专题1.3 尺规作图（考题猜想，易错，好题必刷34题5种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（青岛版）

专题1.3 尺规作图（易错、好题必刷34题5种题型专项训练） 目录 【题型01 尺规作一个角等于已知角】 1 【题型02 尺规作角的和、差】 4 【题型03 过直线外一点作这条直线的 平行】 6 【题型04 尺规作图——作三角形】 9 【题型05 结合尺规作图的全等问题】 11 【题型01 尺规作一个角等于已知角】 【易错题精讲】（2024·湖南·模拟预测）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-1】（22-23八年级上·安徽合肥·阶段练习）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（22-23八年级上·河北保定·期末）小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的： 已知： 求作：，使 作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 小聪作法正确的理由是（　　） A．由可得，进而可证 B．由可得，进而可证 C．由可得，进而可证 D．由“等边对等角”可得 【变式训练1-3】（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，用尺规作图作一个角等于已知角，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1-4】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，用尺规作出，作图痕迹是（    ） A．以点B为圆心，为半径的圆 B．以点B为圆心，为半径的圆 C．以点E为圆心，为半径的圆 D．以点E为圆心，为半径的圆 【变式训练1-5】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，一块三角板，D是边上一点，现要求在边上确定点E，使． (1)通过尺规作图确定点E．（不写作法，留下作图痕迹，要有结论） (2)请直接写出（1）中的作图理论依据． 【变式训练1-6】（2024·吉林·一模）以下内容节选自人教版初中数学教材八年级上册．请说明内容中的尺规作图的原理， 即求证． 作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 【题型02 尺规作角的和、差】 【易错题精讲】（21-22七年级下·甘肃白银·期中）作图题．已知，，且大于，求作（不写作法，保留作图痕迹，不在原图上作图） 【变式训练2-1】（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为 ． 【变式训练2-2】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图为一副三角尺，其中，作． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【变式训练2-3】（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知的三边长分别为，利用直尺和圆规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）．    (1)作线段； (2)作． 【变式训练2-4】（22-23六年级下·山东淄博·期末）已知：，．    求作：，使． 要求：保留画图痕迹，不写画法． 画图： 【变式训练2-5】（22-23七年级下·广东茂名·期中）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：已知，，求作．    【变式训练2-6】（20-21七年级下·宁夏银川·期中）已知∠1，∠2，求作一个角，使它等于∠1与∠2的和．（要求，使用尺规正确作图，保留作图痕迹） 【变式训练2-7】（18-19八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知∠α，∠β，线段a，完成下面的尺规作图： （1）∠α+∠β； （2）△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，BC＝a． 【题型03 过直线外一点作这条直线的 平行】 【易错题精讲】（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）如图，一艘航船，在水流的作用下，从点航行到点，此时，小明的船在处，看到点在他的正北方，    (1)请帮小明的船只，设计一条与航线平行的航线（运用尺规作图，保留作图痕迹） (2)两河岸直线，直线之间的距离知道，但小明想知道航线的里程，又不便测量，你能用学习的全等三角形的知识，画图帮他设计吗？并说明你的理由． 【变式训练3-1】（21-22八年级上·福建福州·期中）如图，已知，A、B分别是射线上的点． (1)尺规作图；在的内部确定一点C，使得且（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）中，连接，仅用无刻度直尺在线段上确定一点D，使得，并证明． 【变式训练3-2】（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）已知：如图，在中，D为的中点，E是上一点，． (1)过点D作交于点F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：． 【变式训练3-3】（23-24七年级下·福建宁德·期中）如图，已知三角形，点E是上一点．    (1)尺规作图：在上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数． 【变式训练3-4】（22-23七年级下·浙江宁波·阶段练习）已知：如图，和上的一点P． (1)求作直线，使直线过点P且； (2)写出一对相等的同位角和一对互补的同旁内角． 【变式训练3-5】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，点P为边上一点，请用尺规作图法，在边上求作一点Q，使得P、Q到的距离相等． 【题型04 尺规作图——作三角形】 【易错题精讲】（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）（1）多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是几边形？ （2）如图，已知，，请用尺规作图，画出，使，，并证明． 【变式训练4-1】（23-24八年级上·河南开封·期末）如图，已知和一条长度为的线段，作一个以为底角，为腰长的等腰三角形的方法是：①连接；②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；③在的两边上截取；④画射线，以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上截取，并以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点．以上画法正确的顺序是（　　） A．③④①② B．④③②① C．③④②① D．④③①② 【变式训练4-2】（23-24八年级上·河北承德·期末）已知线段a，c，，求作：，使，，． 以下是排乱的作图步骤： 正确作图步骤的顺序是（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 【变式训练4-3】（22-23七年级下·陕西宝鸡·期末）已知：线段，，，求作：，使，，． 【变式训练4-4】（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）尺规作图： 如图，线段和一副三角尺，其中． 求作：以线段为一条边作，使得．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【变式训练4-5】（23-24七年级下·重庆·期末）如图，已知线段a，b和． 求作：，使得，，．（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） 【变式训练4-6】．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）相传很久以前，为了显示谁的逻辑思维能力更强，古希腊人限制了几何作图的工具，结果一些普通的画图题，却让数学家们苦苦思索了两千年．可见，尺规作图有它特有的魅力，使无数人沉湎其中，在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规完成的作图，叫做尺规作图．请完成以下作图，不用写作法，保留合理的作图痕迹． 已知线段、，求作：，使、． 【题型05 结合尺规作图的全等问题】 【易错题精讲】（22-23八年级上·吉林长春·期中）【教材呈现】如图是华师版八年级上册65页的部分内容. 做一做 如图13.2.7，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形. 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种? 【探究问题】如图，，请你用圆规在 的另一边找到点 ，使，这样的点 有______个，说明符合条件的三角形有______种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形________全等． 【拓展思考】如图，已知 ，若且 ，，那么 一定是______三角形（从“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”三个答案选择）． 【变式训练5-1】（21-22八年级上·河南南阳·期中）如图，已知∠MAB是锐角，，，．点C是射线AM上的一个动点．利用图形画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，BC长可选取的范围是 cm．若的形状、大小是唯一确定的，则BC的取值范围是 ． 【变式训练5-2】（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在所给正方形网格图中完成下列各题： (1)画出所有与格点（顶点均在格点上）全等的格点三角形，使它与有且只有一条公共边，你画出了______ 个符合要求的格点三角形，分别记作______ ； (2)在上画出点，使得的周长最小； (3)若网格上的最小正方形的边长为，直接写出的面积为______ ． 【变式训练5-3】（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）（1）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法. 如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（    ） A．    B．   C．    D． （2）如图，直线a是一条公路，M，N是公路a同侧的两个居民区，现计划在公路a上修建一个公交候车亭O，及修建两居民区M，N之间的道路，为了使最短，请在图中作出点O的位置(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)． 【变式训练5-4】（22-23八年级上·吉林长春·期末）图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形． 要求： (1)三角形的三个顶点都在格点上． (2)与全等，且位置不同． 【变式训练5-5】（2021·湖南长沙·中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得≌． 作法：如图． （1）画； （2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： （1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴≌______． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号） ①AAS；②ASA；③SAS；④SSS 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 尺规作图（易错、好题必刷34题5种题型专项训练） 目录 【题型01 尺规作一个角等于已知角】 1 【题型02 尺规作角的和、差】 6 【题型03 过直线外一点作这条直线的 平行】 12 【题型04 尺规作图——作三角形】 18 【题型05 结合尺规作图的全等问题】 23 【题型01 尺规作一个角等于已知角】 【易错题精讲】（2024·湖南·模拟预测）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键．利用可证得，那么． 【规范解答】解：由作图知， ∴， ∴， 依据是， 故选：A． 【变式训练1-1】（22-23八年级上·安徽合肥·阶段练习）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了基本作图、全等三角形的判定与性质等知识点，明确作图过程成为解答本题的关键． 通过分析作图的步骤，发现与的三条边分别对应相等，于是利用边边边判定，根据全等三角形对应角相等得． 【规范解答】解：作图的步骤： ①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点C、D； ②作射线，以为圆心， 长为半径画弧，交于点； ③以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点； ④过点作射线． 所以就是与相等的角． 在与中， ， ， ，即运用的判定方法是． 故选：A． 【变式训练1-2】（22-23八年级上·河北保定·期末）小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的： 已知： 求作：，使 作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 小聪作法正确的理由是（　　） A．由可得，进而可证 B．由可得，进而可证 C．由可得，进而可证 D．由“等边对等角”可得 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查基本作图，全等三角形的判定方法，熟练掌握作图是解题的关键．根据作法得到，再根据全等三角形的判定方法即可得到答案． 【规范解答】解：根据作法得到， 故由可得， 故选A． 【变式训练1-3】（23-24八年级上·广东湛江·期中）如图，用尺规作图作一个角等于已知角，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了作图−作角．利用作图痕迹得到，，则根据“”可判断，从而得到． 【规范解答】解：由作法得，， 所以根据“”可判断， ∴． 故选：A． 【变式训练1-4】（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，用尺规作出，作图痕迹是（    ） A．以点B为圆心，为半径的圆 B．以点B为圆心，为半径的圆 C．以点E为圆心，为半径的圆 D．以点E为圆心，为半径的圆 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是基本作图：作一个角等于已知角，根据作一个角等于已知角的作法进行解答即可． 【规范解答】解：作的作法，由图可知， ①以点O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交射线于点C，D； ②以点B为圆心，以为半径画圆，分别交射线于点E； ③以点E为圆心，以为半径画弧，交前弧于点F，作射线即可得出，则． 故选：D． 【变式训练1-5】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，一块三角板，D是边上一点，现要求在边上确定点E，使． (1)通过尺规作图确定点E．（不写作法，留下作图痕迹，要有结论） (2)请直接写出（1）中的作图理论依据． 【答案】(1)见解析 (2)同位角相等，两直线平行． 【思路点拨】本题考查作一个角等于圆周角、平行线的判定； （1）过点作，交于点，则点即为所求． （2）结合平行线的判定可得答案． 【规范解答】（1）解：如图，过点作，交于点， 则， 则点E即为所求． （2）作图理论依据为：同位角相等，两直线平行． 【变式训练1-6】（2024·吉林·一模）以下内容节选自人教版初中数学教材八年级上册．请说明内容中的尺规作图的原理， 即求证． 作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 【答案】证明见解析 【思路点拨】本题考查作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质等知识，根据定理证明即可． 【规范解答】证明：由作图得，， 在和中 ， ∴， ∴． 【题型02 尺规作角的和、差】 【易错题精讲】（21-22七年级下·甘肃白银·期中）作图题．已知，，且大于，求作（不写作法，保留作图痕迹，不在原图上作图） 【答案】图见解析 【思路点拨】本题考查尺规作图—作一个角等于已知两角的差，根据尺规作角的方法，进行作图即可． 【规范解答】解：如图，即为所求． 【变式训练2-1】（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为 ． 【答案】/度 【思路点拨】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图的方法是解题的关键．由尺规作图的作法得到，代入数据即可得到答案． 【规范解答】解：由尺规作图可知，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练2-2】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图为一副三角尺，其中，作． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见解析 【思路点拨】本题考查尺规作角，根据尺规作角的方法，作图即可．掌握尺规作角的方法，是解题的关键． 【规范解答】解：如图，即为所求； 【变式训练2-3】（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知的三边长分别为，利用直尺和圆规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）．    (1)作线段； (2)作． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路点拨】本题考查了作一个与已知角相等的角以及线段： （1）先画出一条射线，以端点O为圆心，分别以为半径画弧，与射线的交点分别为E点和F点，即可作答． （2）先画出一条射线，以端点O为圆心，取的长度为半径，画弧，交点为，再以点为圆心，的长度为半径，画弧，交点为，此时；以端点O为圆心，取的长度为半径，画弧，交点为，再以点为圆心，的长度为半径，画弧，交点为，此时；故 【规范解答】（1）解：如图： （2）解：如图所示： 【变式训练2-4】（22-23六年级下·山东淄博·期末）已知：，．    求作：，使． 要求：保留画图痕迹，不写画法． 画图： 【答案】见解析 【思路点拨】先作，在这个角的外部分别作，然后作，则． 【规范解答】如图所示，即为所求．    【考点评析】此题考查的是基本作图，掌握利用尺规作图作一个角等于已知角是解决此题的关键． 【变式训练2-5】（22-23七年级下·广东茂名·期中）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：已知，，求作．    【答案】见解析 【思路点拨】利用作一角等于已知角的作法分别得出，进而得出答案． 【规范解答】解：如图所示：．    【考点评析】此题主要考查了复杂作图，掌握作一角等于已知角的作法是解题关键． 【变式训练2-6】（20-21七年级下·宁夏银川·期中）已知∠1，∠2，求作一个角，使它等于∠1与∠2的和．（要求，使用尺规正确作图，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【思路点拨】作∠AOB=∠1和∠BOC=∠2，即可求解． 【规范解答】解：作∠AOB=∠1和∠BOC=∠2，则∠AOC即为所求． 【考点评析】本题考查了作图——尺规作图，熟练掌握作一个角等于已知角的作法是解题的关键． 【变式训练2-7】（18-19八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知∠α，∠β，线段a，完成下面的尺规作图： （1）∠α+∠β； （2）△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，BC＝a． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【思路点拨】（1）根据尺规作图过程即可作出∠α+∠β； （2）先根据尺规作图作出∠C＝180°﹣∠α﹣∠β，再进行其它作图即可作出三角形． 【规范解答】解：（1）如图∠AOC即为所求作的图形． （2）如图即为所求作的△ABC． 作BC＝a， 作∠B＝∠β，∠C＝180°﹣∠α﹣∠β， ∠B、∠C的两条边相交于点A， 则∠A＝∠α． 答：△ABC即为所求作的图形． 【考点评析】本题考查了尺规作图，解决本题的关键是规范作图，注意画∠C时，先作出180°-∠α-∠β． 【题型03 过直线外一点作这条直线的 平行】 【易错题精讲】（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）如图，一艘航船，在水流的作用下，从点航行到点，此时，小明的船在处，看到点在他的正北方，    (1)请帮小明的船只，设计一条与航线平行的航线（运用尺规作图，保留作图痕迹） (2)两河岸直线，直线之间的距离知道，但小明想知道航线的里程，又不便测量，你能用学习的全等三角形的知识，画图帮他设计吗？并说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)能，理由见解析 【思路点拨】（1）如图以为边作，交河岸于点，则为所求； （2）如图设两河岸直线，直线之间的距离为过点作于点，在上取，过作于点，交的延长线于点，则，测量出的长即得的长，理由:过点作于点，则，证明即可得，从而测量的长即可得的长。 【规范解答】（1）解：如图，即为小明船只的航线，    由作图可知，， ∴ ∴为所求的航线； （2）解：如图设两河岸直线，直线之间的距离为过点作于点，在上取，过作于点，交的延长线于点，则，测量出的长即得的长，    理由如下: 如图，过点作于点，则，    由作图可知，，， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴测量的长即可得的长。 【考点评析】本题主要考查了垂线、平行线的判定及性质，尺规作角，全等三角形的判定及性质，熟练掌握尺规作角及全等三角形的判定及性质是解题的关键。 【变式训练3-1】（21-22八年级上·福建福州·期中）如图，已知，A、B分别是射线上的点． (1)尺规作图；在的内部确定一点C，使得且（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）中，连接，仅用无刻度直尺在线段上确定一点D，使得，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质、尺规作图；熟练掌握尺规作图的作法及全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）根据尺规作图作角及线段的作法即可求解； （2）利用证得，进而可求证结论； 【规范解答】（1）解：如图所示，线段即为所求． （2）证明：连接，与交点即为D点， ∵， ∴， 又， 由（1）得， ∴在与中， ， ∴， ∴． 【变式训练3-2】（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）已知：如图，在中，D为的中点，E是上一点，． (1)过点D作交于点F（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查了平行线的尺规作图，平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定： （1）根据平行线的尺规作图方法作图即可； （2）先证明，得到，再由平行线的性质得到，由线段中点的定义得到，则可证明，即可证明． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∴． 【变式训练3-3】（23-24七年级下·福建宁德·期中）如图，已知三角形，点E是上一点．    (1)尺规作图：在上找到一点F，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若，且平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，平行线的尺规作图： （1）如图所示，过点E作交于F，点F即为所求； （2）根据平行线的性质得到，再由角平分线的定义即可得到答案． 【规范解答】（1）解：如图所示，过点E作交于F，点F即为所求；    （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴．    【变式训练3-4】（22-23七年级下·浙江宁波·阶段练习）已知：如图，和上的一点P． (1)求作直线，使直线过点P且； (2)写出一对相等的同位角和一对互补的同旁内角． 【答案】(1)见解析 (2)相等的同位角为和互补的同旁内角为和． 【思路点拨】（1）根据平行线的尺规作图方法作图即可； （2）根据平行线的性质，同位角和同旁内角的定义进行求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ∴， ∴相等的同位角为和互补的同旁内角为和． 【考点评析】本题主要考查了平行线的尺规作图，平行线的性质，同位角，同旁内角的定义，熟知相关知识是解题的关键． 【变式训练3-5】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，点P为边上一点，请用尺规作图法，在边上求作一点Q，使得P、Q到的距离相等． 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质和平行线的尺规作图，过点P作交于Q，则点Q即为所求． 【规范解答】解：如图所示，过点P作交于Q，则点Q即为所求． 由平行线间间距相等可得P、Q到的距离相等． 【题型04 尺规作图——作三角形】 【易错题精讲】（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）（1）多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是几边形？ （2）如图，已知，，请用尺规作图，画出，使，，并证明． 【答案】（1）这个多边形是六边形；（2）见解析 【思路点拨】本题考查了多边形内外角的综合运用，尺规作图作一个三角形，使之与已知三角形全等，全等三角形的证明． （1）设这个多边形的边数为n，根据题意列出一元一次方程即可求解； （2）在的两边是分别截取，，连接即可；再利用证明这两个三角形全等即可． 【规范解答】解：（1）设这个多边形的边数为n，根据题意得：， 解得：； 即这个多边形是六边形； （2）在的两边是分别截取，，连接，则为所求作，如图； ∴，，， ∴， ∴． 【变式训练4-1】（23-24八年级上·河南开封·期末）如图，已知和一条长度为的线段，作一个以为底角，为腰长的等腰三角形的方法是：①连接；②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点；③在的两边上截取；④画射线，以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上截取，并以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点．以上画法正确的顺序是（　　） A．③④①② B．④③②① C．③④②① D．④③①② 【答案】C 【思路点拨】本题考查了尺规作图和等腰三角形的作图，解决本题的关键是理解等腰三角形的作图过程，根据尺规作等腰三角形的过程逐项判断即可解答． 【规范解答】解：已知和一条长度为的线段，作一个以为底角，为腰长的等腰三角形的方法是： ③在的两边上截取； ④画射线，以点为圆心，的长为半径画弧，在射线上截取，并以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点； ②以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点； ①连接． 即为所求作的三角形． 画法正确的顺序是③④②①， 故选C． 【变式训练4-2】（23-24八年级上·河北承德·期末）已知线段a，c，，求作：，使，，． 以下是排乱的作图步骤： 正确作图步骤的顺序是（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 【答案】B 【思路点拨】本题考查了三角形的基本作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键．根据基本作图，先作射线并在射线上截取，再作，接着在上截取，最后连接即可． 【规范解答】解：由作图步骤：先作射线并在射线上截取，再作，接着在上截取，最后连接， 则正确作图步骤的顺序是①③②④， 故选：B． 【变式训练4-3】（22-23七年级下·陕西宝鸡·期末）已知：线段，，，求作：，使，，． 【答案】见详解 【思路点拨】本题主要考查了作图-复杂作图，熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图是解题的关键． 作射线，在射线上顺次截取，分别以A，B为圆心，以b，a为半径画弧，两弧交于点C，连接，，则即为所求． 【规范解答】解：如图所示，即为所求； 【变式训练4-4】（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）尺规作图： 如图，线段和一副三角尺，其中． 求作：以线段为一条边作，使得．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查尺规作三角形，根据尺规作角的方法作出，即可．掌握尺规作角的方法，是解题的关键． 【规范解答】因为 所以 如图所示，即为所求． 【变式训练4-5】（23-24七年级下·重庆·期末）如图，已知线段a，b和． 求作：，使得，，．（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） 【答案】作图见解析 【思路点拨】此题考查作图能力：作一角等于已知角，截取线段长度等于已知线段长，掌握简单的作图方法是解题的关键．先作，再在角的两边分别截取，，，则，从而可得答案． 【规范解答】解：如图，即为所求作的三角形； 【变式训练4-6】．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）相传很久以前，为了显示谁的逻辑思维能力更强，古希腊人限制了几何作图的工具，结果一些普通的画图题，却让数学家们苦苦思索了两千年．可见，尺规作图有它特有的魅力，使无数人沉湎其中，在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规完成的作图，叫做尺规作图．请完成以下作图，不用写作法，保留合理的作图痕迹． 已知线段、，求作：，使、． 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查了尺规作图——作三角形，解题的关键是熟练掌握相关作图方法．作，在上截取，在上截取，连接即可． 【规范解答】解：作出，在上截取，在上截取，连接， ∴为所求三角形． 【题型05 结合尺规作图的全等问题】 【易错题精讲】（22-23八年级上·吉林长春·期中）【教材呈现】如图是华师版八年级上册65页的部分内容. 做一做 如图13.2.7，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形. 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种? 【探究问题】如图，，请你用圆规在 的另一边找到点 ，使，这样的点 有______个，说明符合条件的三角形有______种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形________全等． 【拓展思考】如图，已知 ，若且 ，，那么 一定是______三角形（从“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”三个答案选择）． 【答案】2；2；不一定；钝角 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定方法； （1）根据全等三角形的几种判定方法解答即可； （2）根据全等三角形的性质解答即可． 【规范解答】这样的点C有2个，说明符合条件的三角形有2种：我们可以发现，此时（即“边边角"对应相等）两个三角形不一定全等 【拓展思考】∵是钝角三角形， ∴一定是钝角三角形 【变式训练5-1】（21-22八年级上·河南南阳·期中）如图，已知∠MAB是锐角，，，．点C是射线AM上的一个动点．利用图形画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，BC长可选取的范围是 cm．若的形状、大小是唯一确定的，则BC的取值范围是 ． 【答案】 或 【思路点拨】当以B为圆心，BC为半径画弧，弧与AM有两个交点时，就符合题意；当BC=BN=1时，三角形是唯一的；当以B为圆心的圆画弧与AM有一个交点时即半径大于AB=2时也是符合题意的． 【规范解答】如图，当以B为圆心，BC为半径画弧，弧与AM有两个交点时，就符合题意， 此时； 故答案为：； 当BC=BN=1时，三角形是唯一的； 当以B为圆心的圆画弧与AM有一个交点时即半径大于AB=2时也是符合题意的． 故答案为：或． 【考点评析】本题考查了三角形的存在个数，熟练掌握三角形的基本作图是解题的关键． 【变式训练5-2】（22-23七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在所给正方形网格图中完成下列各题： (1)画出所有与格点（顶点均在格点上）全等的格点三角形，使它与有且只有一条公共边，你画出了______ 个符合要求的格点三角形，分别记作______ ； (2)在上画出点，使得的周长最小； (3)若网格上的最小正方形的边长为，直接写出的面积为______ ． 【答案】(1)；， (2)见详解 (3) 【思路点拨】本题考查作全等三角形的综合问题，轴对称最短问题以及利用网格求三角形的面积问题。 根据全等三角形的判定方法以及题目要求作出图形即可； 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，点即为所求； 把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【规范解答】（1）解：如图，，即为所求． 故答案为：，，； （2）如图，点即为所求； （3）的面积． 故答案为：． 【变式训练5-3】（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）（1）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法. 如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（    ） A．    B．   C．    D． （2）如图，直线a是一条公路，M，N是公路a同侧的两个居民区，现计划在公路a上修建一个公交候车亭O，及修建两居民区M，N之间的道路，为了使最短，请在图中作出点O的位置(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)． 【答案】（1）B；（2）见解析 【思路点拨】（1）本题考查了全等三角形的判定定理，三边对应相等的两个三角形全等，以及作一个角等于已知角，根据用尺规画一个角等于已知角的步骤，据此即可求解． （2）本题考查将军饮马模型，作关于直线a的对称点，连接与直线a交于点,根据对称的性质和两点之间线段最短，即可得到最短． 【规范解答】（1）解：根据做法可知：，，， ∴， 故选：B． （2）解：点O的位置如图所示： 【变式训练5-4】（22-23八年级上·吉林长春·期末）图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，边长均为1．在图①、图②中按下列要求各画一个三角形． 要求： (1)三角形的三个顶点都在格点上． (2)与全等，且位置不同． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）利用全等三角形的判定方法，画出图形即可； （2）利用全等三角形的判定方法，画出图形即可． 【规范解答】（1）如图，即为所求 （2）如图，即为所求 【考点评析】本题考查作图，全等三角形的判定的知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式训练5-5】（2021·湖南长沙·中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得≌． 作法：如图． （1）画； （2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： （1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴≌______． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号） ①AAS；②ASA；③SAS；④SSS 【答案】（1）；（2）④． 【思路点拨】（1）先根据作图可知，再根据三角形全等的判定定理即可得； （2）根据三边对应相等的两个三角形是全等三角形即可得． 【规范解答】（1）证明：由作图可知，在和中， ， ∴． 故答案为：． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是， 故答案为：④． 【考点评析】本题考查了利用定理判定三角形全等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$