青岛版八年级上学期期中必刷常考84题（26个考点专练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（青岛版）

2024-2025学年青岛版八年级上学期期中知识大串讲【期末押题】 必刷常考84题（28个考点专练） 目录 考点1：全等三角形的性质 2 考点2：全等三角形的判定 3 考点3：全等三角形的判定与性质 4 考点4：全等三角形的应用 5 考点5：角平分线的性质 7 考点6：线段垂直平分线的性质 9 考点7：等腰三角形的判定与性质 10 考点8：等边三角形的判定与性质 11 考点9：作图—基本作图 12 考点10：作图—复杂作图 13 考点11：轴对称的性质 14 考点12：关于x轴、y轴对称的点的坐标 15 考点13：坐标与图形变化-对称 16 考点14：轴对称-最短路线问题 18 考点15：翻折变换（折叠问题） 19 考点16：分式的基本性质 20 考点17：分式的乘除法 21 考点18：分式的加减法 21 考点19：分式的混合运算 22 考点20：分式的化简求值 23 考点21：分式方程的解 24 考点22：解分式方程 25 考点23：换元法解分式方程 25 考点24：分式方程的增根 26 考点25：由实际问题抽象出分式方程 26 考点26：分式方程的应用 27 考点27：比例的性质 28 考点28：比例线段 29 考点1：全等三角形的性质 1．（2022秋•安化县期末）如图，已知，其中，．在下列结论①，②，③，④中，正确的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023秋•海淀区校级期中）已知图中的两个三角形全等，则的度数是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•滨海县月考）如图，，四个点，，，在同一直线上．若，，则的长是 　　． 考点2：全等三角形的判定 4．（2024春•碑林区校级期末）如图，已知，欲用“边角边”证明△△，需补充条件　　 A． B． C． D． 5．（2024•凉州区三模）如图，点、、、在一条直线上，，且，请添加一个条件 　　，使． 6．（2024春•南山区期中）如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当　　秒时，与全等． 考点3：全等三角形的判定与性质 7．（2024春•临淄区期末）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论为　　 A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 8．（2024春•西平县期末）如图1，是等腰三角形，，，过点作于点，在上截取，连接、并延长交于点； （1）求证：； （2）试说明平分； （3）如图2，将绕着点旋转一定的角度，那么与的位置关系是否发生变化，说明理由． 9．（2023秋•三河市期末）如图，，，，，垂足为． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：． 考点4：全等三角形的应用 10．（2024•望城区模拟）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是　　 A． B． C． D． 11．（2023秋•开封期末）综合实践活动小组为测量池塘两端，的距离，活动小组的三位同学分别设计出如下三种方案： 小华：如图①，先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和．连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，量出的长即为，的距离． 小欣：如图②，先过点作的垂线，在上取，两点，使，再过点作的垂线，交的延长线于点，则量出的长即为，的距离． 小彤：如图③，过点作的垂线，在上取一点，连接，然后在的延长线上取一点，连接，使．这时只要量出的长即为，的距离． 以上三位同学设计的方案中可行的是　　 A．小华和小欣 B．小欣和小彤 C．小华和小彤 D．三个人的方案都可以 12．（2022秋•石门县期末）【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是 　　． 【探索延伸】 在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 考点5：角平分线的性质 13．（2024•武威二模）如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3），其中正确的有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．（2024春•潮阳区期末）已知直线EF与直线AB、CD分别交于E、F两点，∠BEF和∠DFE的角平分线交于点P，且∠BEP+∠DFP＝90°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，∠PEF和∠PFM的角平分线交于点Q，求∠Q的度数； （3）如图3，若∠BEP＝60°，延长线段EP得射线EP1，延长线段FP得射线FP2，射线EP1绕点E以每秒15°的速度逆时针旋转360°后停止，射线FP2绕点F以每秒3°的速度顺时针旋转180°以后停止．设它们同时开始旋转，当射线EP1∥FP2时，求满足条件的t的值为多少． 15．（2024春•宝丰县期末）图1是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图2，将仪器放置在上，使点与顶点重合，，分别在边，上，沿画一条射线，交于点．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点作于点，若，，的面积是60，求的长． 考点6：线段垂直平分线的性质 16．（2023秋•衡山县期末）如图，中，，、的垂直平分线分别交于点、，则的度数为　　 A． B． C． D． 17．（2024春•丰顺县期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，且，的周长等于． （1）求的长； （2）若，并且，求证：． 18．（2023秋•江阴市期中）如图，在中，，点在上运动，点在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，，求线段的长． 考点7：等腰三角形的判定与性质 19．（2023秋•潜山市期末）如图，中，的平分线交于点，过点作，，垂足分别为，，下面四个结论：①；②垂直平分；③一定平行；④；其中正确的是　　 A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 20．（2023秋•东辽县期末）如图，是的角平分线，，垂足为，，，则　　． 21．（2023秋•沂水县期末）已知在中，，点是边上一点，． （1）如图1，试说明的理由； （2）如图2，过点作，垂足为点，与相交于点． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． 考点8：等边三角形的判定与性质 22．（2023秋•太康县期末）下列说法中，正确的个数是　　 ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②有一个角为的等腰三角形是等边三角形； ③有两个角为的三角形是等边三角形； ④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．（2023秋•黔东南州期末）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． （1）【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： 　　（填“”、“ ”或“” ． （2）【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论， 　　（填“”、“ ”或“” ；理由如下，过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）． （3）【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 24．（2023秋•娄底期末）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动． （1）点、运动几秒时，、两点重合？ （2）点、运动几秒时，可得到等边三角形？ （3）当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时、运动的时间． 考点9：作图—基本作图 25．（2023秋•庆云县期末）如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，以长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 26．（2024•益阳一模）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交、于、两点；再分别以、为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线交于点．若，则的大小是　　． 27．（2023秋•公主岭市期末）如图，已知点为上的一点，按下列要求进行作图． （1）作的平分线； （2）在上取一点，使得； （3）爱动脑筋的小刚经过仔细观察后，进行如下操作：在边上取一点，使得，这时他发现与之间存在一定的数量关系，请写出与的数量关系，并说明理由． 考点10：作图—复杂作图 28．（2024春•东明县期末）用直尺和圆规作两个全等三角形，如图，能得到△的依据是　　 A． B． C． D． 29．（2024•南山区一模）尺规作图：如图（1），在中，，，在边上求作一点，使．如图（2）是四名同学的作法，其中正确的有　　个． A．4 B．3 C．2 D．1 30．（2020•南昌一模）如图，在的正方形的网格图中，点，，均为格点，仅用无刻度直尺按要求作图． （1）在图1中，画一条射线，使； （2）在图2中，在线段上求点，使． 考点11：轴对称的性质 31．（2024春•织金县期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为12，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，　　，△的面积最小值为 　　． 32．（2023秋•仓山区校级月考）如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点，连接、、、．有如下结论：①；②；③平分；④；⑤．其中正确的结论个数为　　． 33．（2023秋•于都县期末）如图，已知点是内的一点，，分别是点关于、的对称点，连接，与、分别相交于点、，已知． （1）求的周长； （2）连接、，若，求（用含的代数式表示）； （3）当，判定的形状，并说明理由． 考点12：关于x轴、y轴对称的点的坐标 34．（2023秋•内江期末）已知点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，那么　　． 35．（2023秋•海曙区期末）已知点，，，，，是平面坐标系内的6个点，选择其中三个点连成一个三角形，剩下三个点连成另一个三角形，若这两个三角形关于轴对称，就称为一组对称三角形，那么，坐标系中可找出　　组对称三角形． 36．（2022秋•和田市校级期末）如图，已知线段轴，点在第一象限，且平分，交轴于，连、． （1）判断的形状，并予以证明； （2）若点、关于轴对称，求证：． 考点13：坐标与图形变化-对称 37．（2023秋•浑南区期末）已知点与点关于某条直线对称，则这条直线是　　 A．轴 B．轴 C．过点且垂直于轴的直线 D．过点且平行于轴的直线 38．（2023秋•孝昌县期末）如图，在平面直角坐标系中，点，过点作轴的垂线，点关于直线的对称点为． （1）点的坐标为 　　； （2）已知点，点，在图中描出点，，，顺次连接点，，，． ①在四边形内部有一点，满足且，则此时点的坐标为 　　，　　； ②在四边形外部是否存在点，满足且，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 39．（2023秋•南关区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且平行于轴． （1）如果三个顶点的坐标分别是，，，关于轴的对称图形是△，△关于直线的对称图形是△，写出△的三个顶点的坐标； （2）如果点的坐标是，其中，点关于轴的对称点是，点关于直线的对称点是，求的长． 考点14：轴对称-最短路线问题 40．（2024春•大东区期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区，提供牛奶，要使，两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站的位置应该在　　 A． B． C． D． 41．（2023秋•梁溪区校级期中）如图所示，，点是内一定点，并且，点、分别是射线，上异于点的动点，当的周长取最小值时，点到线段的距离为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 42．（2024春•永丰县期末）已知点在内． （1）如图1，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接、、． ①若，则　　； ②若，连接，请说明当为多少度时，； （2）如图2，若，、分别是射线、上的任意一点，当的周长最小时，求的度数． 考点15：翻折变换（折叠问题） 43．（2023秋•瓯海区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 44．（2024春•新会区期末）如图，长方形纸片中，，．点是边上一点，连接并将△沿折叠，得到△，以，，为顶点的三角形是直角三角形时，的长为 　 　 ． 45．（2023秋•宁强县期末）在数学实验课上，李静同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作： 操作一：如图1，将纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点与重合，折痕为． （1）如果，，可得的周长为 　　； （2）如果，可得的度数为 　　； 操作二：如图2，李静拿出另一张纸片，将直角边沿直线折叠，使点与点重合，若，，请求出的长． 考点16：分式的基本性质 46．（2024春•越城区期末）将分式中的、的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值　　 A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的一半 C．保持不变 D．无法确定 47．（2024春•雅安期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：，； 解决下列问题： （1）分式是 　　分式（填“真”或“假” ； （2）将假分式化为带分式； （3）如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值． 48．（2023•石家庄模拟）我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如． （1）下列分式中，属于真分式的是 　　 、 、 、 、 （2）将假分式，化成整式和真分式的和的形式． 考点17：分式的乘除法 49．（2024•茌平区校级模拟）化简：的结果是　　． 50．（2023秋•夏津县期末）若运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是　　 A． B． C． D． 51．（2024春•天元区校级期末）先化简，再找一个你喜欢的数值代入进行计算： 考点18：分式的加减法 52．（2024•祁东县校级模拟）已知，则的值为 　　． 53．（2023秋•崇川区期末）阅读：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，，，则与互为“关联分式”，“关联值” ． （1）若分式，，判断与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值” ； （2）已知分式，，与互为“关联分式”，且“关联值” ． ①　　（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于 　　； （3）若分式，，为整数且，是的“关联分式”，且“关联值” ，求的值． 54．（2023•景县校级模拟）已知，，设，，结论Ⅰ：当时，；结论Ⅱ：当时，，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是　　 A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 考点19：分式的混合运算 55．（2023秋•白河县期末）下列分式化简正确的是　　 A． B． C． D． 56．（2024•银川一模）化简下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解：原式 乙同学 解：原式 （1）甲同学解法的依据是 　　；乙同学解法的依据是 　　；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律； （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 57．（2024•泰山区校级模拟）试卷上一个正确的式子★，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为 　．　． 考点20：分式的化简求值 58．（2023秋•右玉县期末）若分式，则分式的值等于　　 A． B． C． D． 59．（2023秋•汉阳区期末）实数、满足，记，，则，大小关系 　　． 60．（2024春•秦安县校级月考）已知：，，求代数式的值． 考点21：分式方程的解 61．（2024•滕州市二模）若分式方程无解，则的值是　　 A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 62．（2024春•海曙区期末）若关于的分式方程无解，则的值为 　　． 63．（2023秋•延庆区期中）给出如下的定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为，．例如：，就是关于的分式方程的一个“方程数对”，记为，． （1）判断数对①，，②，中是关于的分式方程的“方程数对”的是 　　；（只填序号） （2）若数对，是关于的分式方程的“方程数对”，求的值； （3）若数对，且，是关于的分式方程的“方程数对”，用含的代数式表示． 考点22：解分式方程 64．（2024•凤城市一模）解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是　　 A． B． C． D． 65．（2024春•台儿庄区期末）将方程去分母，两边同乘后的式子为　　 A． B． C． D． 66．（2024春•和平区校级月考）解方程： （1）； （2）． 考点23：换元法解分式方程 67．（2022春•黄浦区校级期中）用换元法解方程，设，那么换元后，方程可化为整式方程正确的是　　 A． B． C． D． 68．（2022秋•青浦区校级期末）解分式方程时，设，则原方程化为关于的整式方程是　　 ． 69．（2022春•泰和县期末）阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘得：， 解得：， 经检验：都是方程的解，当时，，解得：， 当时，，解得：，经检验：或都是原分式方程的解， 原分式方程的解为或．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）若在方程中，设，则原方程可化为：　　； （2）若在方程中，设，则原方程可化为：　 　； （3）模仿上述换元法解方程：． 考点24：分式方程的增根 70．（2024春•泗县期末）若关于的方程有增根，则的值是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 71．（2024春•江阴市期中）若分式方程有增根，则的值为　　． 72．（2022•临淄区二模）如果关于的分式方程有增根，那么的值为 　　． 考点25：由实际问题抽象出分式方程 73．（2024•惠城区一模）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产台机器，则下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 74．（2024•辽宁二模）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元购买椽的数量为株，则符合题意的方程是　　 A． B． C． D． 75．（2024春•保定期末）宣汉到达州要铺设一条长35千米的管道，为了尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加，结果提前7天完成．设原计划每天铺设管道的长度为千米，则可列方程为　　 A． B． C． D． 考点26：分式方程的应用 76．（2023秋•崇明区期末）列分式方程解应用题： 刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米？ 77．（2023秋•舞阳县期末）一条笔直的公路经过相距10千米的，两地，甲、乙两人骑车从地前往地． （1）若乙骑车的速度是甲骑车的速度2倍，甲比乙早30分钟出发，且甲、乙两人同时到达地，求甲骑车的速度； （2）若甲、乙两人同时从地出发，甲骑车的速度为千米时，乙骑车的速度为千米时，其中．请判断谁先到达地，并说明理由． 78．（2024•东莞市校级二模）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 考点27：比例的性质 79．（2024春•莱州市期末）若，则　　． 80．（2023秋•金寨县期末）若，则　　． 81．（2023秋•金塔县期中）已知：，且．求、、的值． 考点28：比例线段 82．（2021秋•肥城市期末），，，是四条线段，下列各组中这四条线段成比例的是　　 A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 83．（2023春•姑苏区校级期末）在比例尺为的地图上，、两地的距离为，则实际距离为 　 　． 84．（2020秋•渝中区期末）阅读理解： 已知：，，，都是不为0的数，且，求证：． 证明：， ． ． 根据以上方法，解答下列问题： （1）若，求的值； （2）若，且，，证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年青岛版八年级上学期期中知识大串讲【期末押题】 必刷常考84题（28个考点专练） 目录 考点1：全等三角形的性质 2 考点2：全等三角形的判定 3 考点3：全等三角形的判定与性质 7 考点4：全等三角形的应用 13 考点5：角平分线的性质 18 考点6：线段垂直平分线的性质 22 考点7：等腰三角形的判定与性质 25 考点8：等边三角形的判定与性质 29 考点9：作图—基本作图 34 考点10：作图—复杂作图 37 考点11：轴对称的性质 39 考点12：关于x轴、y轴对称的点的坐标 43 考点13：坐标与图形变化-对称 45 考点14：轴对称-最短路线问题 48 考点15：翻折变换（折叠问题） 52 考点16：分式的基本性质 55 考点17：分式的乘除法 57 考点18：分式的加减法 58 考点19：分式的混合运算 61 考点20：分式的化简求值 63 考点21：分式方程的解 65 考点22：解分式方程 67 考点23：换元法解分式方程 69 考点24：分式方程的增根 71 考点25：由实际问题抽象出分式方程 72 考点26：分式方程的应用 73 考点27：比例的性质 76 考点28：比例线段 77 考点1：全等三角形的性质 1．（2022秋•安化县期末）如图，已知，其中，．在下列结论①，②，③，④中，正确的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即可． 【规范解答】解：， ，，故①③正确； ， ，故④正确； ， ，故②错误； 综上所述，结论正确的是①③④共3个． 故选：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键． 2．（2023秋•海淀区校级期中）已知图中的两个三角形全等，则的度数是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据全等三角形对应角相等可知是、边的夹角，由图形可知的对应角是，据此即可解答． 【规范解答】解：是、边的夹角，、边的夹角是， 的度数是． 故选：． 【考点评析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握“全等三角形的对应角相等”是解本题的关键． 3．（2023秋•滨海县月考）如图，，四个点，，，在同一直线上．若，，则的长是 　2　． 【思路点拨】根据全等三角形的性质求出，结合图形计算，得到答案． 【规范解答】解：，， ， ． 故答案为：2． 【考点评析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 考点2：全等三角形的判定 4．（2024春•碑林区校级期末）如图，已知，欲用“边角边”证明△△，需补充条件　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据平行线的性质得出，再根据全等三角形的判定定理推出即可． 【规范解答】解：添加的条件是， 理由是：， ， 在△和△中， ， △△， 故选：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等． 5．（2024•凉州区三模）如图，点、、、在一条直线上，，且，请添加一个条件 　　，使． 【思路点拨】判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，所以可添加条件为，或或或． 【规范解答】解：可添加条件为或或或． 理由如下：， ． 在和中， ， ． 故答案为：或或（填一个即可）． 【考点评析】本题考查三角形全等的性质和判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、（在直角三角形中）．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 6．（2024春•南山区期中）如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当　2或或12　秒时，与全等． 【思路点拨】点在上，点在上；点与点重合；与重合三种情况；根据全等三角形的性质列式计算． 【规范解答】解：由题意得，，， ，， ，， ①如图1，在上，点在上时，作，， ， ， ， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点与点重合时， 当， 则， ． 解得：； ③如图3，当点与重合时，， ， 当， 则， 即， 解得：； 当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等， 故答案为：2或或12． 【考点评析】本题考查的是全等三角形的判定、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 考点3：全等三角形的判定与性质 7．（2024春•临淄区期末）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论为　　 A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【思路点拨】利用证明，得，从而说明是等腰直角三角形，可知①正确；过点作于，利用证明，得，，可说明②正确；设，则，，，得，可知③正确；由，知，而点并不是的中点，可说明④错误． 【规范解答】解：①， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，故①正确； ②由①知，， 过点作于， 则， ， ， 点是的中点， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ，故②正确； ③由，， 设，则，，， ，故③正确； ④， ， 由①知，，， ， ， 由①知，， ， ， ， ， ， ， ，故④错误， 正确的有①②③ 故选：． 【考点评析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键． 8．（2024春•西平县期末）如图1，是等腰三角形，，，过点作于点，在上截取，连接、并延长交于点； （1）求证：； （2）试说明平分； （3）如图2，将绕着点旋转一定的角度，那么与的位置关系是否发生变化，说明理由． 【思路点拨】（1）利用证明，根据全等三角形的对应边相等得到． （2）根据，得到，由，得到，利用等腰三角形的三线合一，即可得到平分； （3）不发生变化．由，得到，由对顶角相等得到，根据三角形内角和为，所以，即． 【规范解答】解：（1），， ， ， 在和中， ， ， ． （2）， ， ， ， ， 平分． （3）不发生变化． 如图2， ， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明． 9．（2023秋•三河市期末）如图，，，，，垂足为． （1）求证：； （2）求的度数； （3）求证：． 【思路点拨】（1）根据题意和题目中的条件可以找出的条件； （2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到的度数； （3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立． 【规范解答】证明：（1）， ，， ， 在和中， ， ； （2），， ， 由（1）知， ， ， ， ， ； （3）延长到，使得， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 考点4：全等三角形的应用 10．（2024•望城区模拟）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】由直角三角形的性质得出，根据可证明，由全等三角形的性质得出，，求出的长则可得出答案． 【规范解答】解：由题意可知，， ， ． ， 在和中， ， ， ，， 、分别为和， ， ， ， 答：爸爸是在距离地面的地方接住小丽的． 故选：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的应用，直角三角形的性质，证明是解题的关键． 11．（2023秋•开封期末）综合实践活动小组为测量池塘两端，的距离，活动小组的三位同学分别设计出如下三种方案： 小华：如图①，先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和．连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，量出的长即为，的距离． 小欣：如图②，先过点作的垂线，在上取，两点，使，再过点作的垂线，交的延长线于点，则量出的长即为，的距离． 小彤：如图③，过点作的垂线，在上取一点，连接，然后在的延长线上取一点，连接，使．这时只要量出的长即为，的距离． 以上三位同学设计的方案中可行的是　　 A．小华和小欣 B．小欣和小彤 C．小华和小彤 D．三个人的方案都可以 【思路点拨】小华同学利用的是“边角边”，小欣和小彤同学的方案利用的是“角边角”． 【规范解答】解：小华同学的方案： 在和中， ， ， ， 小华同学的方案可行； 小欣同学的方案： 在和中， ， ， 小欣同学的方案可行； 小彤同学的方案： 在和中， ， ， 小彤同学的方案可行． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的“”和“”定理是解决问题的关键． 12．（2022秋•石门县期末）【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是 　　． 【探索延伸】 在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【思路点拨】探索延伸：延长到，使，连接，证明和，得到答案； 结论运用：连接，延长、交于点，得到，根据距离、速度和时间的关系计算即可． 【规范解答】解：初步探索：， 故答案为：， 探索延伸：结论仍然成立， 证明：如图2，延长到，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 结论运用：解：如图3，连接，延长、交于点， ， ， ， ， ， 符合探索延伸中的条件 结论成立， 即海里， 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 【考点评析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意要正确作出辅助线． 考点5：角平分线的性质 13．（2024•武威二模）如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3），其中正确的有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【思路点拨】（1）作于，证明，得到，同理可证即可得到结论； （2）根据角平分线的判定定理解答即可； （3）根据全等三角形的性质证得，，再根据四边形内角和即可证得和关系． 【规范解答】解：（1）证明：作于， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， 同理，， ， （1）正确； （2）与（1）可知：， 又于，于， 点在的平分线上， （2）正确； （3）， 又， ， 即， 由（1）知：， ， 同理：， ， 即， ， （3）错误； 故选：． 【考点评析】本题考查的是角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，多边形内角和，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 14．（2024春•潮阳区期末）已知直线EF与直线AB、CD分别交于E、F两点，∠BEF和∠DFE的角平分线交于点P，且∠BEP+∠DFP＝90°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，∠PEF和∠PFM的角平分线交于点Q，求∠Q的度数； （3）如图3，若∠BEP＝60°，延长线段EP得射线EP1，延长线段FP得射线FP2，射线EP1绕点E以每秒15°的速度逆时针旋转360°后停止，射线FP2绕点F以每秒3°的速度顺时针旋转180°以后停止．设它们同时开始旋转，当射线EP1∥FP2时，求满足条件的t的值为多少． 【思路点拨】（1）有角平分线的定义可知∠BEP＝∠PEF，∠DFE＝∠EFP，根据已知∠BEF+∠DFE＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行即可证明； （2）根据外角的性质和角平分线定义得，∠Q＝∠MFQ﹣∠MEQ＝∠MFP﹣∠MEP＝（∠MFP﹣∠MEP）＝，由∠BEP+∠DFP＝90°得∠P＝90°，可得∠Q＝45°； （3）分两种情况讨论，FP2在EF左右两侧时的t值，根据同旁内角互补建立关系式，解出即可． 【规范解答】解：（1）∵∠BEF和∠DFE的角平分线交于点P， ∴∠EBF＝2∠BEP，∠DFE＝2∠DFP， ∴∠EBF+∠DFE＝2（∠BEP+∠DFP）＝2×90°＝180°， ∴AB∥CD． （2）∵∠BEP+∠DFP＝90°，又AB∥CD． ∴∠P＝180﹣（∠PEF+∠PFE）＝180°﹣（∠BEP+∠DFP）＝90°， 由外角性质得：∠Q＝∠MFQ﹣∠MEQ ＝∠MFP﹣∠MEP ＝（∠MFP﹣∠MEP） ＝， ∵∠P＝90°， ∴∠Q＝＝45°． （3）当FP2在EF右侧时，EP1∥FP2时，∠P1EF+∠EFP2＝180°， 根据题意可知：∠P1EF＝15t+60°，∠EFP2＝3t+30°， ∴15t+60°+3t+30°＝180， 解得t＝5． 当FP2在EF左侧时，EP1∥FP2时，∠P1EF+∠EFP2＝180°， 根据题意可知：∠P1EF＝15t﹣60°，∠EFP2＝3t﹣30°， ∴15t﹣60°+3t﹣30°＝180°， 解得t＝15，t＝30（不合题意舍去） 综上分析，t＝5或t＝15时，EP1∥FP2． 【考点评析】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，分类讨论不同情况下的t的取值． 15．（2024春•宝丰县期末）图1是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图2，将仪器放置在上，使点与顶点重合，，分别在边，上，沿画一条射线，交于点．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点作于点，若，，的面积是60，求的长． 【思路点拨】（1）是；理由：由（2）判定，然后由该全等三角形的对应角相等证得结论； （2）如图，过点作于点．由三角形的面积公式作答即可． 【规范解答】解：（1）是的平分线，理由如下： 在和中， ， ． ， 平分． （2）如图，过点作于点． 平分，， ． ， ． ． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式以及角平分线的定义．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 考点6：线段垂直平分线的性质 16．（2023秋•衡山县期末）如图，中，，、的垂直平分线分别交于点、，则的度数为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”得到，，根据等腰三角形的性质得到，，结合图形计算即可． 【规范解答】解：， ， 、的垂直平分线分别交于点、， ，， ，， ， ， 故选：． 【考点评析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，等边对等角，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质． 17．（2024春•丰顺县期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，且，的周长等于． （1）求的长； （2）若，并且，求证：． 【思路点拨】（1）由的垂直平分线交于点，交于点，可得，又由的周长等于，可得，继而求得答案； （2）由，并且，易求得，即可证得． 【规范解答】（1）解：是的垂直平分线， ， ，的周长等于， ， ． （2）证明：，， ， ， ， ， ， ， ． 【考点评析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． 18．（2023秋•江阴市期中）如图，在中，，点在上运动，点在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，，求线段的长． 【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，于是得到结论； （2）连接，设，则，，根据勾股定理即可得到结论． 【规范解答】解：（1）， 理由如下：， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ； （2）连接，设，则，， ， ， ， 解得：， 则． 【考点评析】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键． 考点7：等腰三角形的判定与性质 19．（2023秋•潜山市期末）如图，中，的平分线交于点，过点作，，垂足分别为，，下面四个结论：①；②垂直平分；③一定平行；④；其中正确的是　　 A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【思路点拨】设与相交于点，先利用角平分线的性质可得，从而可得，再根据等式的性质可得，从而可得，进而可得是的垂直平分线，然后根据，可得不一定平行，再根据三角形的面积公式可得，即可解答． 【规范解答】解：设与相交于点， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， 不一定平行， 的面积，的面积，， ， 上面四个结论，其中正确的是①②④， 故选：． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，线段垂直平分线的性质，平行线的判定，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 20．（2023秋•东辽县期末）如图，是的角平分线，，垂足为，，，则　　． 【思路点拨】设，，利用三角形内角和定理即可求出列出方程求出与的值． 【规范解答】解：设， ， 即 是得角平分线， ， ， 联立可得解得： 法二，延长交于， ，， ， ， ， 是的角平分线， ， ， 故答案为： 【考点评析】本题考查三角形内角和，解题的关键是根据条件列出关于与的方程组，本题属于中等题型． 21．（2023秋•沂水县期末）已知在中，，点是边上一点，． （1）如图1，试说明的理由； （2）如图2，过点作，垂足为点，与相交于点． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． 【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，然后根据等量代换可得．再根据等角对等边可得，即可解答； （2）①根据垂直定义可得，从而可得，然后设，则，利用（1）的结论可得，最后利用三角形内角和定理可得，即可解答； ②根据三角形的外角性质可得，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答． 【规范解答】解：（1）， ， 是的一个外角， ， ，， ， ． ； （2）①， ， ， 设，则， ， ， ； ②是的一个外角， ， 分三种情况： 当时， ， ， ， ， ； 当时， ， ， ， ， ； 当时， ， ， 不存在， 综上所述：如果是等腰三角形，的度数为或． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，分三种情况讨论是解题的关键． 考点8：等边三角形的判定与性质 22．（2023秋•太康县期末）下列说法中，正确的个数是　　 ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②有一个角为的等腰三角形是等边三角形； ③有两个角为的三角形是等边三角形； ④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据等边三角形的判定、轴对称的性质即可判断； 【规范解答】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形；正确． ②有一个角为的等腰三角形是等边三角形；正确． ③有两个角为的三角形是等边三角形；正确． ④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形；正确． 故选：． 【考点评析】本题考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 23．（2023秋•黔东南州期末）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． （1）【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： 　　（填“”、“ ”或“” ． （2）【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论， 　　（填“”、“ ”或“” ；理由如下，过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）． （3）【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 【思路点拨】（1）由为等边三角形边的中点，利用三线合一得到垂直于，且为角平分线，由，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证； （2），理由如下，过点作，交于点，由三角形为等边三角形，得到三角形为等边三角形，进而得到，，再由，以及等式的性质得到夹角相等，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，等量代换即可得证； （3）点在延长线上时，如图所示，同理可得，由求出的长即可． 【规范解答】解：（1）当为的中点时，； （2），理由如下，过点作，交于点， 证明：为等边三角形， 为等边三角形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 则； （3）点在延长线上时，作，则为等边三角形， 如图所示，同理可得， ，， ， ， 则． 故答案为：（1）；（2） 【考点评析】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键． 24．（2023秋•娄底期末）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动． （1）点、运动几秒时，、两点重合？ （2）点、运动几秒时，可得到等边三角形？ （3）当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时、运动的时间． 【思路点拨】（1）首先设点、运动秒后，、两点重合，表示出，的运动路程，的运动路程比的运动路程多，列出方程求解即可； （2）根据题意设点、运动秒后，可得到等边三角形，然后表示出，的长，由于等于，所以只要三角形就是等边三角形； （3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出，，的长，列出方程，可解出未知数的值． 【规范解答】解：（1）设点、运动秒时，、两点重合， ， 解得：； （2）设点、运动秒时，可得到等边三角形，如图①， ，， 三角形是等边三角形， ， 解得， 点、运动4秒时，可得到等边三角形． （3）当点、在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 由（1）知12秒时、两点重合，恰好在处， 如图②，假设是等腰三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 设当点、在边上运动时，、运动的时间秒时，是等腰三角形， ，，， ， 解得：．故假设成立． 当点、在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形，此时、运动的时间为16秒． 【考点评析】此题主要考查了等边三角形的性质及判定，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系． 考点9：作图—基本作图 25．（2023秋•庆云县期末）如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，以长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意得出，证即可求解． 【规范解答】解；根据作图过程可知：，， 在和中， ， ， ， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作图复杂作图，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定． 26．（2024•益阳一模）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交、于、两点；再分别以、为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线交于点．若，则的大小是　　． 【思路点拨】利用基本作图可判断为的平分线，即，再利用平行线的性质得到，，然后计算出后得到的度数，从而得到的度数． 【规范解答】解：由作法可得为的平分线，即， ， ，， ， ， ． 故答案为． 【考点评析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 27．（2023秋•公主岭市期末）如图，已知点为上的一点，按下列要求进行作图． （1）作的平分线； （2）在上取一点，使得； （3）爱动脑筋的小刚经过仔细观察后，进行如下操作：在边上取一点，使得，这时他发现与之间存在一定的数量关系，请写出与的数量关系，并说明理由． 【思路点拨】（1）以点为圆心，以任意长为半径画弧与的两边分别相交，再以两交点为圆心，以大于两交点之间的距离的一半为半径画弧，相交于一点，过这一点与作射线即可； （2）在上取一点，使得； （3）以为圆心，以为半径作弧，交于，连接，作于，于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，利用证明△，得出，再根据平角的定义即可求解． 【规范解答】解：（1）如图，即为所求； （2）如图，； （3）或． 理由是：以为圆心，以为半径作弧，交于，连接，作于， 于，则． 在△和中， ， △， ； 以为圆心，以为半径作弧，交于另一点，连接， 则此点也符合条件， ， ， ， ， ， 与所有可能的数量关系是：或． 【考点评析】本题主要考查了角平分线的作法，作一个角等于已知角，过直线外一点作已知直线的垂线，都是基本作图，需要熟练掌握，另外还考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质． 考点10：作图—复杂作图 28．（2024春•东明县期末）用直尺和圆规作两个全等三角形，如图，能得到△的依据是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据作图的痕迹进行判断求解． 【规范解答】解：由作图得：，， △， 故选：． 【考点评析】本题考查了复杂作图，掌握全等三角形的判定定理及基本作图是解题的关键． 29．（2024•南山区一模）尺规作图：如图（1），在中，，，在边上求作一点，使．如图（2）是四名同学的作法，其中正确的有　　个． A．4 B．3 C．2 D．1 【思路点拨】①根据作图得不出； ②根据作图得出，即可得出结论； ③根据作图得出，进而得出，即可得出结论； ④根据作图得出的中点，再以为直径作圆，进而得出，即可得出结论． 【规范解答】解：①由作图不能得出，故①作法不正确； ②由作图得：，故②作法正确； ③由作图知在的垂直平分线上， ， ， 故③作法正确； ④由作图得：在以为直径的圆上， ， ， 故④作法正确； 故选：． 【考点评析】本题考查了复杂作图，掌握几种基本作图是解题的关键． 30．（2020•南昌一模）如图，在的正方形的网格图中，点，，均为格点，仅用无刻度直尺按要求作图． （1）在图1中，画一条射线，使； （2）在图2中，在线段上求点，使． 【思路点拨】（1）将线段绕其中点旋转，即可得到格点和，进而得到射线，使； （2）取格点，，连接，，则，即可得到． 【规范解答】解：（1）如图1，射线或即为所求； （2）如图2，点即为所求． 【考点评析】本题主要考查了复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 考点11：轴对称的性质 31．（2024春•织金县期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为12，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，　90　，△的面积最小值为 　　． 【思路点拨】连接，过点作交的延长线于．首先利用三角形的面积公式求出，再证明△是等腰直角三角形，最小时，△的面积最小． 【规范解答】解：连接，过点作交的延长线于． ，， ， 点关于的对称点为，点关于的对称点为， ，， ， ， △是等腰直角三角形， 最小时，△的面积最小， 根据垂线段最短可知，的最小值为4， △的面积的最小值． 故答案为：90；8． 【考点评析】本题考查轴对称，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是证明△是等腰直角三角形，属于中考常考题型． 32．（2023秋•仓山区校级月考）如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点，连接、、、．有如下结论：①；②；③平分；④；⑤．其中正确的结论个数为　3　． 【思路点拨】根据轴对称的性质以及全等三角形的性质一一判断即可． 【规范解答】解：和是的轴对称图形， ，，， ，故①正确； ， 由翻折的性质得，， 又， ，故②正确； ， ，， 边上的高与边上的高相等， 即点到两边的距离相等， 平分，故③正确； 只有当时，，才有，故④错误； 在和中，，，，， ，故⑤错误； 综上所述，结论正确的是①②③． 故答案为3． 【考点评析】本题考查轴对称的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 33．（2023秋•于都县期末）如图，已知点是内的一点，，分别是点关于、的对称点，连接，与、分别相交于点、，已知． （1）求的周长； （2）连接、，若，求（用含的代数式表示）； （3）当，判定的形状，并说明理由． 【思路点拨】（1）根据轴对称的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可； （2）根据轴对称的性质得到，，根据角的和差关系解答； （3）根据等边三角形的判定定理证明． 【规范解答】解：（1），分别是点关于、的对称点， ，， 的周长； （2）连接， ，分别是点关于、的对称点， ，， ； （3）， ， ，分别是点关于、的对称点， ，， ， 是等边三角形． 【考点评析】本题考查的是轴对称的性质、等边三角形的判定、角平分线的定义，掌握轴对称的性质和等边三角形的判定定理是解题的关键． 考点12：关于x轴、y轴对称的点的坐标 34．（2023秋•内江期末）已知点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，那么　　． 【思路点拨】分别利用关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点关于轴的对称点的坐标是． 关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点关于轴的对称点的坐标是，表示出点坐标，进而得出，的值． 【规范解答】解：点关于轴的对称点为， 点坐标为：， 点关于轴的对称点为， 点坐标为：， ，， 故． 故答案为：． 【考点评析】此题主要考查了关于轴、轴对称点的性质，正确表示出点坐标是解题关键． 35．（2023秋•海曙区期末）已知点，，，，，是平面坐标系内的6个点，选择其中三个点连成一个三角形，剩下三个点连成另一个三角形，若这两个三角形关于轴对称，就称为一组对称三角形，那么，坐标系中可找出　四　组对称三角形． 【思路点拨】找出纵坐标相等，横坐标相反的三组对称点即可． 【规范解答】解：因为这六个点中与，与，与，都是关于轴对称，所以对称三角形有，，，，，，，．共4对． 【考点评析】主要考查了坐标的对称特点．解此类问题的关键是要掌握轴对称的性质．利用点的轴对称性找到关于轴对称的三角形是解题的关键． 36．（2022秋•和田市校级期末）如图，已知线段轴，点在第一象限，且平分，交轴于，连、． （1）判断的形状，并予以证明； （2）若点、关于轴对称，求证：． 【思路点拨】（1）易证和，即可判定是等腰三角形； （2）连接交轴于，过作轴于，易证，即可证明，，根据三角形内角和为性质即可解题． 【规范解答】解：（1）是等腰三角形； 证明：轴， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形； （2）证明：连接交轴于，过作轴于， 轴，点、关于轴对称， ， 在和中， ， ， ， ，（1）中已证， ， ，， ， ， ． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证是解题的关键． 考点13：坐标与图形变化-对称 37．（2023秋•浑南区期末）已知点与点关于某条直线对称，则这条直线是　　 A．轴 B．轴 C．过点且垂直于轴的直线 D．过点且平行于轴的直线 【思路点拨】根据轴对称的性质解决问题即可． 【规范解答】解：点与点的位置关系是关于直线对称， 故选：． 【考点评析】本题考查轴对称，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 38．（2023秋•孝昌县期末）如图，在平面直角坐标系中，点，过点作轴的垂线，点关于直线的对称点为． （1）点的坐标为 　　； （2）已知点，点，在图中描出点，，，顺次连接点，，，． ①在四边形内部有一点，满足且，则此时点的坐标为 　　，　　； ②在四边形外部是否存在点，满足且，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）先作轴对称，再写坐标； （2）先描点，再连线； ①根据三角形的面积公式求解； ②根据三角形的面积公式求解； 【规范解答】解：（1）， 故答案为：； （2）如图： ①且，，， 点在直线上，且到的距离是到距离的2倍， 在四边形的内部， ， ； ， 故答案为：， ②且，，， 点在直线上，且到的距离是到距离的2倍， 在四边形的外部， ， ． 【考点评析】本题考查了坐标与图形的变化，掌握三角形的面积公式是解题的关键． 39．（2023秋•南关区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且平行于轴． （1）如果三个顶点的坐标分别是，，，关于轴的对称图形是△，△关于直线的对称图形是△，写出△的三个顶点的坐标； （2）如果点的坐标是，其中，点关于轴的对称点是，点关于直线的对称点是，求的长． 【思路点拨】（1）根据关于轴对称点的坐标特点是横坐标互为相反数，纵坐标相同可以得到△各点坐标，又关于直线的对称图形点的坐标特点是纵坐标相同，横坐标之和等于3的二倍，由此求出△的三个顶点的坐标； （2）与关于轴对称，利用关于轴对称点的特点：纵坐标不变，横坐标变为相反数，求出的坐标，再由直线的方程为直线，利用对称的性质求出的坐标，即可得出的长． 【规范解答】解：（1）△的三个顶点的坐标分别是，，； （2）如图1，当时，与关于轴对称，， ， 又与关于：直线对称， 设，可得：，即， ， 则． 【考点评析】本题考查学生“轴对称”与坐标的相关知识的试题，掌握轴对称的性质是解本题的关键． 考点14：轴对称-最短路线问题 40．（2024春•大东区期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区，提供牛奶，要使，两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站的位置应该在　　 A． B． C． D． 【思路点拨】本题利用轴对称的性质，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题，结合三角形的三边关系解题即可． 【规范解答】解：如图：作点关于街道的对称点，连接交街道所在直线于点， ， ， 在街道上任取除点以外的一点，连接，，， ， 在△中，两边之和大于第三边， ， ， 点到两小区送奶站距离之和最小． 故选：． 【考点评析】本题考查轴对称最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题．会作对称点是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用．另外本题的解决还应用了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．本题还会有变式：请你找出点的位置． 41．（2023秋•梁溪区校级期中）如图所示，，点是内一定点，并且，点、分别是射线，上异于点的动点，当的周长取最小值时，点到线段的距离为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】分别作点关于和的对称点和，连接、、，则与的交点为点，与的交点为点，连接、，则此时的值即为的周长的最小值，过点作于点，求得的值，由含角的直角三角形的性质可得答案． 【规范解答】解：分别作点关于和的对称点和，连接、、，则与的交点为点，与的交点为点， 连接、，则此时的值即为的周长的最小值，过点作于点，如图所示： 由对称性可知， ， ， ， ，， ． 故选：． 【考点评析】本题考查了轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质、等腰三角形的性质及含角的直角三角形的性质是解题的关键． 42．（2024春•永丰县期末）已知点在内． （1）如图1，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接、、． ①若，则　　； ②若，连接，请说明当为多少度时，； （2）如图2，若，、分别是射线、上的任意一点，当的周长最小时，求的度数． 【思路点拨】（1）依据轴对称可得，，即可得到平分，平分，进而得出；②当时，，此时点，，在同一直线上，可得； （2）设点关于、对称点分别为、，当点、在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【规范解答】解：（1）①点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是， ，， 平分， 同理可得平分， ， 故答案为：； ②， ， 当时，， 点，，在同一直线上， ； （2）如图所示：分别作点关于、的对称点、，连接、、，交、于点、， 连接、，则， “，此时周长的最小值等于的长． 由轴对称性质可得，，，， ， ， ， 同理可得， ． 【考点评析】本题主要考查了轴对称最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点． 考点15：翻折变换（折叠问题） 43．（2023秋•瓯海区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】由勾股定理得，由折叠得，，则，由，得，求得，则，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：，，， ，， ， 由折叠得，， ， ， ， 解得， ， 故选：． 【考点评析】此题重点考查图形与坐标、勾股定理、轴对称的性质等知识，求得并且推导出是解题的关键． 44．（2024春•新会区期末）如图，长方形纸片中，，．点是边上一点，连接并将△沿折叠，得到△，以，，为顶点的三角形是直角三角形时，的长为 　3或6　． 【思路点拨】分①时，根据翻折变换的性质求出，然后判断出△是等腰直角三角形，从而求出；②时，，判断出、、在同一直线上，利用勾股定理列式求出，再根据翻折变换的性质可得，，然后求出，设，表示出，然后利用勾股定理列出方程求解即可． 【规范解答】解：①时，如图1，， 由翻折的性质得， △是等腰直角三角形， ； ②时，如图2， 由翻折的性质， 、、在同一直线上， ，， 由勾股定理得，， ， 设，则， 在△中，， 即， 解得， 即， 综上所述，的长为3或． 故答案为：3或6． 【考点评析】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的判断与性质，勾股定理的应用，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观． 45．（2023秋•宁强县期末）在数学实验课上，李静同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作： 操作一：如图1，将纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点与重合，折痕为． （1）如果，，可得的周长为 　　； （2）如果，可得的度数为 　　； 操作二：如图2，李静拿出另一张纸片，将直角边沿直线折叠，使点与点重合，若，，请求出的长． 【思路点拨】操作一：（1）由翻折的性质可知：，于是，从而可知的周长； （2）设，则，由翻折的性质可知，然后根据直角三角形两锐角互余可知：． 操作二：先利用勾股定理求得的长，然后利用面积法求得的长，在中，利用勾股定理可求得的长，由翻折的性质可知：，最后根据计算即可． 【规范解答】解：操作一：（1）翻折的性质可知：， ． 的周长． 故答案为：． （2）设，则． 由翻折的性质可知：， ， ． 解得；． ． ． 故答案为：． 操作二：在中，． 由翻折的性质可知：，． ， ． ． 在中，． ． ． 【考点评析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，利用面积法求得的长度是解题的关键． 考点16：分式的基本性质 46．（2024春•越城区期末）将分式中的、的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值　　 A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的一半 C．保持不变 D．无法确定 【思路点拨】根据题意把，的值均扩大为原来的2倍，然后约分化简与原式进行比较即可． 【规范解答】解：由题意得：，分式的值保持不变． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了分式的性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 47．（2024春•雅安期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：，； 解决下列问题： （1）分式是 　真　分式（填“真”或“假” ； （2）将假分式化为带分式； （3）如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值． 【思路点拨】（1）认真读懂题意，利用题中给出的定义判断； （2）依据题意化简即可； （3）依据题意化简后分情况讨论出结果即可． 【规范解答】解：（1）分式是真分式； 故答案为：真； （2）； （3）原式， 分式的值为整数， 或， 或或11或． 【考点评析】本题考查分式的运算，熟练掌握分式的化简运算方法，弄清定义，利用整体的数学思想是解题的关键． 48．（2023•石家庄模拟）我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如． （1）下列分式中，属于真分式的是 　　 、 、 、 、 （2）将假分式，化成整式和真分式的和的形式． 【思路点拨】（1）根据分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式得到只有是真分式； （2）先把化为得到，然后分成两个分式，其中前面一个分式约分后化为整式，后面一个是真分式． 【规范解答】解：（1）根据题意得是真分式． 故选． （2）． 【考点评析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 考点17：分式的乘除法 49．（2024•茌平区校级模拟）化简：的结果是　　． 【思路点拨】根据分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘进行计算即可． 【规范解答】解：原式， 故答案为：． 【考点评析】此题主要考查了分式的除法，关键是注意结果要化简． 50．（2023秋•夏津县期末）若运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据分式的乘除法法则进行解题即可． 【规范解答】解： 运算的结果为整式， □中式子一定含有的单项式， 故只有项符合． 故选：． 【考点评析】本题考查分式的乘除法和整式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 51．（2024春•天元区校级期末）先化简，再找一个你喜欢的数值代入进行计算： 【思路点拨】直接将分式的分子与分母分解因式，进而利用分式的乘除运算法则计算得出答案． 【规范解答】解：原式 ， 当时， 原式． 【考点评析】此题主要考查了分式的乘除，正确分解因式是解题关键． 考点18：分式的加减法 52．（2024•祁东县校级模拟）已知，则的值为 　　． 【思路点拨】将已知条件适当变形，利用整体代入的方法解答即可． 【规范解答】解：， ． 原式 ． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了分式的加减法，求分式的值，利用等式的性质对已知条件适当变形，利用整体代入的方法解答是解题的关键． 53．（2023秋•崇川区期末）阅读：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，，，则与互为“关联分式”，“关联值” ． （1）若分式，，判断与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值” ； （2）已知分式，，与互为“关联分式”，且“关联值” ． ①　　（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于 　　； （3）若分式，，为整数且，是的“关联分式”，且“关联值” ，求的值． 【思路点拨】（1）根据已知条件中的新定义，求出并进行化简即可； （2）①根据已知条件中的新定义，列出，然后进行化简，求出即可； ②把①中求出的代入，然后化简，根据已知条件，求出的值即可； （3）根据条件中的新定义，求出并化简，从而列出关于，的二元一次方程组，求出，，再代入进行计算即可． 【规范解答】解：（1）与是互为“关联分式”，理由如下： 分式，， ， 与是互为“关联分式”，“关联值” 为2； （2）①分式，，与互为“关联分式”，且“关联值” ， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②， 分式的值为正整数， 是的约数，即或， 解得：或， 为正整数， ， 故答案为：2； （3）是的“关联分式”， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，为整数， 一定是5的约数， 或或1或5， 解得：或0或6或10， 或4或10或6， 或， 的值为4或16． 【考点评析】本题主要考查了分式的有关计算和分式中的新定义问题，解题关键是熟练掌握分式的化简和新定义的含义． 54．（2023•景县校级模拟）已知，，设，，结论Ⅰ：当时，；结论Ⅱ：当时，，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是　　 A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【思路点拨】根据分式的加法法则解决此题． 【规范解答】解：结论Ⅰ：当，则． 当时，，即结论Ⅰ正确． 结论Ⅱ：当时，则． ，． ． 结论Ⅱ正确． 综上：结论Ⅰ正确，结论Ⅱ正确． 故选：． 【考点评析】本题主要考查分式的加法运算，熟练掌握分式的加法法则是解决本题的关键． 考点19：分式的混合运算 55．（2023秋•白河县期末）下列分式化简正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据分式化简的性质进行判断即可． 【规范解答】解：、、中无法化简，错误，故不符合要求； 正确，故符合要求； 故选：． 【考点评析】本题考查了分式化简．解题的关键在于熟练掌握分式化简时，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 56．（2024•银川一模）化简下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解：原式 乙同学 解：原式 （1）甲同学解法的依据是 　②　；乙同学解法的依据是 　　；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律； （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【思路点拨】（1）根据乘法分配律，以及分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）若选择甲同学的解法：先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；若选择乙同学的解法：先利用乘法分配律计算分式的乘法，再算加减，即可解答． 【规范解答】解：（1）甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：②；③； （2）若选择甲同学的解法： 若选择甲同学的解法： ； 若选择乙同学的解法： ． 【考点评析】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 57．（2024•泰山区校级模拟）试卷上一个正确的式子★，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为 　．　． 【思路点拨】根据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是，再根据分式的运算法则进行计算即可． 【规范解答】解：★， 被墨汁遮住部分的代数式是： ， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键． 考点20：分式的化简求值 58．（2023秋•右玉县期末）若分式，则分式的值等于　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据已知条件，将分式整理为，再代入则分式中求值即可． 【规范解答】解：整理已知条件得； 将整体代入分式得 ． 故选：． 【考点评析】由题干条件找出之间的关系，然后将其整体代入求出答案即可． 59．（2023秋•汉阳区期末）实数、满足，记，，则，大小关系 　　． 【思路点拨】将、分别进行通分，代入已知，化简整理后比较一下结果即可． 【规范解答】解：，又， ； 同理可得． 故． 【考点评析】此题考查了分式的加减运算，运用了整体代入的数学思想． 60．（2024春•秦安县校级月考）已知：，，求代数式的值． 【思路点拨】先根据已知条件，让两个式子联合起来，解关于、的二元一次方程，再把、的值代入所求式子，化简求值即可． 【规范解答】解：，， ， 解关于、的二元一次方程，得 原式． 【考点评析】本题利用了解二元一次方程、整体代入的知识，在解方程时，注意把看成是已知数 考点21：分式方程的解 61．（2024•滕州市二模）若分式方程无解，则的值是　　 A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【思路点拨】先把方程两边同时乘得整式方程，然后根据方程无解，分两种情况讨论：①分式方程的分母等于0，求出再代入整式方程，求出；②整式方程无解，列出关于的方程，求出即可． 【规范解答】解：， 方程两边同时乘得： ， ， ， ， 分式方程无解， ， ， ， 解得：， 分式方程无解， ， 解得：， 综上可知：或1， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握分式方程无解的条件． 62．（2024春•海曙区期末）若关于的分式方程无解，则的值为 　或或　． 【思路点拨】将分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出的值，代入整式方程计算即可求出的值． 【规范解答】解：去分母得：， 当，即时，方程无解； 当，即时， 由分式方程无解，得到，即， 把（3分）别代入整式方程得：或， 解得：或， 综上，的值为或或． 故答案为：或或． 【考点评析】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程无解的条件是解本题的关键． 63．（2023秋•延庆区期中）给出如下的定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为，．例如：，就是关于的分式方程的一个“方程数对”，记为，． （1）判断数对①，，②，中是关于的分式方程的“方程数对”的是 　①　；（只填序号） （2）若数对，是关于的分式方程的“方程数对”，求的值； （3）若数对，且，是关于的分式方程的“方程数对”，用含的代数式表示． 【思路点拨】（1）根据定义分别判断即可； （2）根据定义计算即可； （3）根据定义计算即可． 【规范解答】解：（1）当，时，分式方程为， 解得， ， ①，是关于的分式方程的“方程数对”； 当，时，分式方程为， 解得， ， ②，不是关于的分式方程的“方程数对”； 故答案为：①； （2）数对，是关于的分式方程的“方程数对”， ，， ， 解得； （3）数对，且，是关于的分式方程的“方程数对”， ，， ， 解得． 【考点评析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“方程数对”的定义是解题的关键． 考点22：解分式方程 64．（2024•凤城市一模）解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】方程两边都乘，可得一个一元一次方程． 【规范解答】解：方程两边都乘，可得，为一个一元一次方程， 故选：． 【考点评析】本题考查了解分式方程，关键是使分式方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程． 65．（2024春•台儿庄区期末）将方程去分母，两边同乘后的式子为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】分式方程变形后，去分母得到结果，即可做出判断． 【规范解答】解：分式方程去分母得：． 故选：． 【考点评析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 66．（2024春•和平区校级月考）解方程： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）方程两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，检验后可得答案； （2）方程两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，检验后可得答案． 【规范解答】解：（1）方程两边同乘得：， 解得：， 检验：当时，， 故分式方程的解为； （2）方程两边同乘得：， 解得：， 检验：当时，， 所以是增根，分式方程无解． 【考点评析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是关键． 考点23：换元法解分式方程 67．（2022春•黄浦区校级期中）用换元法解方程，设，那么换元后，方程可化为整式方程正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】先根据已知进行换元，再进行变形，即可得出答案． 【规范解答】解：， 设， 则原方程化为， 即， 故选：． 【考点评析】本题考查了用换元法进行分式方程，能够正确换元是解此题的关键． 68．（2022秋•青浦区校级期末）解分式方程时，设，则原方程化为关于的整式方程是　　． 【思路点拨】根据换元法，可得答案． 【规范解答】解：设，则原方程化为 两边都乘以，得 ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了解分式方程，利用换元法是解题关键． 69．（2022春•泰和县期末）阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘得：， 解得：， 经检验：都是方程的解，当时，，解得：， 当时，，解得：，经检验：或都是原分式方程的解， 原分式方程的解为或．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）若在方程中，设，则原方程可化为：　　； （2）若在方程中，设，则原方程可化为：　 　； （3）模仿上述换元法解方程：． 【思路点拨】（1）和（2）将所设的代入原方程即可； （3）利用换元法解分式方程，设，将原方程化为，求出的值并检验是否为原方程的解，然后求解的值即可． 【规范解答】解：（1）将代入原方程，则原方程化为； （2）将代入方程，则原方程可化为； （3）原方程化为：， 设，则原方程化为：， 方程两边同时乘得： 解得：， 经检验：都是方程的解． 当时，，该方程无解； 当时，，解得：； 经检验：是原分式方程的解， 原分式方程的解为． 【考点评析】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度． 考点24：分式方程的增根 70．（2024春•泗县期末）若关于的方程有增根，则的值是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【思路点拨】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母，所以增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值． 【规范解答】解：方程两边都乘，得 ， 方程有增根， 最简公分母，即增根是， 把代入整式方程，得． 故选：． 【考点评析】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 71．（2024春•江阴市期中）若分式方程有增根，则的值为　1　． 【思路点拨】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值． 【规范解答】解：方程的两边都乘以，得 ， 化简，得 ， 原方程的增根为， 把代入， 得， 故答案为：1． 【考点评析】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 72．（2022•临淄区二模）如果关于的分式方程有增根，那么的值为 　　． 【思路点拨】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可得到正确的答案． 【规范解答】解：， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 由分母可知，分式方程的增根可能是2， 当时，， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 考点25：由实际问题抽象出分式方程 73．（2024•惠城区一模）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产台机器，则下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设现在平均每天生产台机器，则原计划平均每天生产台机器，根据“现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天”列出方程即可． 【规范解答】解：设现在平均每天生产台机器，则原计划平均每天生产台机器， 根据题意，得． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，利用本题中“生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天”这一个等量关系，进而得出分式方程是解题关键． 74．（2024•辽宁二模）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210元购买椽的数量为株，则符合题意的方程是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设6210元购买椽的数量为株，根据单价总价数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案． 【规范解答】解：设6210元购买椽的数量为株，则一株椽的价钱为， 由题意得：， 故选：． 【考点评析】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找出等量关系是解题关键． 75．（2024春•保定期末）宣汉到达州要铺设一条长35千米的管道，为了尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加，结果提前7天完成．设原计划每天铺设管道的长度为千米，则可列方程为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据每天铺设管道的长度比原计划增加，结果提前7天完成，列分式方程即可． 【规范解答】解：根据题意，得， 故选：． 【考点评析】本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． 考点26：分式方程的应用 76．（2023秋•崇明区期末）列分式方程解应用题： 刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米？ 【思路点拨】设刘峰骑自行车的速度为每小时千米，则李明乘车的速度为每小时千米，根据他们的行驶时间相差0.5小时列出方程并解答即可． 【规范解答】解：设刘峰骑自行车每小时行千米，则李明乘公交车每小时行千米， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：李明乘公交、刘峰骑自行车每小时分别行60千米、20千米． 【考点评析】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解题的关键． 77．（2023秋•舞阳县期末）一条笔直的公路经过相距10千米的，两地，甲、乙两人骑车从地前往地． （1）若乙骑车的速度是甲骑车的速度2倍，甲比乙早30分钟出发，且甲、乙两人同时到达地，求甲骑车的速度； （2）若甲、乙两人同时从地出发，甲骑车的速度为千米时，乙骑车的速度为千米时，其中．请判断谁先到达地，并说明理由． 【思路点拨】（1）设甲的骑车速度为 ，则乙的骑车速度为 ，然后根据题意列出分式方程，求解检验即可； （2）运用作差法比较甲乙的速度，进而得出答案． 【规范解答】解：（1）设甲的骑车速度为 ，则乙的骑车速度为 ， 根据题意可得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 甲骑车的速度为； （2）甲先到达地，理由如下： ， ， ， ， 甲先到达地， 【考点评析】本题考查了分式方程的应用以及作差法比较整式的大小，读懂题意，根据题意列出分式方程以及比较出两个整式的大小是解本题的关键． 78．（2024•东莞市校级二模）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 【思路点拨】（1）设这项工程的规定时间是天，根据甲、乙队先合做15天，余下的工程由甲队单独需要10天完成，可得出方程解答即可； （2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可． 【规范解答】解：（1）设这项工程的规定时间是天，根据题意得： ． 解得：． 经检验是原分式方程的解． 答：这项工程的规定时间是30天． （2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：（天， 则该工程施工费用是：（元． 答：该工程的费用为225000元． 【考点评析】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答． 考点27：比例的性质 79．（2024春•莱州市期末）若，则　　． 【思路点拨】根据已知比例关系，用未知量分别表示出、和的值，代入原式中，化简即可得到结果． 【规范解答】解：设， 则，，， 所以． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了比例的性质．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元． 80．（2023秋•金寨县期末）若，则　　． 【思路点拨】直接利用已知得出，再代入比例式求出答案． 【规范解答】解：， ， ． 故答案为：． 【考点评析】此题主要考查了比例的性质，得出是解题关键． 81．（2023秋•金塔县期中）已知：，且．求、、的值． 【思路点拨】设，根据比例性质得，，，然后利用得到，然后解出的值，从而得到、、的值． 【规范解答】解：设，则，，， ， ，解得， ，，． 【考点评析】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质． 考点28：比例线段 82．（2021秋•肥城市期末），，，是四条线段，下列各组中这四条线段成比例的是　　 A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【思路点拨】根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段． 【规范解答】解：、，这四条线段不成比例； 、，这四条线段成比例； 、，这四条线段不成比例； 、，这四条线段不成比例； 故选：． 【考点评析】此题考查了比例线段的概念．注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等． 83．（2023春•姑苏区校级期末）在比例尺为的地图上，、两地的距离为，则实际距离为 　500　． 【思路点拨】首先设相距的两地实际距离为 ，根据题意可得方程，解此方程即可求得答案，注意统一单位． 【规范解答】解：设实际距离为 ， 根据题意得：， 解得：， ， 实际距离为． 故答案为：500． 【考点评析】此题考查了比例尺．此题比较简单，解题的关键是注意理解题意，根据题意列方程，注意统一单位． 84．（2020秋•渝中区期末）阅读理解： 已知：，，，都是不为0的数，且，求证：． 证明：， ． ． 根据以上方法，解答下列问题： （1）若，求的值； （2）若，且，，证明． 【思路点拨】（1）把要求的式子化成，再进行计算即可得出答案； （2）根据比例的性质得出，，再分别相除即可得出答案． 【规范解答】解：（1）， ． （2）， ， ， ， ， ． 【考点评析】此题考查了比例的性质以及分式的加减法，熟练掌握比例的性质和运算法则是解题的关键 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$