专题1.1 全等三角形的判定（考题猜想，易错、好题必刷题61题11种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（青岛版）

专题1.1 全等三角形的判定（易错、好题必刷61题11种题型专项训练） 目录 【题型01 用SSS证明三角形全等】 1 【题型02 全等的性质与SSS综合】 4 【题型03 用SAS证明三角形全等】 8 【题型04 全等的性质与SAS综合】 10 【题型05 用ASA（AAS）证明三角形全等】 13 【题型06 全等的性质和ASA（AAS）综合】 17 【题型07 用HL证明全等】 19 【题型08 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）】 22 【题型09 全等的性质与HL综合】 24 【题型10 灵活运用判定方法证明全等（全等三角形的判定综合）】 28 【题型11 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合）】 31 【题型01 用SSS证明三角形全等】 【易错题精讲】（22-23八年级上·山东临沂·期中）如图，在长方形中，于E，交于F，连接． (1)图中有全等三角形吗？ (2)图中有面积相等但不全等的三角形吗？ 【变式训练1-1】（23-24八年级上·山西长治·期中）如图，在中，，分别以为一边，向外作和，若,，则的度数为 ．    【变式训练1-2】（22-23八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在4×4的正方形网格中，点A、B、C均为小正方形的顶点，用于刻度的直尺作图，不写作法，保留作图痕迹； (1)在图1中，作与全等（点D与点C不重合）； (2)在图2中，作的高； (3)在图3中，作（点F为小正方形的顶点，且不与点B重合）． 【变式训练1-3】（20-21八年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形网格上有一个． （1）画一个与全等的．要求其顶点均在格点上，与有且只有一个公共顶点．（不写作法） （2）作边上的高（不写作法）． （3）若网格上的最小正方形边长为1，则的面积为________． 【变式训练1-4】（19-20八年级上·湖南邵阳·期中）【初步探索】 （1） 如图1， 在四边形中， ， E， F分别是上的点， 且， 探究图中之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长到点G， 使． 连接， 先证明， 再证明， 可得出结论， 则他的结论应是 ． 【灵活运用】 （2）如图2， 若在四边形中， 分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3， 已知在四边形 中， 若点E在的延长线上， 点F在的延长线上， 且仍然满足， 请写出 与的数量关系，并给出证明过程． 【变式训练1-5】（20-21八年级上·北京昌平·期末）在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形． （1）在图1中计算格点三角形的面积是__________；（每个小正方形的边长为1） （2）是格点三角形． ①在图2中画出一个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图3中画出一个与全等且有一个公共点A的格点三角形． 【题型02 全等的性质与SSS综合】 【易错题精讲】（23-24八年级上·吉林·期中）如图，已知，，为的中点，过作一条直线分别与，交于点，，点，在直线上，且． (1)图中共有几对全等三角形？请把它们都写出来； (2)求证：． 【变式训练2-1】（23-24八年级上·广西来宾·期中）如图，在四边形中，于点B，于点D，点E，F分别在，上，，．    (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积； (3)猜想，，三者之间的数量关系，并证明你的猜想． 【变式训练2-2】（23-24八年级上·江西南昌·期中）综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 【变式训练2-3】（22-23八年级上·全国·课后作业）华师大版初中数学教科书八年级上册第页告诉我们作一个三角形与已角形全等的方法： 已知：． 求作：△，使得△． 作法：如图． （1）画； （2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，，则△即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： (1)在作图过程中创造的全等条件是 ．(填写全等的判定方法) (2)如图，、、、在一条直线上，且，，．求证：． 【变式训练2-4】（22-23八年级上·浙江台州·期中）如图，在和中，，，求证：． 【变式训练2-5】（18-19八年级上·全国·课后作业）小明和小亮在学习探索三角形全等时，碰到如下一题：如图1，若AC=AD，BC=BD，则△ACB与△ADB有怎样的关系？ （1）请你帮他们解答，并说明理由． （2）细心的小明在解答的过程中，发现如果在AB上任取一点E，连接CE、DE，则有CE=DE，你知道为什么吗？（如图2） （3）小亮在小明说出理由后，提出如果在AB的延长线上任取一点P，也有第2题类似的结论．请你帮他画出图形，并证明结论． 【题型03 用SAS证明三角形全等】 【易错题精讲】（23-24八年级上·河南洛阳·期中）如图，在长方形中，，点在边上，且．动点在边上，从点出发以的速度向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，若在运动过程中存在与全等的时刻，则的值为 ． 【变式训练3-1】（23-24八年级上·吉林松原·期中）如图，在和中，，点C在上． (1)求证：． (2)若，则______． 【变式训练3-2】（21-22八年级上·广东河源·期中）在平面直角坐标系中，点，点和点； (1)请写出的长度： 　 　； (2)如图：若点D在x轴上，且点D的坐标为，求证：； (3)若点D在第二象限，且，则这时点D的坐标是 　 　（直接写答案）． 【变式训练3-3】（22-23八年级上·河南南阳·期中）八（1）班数学兴趣活动小组的同学们利用课余时间制作了圆柱形容器内径测量仪，如图，制作和使用方法：将两根等长的木棒中心固定在一起，两根木棒可以绕固定点O自由旋转．测量圆柱形容器内径时，把测量仪的一端放入容器内，再将木棒的两端张开，只要测出露在外面的一端两个木棒之间的距离，就知道了容器的内径的大小。请你用学过的数学知识解释测量仪的工作原理（写出已知、求证，并证明） 已知：如图，线段相交于点O，______________，连接． 求证：____________． 证明：    【题型04 全等的性质与SAS综合】 【易错题精讲】（22-23八年级上·贵州铜仁·期中）如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． (1)如图（1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时， ①与是否全等，请说明理由； ②判断线段和线段的关系？ (2)如图（2），将图（1）中的“，”为改“”，其他条件不变，设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练4-1】．（22-23八年级上·河南安阳·期中）（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系． 小明探究此问题的方法是：延长线段到点，使，连接．先证明，得；再由条件可得，证明，进而可得线段，，之间的数量关系是______． （2）拓展应用： 如图2，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）学以致用： 如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长． 【变式训练4-2】（22-23八年级上·湖北武汉·期中） 已知，如图1，在平面坐标系中，，、点分别为、轴负半轴上的动点，，垂足为．           (1)直接写出与间的数量关系； (2)当、在、轴负半轴上运动时，线段与之间总存在某种固定的数量关系，请写出这种数量关系，并说明理由． (3)如图2，为第二象限边上方一点，过作于，，连，并取中点，连、，试探究线段与间的关系，写出结论，并说明理由． 【变式训练4-3】．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，已知中，，厘米，厘米，点D为的中点. 如果点P在线段上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（）. (1)用含t的式子表示的长度； (2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使与全等？ 【变式训练4-4】（22-23八年级上·广东广州·期中）如图（1），，，，；点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．    (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练4-5】（22-23八年级上·河北石家庄·期中）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E，F． (1)当绕B点旋转到时（如图1），试猜想线段之间存在的数量关系为__________．（不需要证明）； (2)当绕B点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 【题型05 用ASA（AAS）证明三角形全等】 【易错题精讲】（23-24八年级上·山东临沂·期末）张华与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，张华坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住他后用力一推，爸爸在处接住他．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)爸爸是在距离地面多高的地方接住张华的？（提示：夹在两条平行线间的垂直线段都相等．） 【变式训练5-1】（19-20八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长 . 【变式训练5-2】（22-23八年级上·江西赣州·期中）小光的爷爷为我们讲述了一个他亲身经历的故事： 在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河相望的日军碉堡，需要测出我军阵地到日军碉堡的距离，由于没有任何测量工具，我军战士为此尽脑汁．这时，一位聪明的战士想出了办法，成功炸毁了碉堡． （1）你认为他是怎样做到的？ 方法是：战士面向碉堡的方向站好，调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时，视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离． （2）你能根据战士所用的方法，画出相应的图形吗？ ①画出相应的图形． ②战士用的方法中，已知条件是什么？战士要测的是什么？（结合图形写出） ③请用所学的数学知识说明战士这样测的理由． 【变式训练5-3】（23-24八年级上·福建福州·期中）已知：如图1，在四边形中，，．    (1)求的度数； (2)如图2，点G在四边形下方，交于点E，交于点H、F，，，若，，求． 【变式训练5-3】（14-15八年级上·福建泉州·期中）我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等? （1）阅读与说理： 对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等． 对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）. 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下： 已知：如图所示，△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1Cl，∠C=∠Cl.试说明△ABC≌△A1B1C1的理由. （请你将下列说理过程补充完整）. 理由：分别过点B，B1作BD⊥CA于D，B1 D1⊥C1 A1于D1.则∠BDC=∠B1D1C1=90°， 因为BC=B1C1，∠C=∠C1，△BCD≌△B1C1D1，BD=B1D1. （2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论. 【变式训练5-4】（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，与相交于点，，，．    (1)求证：； (2)在不添加字母和辅助线的情况下，直接写出图中所有的全等三角形（第（1）问中证明过的全等三角形除外）． 【题型06 全等的性质和ASA（AAS）综合】 【易错题精讲】（21-22八年级上·广东汕尾·期末）如图，，，，，垂足分别是． (1)求证：； (2)猜想线段之间具有怎样的数量关系，并说明理由． 【变式训练6-1】（22-23八年级上·广东潮州·阶段练习）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，，，求线段的长． 【变式训练6-2】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则___________． （2）如图2，在中，，过点C作，且，求的面积． （3）如图3，四边形中面积为14且的长为7，求的面积． 【变式训练6-3】（18-19七年级下·江苏苏州·期末）（动点、全等）如图，在中，，高、相交于点O，，且． (1)求线段的长； (2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围； (3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点且．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【变式训练6-4】（23-24八年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点、点分别在轴和轴的正半轴上，并且．点在第一象限，，且．    (1)如图1，点的坐标为______； (2)如图2，点运动到的位置，点运动到的位置，保持，求的值； (3)如图3，点是线段上一点，为中点，作，，连接，判断与的关系，并加以证明． 【题型07 用HL证明全等】 【易错题精讲】（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 【变式训练7-1】（22-23八年级下·广东深圳·期末）在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．    对这两种画法的描述中正确的是（    ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【变式训练7-2】（22-23八年级上·广西柳州·期中）小明画的平分线时，设计了以下做法：如图，在边，上分别取，过点M，N分别作，的垂线，交点为P，画出射线．这种做法可由得知，其全等的依据是 ．    【变式训练7-3】（23-24八年级上·福建厦门·期中）证明：如果两个三角形有两条边和其中一条边上的高分别相等，那么这两个三角形全等．（请根据图形，补全已知和求证，并写出证明过程） 已知：如图，在和中，，________，为边上的高，为边上的高，且．    求证：________________． 证明： 【变式训练7-4】（22-23八年级上·江西赣州·期中）【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即）和直角三角形全等的判定方法（即后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在和中，，然后，对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．    (1)【逐步探究】 第一种情况：当是直角时，如图1，根据　　定理，可得． (2)第二种情况：当是钝角时，仍成立．请你完成证明． 已知：如图2，在和中，，且、都是钝角，求证：． (3)第三种情况：当是锐角时，和不一定全等．在和中，，且、都是锐角，请你用尺规在图3中作出，使和不全等．（不写作法，保留作图痕迹） (4)【深入思考】 在和中，，且、都是锐角，若　时，则． 【变式训练7-5】（21-22八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知如图，AB=AD，AD⊥DE，AB⊥BC，AC=AE，BC与DE相交于点F，连接CD、EB． (1)求证：△ABC≌△ADE； (2)图中还有哪几对全等三角形，请你一一列举（无需证明）； (3)求证：CF=EF． 【题型08 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）】 【易错题精讲】（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在与中，已知，添加一个条件，不能使得的是（    ）    A． B． C． D． 【变式训练8-1】（22-23七年级下·山东泰安·期末）如图，线段与交于点，点为上一点，连接、、，已知，．    (1)请添加一个条件________使，并说明理由． (2)在（1）的条件下请探究与的数量关系，并说明理由． 【变式训练8-2】（23-24八年级上·广东中山·期中）如图，点在上，点在上，且，那么补充下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）甲乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及对应的边或角添加等量条件（点分别是点的对应点）．某轮添加条件后，若能判定与全等，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 ? 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是 （填写所有正确结论的序号）． ①若第3轮甲添加，则乙获胜； ②若甲想获胜，第3轮可以添加条件； ③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为． 【变式训练8-4】（23-24八年级上·河南新乡·期中）已知，四边形和四边形中，，，，，现在只需补充一个条件，就可得四边形四边形，下列四个条件：①；②；③；④，其中，符合要求的条件的有 ．（填所有正确结论的序号） 【题型09 全等的性质与HL综合】 【易错题精讲】（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，平分，，交的延长线于点F，在上有一点M，且， (1)若，，求的长． (2)试说明与的关系． 【变式训练9-1】（23-24八年级下·山东青岛·期中）已知：如图为的高，为上一点，交于且有，． (1)问与的数量和位置关系分别是什么？并说明理由． (2)直接写出的度数． 【变式训练9-2】（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，点、在轴正半轴上，点、分别在轴上，平分与轴交于点，．    (1)求证：； (2)如图，点的坐标为，点为上一点，且，求的长． 【变式训练9-3】（23-24八年级上·广东广州·期中）已知，如图，中，，D、E分别是上的点，M、N分别是上的点，若，．    求证： (1)； (2)． 【变式训练9-4】（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）已知：如图，在 中，的角平分线与的垂直平分线交于点D， 垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若 求 的周长． 【变式训练9-5】（23-24八年级上·广西防城港·期中）如图，在中，，DE是过点A的直线，于D，于点E；    (1)当B、C在的同侧（如图①所示）且，则线段与的位置关系是 ． (2)当B、C在的两侧（如图②所示），且，其他条件不变，（1）的结论是否成立？若成立请说明理由． 【变式训练9-6】（22-23八年级上·四川泸州·期中）在中，，点是延长线上一点，点是线段上一点，连接．，． (1)求证：； (2)平分交于点，点是线段延长线上一点，连接，点是线段上一点，连接交于点，连接． ①求的度数； ②当平分时，求证：＋． 【题型10 灵活运用判定方法证明全等（全等三角形的判定综合）】 【易错题精讲】（23-24八年级上·河南洛阳·期中）鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． (1)甲、乙两同学的方案哪个可行？_______（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由； (2)对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：_______． 【变式训练10-1】（19-20八年级上·湖北宜昌·期末）如图，在等腰三角形ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F． (1)证明：∠CAE=∠CBF； (2)证明：AE=BF； (3)以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG(点E与点F重合于点G)，记△ABC和△ABG的面积分别为和．如果存在点P，使得，求的取值范围． 【变式训练10-2】（22-23八年级上·河南鹤壁·期中）探究：两边分别相等且其中一组等边的对角相等，这样的两个三角形是否全等． 作一作：如图，已知网格中有． 第一步：作；第二步：作；第三步：在射线上找到一点，使得，并连接． (1)请你在网格中完成第三步作图． (2)通过作图，我们发现，当两个三角形的两组对边相等、其中一组等边的对角也相等时， 第一种情况：如果这对相等的角为锐角，那么这两个三角形______全等； 第二种情况：如果这对相等的角为直角，那么这两个三角形______全等； 第三䄿情况：如果这对相等的角为钝角，那么这两个三角形______全等； 归纳总结：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形______全等（填“一定”或“不一定”）． (3)上述方法体现的数学思想是（    ） A．分类讨论；B．由特殊到一般；C．类比；D．转化 【变式训练10-3】（22-23八年级上·北京海淀·期末）甲乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及对应的边或角添加等量条件(点，，分别是点A，B，C的对应点)，某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 cm 2 乙 cm 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是 (填写所有正确结论的序号) ①若第3轮甲添加cm，则乙获胜； ②若甲想获胜，第3轮可以添加条件； ③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为． 【变式训练10-4】（22-23八年级上·福建福州·期中）如图，将两根钢条，的中点钉在一起，使，能绕点自由转动，就做成一个测量工具，测的长即等于内槽宽，那么判定的理由是（     ）．    A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．斜边直角边 【题型11 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合）】 【易错题精讲】（22-23八年级上·河南新乡·期中）已知：．求作：，使． 作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 这种作一个角等于已知角的方法的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【变式训练11-1】（21-22九年级下·北京·开学考试）李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的 ②当，时，可得到形状唯一确定的 ③当，时，可得到形状唯一确定的 其中所有正确结论的序号是 ． 【变式训练11-2】（22-23八年级上·吉林长春·期中）【教材呈现】如图是华师版八年级上册65页的部分内容. 做一做 如图13.2.7，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形. 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种? 【探究问题】如图，，请你用圆规在 的另一边找到点 ，使，这样的点 有______个，说明符合条件的三角形有______种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形________全等． 【拓展思考】如图，已知 ，若且 ，，那么 一定是______三角形（从“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”三个答案选择）． 【变式训练11-3】（19-20八年级上·江西赣州·期中）如图，AM＝AN，点B和点C分别为∠MAN两边上的点，AB＝AC．按下列语句画出图形：（要求用无刻度直尺作图，） （1）AD⊥BC，垂足为D； （2）在完成（1）后不添加线段和字母的情况下，请你写出除△ABD≌△ACD外的两对全等三角形： 【变式训练11-4】（23-24八年级上·河北石家庄·期中）作图题： 如图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，点是图的一个格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图中画，使； (2)在图中画，使； (3)在图中画，使． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 全等三角形的判定（易错、好题必刷61题11种题型专项训练） 目录 【题型01 用SSS证明三角形全等】 1 【题型02 全等的性质与SSS综合】 10 【题型03 用SAS证明三角形全等】 19 【题型04 全等的性质与SAS综合】 23 【题型05 用ASA（AAS）证明三角形全等】 36 【题型06 全等的性质和ASA（AAS）综合】 44 【题型07 用HL证明全等】 55 【题型08 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）】 62 【题型09 全等的性质与HL综合】 66 【题型10 灵活运用判定方法证明全等（全等三角形的判定综合）】 76 【题型11 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合）】 82 【题型01 用SSS证明三角形全等】 【易错题精讲】（22-23八年级上·山东临沂·期中）如图，在长方形中，于E，交于F，连接． (1)图中有全等三角形吗？ (2)图中有面积相等但不全等的三角形吗？ 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定，长方形的性质，以及等底等高的三角形的面积相等． （1）根据长方形的对边相等，可得，然后利用“边边边”证明和全等； （2）根据等底等高的三角形面积相等解答． 【规范解答】（1）解：图中全等的三角形有：． ∵四边形是矩长方形， ∴． ∵， ∴． （2）解：图中面积相等但不全等的三角形有：． 证明：∵四边形是长方形， ∴， ， ． ∵， ∴． 同理可证． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【变式训练1-1】（23-24八年级上·山西长治·期中）如图，在中，，分别以为一边，向外作和，若,，则的度数为 ．    【答案】/115度 【思路点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 【规范解答】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 【变式训练1-2】（22-23八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在4×4的正方形网格中，点A、B、C均为小正方形的顶点，用于刻度的直尺作图，不写作法，保留作图痕迹； (1)在图1中，作与全等（点D与点C不重合）； (2)在图2中，作的高； (3)在图3中，作（点F为小正方形的顶点，且不与点B重合）． 【答案】(1)答案见详解； (2)答案见详解； (3)答案见详解． 【思路点拨】（1）利用三角形全等的判定（边边边），如图1，点D即为所求； （2）取格点G，连接交于点E，则即为所求； （3）利用网格的特点，如图3，，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图1所示，为所求． （2）解：如图2所示，为所求的的边上的高． （3）解：如图3所示，为所求． 【考点评析】此题是利用网格作图题，主要考查了作全等三角形、作三角形的高、作一个角等于已知角等，熟练掌握全等三角形的判定，三角形的高、相等角的概念是作图的关键． 【变式训练1-3】（20-21八年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形网格上有一个． （1）画一个与全等的．要求其顶点均在格点上，与有且只有一个公共顶点．（不写作法） （2）作边上的高（不写作法）． （3）若网格上的最小正方形边长为1，则的面积为________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3 【思路点拨】（1）以A为顶点画一个与△ABC全等的△ADE即可； （2）延长AB，过点C画AB的垂线，交AB的延长线于点F，则CF即为所作高； （3）利用三角形面积公式计算． 【规范解答】解：（1）如图所示： △ADE即为所作图形； （2）如图所示： CF即为所作高； （3）由图可知： △ABC的面积为：3×2÷2=3． 【考点评析】本题考查了全等三角形，三角形的高与面积，解题的关键是熟悉网格的特点，利用网格的特点画垂线． 【变式训练1-4】（19-20八年级上·湖南邵阳·期中）【初步探索】 （1） 如图1， 在四边形中， ， E， F分别是上的点， 且， 探究图中之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长到点G， 使． 连接， 先证明， 再证明， 可得出结论， 则他的结论应是 ． 【灵活运用】 （2）如图2， 若在四边形中， 分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3， 已知在四边形 中， 若点E在的延长线上， 点F在的延长线上， 且仍然满足， 请写出 与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3），见解析 【思路点拨】（1）延长到点G，使，连接，可判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定≌，再判定≌，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【规范解答】解：（1），理由如下： 如图1，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ≌， ，， ，， ， 在和中， ， ≌， 故答案为：； （2）上述结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 在和中， ， ≌， ； （3）如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 即， 【考点评析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 【变式训练1-5】（20-21八年级上·北京昌平·期末）在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形． （1）在图1中计算格点三角形的面积是__________；（每个小正方形的边长为1） （2）是格点三角形． ①在图2中画出一个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图3中画出一个与全等且有一个公共点A的格点三角形． 【答案】（1）6；（2）①见解析；②见解析 【思路点拨】（1）用割补法求解即可； （2）根据“SSS”画图即可； （3）根据“SSS”画图即可； 【规范解答】解：（1）5×3-×3×3-×2×2-×5×1=6， 故答案为：6； （2）①如图，即为所求， ②如图，即为所求， 【考点评析】本题考查了“格点三角形的定义”以及全等三角形的判定方法，熟练掌握“SSS”是解答本题的关键． 【题型02 全等的性质与SSS综合】 【易错题精讲】（23-24八年级上·吉林·期中）如图，已知，，为的中点，过作一条直线分别与，交于点，，点，在直线上，且． (1)图中共有几对全等三角形？请把它们都写出来； (2)求证：． 【答案】(1)；，，， (2)证明见解析 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，找出判定三角形全等的条件是解题的关键． （1）结合已知条件，再根据全等三角形的四个判定方法，即可找出所有的全等三角形； （2）先证明，即可证明． 【规范解答】（1）解：有对全等三角形，分别为： ，，，， （2）证明：，，， ， ， 即， 为的中点， ， 又， ， ，， ，，， ， ， ，， ， 即， 又， ， ． 【变式训练2-1】（23-24八年级上·广西来宾·期中）如图，在四边形中，于点B，于点D，点E，F分别在，上，，．    (1)求证：； (2)若，，求四边形的面积； (3)猜想，，三者之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)证明见解析 (2)48 (3)猜想，证明见解析 【思路点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟练的确定全等三角形是解本题的关键． （1）连接，直接利用证明，可得，再证明，即可得到结论； （2）由， 可得，从而可得四边形的面积； （3）先证明，，可得，再结合三角形的外角的性质可得结论． 【规范解答】（1）解：如图，连接，    在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）由（1）得，， ∵，， ， ∴； （3）猜想， 证明：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式训练2-2】（23-24八年级上·江西南昌·期中）综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 【答案】（1），见解析 （2）①AC   ②DF，见解析 （3） 【思路点拨】（1）利用证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）根据语言描述作出图形即可； （3）延长至点G，使，连接，利用证明，得出，，从而可证得．即可利用证明，得出，即可由求解． 【规范解答】（1）． 理由：∵平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）①AC   ②DF． 辅助线如图1所示．    （3）如图2，延长至点G，使，连接，．    ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式训练2-3】（22-23八年级上·全国·课后作业）华师大版初中数学教科书八年级上册第页告诉我们作一个三角形与已角形全等的方法： 已知：． 求作：△，使得△． 作法：如图． （1）画； （2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，，则△即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： (1)在作图过程中创造的全等条件是 ．(填写全等的判定方法) (2)如图，、、、在一条直线上，且，，．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路点拨】（1）利用作法得到，，，则根据“”可判断△； （2）先证明，则根据“”可判断，然后根据全等三角形的性质得到结论． 【规范解答】（1）解：根据作法得，，， 所以△； 故答案为：； （2）证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． 【考点评析】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质． 【变式训练2-4】（22-23八年级上·浙江台州·期中）如图，在和中，，，求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】通过“边边边”证明，即可得证结论． 【规范解答】在和中， ， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查三角形全等的判定方法与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法与性质是解题的关键． 【变式训练2-5】（18-19八年级上·全国·课后作业）小明和小亮在学习探索三角形全等时，碰到如下一题：如图1，若AC=AD，BC=BD，则△ACB与△ADB有怎样的关系？ （1）请你帮他们解答，并说明理由． （2）细心的小明在解答的过程中，发现如果在AB上任取一点E，连接CE、DE，则有CE=DE，你知道为什么吗？（如图2） （3）小亮在小明说出理由后，提出如果在AB的延长线上任取一点P，也有第2题类似的结论．请你帮他画出图形，并证明结论． 【答案】（1），理由见解析；（2）见解析；（3）见解析 【思路点拨】（1）根据全等三角形的判定定理证得； （2）由（1）中的全等三角形的对应角相等证得，则由全等三角形的判定定理证得，则对应边； （3）同（2），利用全等三角形的对应边相等证得结论． 【规范解答】解：（1），理由如下： 如图1，在与中， ， ； （2）如图2，由（1）知，，则． 在与中， ， ， ； （3）如图3，． 理由同（2），，则． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 【题型03 用SAS证明三角形全等】 【易错题精讲】（23-24八年级上·河南洛阳·期中）如图，在长方形中，，点在边上，且．动点在边上，从点出发以的速度向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，若在运动过程中存在与全等的时刻，则的值为 ． 【答案】4或 【思路点拨】本题主要考查三角形全等的判定． 设运动，则，，，由于在长方形中，，因此①当，时，，②当，时，，代入即可求解v的值． 【规范解答】设运动，则，，， ∵在长方形中，， ∴①当，，即，时，， 解得：， 或当，，即，时，， 解得：，． 综上所述，v的值为4或． 故答案为：4或 【变式训练3-1】（23-24八年级上·吉林松原·期中）如图，在和中，，点C在上． (1)求证：． (2)若，则______． 【答案】(1)见解析 (2)70 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明三角形全等，利用全等三角形的性质，证明对应角相等，再利用等量代换即可求解； （1）根据等式的性质，可得，根据可得两个三角形全等，再利用全等的性质； （2）根据全等三角形的性质，可得对应角相等，根据等腰三角形的性质，可得，根据等量代换，即可求解． 【规范解答】（1）证明：， ， 即． 在和中， ， ， ； （2）解：， ， 又∵， ， ． 故答案为：70． 【变式训练3-2】（21-22八年级上·广东河源·期中）在平面直角坐标系中，点，点和点； (1)请写出的长度： 　 　； (2)如图：若点D在x轴上，且点D的坐标为，求证：； (3)若点D在第二象限，且，则这时点D的坐标是 　 　（直接写答案）． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3) 【思路点拨】（1）利用点的坐标直接写出的长度即可； （2）利用点的坐标，找出和相等的边和角，证得三角形全等即可； （3）因为为直角三角形，所以也为直角三角形，确定直角顶点，得出答案即可． 【规范解答】（1）解：点， ． （2），，，， ，， ， ． （3）如图， 此时为直角， ， ，， ∴． 【考点评析】此题主要考查利用平面直角坐标系中的直角和点的坐标找出边关系证得三角形全等． 【变式训练3-3】（22-23八年级上·河南南阳·期中）八（1）班数学兴趣活动小组的同学们利用课余时间制作了圆柱形容器内径测量仪，如图，制作和使用方法：将两根等长的木棒中心固定在一起，两根木棒可以绕固定点O自由旋转．测量圆柱形容器内径时，把测量仪的一端放入容器内，再将木棒的两端张开，只要测出露在外面的一端两个木棒之间的距离，就知道了容器的内径的大小。请你用学过的数学知识解释测量仪的工作原理（写出已知、求证，并证明） 已知：如图，线段相交于点O，______________，连接． 求证：____________． 证明：    【答案】见解析 【思路点拨】按照题意补充完条件和结论，然后证明即可得到结论． 【规范解答】已知：，O分别为的中点（或，，）． 求证： 证明：∵O分别为的中点， ∴，（线段中点定义） ∵（已知） ∴，（等量代换） 在和中 ∵ ∴ ∴（全等三角形的对应边相等） 【考点评析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【题型04 全等的性质与SAS综合】 【易错题精讲】（22-23八年级上·贵州铜仁·期中）如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． (1)如图（1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时， ①与是否全等，请说明理由； ②判断线段和线段的关系？ (2)如图（2），将图（1）中的“，”为改“”，其他条件不变，设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①全等，理由见解析；②与的关系是垂直且相等 (2)存在或使得与全等 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的渗透． （1）①当时，，，即可证得；②利用，得出，，进一步得出得出结论即可； （2）与全等，分两种情况：①，，②，，建立方程组求得答案即可． 【规范解答】（1）①全等，理由如下： 当时，，， 又， 在和中， ． ②由①得 ， ， 线段与线段垂直， 因此、与的关系是垂直且相等； （2）由题意可得：，，，， ①若，则，， ∴， 解得； ②， 则，， ∴， 解得， 综上所述，存在或使得与全等． 【变式训练4-1】．（22-23八年级上·河南安阳·期中）（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系． 小明探究此问题的方法是：延长线段到点，使，连接．先证明，得；再由条件可得，证明，进而可得线段，，之间的数量关系是______． （2）拓展应用： 如图2，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）学以致用： 如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）10 【思路点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键． （）延长到点，使，连结，由“”可证，可得，，再由“”可证，可得，即可解题； （）延长到，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （）延长到，使，连接，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得，即可求解． 【规范解答】解∶（1）延长到点，使，连结， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）结论仍然成立，理由如下：如图，延长到，使，连接，      ∵， ∴， 同（）理：， ∴，， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，延长到，使，连接，      ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 【变式训练4-2】（22-23八年级上·湖北武汉·期中） 已知，如图1，在平面坐标系中，，、点分别为、轴负半轴上的动点，，垂足为．           (1)直接写出与间的数量关系； (2)当、在、轴负半轴上运动时，线段与之间总存在某种固定的数量关系，请写出这种数量关系，并说明理由． (3)如图2，为第二象限边上方一点，过作于，，连，并取中点，连、，试探究线段与间的关系，写出结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形； （1）过作坐标轴的垂线，垂足分别为点，根据点得出，进而证明，根据全等三角形的性质，即可求解； （2）连，在上取一点P，使，连，证明进而得出，即可求解； （3）延长到G，使，连，同理可得，延长交于Q点，得出，证明，即可得出，进而可得． 【规范解答】（1） 过作坐标轴的垂线，垂足分别为点，如图， ∴， ， ， ，垂足为A， ， ， ， （2），理由如下： 连，在上取一点P，使，连， 在与中， ， 于M， ． （3），理由如下： 延长到G，使，连，如图， 同理可得， ， ， 延长交于Q点，如图， ， ， ， 在和中， ， ，且． 【变式训练4-3】．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，已知中，，厘米，厘米，点D为的中点. 如果点P在线段上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（）. (1)用含t的式子表示的长度； (2)若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； (3)若点P、Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使与全等？ 【答案】(1) (2)全等，理由见解析 (3)当点Q的运动速度a为3时，能够使与全等 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用问题、全等三角形的判定及性质问题： （1）先根据点P的运动速度得到的边长，相减即可得到结果； （2）先根据运动时间得到边长的长度，根据得到三角形全等； （3）根据两个三角形全等，可得到两种情况，有一种情况不符合题意，即可得到结果． 【规范解答】（1）解：∵点P在线段上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动， 当运动时间为t（秒）时，， ∵厘米， ∴厘米； （2）解：若点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，与全等，理由如下： 当点P、Q的运动速度相等，经过1秒后，此时厘米，厘米， 此时厘米，如图所示： ∵厘米，点D为的中点， ∴厘米， 在和中， ， ∴（）； （3）解：由题可得：，厘米， ∵与全等， ∴或， 当时，则，, 即，解得， 此时（不符合题意）； 当时，此时，如图所示： 即，解得， 根据即，解得， ∴当点Q的运动速度a为3时，能够使与全等． 【变式训练4-4】（22-23八年级上·广东广州·期中）如图（1），，，，；点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．    (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)全等，理由见解析，线段与线段垂直； (2)存在，或 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握分类讨论的思想是解题关键． （1）由速度和时间求得、，进而可得，再利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明，由全等的性质求得进而可得，即； （2）已知，所以与全等时和为对应相等角，应分两种情况讨论：①时，，，②时，，；利用对应边相等的关系建立方程组求解即可； 【规范解答】（1）解：全等，， 当时，，， 又∵， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴，即线段与线段垂直； （2）解：存在 ①若， 则，， ∴， 解得； ②若，则，， ∴， 解得； 综上所述，存在或使得与全等； 【变式训练4-5】（22-23八年级上·河北石家庄·期中）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E，F． (1)当绕B点旋转到时（如图1），试猜想线段之间存在的数量关系为__________．（不需要证明）； (2)当绕B点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 【答案】(1) (2)以上结论不成立，应为，证明见详解 【思路点拨】本题几何变换综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助性、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）延长至点使，连接，分别证明根据全等三角形的性质、结合图形证明结论； （2）延长至G，使仿照（1）的证明方法解答． 【规范解答】（1）解：， 理由如下：延长至点使，连接， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：以上结论不成立，应为， 理由如下：延长至G，使 由（1）可知，， ∴ ， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 【题型05 用ASA（AAS）证明三角形全等】 【易错题精讲】（23-24八年级上·山东临沂·期末）张华与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，张华坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住他后用力一推，爸爸在处接住他．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)爸爸是在距离地面多高的地方接住张华的？（提示：夹在两条平行线间的垂直线段都相等．） 【答案】(1)全等，见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． （1）根据证明与全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，求出，根据求出结果即可． 【规范解答】（1）解：．理由如下： 由题意可知，， ， ∴． ∴． 在和中， ， ∴. （2）解：∵， ∴，． ∵，， ∴． ∵， ∴． 答：爸爸是在距离地面的地方接住张华的． 【变式训练5-1】（19-20八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长 . 【答案】3 【思路点拨】过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明≅，再证明≅，求出，然后求出，，通过设求出x，即可求出AF的长. 【规范解答】解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J 在和中 ∴≅ ∴ ∴（8字形） ∴ 在和中 ∴≅ ∴ ∴ 在和中 ∴ 设 则 3 【考点评析】此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点. 【变式训练5-2】（22-23八年级上·江西赣州·期中）小光的爷爷为我们讲述了一个他亲身经历的故事： 在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河相望的日军碉堡，需要测出我军阵地到日军碉堡的距离，由于没有任何测量工具，我军战士为此尽脑汁．这时，一位聪明的战士想出了办法，成功炸毁了碉堡． （1）你认为他是怎样做到的？ 方法是：战士面向碉堡的方向站好，调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时，视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离． （2）你能根据战士所用的方法，画出相应的图形吗？ ①画出相应的图形． ②战士用的方法中，已知条件是什么？战士要测的是什么？（结合图形写出） ③请用所学的数学知识说明战士这样测的理由． 【答案】①见解析；②，；③．理由见解析． 【思路点拨】本题考查了全等三角形的应用，根据战士所用的方法，画出相应的图形是解决问题的关键． 根据垂直的定义得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【规范解答】解：①如图， ②已知条件是，． ③战士要测的是． 理由：， ， 在与中， ， ， ． 26．（23-24八年级上·福建福州·期中）已知：如图1，在四边形中，，．    (1)求的度数； (2)如图2，点G在四边形下方，交于点E，交于点H、F，，，若，，求． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】（1）由四边形内角和等与已知条件得出 即可得出结果； （2）过点作于, 作交延长线于，首先证明得到由，，即可得出结果. 【规范解答】（1）∵ ， ∴, ∴； （2）过点作于, 作交延长线于N，如图所示：    ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴． 【考点评析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、四边形内角和等于，三角形面积的计算等知识；熟练掌握三角形与四边形内角和以及角平分线的性质是解题的关键. 【变式训练5-3】（14-15八年级上·福建泉州·期中）我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等? （1）阅读与说理： 对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等． 对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）. 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下： 已知：如图所示，△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1Cl，∠C=∠Cl.试说明△ABC≌△A1B1C1的理由. （请你将下列说理过程补充完整）. 理由：分别过点B，B1作BD⊥CA于D，B1 D1⊥C1 A1于D1.则∠BDC=∠B1D1C1=90°， 因为BC=B1C1，∠C=∠C1，△BCD≌△B1C1D1，BD=B1D1. （2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论. 【答案】（1）证明见解析；（2）若两三角形（△ABC、△A1B1C1）均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，则它们全等 【规范解答】试题分析：本题考查的是全等三角形的判定，首先易证得△ADB≌△A1D1B1然后易证出△ABC≌△A1B1C1． 试题解析：（1）证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于D， B1D1⊥C1A1于D1． 则∠BDC=∠B1D1C1=90°， ∵BC=B1C1，∠C=∠C1， ∴△BCD≌△B1C1D1， ∴BD=B1D1． 补充：∵AB=A1B1，∠ADB=∠A1D1B1=90°． ∴△ADB≌△A1D1B1（HL）， ∴∠A=∠A1， 又∵∠C=∠C1，BC=B1C1， 在△ABC与△A1B1C1中， ∵ ∴△ABC≌△A1B1C1（AAS）； （2）解：若两三角形（△ABC、△A1B1C1）均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，则它们全等（AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1，则△ABC≌△A1B1C1）． 考点：全等三角形的判定． 【变式训练5-4】（23-24八年级上·吉林长春·期中）如图，与相交于点，，，．    (1)求证：； (2)在不添加字母和辅助线的情况下，直接写出图中所有的全等三角形（第（1）问中证明过的全等三角形除外）． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【思路点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质． （1）利用证明，根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差求出，，利用即可证明，，． 【规范解答】（1）证明：在与中， ， ， ； （2）解；，，，理由如下： ， ，， ，， ，， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ． 【题型06 全等的性质和ASA（AAS）综合】 【易错题精讲】（21-22八年级上·广东汕尾·期末）如图，，，，，垂足分别是． (1)求证：； (2)猜想线段之间具有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【思路点拨】本题考查了全等三角形的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据同角的余角相等得到，利用定理证明； （2）根据全等三角形的性质得到，结合图形解答即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：， 理由如下：∵， ∴， ∴． 【变式训练6-1】（22-23八年级上·广东潮州·阶段练习）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，，，求线段的长． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2)3 【思路点拨】本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键． （1）①由已知推出，因为，，推出，根据“”即可得到答案； ②由①得到，，即可求出答案； （2）与（1）证法类似可证出，能推出，得到，，代入已知即可得到答案． 【规范解答】（1）证明：①，， ， ， ，， ， 在和中， ， （）； ②由（1）知：， ，， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）；， ，， ． 【变式训练6-2】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则___________． （2）如图2，在中，，过点C作，且，求的面积． （3）如图3，四边形中面积为14且的长为7，求的面积． 【答案】（1）5；（2）2；（3） 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质及应用，等腰直角三角形、四边形、三角形面积等知识． （1）由，得，可证明，即得，故； （2）过D作交延长线于E，由，得，即得，可证明，得，故； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，由面积为14且的长为7，得，又，，得是等腰直角三角形，即得，根据，可得，，即有，即可证明，从而，故． 【规范解答】解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5； （2）过D作交延长线于E，如图2： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，如图3： ∵面积为14且的长为7， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式训练6-3】（18-19七年级下·江苏苏州·期末）（动点、全等）如图，在中，，高、相交于点O，，且． (1)求线段的长； (2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围； (3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点且．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)存在，或 【思路点拨】（1）证明即可得到线段长； （2）分两种情况讨论：①如图1，当点在线段上时，；②如图2，当点在射线上时，，即可得出 的取值范围； （3）分两种情况讨论：①如图3，当时，；②如图4，当时，，即可求出值． 【规范解答】（1）、是的高， ， ，， ， ， 在和中 ， ， ； （2），， ，， 设，， ①如图1，当点在线段上时，， ， 的取值范围是， ②如图2，当点在射线上时，， ， 的取值范围是； 综上， （3）存在； ①如图3中，当时， ，， ， ， ， 解得： ； ②如图4中，当时， ，， ， ， ， ， 解得：， 综上所述，或时，． 【考点评析】本题考查的是三角形综合题，全等三角形的判定和性质，三角形面积，灵活运用相关知识是解题关键． 【变式训练6-4】（23-24八年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点、点分别在轴和轴的正半轴上，并且．点在第一象限，，且．    (1)如图1，点的坐标为______； (2)如图2，点运动到的位置，点运动到的位置，保持，求的值； (3)如图3，点是线段上一点，为中点，作，，连接，判断与的关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)8 (3)，证明见解析 【思路点拨】（1）求出，过点P作于M，轴于N，如图1所示：则四边形是矩形，证明，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论； （2）由证得，得，证出，即可得出结果； （3）延长到S，使，连接，由证得，得，，由SAS证得，得，，由，推出，则． 【规范解答】（1）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点P作于M，轴于N，如图1所示：    则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （2）由（1）得， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3），理由如下： 延长到S，使，连接，如图3所示：    在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【考点评析】本题是三角形综合题，主要考查了平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、四边形内角和、三角形内角和定理等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关 【题型07 用HL证明全等】 【易错题精讲】（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，先根据三角形中线的定义证明，再利用即可证明． 【规范解答】证明：∵与分别为边上的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式训练7-1】（22-23八年级下·广东深圳·期末）在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．    对这两种画法的描述中正确的是（    ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【答案】A 【思路点拨】根据演示确定作图的具体步骤，结合全等的判定方法判断． 【规范解答】由图示知，小赵第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为；小刘第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为． 故选：A． 【考点评析】本题考查尺规作图，三角全等的判定，掌握一般三角全等、直角三角形全等的判定方法是解题的关键． 【变式训练7-2】（22-23八年级上·广西柳州·期中）小明画的平分线时，设计了以下做法：如图，在边，上分别取，过点M，N分别作，的垂线，交点为P，画出射线．这种做法可由得知，其全等的依据是 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查三角形全等的判定． 由垂线的定义可得和都是直角三角形，已知条件满足斜边相等和一组直角边相等，因此依据 “”可判定． 【规范解答】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 故答案为： 【变式训练7-3】（23-24八年级上·福建厦门·期中）证明：如果两个三角形有两条边和其中一条边上的高分别相等，那么这两个三角形全等．（请根据图形，补全已知和求证，并写出证明过程） 已知：如图，在和中，，________，为边上的高，为边上的高，且．    求证：________________． 证明： 【答案】，，证明见解析． 【思路点拨】添加，先证明，得到，即可证明△ABC≌△EFG． 【规范解答】已知：如图，在 和 中， ，， 为 边上的高， 为 边上的高，且 ． 求证：． 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和 中， ， ∴． 【考点评析】此题考查了全等三角形的判定，正确添加已知条件是解题的关键． 【变式训练7-4】（22-23八年级上·江西赣州·期中）【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即）和直角三角形全等的判定方法（即后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在和中，，然后，对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．    (1)【逐步探究】 第一种情况：当是直角时，如图1，根据　　定理，可得． (2)第二种情况：当是钝角时，仍成立．请你完成证明． 已知：如图2，在和中，，且、都是钝角，求证：． (3)第三种情况：当是锐角时，和不一定全等．在和中，，且、都是锐角，请你用尺规在图3中作出，使和不全等．（不写作法，保留作图痕迹） (4)【深入思考】 在和中，，且、都是锐角，若　时，则． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 (4) 【思路点拨】（1）利用斜边直角边相等来判定直角三角形全等即可． （2）过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H，利用角角边判定即可． （3）通过边边角画出反例即可． （4）由图③可知，，则，反之即可保证全等． 【规范解答】（1）解：如图①， ∵， 在和中，， ∴， 故答案为： （2）证明：如图②，过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H， ∵，且都是钝角，    ∴， 即， 在和中，， ∴ ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴ （3）解：如图③中，在和，， 和不全等；    （4）解：由图③可知，， ∴， ∴当时，就唯一确定了， 则 【考点评析】本题主要考查三角形全等的判定及性质，能够熟练运用全等三角形判定的原理是解题关键． 【变式训练7-5】（21-22八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知如图，AB=AD，AD⊥DE，AB⊥BC，AC=AE，BC与DE相交于点F，连接CD、EB． (1)求证：△ABC≌△ADE； (2)图中还有哪几对全等三角形，请你一一列举（无需证明）； (3)求证：CF=EF． 【答案】(1)见解析 (2)△ADC≌△ABE，△DFC≌△BFE； (3)见解析 【思路点拨】（1）利用“HL”直接证明即可； （2）求出∠DAC＝∠BAE，利用SAS可证△ADC≌△ABE，得到CD＝BE，∠ACD＝∠AEB，再求出∠DCF＝∠BEF，利用AAS可证△DFC≌△BFE； （3）根据全等三角形的性质可直接得出结论． 【规范解答】（1）证明：在Rt△ABC和Rt△ADE中，， ∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL）； （2）图中还有两对全等三角形：△ADC≌△ABE，△DFC≌△BFE； 证明：∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC－∠BAD＝∠DAE－∠BAD， ∴∠DAC＝∠BAE， 又∵AD＝AB，AC＝AE， ∴△ADC≌△ABE（SAS）； ∴CD＝BE，∠ACD＝∠AEB， ∵△ABC≌△ADE， ∴∠ACB＝∠AED， ∴∠ACB−∠ACD＝∠AED−∠AEB， ∴∠DCF＝∠BEF， 又∵∠DFC＝∠BFE， ∴△DFC≌△BFE（AAS）； （3）由（2）可得：△DFC≌△BFE， ∴CF＝EF． 【考点评析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和对应边相等、对应角相等的性质是解题的关键． 【题型08 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）】 【易错题精讲】（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在与中，已知，添加一个条件，不能使得的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了直角三角形全等的判定．根据直角三角形的判定方法对各选项进行判断． 【规范解答】解：∵， ∴A.当添加时，可根据“”判定； B. 当添加时，可根据“”判定； C.当添加时，可根据“”判定． D. 当添加时，无法判定． 故选：D． 【变式训练8-1】（22-23七年级下·山东泰安·期末）如图，线段与交于点，点为上一点，连接、、，已知，．    (1)请添加一个条件________使，并说明理由． (2)在（1）的条件下请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析． 【思路点拨】（1）利用判定定理，添加即可判断； （2）利用全等三角形的判定与性质，再结合等角对等边即可判断． 【规范解答】（1）解：添加条件：，理由如下： ∵，，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等角对等边，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【变式训练8-2】（23-24八年级上·广东中山·期中）如图，点在上，点在上，且，那么补充下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【规范解答】已有的条件为，公共角， A.添加，可以根据证明，不符合题意； B..添加，可以根据证明，不符合题意； C.添加，属于，不可以证明，符合题意； D.添加，可得，可以根据证明，不符合题意； 故选：C． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：，，，，． 【变式训练8-3】（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）甲乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及对应的边或角添加等量条件（点分别是点的对应点）．某轮添加条件后，若能判定与全等，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 ? 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是 （填写所有正确结论的序号）． ①若第3轮甲添加，则乙获胜； ②若甲想获胜，第3轮可以添加条件； ③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为． 【答案】①③ 【思路点拨】根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【规范解答】解：①若第3轮甲添加，根据“边边边”即可判定，乙获胜，符合题意； ②若第3轮甲添加条件，由于含的直角三角形直角边等于斜边的一半，能判定，乙获胜，不符合题意； ③若乙第2轮添加条件为，则第3轮甲无论添加任何对应的边或角的等量条件，都可以判定，则甲失败，故说法正确； 故答案为：①③． 【考点评析】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【变式训练8-4】（23-24八年级上·河南新乡·期中）已知，四边形和四边形中，，，，，现在只需补充一个条件，就可得四边形四边形，下列四个条件：①；②；③；④，其中，符合要求的条件的有 ．（填所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【思路点拨】本题考查全等图形的判断，三角形全等的判定，根据两个完全重合的图形叫全等图形，结合三角形全等直接逐个判断即可得到答案 【规范解答】解：连接， ∵，，， ∴， ∴，， 当时， ， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴形四边形， ∴①符合题意， 当时， ∵，，， ∴， ∴形四边形， ∴②符合题意， 当时，不能得到， 故③不符合题意， 当时， ∵，，， ∴， ∴形四边形， ∴④符合题意， 故答案为：①②④． 【题型09 全等的性质与HL综合】 【易错题精讲】（23-24八年级上·天津滨海新·期中）如图，平分，，交的延长线于点F，在上有一点M，且， (1)若，，求的长． (2)试说明与的关系． 【答案】(1)或 (2)或 【思路点拨】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等，全等三角形对应角相等，对应边相等． （1）根据角平分线的性质得出，通过证明，得出，通过证明，得出，再进行分类讨论：当点M在点E左边时，当点M在点E右边时； （2）根据全等的性质得出，，再进行分类讨论即可：当点M在点E右边时，当点M在点E左边时，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， 当点M在点E左边时，， 当点M在点E右边时，， 综上：或． （2）解：由（1）可得， ∴，， 当点M在点E右边时，∵， ∴，即； 当点M在点E左边时，∵，， ∴， 综上：或． 【变式训练9-1】（23-24八年级下·山东青岛·期中）已知：如图为的高，为上一点，交于且有，． (1)问与的数量和位置关系分别是什么？并说明理由． (2)直接写出的度数． 【答案】(1)，，见解析 (2) 【思路点拨】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． （1）由已知得，由，，，根据“”证明，得，所以，则； （2）由全等三角形的性质得，而，所以． 【规范解答】（1），， 理由：由已知得， 为的高， 于点， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）的度数是， 理由：由（1）得， ， ， ． 【变式训练9-2】（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，点、在轴正半轴上，点、分别在轴上，平分与轴交于点，．    (1)求证：； (2)如图，点的坐标为，点为上一点，且，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路点拨】（1）由题意，可知，平分与轴交于点，所以可由定理证明，由全等三角形的性质可得； （2）过作于点，可证明、，因此，、，所以，，即可得的长． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴． ∵平分 ∴ 在和中， ， ∴． ∴； （2）解：由（）知，． ∴， ∴， 过作于点，    ∵，轴轴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； ∴． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质．角平分线的定义和性质，综合性较强，难度较大，掌握判定三角形全等的方法，是解（）题的关键；利用三角形的全等得到是解（）题的关键． 【变式训练9-3】（23-24八年级上·广东广州·期中）已知，如图，中，，D、E分别是上的点，M、N分别是上的点，若，．    求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）由得出，证出，再证明，即可得出． 【规范解答】（1）证明：， ， 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式训练9-4】（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）已知：如图，在 中，的角平分线与的垂直平分线交于点D， 垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若 求 的周长． 【答案】(1)详见解析 (2)17 【思路点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）证明，则，由（1）可知，即可得到答案． 【规范解答】（1）证明：连接． ∵D在的中垂线上 ∴ ∵．平分 ∴ ∴   ∴ （2）∵平分 ∴ ∵ ∴   又∵． ∴ ∴ 由 (1) 可知    ∴的周长为： 【变式训练9-5】（23-24八年级上·广西防城港·期中）如图，在中，，DE是过点A的直线，于D，于点E；    (1)当B、C在的同侧（如图①所示）且，则线段与的位置关系是 ． (2)当B、C在的两侧（如图②所示），且，其他条件不变，（1）的结论是否成立？若成立请说明理由． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 【思路点拨】（1）根据证得，进而利用全等三角形的性质即可求解． （2）根据证得，再利用全等三角形的性质即可求解． 【规范解答】（1）解：，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）成立，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 在和中 ， ， ∴，     又∵， ∴， ∴ ∴． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是寻找全等三角形解决问题． 【变式训练9-6】（22-23八年级上·四川泸州·期中）在中，，点是延长线上一点，点是线段上一点，连接．，． (1)求证：； (2)平分交于点，点是线段延长线上一点，连接，点是线段上一点，连接交于点，连接． ①求的度数； ②当平分时，求证：＋． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【思路点拨】（1）证明即可得证； （2）①根据平分交于点，得出，根据对顶角相等得出， 进而即可求解； ②作平分交于点，证明，，即可得证． 【规范解答】（1）证明：在和中， ， （）， ； （2）①∵平分交于点，， ， ， ， ②证明：如图：作平分交于点， 平分，平分， ，， ， ， 在和中， ， （）， ，， 在和中， ， （）， ， ， ． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的性质与判定． 【题型10 灵活运用判定方法证明全等（全等三角形的判定综合）】 【易错题精讲】（23-24八年级上·河南洛阳·期中）鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． (1)甲、乙两同学的方案哪个可行？_______（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由； (2)对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：_______． 【答案】(1)甲，理由见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的应用， （1）甲同学作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的； （2）甲根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； 熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 【规范解答】（1）甲同学的方案可行． 理由：由题意得， 在与中， ， ∴， ∴， 故甲同学的方案可行． （2）； 理由： ∵， 在与中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练10-1】（19-20八年级上·湖北宜昌·期末）如图，在等腰三角形ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F． (1)证明：∠CAE=∠CBF； (2)证明：AE=BF； (3)以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG(点E与点F重合于点G)，记△ABC和△ABG的面积分别为和．如果存在点P，使得，求的取值范围． 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）60°＜∠ACB＜90° 【思路点拨】（1）证得△ACP≌△BCP即可； （2）加上（1）的结论，证得△ACE≌△BCF即可； （3）假设存在点P，能使得S△ABC=S△ABG，由（2）得到的AE=BF，则新三角形ABG也为等腰三角形，根据底边都为AB，面积相等，得到高相等，所以AC=AE，即三角形ACE为等腰三角形，则底角∠ACB为锐角，即可得到∠ACB的取值范围． 【规范解答】1）证明：∵△ABC是等腰三角形，CH是底边上的高线， ∴AC=BC，∠ACP=∠BCP． 又∵CP=CP， ∴△ACP≌△BCP． ∴∠CAP=∠CBP，即∠CAE=∠CBF． （2）证明：∵在△ACE与△BCF中， ∴△ACE≌△BCF（ASA）． ∴AE=BF． （3）解：∵由（2）知△ABG是以AB为底边的等腰三角形， ∴S△ABC=S△ABG． ∴AE=AC． ①当∠ACB为直角或钝角时，在△ACE中，不论点P在CH何处，均有AE＞AC，所以结论不成立； ②当∠ACB为锐角时，∠CAH=90°-∠ACB，而∠CAE＜∠CAH，要使AE=AC，只需使∠ACB=∠CEA， 此时，∠CAE=180°-2∠ACB， 只须180°-2∠ACB＜90°-∠ACB， 解得：60°＜∠ACB＜90°． 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；两条线段在不同的三角形中要证明相等时，通常是利用全等来进行证明．需注意已证得条件在以后证明中的应用，以及分情况进行讨论等情况． 【变式训练10-2】（22-23八年级上·河南鹤壁·期中）探究：两边分别相等且其中一组等边的对角相等，这样的两个三角形是否全等． 作一作：如图，已知网格中有． 第一步：作；第二步：作；第三步：在射线上找到一点，使得，并连接． (1)请你在网格中完成第三步作图． (2)通过作图，我们发现，当两个三角形的两组对边相等、其中一组等边的对角也相等时， 第一种情况：如果这对相等的角为锐角，那么这两个三角形______全等； 第二种情况：如果这对相等的角为直角，那么这两个三角形______全等； 第三䄿情况：如果这对相等的角为钝角，那么这两个三角形______全等； 归纳总结：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形______全等（填“一定”或“不一定”）． (3)上述方法体现的数学思想是（    ） A．分类讨论；B．由特殊到一般；C．类比；D．转化 【答案】(1)见解析 (2)不一定；一定；一定；不一定 (3)A 【思路点拨】（1）根据题目的提示，以及网格的特点，作出图形即可； （2）根据第三步的图示，以及全等三角形的判定定理即可给出判断； （3）根据题意可得出结论． 【规范解答】（1）解：第三步作图如图所示， ； （2）解：通过作图，我们发现，当两个三角形的两组对边相等、其中一组等边的对角也相等时， 第一种情况：如果这对相等的角为锐角，那么这两个三角形不一定全等； 第二种情况：如果这对相等的角为直角，那么这两个三角形一定全等； 第三䄿情况：如果这对相等的角为钝角，那么这两个三角形一定全等； 归纳总结：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等； 故答案为：不一定；一定；一定；不一定； （3）解：分这对相等的角为锐角、直角、钝角，三种情况讨论， 故选：A． 【考点评析】此题考查了探究两边分别相等且其中一组等边的对角相等，这样的两个三角形是否全等；分这对相等的角为锐角、直角、钝角，三种情况讨论，这点非常重要，也是解题的关键． 【变式训练10-、3】（22-23八年级上·北京海淀·期末）甲乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及对应的边或角添加等量条件(点，，分别是点A，B，C的对应点)，某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 cm 2 乙 cm 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是 (填写所有正确结论的序号) ①若第3轮甲添加cm，则乙获胜； ②若甲想获胜，第3轮可以添加条件； ③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为． 【答案】①③ 【思路点拨】根据全等三角形的判定定理逐一分析判断即可． 【规范解答】解：①∵如果甲添加cm， 又cm，cm， ∴（SSS）， ∴乙获胜，故结论①正确； ②∵如果甲添加， 又， ∴是直角三角形，且， ∴这两个三角形的三边长度就确定下来，且必然对应相等，这两个三角形全等，故甲会输，故结论②错误， ③如果第二条条件修改为，甲在第三条填入，那么乙可能获胜，故结论③正确． 【考点评析】本题考查全等三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 【变式训练10-4】（22-23八年级上·福建福州·期中）如图，将两根钢条，的中点钉在一起，使，能绕点自由转动，就做成一个测量工具，测的长即等于内槽宽，那么判定的理由是（     ）．    A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．斜边直角边 【答案】A 【思路点拨】由是、的中点， 可得：，，再由，可以根据全等三角形的判定方法，判定． 【规范解答】∵是 、的中点， ∴，， 在和 中， ， ∴， 故选：． 【考点评析】此题考查了全等三角形判定方法的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法： 、、、、，要证明两个三角形全等，必须有对应边相等这一条件． 【题型11 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合）】 【易错题精讲】（22-23八年级上·河南新乡·期中）已知：．求作：，使． 作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 这种作一个角等于已知角的方法的依据是（　　） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【答案】B 【思路点拨】根据SSS定理证明即可． 【规范解答】解：证明：由作图可知，在△和中， ， （SSS）， ． 故选：B． 【考点评析】本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型． 【变式训练11-1】（21-22九年级下·北京·开学考试）李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的 ②当，时，可得到形状唯一确定的 ③当，时，可得到形状唯一确定的 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③/③② 【思路点拨】分别在以上三种情况下以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，观察弧与直线AM的交点即为Q点，作出后可得答案． 【规范解答】如下图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，所以不唯一，所以①错误． 如下图，当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以形状相同，所以唯一，所以②正确． 如下图，当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，所以唯一，所以③正确． 综上：②③正确． 故答案为：②③ 【考点评析】本题考查的是三角形形状问题，为三角形全等来探索判定方法，也考查三角形的作图，利用对称关系作出另一个Q是关键． 【变式训练11-2】（22-23八年级上·吉林长春·期中）【教材呈现】如图是华师版八年级上册65页的部分内容. 做一做 如图13.2.7，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形. 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种? 【探究问题】如图，，请你用圆规在 的另一边找到点 ，使，这样的点 有______个，说明符合条件的三角形有______种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形________全等． 【拓展思考】如图，已知 ，若且 ，，那么 一定是______三角形（从“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”三个答案选择）． 【答案】2；2；不一定；钝角 【思路点拨】本题考查全等三角形的判定方法； （1）根据全等三角形的几种判定方法解答即可； （2）根据全等三角形的性质解答即可． 【规范解答】这样的点C有2个，说明符合条件的三角形有2种：我们可以发现，此时（即“边边角"对应相等）两个三角形不一定全等 【拓展思考】∵是钝角三角形， ∴一定是钝角三角形 【变式训练11-3】（19-20八年级上·江西赣州·期中）如图，AM＝AN，点B和点C分别为∠MAN两边上的点，AB＝AC．按下列语句画出图形：（要求用无刻度直尺作图，） （1）AD⊥BC，垂足为D； （2）在完成（1）后不添加线段和字母的情况下，请你写出除△ABD≌△ACD外的两对全等三角形： 【答案】（1）见解析；（2）△ACM≌△ABN，△ABT≌△ACT，△BMT≌△CNT，△AMT≌△ANT，△BDT≌△CDT，△BCM≌△CBN（任选其二即可）． 【思路点拨】（1）连接BN和CM交于点T，连接AT交BC于D，AD即为所求； （2）根据全等三角形的判定定理，逐一分析即可. 【规范解答】解：（1）连接BN和CM交于点T，连接AT交BC于D，AD即为所求 理由如下： 在△ACM和△ABN中 ∴△ACM≌△ABN ∴∠M=∠N ∵BM=AM－AB=AN－AC=CN 在△BMT和△CNT中 ∴△BMT≌△CNT ∴TB=TC ∴T在BC中垂线上， ∵AB=AC ∴A也在BC中垂线上 根据两点确定一条直线 ∴AT垂直平分BC ∴AD⊥BC （2）△ACM≌△ABN，△ABT≌△ACT，△BMT≌△CNT，△AMT≌△ANT，△BDT≌△CDT，△BCM≌△CBN（任选其二即可）． 【考点评析】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的各个判定定理是解决此题的关键. 【变式训练11-4】（23-24八年级上·河北石家庄·期中）作图题： 如图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上，点是图的一个格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图中画，使； (2)在图中画，使； (3)在图中画，使． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【思路点拨】（）根据网格线的特点及轴对称的性质作图； （）根据网格线的特点及旋转的性质作图； （）根据网格线的特点及平移的性质作图； 此题考查了作图的应用，掌握网格线的特点及全等三角形的判定定理是解题的关键． 【规范解答】（1）如图： ∴即为所求； （2）如图： ∴即为所求； （3）如图： ∴即为所求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$