专题1.2 全等三角形的解题模型（考题猜想，易错，好题必刷48题9种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（青岛版）

专题1.2 全等三角形的解题模型（易错、好题必刷48题9种题型专项训练） 目录 【题型01 一线三等角构造全等模型】 1 【题型02 手拉手模型—旋转型全等】 3 【题型03 倍长中线模型】 5 【题型04 平行线+线段中点构造全等模型】 8 【题型05 角平分线+垂直构造全等模型】 11 【题型06 正方形中的半角模型】 13 【题型07 等腰三角形中的半角模型】 17 【题型08 对角互补且一组邻边相等的半角模型】 19 【题型09 “边边角”模型】 23 【题型01 一线三等角构造全等模型】 【易错题精讲】如图，一块含的三角板的一个顶点与矩形的顶点重合，直角顶点落在边上，另一顶点恰好落在边的中点处，若，则的长为 　　． 【变式训练1-1】在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时， 求证：①； ②； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． 【变式训练1-2】在△中，，，过点作直线，于点，于点． （1）若在△外（如图，求证：； （2）若与线段相交（如图，且，，则　　． 【变式训练1-3】为了测量一幢6层高楼的层高，在旗杆与楼之间选定一点．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底的距离与旗杆的高度都等于12米，量得旗杆与楼之间距离为米，求每层楼的高度大约多少米？ 【题型02 手拉手模型—旋转型全等】 【易错题精讲】如图，，，三点在同一直线上，，添加下列条件仍不能证明的是　　 A． B． C． D． 【变式训练2-1】如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中不正确的有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个 【变式训练2-2】如图，两条互相垂直的直线、交于点，一块等腰直角三角尺的直角顶点在直线上，锐角顶点在直线上，是斜边的中点．已知，，则　　． 【变式训练2-3】如图，，点为的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：①；②；③四边形的面积保持不变；④的周长保持不变．其中说法正确的是 　 　 （填序号）． 【变式训练2-4】图是正方形网格图，点、、、、都是格点，则　 　 【变式训练2-5】【模型熟悉】 （1）如图1，已知和，点、、在一条直线上，且，，求证：； 【模型运用】 （2）如图2，在等边中，、分别为，边上的点，且，，连接．若，求证：； 【能力提升】 （3）如图3，等边的面积是25，，点、分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点从点运动到点，请在图3中作出点的运动轨迹，并求出点的运动路程． 【题型03 倍长中线模型】 【易错题精讲】（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长至点，使，连接，容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 　　． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）【初步运用】如图2，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长． （3）【拓展提升】如图3，在中，为的中点，分别交，于点，．求证：． 【变式训练3-1】如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，． （1）用等式表示与的数量关系，并证明； （2）当时， ①直接写出的度数为 　　； ②若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明． 【变式训练3-2】．如图，已知是中边上的中线，，，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式训练3-3】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．由此可证，从而得到，再根据三边关系得出取值范围． （1）小明解题过程中证出的依据是 　； ． ． ． ． 请参考小明的解题思路回答以下问题： （2）如图②，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长． 【变式训练3-4】数学课上，老师提出一个问题：如图1，已知等腰直角，，等腰直角，，连结，为中点，连结，，请探究线段，之间的关系． 小明通过思考，将此探究题分解成如下问题，逐步探究并应用．请帮助他完成： （1）如图1，延长至，使得，连结，则线段与线段的数量关系为 　　，位置关系为 　　； （2）如图2，延长交延长线于点，连结，．小明的思路是先证明△，进而得出与的关系，再继续探究．请判断线段，之间的关系，并根据小明的思路，写出完整的证明过程． （3）方法运用：如图3，等边与等边，点，在外部．，，连结，点为中点，连结，，若，请直接写出的值． 【变式训练3-5】如图，，，，． （1）如图1，、、之间的数量关系为 　　； （2）如图2，点为的中点，连接． ①求证：． ②判断与的位置关系，并说明理由． 【题型04 平行线+线段中点构造全等模型】 【易错题精讲】如图，已知点，为直线外两点，且在异侧，连接，分别过点作于点，过点作于点，点是线段上一点，连接交于点． （1）下列条件： ①点是的中点； ②点是的中点； ③点是的中点． 请从中选择一个能证明的条件，并写出证明过程； （2）若，且，，，求的长． 【变式训练4-1】【发现】如图①，点为线段，的中点，连接，，我们易得，进而可以得到，且． 【应用】如图②，在中，，，点为线段上一点，以为斜边作等腰直角（点，，按顺时针顺序排列），即，，取的中点，连接，，． （1）求的度数． （2）求证：． 【拓展】 （3）若将（2）中的点改为直线上一点，其他条件不变，设直线与直线相交于点，当，时，请直接写出的长． 【变式训练4-2】如图，点，分别为的边，上的点，连接并延长至，使，连接．若，，，则的长等于　　 A．1 B．2 C．3 D．5 【变式训练4-3】【感知】小亮遇到了这样一道题：已知如图①在中，，在上，在的延长线上，交于，且，求证：，小亮仔细分析了题中的已知条件后，如图②过点作交于，进而解决了该问题．（不需证明） 【探究】如图③，在四边形中，，为边的中点，，与的延长线相交于点．试探究线段与、之间的数量关系，并证明你的结论． 【应用】如图④，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若，，，则的长为　　． 【变式训练4-4】如图，于点，于点，点是中点，若，，，求的长． 【题型05 角平分线+垂直构造全等模型】 【易错题精讲】如图，的面积为，平分，于，连接，则的面积为　　 A． B． C． D． 【变式训练5-1】如图，，分别是，上的点，过点作于点，作于点，若，，则下面三个结论：①；②；③，正确的是　　 A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【变式训练5-2】如图，为的外角平分线上一点并且垂直平分交于点，过作于，交的延长线于，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练5-3】如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）联结，求证：． 【变式训练5-4】已知：如图，在中，，、分别为、上的点，且、交于点．若、为的角平分线． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【题型06 正方形中的半角模型】 【易错题精讲】已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，． （1）当绕点旋转到时（如图，求证：； （2）当绕点旋转到时（如图，则线段，和之间数量关系是 　　； （3）当绕点旋转到如图3的位置时，猜想线段，和之间又有怎样的数量关系呢？并对你的猜想加以说明． 【变式训练6-1】（1）如图1的正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接，．求证：； （2）如图2，等腰中，，，点，在边上，且．若，，求的长． 【变式训练6-2】把一个含的三角板的锐角顶点与正方形的顶点重合，然后把三角板绕点顺时针旋转，它的两边分别交直线、于点、． （1）当三角板绕点旋转到图（1）的位置时，求证：． （2）当三角板绕点旋转到图（2）的位置时，试判断线段、、之间具有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 【变式训练6-3】．已知正方形中，，且的两边分别交、于点、．试猜想线段、和之间的数量关系，写出猜想，并加以证明． 【变式训练6-4】阅读下列学习内容： （1）如图1，在四边形中，，，，，分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 探究思路如下：延长到点，使，连接． 则由探究结果知，图中线段、、之间的数量关系为 　　． （2）根据上面的方法，解决问题： 如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且， 上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，若，，请求出线段的长度． 【题型07 等腰三角形中的半角模型】 【易错题精讲】如图，等腰直角三角形中，，，点，在边上，且．若，，则的长为 　　． 【变式训练7-1】如图，中，，，、为边上两点，，过点作，且，连接、．下列结论：①，②平分；③若，，则；④若，，其中正确的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练7-1】旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题．已知，中，，，点、在边上，且． （1）如图，当时，将绕点顺时针旋转到的位置，连结． ①　　；②求证：； （2）如图，当时，猜想、、的数量关系，并说明理由． 【变式训练7-2】如图，是等边三角形，是边上一点（点不与点，重合），作，使角的两边分别交边，于点，，且． （1）如图①，若，则　　度； （2）如图②，是边上一点（点不与点，重合），求证：； （3）如图③，若是边的中点，且，则四边形的周长为 　　． 【变式训练7-3】如图，在中，，点、在上，． （1）如图1所示，求证：； （2）如图2所示，若点为线段的中点，，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有与相等的线段． 【题型08 对角互补且一组邻边相等的半角模型】 【易错题精讲】（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　 ； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　． 【变式训练8-1】【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是 　　 ． 【探索延伸】 在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【变式训练8-2】如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边、分别交、于点、，连接交于点，以下五个结论：①；②；③和互补；④是等腰直角三角形；⑤四边形的面积是面积的，其中正确的结论是　　 A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 【变式训练8-3】【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容． 已知：如图13.5.4，是的平分线，是上任意一点，，，垂足分别为点和点． 求证：． 分析： 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等便可证得． 【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明的过程． 【类比探究】 （1）如图②，是的平分线，是上任意一点，点，分别在和上，连接和，若，求证：； （2）如图③，的周长是12，、分别平分和，于点，若，则的面积为 　18　． 【变式训练8-4】“截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形中，，，，，分别是，上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系．探究的方法是，延长到点．使，连接，先证明，再证明，可得出的结论是　　． 探索问题： （2）如图2，若四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 【题型09 “边边角”模型】 【易错题精讲】某同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合． （1）求证：； （2）求两堵木墙之间的距离． 【变式训练9-1】数学课外活动小组外出社会实践，发现一块四边形草坪，经过实地测量，并记录数据，画出如图的四边形，其中米，米，． （1）求证：； （2）求四边形草坪造型的面积． 【变式训练9-2】如图，在长方形中，，点在线段上，且，动点在线段上，从点出发以的速度向点运动，同时点在线段上，以的速度由点向点运动，当与全等时，的值为 　　． 【变式训练9-3】如图，在东西走向的铁路上有，两站，在，的正北分别有，两个棉花种植场，其中到站的距离为25千米，到站的距离为15千米，在铁路上有一个棉花加工厂，棉花种植场，到的距离相等，且，则，两站的距离为 　　千米． 【变式训练9-4】如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 【变式训练9-5】如图，点，，，在直线上（点，之间不能直接测量），点，在的异侧，，，测得，． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 全等三角形的解题模型（易错、好题必刷48题9种题型专项训练） 目录 【题型01 一线三等角构造全等模型】 1 【题型02 手拉手模型—旋转型全等】 6 【题型03 倍长中线模型】 15 【题型04 平行线+线段中点构造全等模型】 29 【题型05 角平分线+垂直构造全等模型】 39 【题型06 正方形中的半角模型】 45 【题型07 等腰三角形中的半角模型】 56 【题型08 对角互补且一组邻边相等的半角模型】 64 【题型09 “边边角”模型】 75 【题型01 一线三等角构造全等模型】 【易错题精讲】如图，一块含的三角板的一个顶点与矩形的顶点重合，直角顶点落在边上，另一顶点恰好落在边的中点处，若，则的长为 　8　． 【思路点拨】利用矩形和等腰直角三角形性质可证得：，得出：，，由点是的中点，可得，再由，可得，即可求得答案． 【规范解答】解：四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 点是的中点， ， ， ， ， ， 故答案为：8． 【考点评析】本题考查了矩形性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【变式训练1-1】在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时， 求证：①； ②； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． 【思路点拨】（1）直角三角形中斜边对应相等，即可证明全等，再由线段对应相等，得出②中结论； （2）由图可知，与仍全等，但线段的关系已发生改变． 【规范解答】（1）证明：①，， ． 在和中， ， ． ②， ，． ． （2）成立，．不成立，此时应有． 证明：，， ． 又，， ． ，． ． 【考点评析】本题考查了三角形全等的判定及性质；熟练掌握全等三角形的性质和判定，此题作为选择或填空很容易漏掉后一问，注意运用． 【变式训练1-2】在△中，，，过点作直线，于点，于点． （1）若在△外（如图，求证：； （2）若与线段相交（如图，且，，则　1.5　． 【思路点拨】（1）利用互余关系证，再证△△，得到，，即可得出结论； （2）类似于（1）可证△△，得，，即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：，， ． ，， ，， ． 在△和△中， ， △△， ，． ， ． （2）解：于，， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ，， ， 故答案为：1.5． 【考点评析】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式训练1-3】为了测量一幢6层高楼的层高，在旗杆与楼之间选定一点．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底的距离与旗杆的高度都等于12米，量得旗杆与楼之间距离为米，求每层楼的高度大约多少米？ 【思路点拨】根据题意可得：，，从而可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而可得，然后根据证明，从而利用全等三角形的性质可得米，最后进行计算即可解答． 【规范解答】解：由题意得：，， ， ， ， ， ， 米，米， （米， 在和中， ， ， 米， 每层楼的高度（米， 每层楼的高度大约为3米． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【题型02 手拉手模型—旋转型全等】 【易错题精讲】如图，，，三点在同一直线上，，添加下列条件仍不能证明的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据全等三角形的判定方法，即可解答． 【规范解答】解：、，，， ， 故不符合题意； 、，，， ， 故不符合题意； 、，，， ， 故不符合题意； 、，，， 和不一定全等， 故符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【变式训练2-1】如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中不正确的有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个 【思路点拨】延长交于点，交于点，根据等式的性质可得，从而利用证明，进而可得，，再根据已知可得，从而可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而利用三角形内角和定理可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得，最后根据对顶角相等可得，从而可得，从而利用三角形内角和定理可得：，即可解答． 【规范解答】解：延长交于点，交于点， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 所以，上列结论，其中不正确的有0个， 故选：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式训练2-2】如图，两条互相垂直的直线、交于点，一块等腰直角三角尺的直角顶点在直线上，锐角顶点在直线上，是斜边的中点．已知，，则　　． 【思路点拨】利用等腰三角形的三线合一想到连接，根据已知可得，，因为，想到构造手拉手旋转性全等，所以过点作，交直线于点，证明，可得，，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【规范解答】解：连接，过点作，交直线于点， ， 是等腰直角三角形，， ， 是斜边的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 的面积， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式训练2-3】如图，，点为的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：①；②；③四边形的面积保持不变；④的周长保持不变．其中说法正确的是 　①②③　（填序号）． 【思路点拨】根据角平分线上的点到角的两边距离相等，想到过点作，垂足为，过点作，垂足为，证明，，即可解答． 【规范解答】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ，， ， ， ， ， ， ， 平分，，， ， ， ， ，， 故①正确； ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 故②正确； ， 四边形的面积四边形的面积， 四边形的面积保持不变， 故③正确； ，， 是等边三角形， 的长度是变化的， 的周长是变化的， 故④错误； 所以，说法正确的是：①②③， 故答案为：①②③． 【考点评析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握手拉手模型旋转型全等是解题的关键． 【变式训练2-4】图是正方形网格图，点、、、、都是格点，则　45　 【思路点拨】作，连接，，可证，所以，，即是等腰直角三角形，所以即为所求． 【规范解答】解：， 作，连接， ， ， ，，， ， ，， ， ， 即， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：45． 【考点评析】本题考查了等腰直角三角形，关键是作辅助线将转化成． 【变式训练2-5】【模型熟悉】 （1）如图1，已知和，点、、在一条直线上，且，，求证：； 【模型运用】 （2）如图2，在等边中，、分别为，边上的点，且，，连接．若，求证：； 【能力提升】 （3）如图3，等边的面积是25，，点、分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点从点运动到点，请在图3中作出点的运动轨迹，并求出点的运动路程． 【思路点拨】（1）证即可得证； （2）在上截取构造，从而证出，，再用线段和差即可得证； （3）类比探究，根据前问思路，构造“一线三等角”的全等，证明平分，即可得出点的运动轨迹，再利用面积法求出的长度即可． 【规范解答】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ． （2）证明：在上截取，连接， ， ， ， ，且， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即， ． （3）解：如图，在上截取，连接， ，且， ， 是等边三角形， ，， ，且， ， ， ，， ， ， ， 平分， 如图所示，点在的内角的角平分线上上运动． 点的运动路程也就是的长度， 是等边三角形，是角平分线， ， ， ， ， 即点的运动路程为． 【考点评析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题的关键． 【题型03 倍长中线模型】 【易错题精讲】（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法，延长至点，使，连接，容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 　　． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）【初步运用】如图2，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长． （3）【拓展提升】如图3，在中，为的中点，分别交，于点，．求证：． 【思路点拨】（1）先判断出，得出，最后用三角形的三边关系计算； （2）延长到，使，连接，证明，根据全等三角形的性质解答； （3）延长到点，使，连接、、，先证明，得，根据三角形的三边关系得，则，由垂直平分得，所以． 【规范解答】（1）解：延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）延长到，使，连接，如图2， 是中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； （3）证明：如图3，延长到点，使，连接、， 是边上的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， 垂直平分， ， ． 【考点评析】此题是三角形综合题，主要考查三角形的中线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段的垂直平分线的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【变式训练3-1】如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，． （1）用等式表示与的数量关系，并证明； （2）当时， ①直接写出的度数为 　　； ②若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明． 【思路点拨】（1）利用证明，即可得出答案； （2）①由三角形内角和定理知，再利用角度之间的转化对进行转化，，从而解决问题； ②延长到，使，连接，，得出四边形为平行四边形，则且，再利用证明△，得． 【规范解答】解：（1）， 证明：是等边三角形， ，， 将线段绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ； （2）①当时， 则， ， ， ， 故答案为：； ②，理由如下： 延长到，使，连接，， 为的中点， ， 四边形为平行四边形， 且， ，， 又， ， ， 又，， △， ， 又为正三角形， ， ． 【考点评析】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键． 【变式训练3-2】．如图，已知是中边上的中线，，，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】延长到，使，连接，先证，得，再由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，然后即可得解． 【规范解答】解：如图，延长到，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ， 即， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质等知识；遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 【变式训练3-3】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．由此可证，从而得到，再根据三边关系得出取值范围． （1）小明解题过程中证出的依据是 　　； ． ． ． ． 请参考小明的解题思路回答以下问题： （2）如图②，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长． 【思路点拨】（1）根据三角形的中线定义可得，然后利用证明，即可解答； （2）延长到点，使，连接，根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的中线定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，，进而可得，再根据对顶角相等可得，从而可得，最后根据等角对等边可得，从而可得，即可解答． 【规范解答】解：（1）是边的中线， ， 在和中， ， ， 小明解题过程中证出的依据是， 故答案为：； （2）延长到点，使，连接， ， ， 是边的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 线段的长为7． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式训练3-4】数学课上，老师提出一个问题：如图1，已知等腰直角，，等腰直角，，连结，为中点，连结，，请探究线段，之间的关系． 小明通过思考，将此探究题分解成如下问题，逐步探究并应用．请帮助他完成： （1）如图1，延长至，使得，连结，则线段与线段的数量关系为 　　，位置关系为 　　； （2）如图2，延长交延长线于点，连结，．小明的思路是先证明△，进而得出与的关系，再继续探究．请判断线段，之间的关系，并根据小明的思路，写出完整的证明过程． （3）方法运用：如图3，等边与等边，点，在外部．，，连结，点为中点，连结，，若，请直接写出的值． 【思路点拨】（1）证△，得，，再由平行线的判定得；即可； （2）证△，得，，再证，然后由等腰直角三角形的性质即可得出结论； （3）过点作交的延长线于点，连接，由含角的直角三角形的性质和勾股定理得，，，再证是的中位线，得，进而由勾股定理的逆定理证是直角三角形，且，然后证，得，，延长交于点，则，，进而由勾股定理得，，即可得出结论． 【规范解答】解：（1）为中点， ， 在和△中， ， △， ，， ， 故答案为：，； （2），，证明如下： 由（1）可知，，， ， ， ， 由题意可知，， ， ， ， 在和△中， ， △， ，， ， 即， ， ，， 即，； （3）如图3，过点作交的延长线于点，连接， 和是等边三角形， ，，， 在中，， ， ， ，， 点为中点， 是的中位线， ， ，， ， 是直角三角形，且， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 即平分， 延长交于点， 则，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即的值为． 【考点评析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、三角形中位线定理、含角的直角三角形的性质、平行线的判定与性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 【变式训练3-5】如图，，，，． （1）如图1，、、之间的数量关系为 　　； （2）如图2，点为的中点，连接． ①求证：． ②判断与的位置关系，并说明理由． 【思路点拨】（1）证明，则可得出结论； （2）①延长至，使，连接，证明，得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； ②延长交于点，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论． 【规范解答】（1）解：，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）①证明：延长至，使，连接， 为的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ； ②解：， 延长交于点， ， ， ， ， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，正确作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 【题型04 平行线+线段中点构造全等模型】 【易错题精讲】如图，已知点，为直线外两点，且在异侧，连接，分别过点作于点，过点作于点，点是线段上一点，连接交于点． （1）下列条件： ①点是的中点； ②点是的中点； ③点是的中点． 请从中选择一个能证明的条件，并写出证明过程； （2）若，且，，，求的长． 【思路点拨】（1）根据全等三角形的判定定理，由选择已知条件，证明即可； （2）由（1）可知，求出和，再利用勾股定理进行解答即可． 【规范解答】解：（1）选择②③， 选②时：，， ， ，， 是中点， ， 在和中， ， ， ； 选③时：，， ， ，， 点是中点， ， 在和中， ， ， ； （2），，，， ，， ，， ， ． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理和平行线的判定和性质，解题根据是熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理和平行线的判定和性质． 【变式训练4-1】【发现】如图①，点为线段，的中点，连接，，我们易得，进而可以得到，且． 【应用】如图②，在中，，，点为线段上一点，以为斜边作等腰直角（点，，按顺时针顺序排列），即，，取的中点，连接，，． （1）求的度数． （2）求证：． 【拓展】 （3）若将（2）中的点改为直线上一点，其他条件不变，设直线与直线相交于点，当，时，请直接写出的长． 【思路点拨】（1）由等腰直角三角形的性质得出，则可得出答案； （2）延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，由等腰三角形的性质可得出结论； （3）当点在线段上时，如图②，在上截取，连接，，由（2）可知，证明，得出，，证明，由全等三角形的性质得出，，证出，设，则，由勾股定理可得出答案；当点在的延长线上时，同理可得出答案． 【规范解答】（1）解：，， ， ； （2）证明：延长至，使，连接， 由【发现】可知，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 即是等腰直角三角形， 为的中点， ； （3）解：当点在线段上时，如图②，在上截取，连接，， 由（2）可知， 又， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， 由（2）知为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 为的中点， ， 设，则， ， ， ； 如图③，当点在的延长线上时，， ，， 由（2）可知， 同理可知， 设， ， ， ， ． 综上所述，的长为5或10． 【考点评析】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式训练4-2】如图，点，分别为的边，上的点，连接并延长至，使，连接．若，，，则的长等于　　 A．1 B．2 C．3 D．5 【思路点拨】由得，，再利用证明，得，从而解决问题． 【规范解答】解：， ， 在与中， ， ， ， ， ， 又， ， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，证明是解题的关键． 【变式训练4-3】【感知】小亮遇到了这样一道题：已知如图①在中，，在上，在的延长线上，交于，且，求证：，小亮仔细分析了题中的已知条件后，如图②过点作交于，进而解决了该问题．（不需证明） 【探究】如图③，在四边形中，，为边的中点，，与的延长线相交于点．试探究线段与、之间的数量关系，并证明你的结论． 【应用】如图④，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若，，，则的长为　　． 【思路点拨】【探究】分别延长、，交于点，根据已知条件可以得到，由此得到，又，，利用平行线的性质和等腰三角形的判定定理可以证明，即可得出结论． 【应用】延长交的延长线于．只要证明，推出，再根据线段的垂直平分线的性质，即可解决问题． 【规范解答】【探究】解：． 如图1，分别延长、，交于点， ， ，， 为边的中点， ， ， ， 又， 而， ， ， ． 【应用】解：如图2，延长交的延长线于． 四边形是正方形， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【考点评析】本题是四边形综合题，考查正方形的性质、三角形的中线、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式训练4-4】如图，于点，于点，点是中点，若，，，求的长． 【思路点拨】延长交于点，根据垂直定义可得，从而可得，然后利用平行线的性质可得，从而根据证明，再利用全等三角形的性质可得，，从而可得，最后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【规范解答】解：延长交于点， ，， ， ， ， 点是中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在中，， ， 的长为12． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【题型05 角平分线+垂直构造全等模型】 【易错题精讲】如图，的面积为，平分，于，连接，则的面积为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据已知条件证得，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出，代入求出即可． 【规范解答】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等． 【变式训练5-1】如图，，分别是，上的点，过点作于点，作于点，若，，则下面三个结论：①；②；③，正确的是　　 A．①③ B．②③ C．①② D．①②③ 【思路点拨】根据角平分线的判定，先证是的平分线，再证，可证得，成立． 【规范解答】解：连接， ， 是的平分线， ，①正确． ， ，②正确． 只是过点，并没有固定，明显③不成立． 故选：． 【考点评析】本题主要考查三角形全等的判定方法，以及角平分线的判定和平行线的判定，难度适中． 【变式训练5-2】如图，为的外角平分线上一点并且垂直平分交于点，过作于，交的延长线于，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】（1）在直角三角形中，利用可以证明； （2）根据，可以得到对应边相等，然后证明； （3）在直角三角形中，利用勾股定理，推导出； （4）利用余角和补角之间的关系，可以得出和之间的关系； （5）在直角三角形中斜边大于直角边，可以推导出． 【规范解答】解：（1）平分，，， ， 在和中， ， ， 又垂直平分交于点， ， 在和中， ， 故结论①符合题意； （2）， ， ，， ， 故结论②符合题意； （3）垂直平分， ，， 又，， ， 故结论③符合题意； （4）， ， ， ， 故结论④不符合题意； （5）， ， ，，， ， ， 在直角中，是斜边，是直角边， ， ， 故结论⑤符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查的重点是直角三角形全等的证明，线段的垂直平分线和角平分线的运用，学会灵活运用全等三角形知识构建边角之间的关系． 【变式训练5-3】如图，和的平分线交于点，过作交的延长线于点，交于点． （1）求证：； （2）联结，求证：． 【思路点拨】（1）过点作于点，利用角平分线的性质即得证； （2）通过证明即可． 【规范解答】证明：（1）如图，过点作于点， 平分，，， ， 平分，，， ， ． （2），， ， 再和中， ， ， ． 【考点评析】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【变式训练5-4】已知：如图，在中，，、分别为、上的点，且、交于点．若、为的角平分线． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【思路点拨】（1）由题意，根据，即可解决问题； （2）在上截取，连接．只要证明，推出，，再证明，推出，由此即可解决问题． 【规范解答】解：（1）、分别为的角平分线， ，， ， ； （2）在上截取，连接． 、分别为的角平分线 ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． 【题型06 正方形中的半角模型】 【易错题精讲】已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，． （1）当绕点旋转到时（如图，求证：； （2）当绕点旋转到时（如图，则线段，和之间数量关系是 　　； （3）当绕点旋转到如图3的位置时，猜想线段，和之间又有怎样的数量关系呢？并对你的猜想加以说明． 【思路点拨】（1）过作于，根据全等求出，，求出，根据角平分线的性质求出，再求出答案即可； （2）证法与（1）类似，延长到，使，连接，根据证，推出，，求出，根据证出即可； （3）在上截取，连接，根据证，推出，，求出，根据证出即可． 【规范解答】（1）证明：如图1，过作于， 四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ，， ， ，， ， 即， ； （2）解：线段，和之间数量关系是，理由如下： 延长至，使得，连接， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：； （3），理由如下： 如图3，在上截取，连接， 由（1）知， ，， ， ， ． 在和中， ， ， ， 即， ． 【考点评析】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，此题比较典型，具有一定的代表性，且证明过程类似，同时通过做此题培养了学生的猜想能力和类比推理能力． 【变式训练6-1】（1）如图1的正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接，．求证：； （2）如图2，等腰中，，，点，在边上，且．若，，求的长． 【思路点拨】（1）证，，根据全等三角形的性质求出即可； （2）过点作，垂足为点，截取，使．连接、．通过证明推知全等三角形的对应边、对应角；然后由等腰直角三角形的性质和得到，所以，故全等三角形的对应边；最后由勾股定理得到即． 【规范解答】（1）证明：在正方形中， ，， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图，过点作，垂足为点，截取，使．连接、． ，，． ，． 在和中， ， ． ，． ，， ． 于是，由， 得． 在和中， ， ． ． 在中，由勾股定理，得． ． ，， ， ． 【考点评析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题； 【变式训练6-2】把一个含的三角板的锐角顶点与正方形的顶点重合，然后把三角板绕点顺时针旋转，它的两边分别交直线、于点、． （1）当三角板绕点旋转到图（1）的位置时，求证：． （2）当三角板绕点旋转到图（2）的位置时，试判断线段、、之间具有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 【思路点拨】（1）延长到，使，连接，先利用“”可判断，则，，由于，则得到，然后再根据“”证明，则，即，所以； （2）在上截取，与（1）一样先证明，得到，，再利用“”证明，得到，而，所以． 【规范解答】 （1） 证明 （2） ：延长到，使，连接，如图（1）， 四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，即， ； （2）解：．理由如下： 在上截取，如图（2）， 与（1）一样可证明， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 而， ， 即． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“”、“ ”、“ ”、“ ”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰三角形的性质．也考查了正方形的性质． 【变式训练6-3】．已知正方形中，，且的两边分别交、于点、．试猜想线段、和之间的数量关系，写出猜想，并加以证明． 【思路点拨】延长到，使，连接，根据证，推出，，求出，根据证出，从而得到． 【规范解答】解：． 理由：如图，延长至使得，连接， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，掌握此类问题辅助线的作法是解题的关键． 【变式训练6-4】阅读下列学习内容： （1）如图1，在四边形中，，，，，分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 探究思路如下：延长到点，使，连接． 则由探究结果知，图中线段、、之间的数量关系为 　　． （2）根据上面的方法，解决问题： 如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且， 上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）如图3，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，若，，请求出线段的长度． 【思路点拨】（1）根据三角形的全等可得出线段、、之间的数量关系； （2）延长到点．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）旋转至位置，证明，得到，即可解答． 【规范解答】解：（1）； （2）结论仍然成立； 理由：延长到点．使．连接，如图2， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （3）四边形中，，， 四边形是正方形， 如图3，旋转至位置， ，，， 在和中， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 【题型07 等腰三角形中的半角模型】 【易错题精讲】如图，等腰直角三角形中，，，点，在边上，且．若，，则的长为 　　． 【思路点拨】将逆时针旋转得到，连接，由条件可以得出为直角三角形，利用勾股定理就可以求出，通过证明三角形全等就可以，求出即可． 【规范解答】解：将逆时针旋转到，连接， ，，．， 是等腰直角三角形，，， ， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ，， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了旋转的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定与性质，能正确作出辅助线是解此题的关键，难度适中． 【变式训练7-1】如图，中，，，、为边上两点，，过点作，且，连接、．下列结论：①，②平分；③若，，则；④若，，其中正确的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据已知可得，然后利用可判断①，利用等腰直角三角形的半角模型可证明，从而可判断②平分，根据①可得，，然后利用勾股定理求出的长，进行求出的长，从而可判断③若，，则，根据，易得，然后再求出，最后证明，可得，所以，然后进行计算即可判断④若，． 【规范解答】解：， ， ， ， ， ，， ， 故①正确； ，， ， ， ，， ， ， 平分， 故②正确； 在中，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故③正确； ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故④错误； 综上所述，正确的个数有3个， 故选：． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形中的半角模型是解题的关键． 【变式训练7-1】旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题．已知，中，，，点、在边上，且． （1）如图，当时，将绕点顺时针旋转到的位置，连结． ①　　；②求证：； （2）如图，当时，猜想、、的数量关系，并说明理由． 【思路点拨】（1）①先求出，再求出，即可求出答案； ②用判断出，即可得出结论； （2）将绕点顺时针旋转到的位置，连结，得出，，进而判断出，得出，，再判断出，用勾股定理，即可得出结论． 【规范解答】（1）①解：由旋转知，，，， ，， ， ， ， 故答案为：； ②证明：由①知，，， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图， 将绕点顺时针旋转到的位置，连结， ，， ， ， ，， 在中，， ， ，根据勾股定理得，， ， 同（1）②的方法得，， ． 【考点评析】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，判断出是解本题的关键． 【变式训练7-2】如图，是等边三角形，是边上一点（点不与点，重合），作，使角的两边分别交边，于点，，且． （1）如图①，若，则　90　度； （2）如图②，是边上一点（点不与点，重合），求证：； （3）如图③，若是边的中点，且，则四边形的周长为 　　． 【思路点拨】（1）由等边三角形性质知，根据，知，据此可得答案． （2）由，且知，据此证可得答案． （3）先得出，再由（2）知，据此得，，结合知是等边三角形，得出，再进一步求解可得答案． 【规范解答】解：（1）是等边三角形， ， ，即，， ， ， 故答案为：90； （2）是等边三角形， ， ，且， ， 在和中， ， ， ； （3）是等边三角形，， ，， 为中点，且， ， 由（2）知， ，， ， 是等边三角形， ， 则四边形的周长为， 故答案为：4． 【考点评析】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质及四边形的周长公式等知识点． 【变式训练7-3】如图，在中，，点、在上，． （1）如图1所示，求证：； （2）如图2所示，若点为线段的中点，，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有与相等的线段． 【思路点拨】（1）过作于，利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）根据直角三角形的性质和等边三角形的判定解答即可． 【规范解答】证明：（1）过作于， 在与中， ， ， ， 同理可得，， ， ； （2）由（1）可得，， 点为线段的中点，， ， ， 相等的线段是，，，． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质等相关知识点；作辅助线构建全等三角形是解题的关键． 【题型08 对角互补且一组邻边相等的半角模型】 【易错题精讲】（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　． 【思路点拨】（1）如图1，延长到，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）如图2，同理可得：； （3）如图3，作辅助线，构建，同理证明和．可得新的结论：． 【规范解答】解：（1）如图1，延长到，使，连接． 在与中， ， ． ，， ． ． 又， 易证． ． ． （2）（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ． ． ． （3）当（1）结论成立， 当图三中，或． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． 在与中， ， ． ，． ． ． ， ． ． 同理可得： ． 故答案为：（1）；（2）成立；（3）或或． 【考点评析】本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出，本题的4个问题运用了类比的方法依次解决问题． 【变式训练8-1】【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是 　　． 【探索延伸】 在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【思路点拨】探索延伸：延长到，使，连接，证明和，得到答案； 结论运用：连接，延长、交于点，得到，根据距离、速度和时间的关系计算即可． 【规范解答】解：初步探索：， 故答案为：， 探索延伸：结论仍然成立， 证明：如图2，延长到，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 结论运用：解：如图3，连接，延长、交于点， ， ， ， ， ， 符合探索延伸中的条件 结论成立， 即海里， 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 【考点评析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意要正确作出辅助线． 【变式训练8-2】如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边、分别交、于点、，连接交于点，以下五个结论：①；②；③和互补；④是等腰直角三角形；⑤四边形的面积是面积的，其中正确的结论是　　 A．①②③ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 【思路点拨】利用证明，得，则是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可对结论逐一进行判断． 【规范解答】解：，， ， 故①正确； 点为的中点，，， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， 四边形的面积为， 故④正确，⑤不正确； ， 和互补， 故③正确； 不是定长，故②不正确． 正确的有：①③④， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 【变式训练8-3】【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容． 已知：如图13.5.4，是的平分线，是上任意一点，，，垂足分别为点和点． 求证：． 分析： 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等便可证得． 【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明的过程． 【类比探究】 （1）如图②，是的平分线，是上任意一点，点，分别在和上，连接和，若，求证：； （2）如图③，的周长是12，、分别平分和，于点，若，则的面积为 　18　． 【思路点拨】【问题解决】利用定理证明，根据全等三角形的性质证明结论； 【类比探究】（1）过点作于，于，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过作与，于，利用角平分线的性质可得，，然后再利用面积的计算方法可得答案． 【规范解答】【问题解决】证明：在和中， ， ， ； 【类比探究】（1）证明：如图②，过点作于，于， 是的平分线，，， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：过作与，于， 、分别平分和， ，， ， ， 的周长是12， ， 的面积：， 故答案为：18． 【考点评析】本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质、三角形全等的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【变式训练8-4】“截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形中，，，，，分别是，上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系．探究的方法是，延长到点．使，连接，先证明，再证明，可得出的结论是　　． 探索问题： （2）如图2，若四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 【思路点拨】（1）延长到点．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）延长到点．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题． 【规范解答】证明：（1）在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）解：结论仍然成立； 理由：延长到点．使．连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键． 【题型09 “边边角”模型】 【易错题精讲】某同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合． （1）求证：； （2）求两堵木墙之间的距离． 【思路点拨】（1）根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可； （2）利用全等三角形的性质进行解答． 【规范解答】（1）证明：由题意得：，，，， ， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：由题意得：，， ， ，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 【考点评析】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 【变式训练9-1】数学课外活动小组外出社会实践，发现一块四边形草坪，经过实地测量，并记录数据，画出如图的四边形，其中米，米，． （1）求证：； （2）求四边形草坪造型的面积． 【思路点拨】（1）利用全等三角形的判定方法，结合三边关系得出答案； （2）直接利用全等三角形的性质以及直角三角形中30度所对边与斜边的关系的得出对应边长，进而得出答案． 【规范解答】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：过点作于点， 米，， 米， （平方米）， 则（平方米）， 草坪造型的面积为：（平方米）． 【考点评析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 【变式训练9-2】如图，在长方形中，，点在线段上，且，动点在线段上，从点出发以的速度向点运动，同时点在线段上，以的速度由点向点运动，当与全等时，的值为 　2或　． 【思路点拨】当与全等时，有两种情况：①当时，，②当时，，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可． 【规范解答】当与全等时，有两种情况： ①当时，， ，， ，， ； 动点在线段上，从点出发以的速度向点运动， 点和点的运动时间为：， 的值为：； ②当时，， ，， ，， ， ， 故答案为：2或． 【考点评析】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 【变式训练9-3】如图，在东西走向的铁路上有，两站，在，的正北分别有，两个棉花种植场，其中到站的距离为25千米，到站的距离为15千米，在铁路上有一个棉花加工厂，棉花种植场，到的距离相等，且，则，两站的距离为 　40　千米． 【思路点拨】由证得，则其对应边相等：，由此得到． 【规范解答】解：由题意知，，千米，，千米． 在与中， ． ． 千米． ， 千米． 故答案为：40． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的应用，用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． 【变式训练9-4】如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 【思路点拨】（1）通过三角形全等得到对应角相等，得出平分； （2）利用平行线的性质确定，再利用角平分线性质求出的度数． 【规范解答】解：（1）连接，， 由作图过程可知，， ， ， ， 平分． （2）， ， 又， ， 由（1）知平分，即， ． 【考点评析】本题考查了三角形全等的判定、角平分线的性质和平行线的性质，做题关键是掌握三角形全等的判定、角平分线的性质和平行线的性质． 【变式训练9-5】如图，点，，，在直线上（点，之间不能直接测量），点，在的异侧，，，测得，． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【思路点拨】（1）先证明，再根据即可证明，则根据该全等三角形的对应边相等求得答案； （2）根据全等三角形的对应边相等即可解答． 【规范解答】解：（1）， ． ， ，即， 在与中 ， ． ． （2）， ， ， ， ，， ． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$