D．没有正确的 【思路点拨】小明的做法在通分后分子的符号没有变换； 小亮的做法把分母忘记写了； 小芳的做法是正确的． 【规范解答】解： ． 所以正确的应是小芳． 故选：． 【考点评析】本题考查了分式的计算和化简．解决这类题目关键是把握好通分与约分．分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．化简时，学生容易出错．同时学生也容易混淆计算与解方程的区别，而误选． 42．若，对任意自然数都成立，则　　，　 　；计算：　 　． 【思路点拨】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，根据题意确定出与的值即可；原式利用拆项法变形，计算即可确定出的值． 【规范解答】解：， 可得，即， 解得：，； ， 故答案为：；；． 【考点评析】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 43．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下： 则第次运算的结果　　（用含字母和的代数式表示）． 【思路点拨】将代入计算表示出，将代入计算表示出，归纳总结得到一般性规律即可得到结果． 【规范解答】解：将代入得：； 将代入得：， 依此类推，第次运算的结果． 故答案为：． 【考点评析】此题考查了分式的混合运算，找出题中的规律是解本题的关键． 44．化简：． 【思路点拨】将被除式括号中两项通分，并利用同分母分式的加法法则计算，除式中的三项通分，并利用同分母分式的加减运算法则计算，整理后再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后即可得到结果． 【规范解答】解： ． 【考点评析】此题考查了分式的混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分． 45．解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题．例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”，等等． （1）设，，求与的积； （2）提出（1）的一个“逆向”问题，并解答这个问题． 【思路点拨】（1）列出的分式，然后进行化简，（2）读懂题意，其实还是考查分式的混合运算． 【规范解答】解：（1）；（6分） （2）“逆向”问题： 已知，，求．（3分） 解答：；（3分） 【考点评析】本题属于创新问题，一定要读懂题意，结合分式的混合运算解决． 46．先化简，再求值：，其中． 【思路点拨】先把括号中通分后，利用同分母分式的减法法则计算，同时将除式的分子分解因式后，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数把除法运算化为乘法运算，约分后得到最简结果，再把代入进行计算即可． 【规范解答】解：， 把代入上式得： 原式． 【考点评析】此题考查了分式的化简求值，关键是通分，找出最简公分母，分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，化简求值题要将原式化为最简后再代值． 47．先将化简，然后请自选一个你喜欢的值代入求值． 【思路点拨】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将代入计算即可得到结果． 【规范解答】解：原式， 当时，原式． 【考点评析】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式． 考点13：分式方程的解 48．若分式方程的解为，则的值为　5　． 【思路点拨】根据方程的解的定义，把代入方程即可得到一个关于的方程，从而求得的值． 【规范解答】解：把代入方程得：，解得：， 故答案为：5． 【考点评析】解题关键是要掌握方程的解的定义，由已知解代入原方程得到新方程，然后解答． 49．观察分析下列方程：①，②，③；请利用它们所蕴含的规律，求关于的方程为正整数）的根，你的答案是：　或　． 【思路点拨】首先求得分式方程①②③的解，即可得规律：方程的根为：或，然后将化为，利用规律求解即可求得答案． 【规范解答】解：由①得，方程的根为：或， 由②得，方程的根为：或， 由③得，方程的根为：或， 方程的根为：或， 可化为， 此方程的根为：或， 即或． 故答案为：或． 【考点评析】此题考查了分式方程的解的知识．此题属于规律性题目，注意找到规律：方程的根为：或是解此题的关键． 50．若关于的方程无解，则的值是　2或1　． 【思路点拨】把方程去分母得到一个整式方程，把方程的增根代入即可求得的值． 【规范解答】解：，解得：． 方程去分母，得：，即 当时，把代入方程得：， 解得：． 当，即时，原方程无解． 故答案为：2或1． 【考点评析】首先根据题意写出的新方程，然后解出的值． 考点14：解分式方程 51．分式方程的解为　　． 【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【规范解答】解：去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 故答案为： 【考点评析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 52．用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整体，此题的整体是，设，换元后整理即可求得． 【规范解答】解：把代入方程，得：． 方程两边同乘以得：． 故选：． 【考点评析】用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧． 53．用换元法解方程，若设，则可得关于的整式方程　　． 【思路点拨】本题考查用换元法整理分式方程的能力，根据题意得设，代入方程可把原方程化为整式． 【规范解答】解：设， 则可得， 可得方程为， 整理得． 【考点评析】用换元法解分式方程是常用的方法之一，换元时要注意所设分式的形式及式中不同的变形． 考点15：分式方程的应用 54．某银行拟贷款一定数额人民币给甲公司，按银行的贷款规定，在物价不变时，年贷款利率为，若物价上涨，甲公司应根据借贷期间物价上涨的相应指数付给银行利率，已知当年物价上涨，这时，银行应将年贷款利率提高　5.2　个百分点时，才能保证实质利率为． 【思路点拨】根据现在价值银行本钱利率提高的百分点数），进而得出答案． 【规范解答】解：设贷款元，贷款利率提高个百分点， 则：， 解得：． 故答案为：5.2． 【考点评析】此题主要考查了物价上涨问题以及银行利率问题，利用利率的提高应该和物价上涨联系得出等式是解题关键． 55．京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成． （1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【思路点拨】（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量工作效率工作时间列方程求解； （2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断． 【规范解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要天，则甲队单独完成这项工程需要天．根据题意，得 ． 解得． 经检验，是原方程的根． ． 答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天． （2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要天， 则有． 解得． 需要施工费用：（万元）． ． 工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元． 【考点评析】此题考查分式方程的应用，涉及方案决策问题，所以综合性较强． 56．为了迎接市中学生田径运动会，计划由某校八年级（1）班的3个小组制作240面彩旗，后因一个小组另有任务，改由另外两个小组完成制作彩旗的任务．这样，这两个小组的每个同学就要比原计划多做4面彩旗．如果这3个小组的人数相等，那么每个小组有多少名学生？ 【思路点拨】关键描述语是：“这两个小组的每一名学生就要比原计划多做4面彩旗”．等量关系为：实际每个学生做的彩旗数原来每个学生做的旗数． 【规范解答】解；设每个小组有名学生，根据题意得： ， 解之得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：每组有10名学生． 【考点评析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 57．为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息： 信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍． 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？ 【思路点拨】如果设甲工厂每天加工件产品，那么根据乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍，可知乙工厂每天加工件产品．然后根据等量关系：甲工厂单独加工完成这批产品的天数乙工厂单独加工完成这批产品的天数列出方程． 【规范解答】解：设甲工厂每天加工件产品，则乙工厂每天加工件产品， 依题意得， 解得：． 经检验：是原方程的根，且符合题意．所以． 答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品． 【考点评析】本题考查了分式方程在实际生产生活中的应用．理解题意找出题中的等量关系，列出方程是解题的关键．注意分式方程一定要验根 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$