清单03 分式（考点清单，知识导图+20个考点清单&题型解读）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（青岛版）

清单03 分式 （考点梳理+20个题型解读60题+真题拔高15题） 题型清单目录 【知识梳理】 2 【考点题型一】分式的定义 6 【考点题型二】分式有意义的条件 7 【考点题型三】分式的值为零的条件 8 【考点题型四】分式的值 8 【考点题型五】分式的基本性质 9 【考点题型六】约分 9 【考点题型七】最简分式 10 【考点题型八】最简公分母 10 【考点题型九】分式的乘除法 10 【考点题型十】分式的加减法 11 【考点题型十一】分式的混合运算 13 【考点题型十二】分式的化简求值 14 【考点题型十三】分式方程的解 14 【考点题型十四】解分式方程 15 【考点题型十五】换元法解分式方程 16 【考点题型十六】分式方程的增根 16 【考点题型十七】由实际问题抽象出分式方程 16 【考点题型十八】分式方程的应用 17 【考点题型十九】比例的性质 18 【考点题型二十】比例线段 19 期中真题拔高训练15题 20 【知识梳理】 知识点01：分式的概念 一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫作分式．分式会中叫作分子，叫作分母． 注意：(1)判断一个式子是否为分式，关键是看分母中是否有字母． (2)分式与整式的根本区别：分式的分母中含有字母，如，是整式，而是分式． (3)分式有无意义的条件：①若，则分式有意义；②若，则分式无意义． (4)分式的值为零的条件：若，则分式的值为零，反之也成立． 知识点02：分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变． 用式子表示是：，，其中，，是整式． 注意：(1)分式的基本性质可类比分数的基本性质去理解记忆．利用分式的基本性质，可以在不改变分式的值的条件下，对分式作一系列的变形． (2)当分式的分子(或分母)是多项式，运用分式的基本性质时，要先把分式的分子(或分母)用括号括上．再将分子与分母同乘(或除以)相同的整式． 知识点03：约分、最简分式及通分的概念 1.约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分． 说明：约分的关键是准确找出分子与分母的公因式，找公因式的方法：(1)当分子和分母都是单项式时，先找出它们系数的最大公约数，再确定相同字母的最低次幂，它们的乘积就是分子与分母的公因式．(2)当分子、分母是多项式时，先将分子、分母因式分解，把分子、分母化为几个因式的积后，再找出分子、分母的公因式． 约分应注意一定要把公因式约尽，还应注意分子、分母的整体都要除以同一个公因式．当分子或分母是多项式时，要用分子、分母的公因式去除整个多项式，不能只除某一项，更不能减去某一项．例如是错误的． 2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式．判断一个分式是否为最简分式，关键是确定其分子与分母是否有公因式(1除外)． 分式的约分，一般要约去分子和分母的所有公因式，使所得结果成为最简分式或整式． 注意：(1)最简分式与小学学过的最简分数类似． (2)最简分式是对一个独立的分式而言的，最大的特点是只有一条分数线．形如，的分式都不是最简分式． 3.通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母． 4.最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积，叫作最简公分母． 注意：确定最简公分母的一般方法： (1)如果各分母都是单项式，确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的．这样得到的积就是最简公分母． (2)如果各分母都是多项式，就要把它们分解因式，再按照分母是单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去求． 知识点04：分式的乘除法 分式的乘除法与分数的乘除法类似，法则如下： 1.乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，用式子表示是：． 2.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，用式子表示是：． 3.分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方，用式子表示是：(是正整数)． 注意：(1)法则中的字母，，，所代表的可以是单项式，也可以是多项式． (2)运算的结果必须是最简分式或整式． 知识点05：分式的加减法 1．同分母分式加减法的法则 与同分母的分数加减法类似，同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示是：． 注意：(1)“同分母分式相加减”是把各个分式的“分子的整体”相加减，即当分子是多项式时，应将各分子加括号，括号不能省略， (2)运算结果必须化为最简分式或整式． 2．异分母分式加减法的法则 与异分母的分数加减法类似，异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减． 用式子表示是：． 知识点06：分式的混合运算 分式的混合运算的顺序是：先乘方，再乘除，最后算加减；遇到括号，先算括号内的；在同级运算中，从左向右依次进行． 注意：(1)实数的运算律对分式同样适用，注意灵活运用，提高解题的质量和速度． (2)结果必须化为最简分式或整式． (3)分子或分母的系数是负数时，要把“－”提到分数线的前边． (4)对于分式的乘除混合运算，应先将除法运算转化为乘法运算，分子、分母是多项式时，可先将分子、分母分解因式，再相乘． 知识点07：比和比例 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a：b＝m：n（或） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。a叫做比的前项，b叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 4、比例外项：在比例（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。 5、比例内项：在比例（或a：b＝c：d）中b、c叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为（或a:b=b:c时，我们把b叫做a和d的比例中项。 8、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 9、比例的基本性质：如果a：b＝c：d那么ad＝bc逆命题也成立，即如果ad＝bc，那么a：b＝c：d 10、比例的基本性质推论：如果a：b=b：d那么b2=ad，逆定理是如果b2=ad那么a：b=b：c。说明：两个论是比积相等的式子叫做等积式。比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。 11、合比性质：如果，那么 12．等比性质：如果，（），那么 说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为k ，这种方法思路单一，方法简单不易出错。 知识点08：分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫作分式方程，如，等. 注意 分式方程有两个重要特征：①是方程；②分母中含有未知数. 知识点09：解分式方程的基本思路、方法和一般步骤 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的具体做法是“去分母”，即方程两边同时乘最简公分母，这也是解分式方程的一般方法. 解分式方程的一般步骤：“一化，二解，三检验”. 即： 注意 在去分母前，需确定分式方程的最简公分母，若分母是多项式，应先分解因式，再确定最简分母. 知识点10：验根的方法 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为0，因此应做如下检验： 将整式方程的解代入原分式方程的最简公分母，如果最简公分母的值为0，那么这个解不是原分式方程的解. 注意 验根时也可以将整式方程的解代入原分式方程检验，这种方法虽然计算量大，但是能检查解分；式方程的过程中有无计算错误. 知识点11：列分式方程解应用题 列分式方程解应用题的步骤类似于列一元一次方程解应用题，即审题、设未知数、列方程、解方程、检验并写出答案. 注意 列分式方程解应用题的检验要分两步：第一步检验得到的未知数的值是不是原分式方程的根；第二步检验得到的未知数的值是否符合实际问题的意义 【考点题型一】分式的定义 【精讲题】（2023秋•聊城期中）下列各式：，，，，其中分式有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（2023秋•东营区期中）下列各式中中分式有　3　个． 【变式1-2】（2022秋•周村区期中）阅读理解 材料1：为了研究分式与分母的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： 0 1 2 3 4 无意义 1 0.5 0.25 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 根据上述材料完成下列问题： （1）当时，随着的增大，的值 　　（增大或减小）； 当时，随着的增大，的值 　　（增大或减小）； （2）当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； （3）当时，求代数式值的范围． 【考点题型二】分式有意义的条件 【精讲题】（2023秋•东营区校级期中）若分式有意义，则的取值范围是　　 A．全体实数 B． C． D． 【变式2-1】（2023秋•曹县期中）要使分式有意义，的取值范围是 　　． 【变式2-2】（2023春•江阴市期中）若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　． 【考点题型三】分式的值为零的条件 【精讲题】（2023春•天宁区校级期中）若分式的值为零，则的值为　　． 【变式3-1】（2023秋•昌平区期中）若分式的值为0，则的值为 　　． 【变式3-2】（2024春•工业园区校级期中）若分式的值为0，则　　． 【考点题型四】分式的值 【精讲题】（2023秋•迁安市期中）对于分式，下列说法不正确的是　　 A．时，分式值为0 B．时，分式无意义 C．时，分式值为负数 D．时，分式的值为正数 【变式4-1】（2022秋•新市区校级期中）已知，则　　． 【变式4-2】（2023秋•东昌府区校级期中）阅读下面的解答过程． 计算： 解：因为，，，， 所以原式 根据以上解题方法计算： （1）　　为正整数）； （2）． （3）． 【考点题型五】分式的基本性质 【精讲题】（2023秋•石家庄期中）下列各式正确的是　　 A． B． C． D． 【变式5-1】（2023秋•临淄区期中）下列式子中①；②；③；④中，正确的有　　 A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．只有④ 【变式5-2】（2023秋•株洲期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：，； 解决下列问题： （1）分式是 　真　分式（填“真”或“假” ； （2）将假分式化为带分式； （3）如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值． 【考点题型六】约分 【精讲题】（2022秋•曹县期中）化简的结果是　　 A． B． C． D． 【变式6-1】（2023秋•东营区期中）下列约分计算结果正确的是　　 A． B． C． D． 【变式6-2】（2017秋•忻城县期中）化简：　　． 【考点题型七】最简分式 【精讲题】（2023秋•溆浦县校级期中）下列各分式中，是最简分式的是　　 A． B． C． D． 【变式7-1】（2018秋•泰山区期中）下列分式，，，，，其中最简分式的个数是　　 A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 【变式7-2】（2022秋•青龙县期中）下列属于最简分式的是　　 A． B． C． D． 【考点题型八】最简公分母 【精讲题】（2023秋•栾城区校级期中）分式，的最简公分母是　　 A． B． C． D． 【变式8-1】（2022秋•顺义区校级期中）通分先要确定公分母，如果各分母的系数是整数，通常取各分母系数的 　 　与字母因式的最 　　次幂的积作为公分母．这样的公分母叫做最简公分母． 【变式8-2】（2021秋•广饶县期中）对和进行通分，需确定的最简公分母是　　． 【考点题型九】分式的乘除法 【精讲题】（2023秋•芝罘区期中）计算的结果是 　　． 【变式9-1】（2023秋•东昌府区期中）如图，小琪的作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为． （1）求被墨水污染的部分； （2）该题化简的结果能等于吗？为什么？ 【变式9-2】（2023秋•洞口县期中）计算： （1）； （2）． 【考点题型十】分式的加减法 【精讲题】（2024春•清江浦区校级期中）计算： （1） ； （2）． 【变式10-1】（2023秋•荣成市期中）材料阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ；． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：①分式是 　真　分式（填“真”或“假” ； ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差的形式：　　 ． （2）把分式化成一个整式与一个真分式的和（差的形式，并求取何整数时，这个分式的值为整数． 【变式10-2】（2023秋•汉寿县期中）【阅读学习】阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即， 所以． 故的值为． 【类比探究】 （1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知，求的值． 【拓展延伸】 （2）已知，，，求的值． 【考点题型十一】分式的混合运算 【精讲题】（2022秋•隆回县期中）计算 （1） ； （2）． 【变式11-1】（2022秋•顺义区校级期中）阅读材料，并回答问题： 小亮在学习分式运算过程中，计算解答过程如下： 解： ① ② ③ ④ 问题：（1）上述计算过程中，从　　步开始出现错误（填序号）； （2）发生错误的原因是：　　； （3）在下面的空白处，写出正确解答过程． 【变式11-2】（2023秋•周村区期中）计算： （1） ； （2）． 【考点题型十二】分式的化简求值 【精讲题】（2015秋•北京校级期中）已知：，，则　　． 【变式12-1】（2021秋•蓬江区校级期中）先化简，再求值：，其中． 【变式12-2】（2023秋•定陶区期中）先化简再求值：，其中满足与2和3构成的第三边，且为整数． 【考点题型十三】分式方程的解 【精讲题】（2023秋•海阳市期中）若分式方程无解，则的值为　　 A． B．2 C．1或2 D．或2 【变式13-1】（2018秋•文登区期中）已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是　　． 【变式13-2】（2023秋•延庆区期中）给出如下的定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为，．例如：，就是关于的分式方程的一个“方程数对”，记为，． （1）判断数对①，，②，中是关于的分式方程的“方程数对”的是 　　；（只填序号） （2）若数对，是关于的分式方程的“方程数对”，求的值； （3）若数对，且，是关于的分式方程的“方程数对”，用含的代数式表示． 【考点题型十四】解分式方程 【精讲题】（2022秋•任城区期中）对于两个不相等的实数．，我们规定符号，表示，中较小的值，如，．按照这个规定，方程，的解为　　 A．或2 B．2 C． D．无解 【变式14-1】（2023秋•岱岳区期中）解方程： （1） ； （2）． 【变式14-2】（2023秋•青龙县期中）解方程： （1）； （2）． 【考点题型十五】换元法解分式方程 【精讲题】（2023秋•周村区期中）在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为　　 A． B． C． D． 【变式15-1】（2021秋•大兴区校级期中）用换元法解方程时，可以令　　，得到关于的方程是 　　． 【变式15-2】（2020秋•徐汇区校级期中）用换元法解方程，设，则得到关于的整式方程为 　　． 【考点题型十六】分式方程的增根 【精讲题】（2023秋•晋州市期中）若在解关于的方程时，会产生增根，则的值为　　 A．3 B． C．1 D． 【变式16-1】（2023秋•汨罗市期中）已知关于的分式方程有增根，则　　． 【变式16-2】（2023秋•临淄区期中）关于的分式方程． （1）若此方程有增根，求的值； （2）若此方程解为正数，求的取值范围． 【考点题型十七】由实际问题抽象出分式方程 【精讲题】（2024春•武侯区校级期中）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为人，则可列方程　　 A． B． C． D． 【变式17-1】（2020秋•滦州市期中）某边防哨卡运来一筐苹果，共有60个，计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩5个苹果；改为每名战士再多分1个，结果还差6个苹果．若设该哨卡共有名战士，则所列方程为　　 A． B． C． D． 【变式17-2】（2023春•石阡县期中）题目：为了美化环境，某地政府计划对辖区内的土地进行绿化，为了尽快完成任务，实际平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍，结果提前2个月完成任务，求原计划平均每月的绿化面积． 甲同学所列的方程为 乙同学所列的方程为 （1）甲同学所列方程中的表示 　原计划平均每月的绿化面积　．乙同学所列方程中的表示 　　． （2）任选甲、乙两同学的其中一个方法解答这个题目． 【考点题型十八】分式方程的应用 【精讲题】（2023秋•冷水滩区校级期中）为顺利通过“文明城市”验收，我市拟对城区部分排水骨道公用设施全面更新改造，为响应城市建设的需要，需在一个月内完成工程，现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的1.5倍，若甲、乙两工程队合作只需12天完成． （1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？ （2）若甲工程队每天的工程费用是4万元，乙工程队每天的工程费用是3万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少． 【变式18-1】（2023秋•荣成市期中）某商厦进货员预测有一种衬衫能畅销市场，就用4万元购进这种衬衫，投放市场后供不应求，商厦又用8.8万元购进了第二批同样的衬衫，所购数量是第一次的2倍，但单价每件贵了4元． （1）商厦第二次购进的衬衫每件多少元？ （2）商厦对两次购进的衬衫都按60元的售价进行销售，最后剩下的500件按五折全部售空．在这笔生意中，商场盈利多少元？ 【变式18-2】（2023秋•广饶县期中）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 【考点题型十九】比例的性质 【精讲题】（2022秋•清苑区期中）已知，则下列变形不正确的是　　 A． B． C． D． 【变式19-1】（2022秋•渌口区期中）已知，且，则的值是 　　． 【变式19-2】（2016秋•杜尔伯特县期中）已知，则的值是　　． 【考点题型二十】比例线段 【精讲题】（2023秋•温州期中）如图1是有两个外开式活动门扇的双开入户铜门．门槛长为，，分别为左右门扇的底部门宽，且，关上门时，与重合．阳光明媚的某天，将两扇门向外开到如图2的位置（平面示意图），这时阳光正好垂直照射向门槛，因门的遮挡，在门槛上留下三线段、、，只有线段晒到太阳，且，则此时、间的距离为 　 　． 【变式20-1】（2022秋•阳谷县期中）已知，，为三角形的三边，满足，且，求三角形周长． 【变式20-2】（2023秋•冠县期中）已知线段、、满足，且． （1）求、、的值； （2）若线段，线段是线段、的比例中项，求． 期中真题拔高训练15题 一．选择题 1．（2024春•金牛区校级期中）把分式中的分子分母的，同时扩大为原来的3倍，那么分式的值将　　 A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的6倍 C．不变 D．变为原来的 2．（2023秋•天元区校级期中）化简的结果是　　 A．1 B． C． D． 3．（2021秋•桓台县期中）下列分式是最简分式的是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•冷水滩区校级期中）2023年5月12日是我国第15个全国防灾减灾日，我校组织八年级部分同学进行了两次地震应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多15，结果2000名同学全部撤离的时间比第一次节省了240秒，若设第一次平均每秒撤离人，则满足的方程为　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•绥化期中）如果把分式中的，都扩大10倍，则分式的值　　 A．扩大100倍 B．扩大10倍 C．不变 D．缩小为原来的 二．填空题 6．（2024春•金牛区校级期中）关于的分式方程有增根，则的值是 　　． 7．（2023春•恩阳区 期中）已知，则分式的值为　　． 8．（2023秋•东昌府区期中）已知三张卡片上面分别写有6，，，从中任选两张卡片，组成一个最简分式为 　．　．（写出一个分式即可） 9．（2022秋•渌口区期中）计算：　　． 10．（2023秋•聊城期中）已知非零实数，满足，则的值等于 　　． 三．解答题 11．（2024春•清江浦区校级期中）定义：两个分式与满足：，则称与这两个分式互为“美妙分式”． （1）下列三组分式：①与；②与；③与．其中互为“美妙分式”的有 　　（只填序号）； （2）求分式的“美妙分式”； 12．（2022秋•贵港期中）某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用30天时间完成整个工程．当一号施工队工作10天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前8天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程． （1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ （2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？ 13．（2023秋•临湘市期中）山地自行车越来越受中学生的喜爱一家店经营的某型号山地自行车，今年七月份销售额为22500元，八月份每辆车售价比七月份每辆车售价提高100元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是25000元． （1）求八月份每辆车售价是多少元？ （2）为了促销，九月份每辆车售价比八月份每辆车售价降低了销售，该店仍可获利，求每辆山地自行车的进价是多少元？ 14．（2023秋•汨罗市期中）甜酒是长乐美食一张名片，某超市推出两款经典甜酒，一款是色香味俱全的“富硒甜酒”，另一款是清香四溢的“糯米甜酒”．已知2坛“富硒甜酒”和1坛“糯米甜酒”需68元；1坛“富硒甜酒”和2坛“糯米甜酒”需61元． （1）求“富硒甜酒”和“糯米甜酒”的单价； （2）糯米是两款美食必不可少的材料，该超市老板发现本月的每千克糯米价格比上个月涨了，同样花24元买到的糯米数量比上个月少了1千克，求本月糯米的价格． 15．（2023秋•兴宾区校级期中）某市文化宫学习十九大有关优先发展交于的精神，举办了为某贫困山区小学捐赠书包活动．首次用2000元在商店购进一批学生书包，活动进行后发现书包数量不够，又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元． （1）求文化宫第一批购进书包的单价是多少？ （2）商店两批书包每个的进价分别是68元和70元，这两批书包全部售给文化宫后，商店共盈利多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 分式 （考点梳理+20个题型解读60题+真题拔高15题） 题型清单目录 【知识梳理】 2 【考点题型一】分式的定义 6 【考点题型二】分式有意义的条件 8 【考点题型三】分式的值为零的条件 9 【考点题型四】分式的值 10 【考点题型五】分式的基本性质 12 【考点题型六】约分 14 【考点题型七】最简分式 15 【考点题型八】最简公分母 16 【考点题型九】分式的乘除法 17 【考点题型十】分式的加减法 19 【考点题型十一】分式的混合运算 22 【考点题型十二】分式的化简求值 24 【考点题型十三】分式方程的解 25 【考点题型十四】解分式方程 28 【考点题型十五】换元法解分式方程 30 【考点题型十六】分式方程的增根 31 【考点题型十七】由实际问题抽象出分式方程 33 【考点题型十八】分式方程的应用 34 【考点题型十九】比例的性质 37 【考点题型二十】比例线段 38 期中真题拔高训练15题 40 【知识梳理】 知识点01：分式的概念 一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫作分式．分式会中叫作分子，叫作分母． 注意：(1)判断一个式子是否为分式，关键是看分母中是否有字母． (2)分式与整式的根本区别：分式的分母中含有字母，如，是整式，而是分式． (3)分式有无意义的条件：①若，则分式有意义；②若，则分式无意义． (4)分式的值为零的条件：若，则分式的值为零，反之也成立． 知识点02：分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变． 用式子表示是：，，其中，，是整式． 注意：(1)分式的基本性质可类比分数的基本性质去理解记忆．利用分式的基本性质，可以在不改变分式的值的条件下，对分式作一系列的变形． (2)当分式的分子(或分母)是多项式，运用分式的基本性质时，要先把分式的分子(或分母)用括号括上．再将分子与分母同乘(或除以)相同的整式． 知识点03：约分、最简分式及通分的概念 1.约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分． 说明：约分的关键是准确找出分子与分母的公因式，找公因式的方法：(1)当分子和分母都是单项式时，先找出它们系数的最大公约数，再确定相同字母的最低次幂，它们的乘积就是分子与分母的公因式．(2)当分子、分母是多项式时，先将分子、分母因式分解，把分子、分母化为几个因式的积后，再找出分子、分母的公因式． 约分应注意一定要把公因式约尽，还应注意分子、分母的整体都要除以同一个公因式．当分子或分母是多项式时，要用分子、分母的公因式去除整个多项式，不能只除某一项，更不能减去某一项．例如是错误的． 2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式．判断一个分式是否为最简分式，关键是确定其分子与分母是否有公因式(1除外)． 分式的约分，一般要约去分子和分母的所有公因式，使所得结果成为最简分式或整式． 注意：(1)最简分式与小学学过的最简分数类似． (2)最简分式是对一个独立的分式而言的，最大的特点是只有一条分数线．形如，的分式都不是最简分式． 3.通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母． 4.最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积，叫作最简公分母． 注意：确定最简公分母的一般方法： (1)如果各分母都是单项式，确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的．这样得到的积就是最简公分母． (2)如果各分母都是多项式，就要把它们分解因式，再按照分母是单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去求． 知识点04：分式的乘除法 分式的乘除法与分数的乘除法类似，法则如下： 1.乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，用式子表示是：． 2.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，用式子表示是：． 3.分式的乘方：分式乘方要把分子、分母分别乘方，用式子表示是：(是正整数)． 注意：(1)法则中的字母，，，所代表的可以是单项式，也可以是多项式． (2)运算的结果必须是最简分式或整式． 知识点05：分式的加减法 1．同分母分式加减法的法则 与同分母的分数加减法类似，同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示是：． 注意：(1)“同分母分式相加减”是把各个分式的“分子的整体”相加减，即当分子是多项式时，应将各分子加括号，括号不能省略， (2)运算结果必须化为最简分式或整式． 2．异分母分式加减法的法则 与异分母的分数加减法类似，异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减． 用式子表示是：． 知识点06：分式的混合运算 分式的混合运算的顺序是：先乘方，再乘除，最后算加减；遇到括号，先算括号内的；在同级运算中，从左向右依次进行． 注意：(1)实数的运算律对分式同样适用，注意灵活运用，提高解题的质量和速度． (2)结果必须化为最简分式或整式． (3)分子或分母的系数是负数时，要把“－”提到分数线的前边． (4)对于分式的乘除混合运算，应先将除法运算转化为乘法运算，分子、分母是多项式时，可先将分子、分母分解因式，再相乘． 知识点07：比和比例 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a：b＝m：n（或） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。a叫做比的前项，b叫做比的后项。 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 4、比例外项：在比例（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。 5、比例内项：在比例（或a：b＝c：d）中b、c叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为（或a:b=b:c时，我们把b叫做a和d的比例中项。 8、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 9、比例的基本性质：如果a：b＝c：d那么ad＝bc逆命题也成立，即如果ad＝bc，那么a：b＝c：d 10、比例的基本性质推论：如果a：b=b：d那么b2=ad，逆定理是如果b2=ad那么a：b=b：c。说明：两个论是比积相等的式子叫做等积式。比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。 11、合比性质：如果，那么 12．等比性质：如果，（），那么 说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为k ，这种方法思路单一，方法简单不易出错。 知识点08：分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫作分式方程，如，等. 注意 分式方程有两个重要特征：①是方程；②分母中含有未知数. 知识点09：解分式方程的基本思路、方法和一般步骤 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的具体做法是“去分母”，即方程两边同时乘最简公分母，这也是解分式方程的一般方法. 解分式方程的一般步骤：“一化，二解，三检验”. 即： 注意 在去分母前，需确定分式方程的最简公分母，若分母是多项式，应先分解因式，再确定最简分母. 知识点10：验根的方法 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为0，因此应做如下检验： 将整式方程的解代入原分式方程的最简公分母，如果最简公分母的值为0，那么这个解不是原分式方程的解. 注意 验根时也可以将整式方程的解代入原分式方程检验，这种方法虽然计算量大，但是能检查解分；式方程的过程中有无计算错误. 知识点11：列分式方程解应用题 列分式方程解应用题的步骤类似于列一元一次方程解应用题，即审题、设未知数、列方程、解方程、检验并写出答案. 注意 列分式方程解应用题的检验要分两步：第一步检验得到的未知数的值是不是原分式方程的根；第二步检验得到的未知数的值是否符合实际问题的意义 【考点题型一】分式的定义 【精讲题】（2023秋•聊城期中）下列各式：，，，，其中分式有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】根据分式的定义逐个判断即可． 【规范解答】解：在，，，中，其中分式有：、共2个． 故选：． 【考点评析】本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【变式1-1】（2023秋•东营区期中）下列各式中中分式有　3　个． 【思路点拨】直接利用分式的定义分析进而得出答案． 【规范解答】解：中分式为：、，共3个． 故答案为：3． 【考点评析】此题主要考查了分式的定义，正确把握定义是解题关键． 【变式1-2】（2022秋•周村区期中）阅读理解 材料1：为了研究分式与分母的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： 0 1 2 3 4 无意义 1 0.5 0.25 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 根据上述材料完成下列问题： （1）当时，随着的增大，的值 　减小　（增大或减小）； 当时，随着的增大，的值 　　（增大或减小）； （2）当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； （3）当时，求代数式值的范围． 【思路点拨】（1）由，的变化情况，判断，的变化情况即可； （2）由，即可求解； （3）由，再结合的取值范围即可求解． 【规范解答】解：（1）当时，随着的增大而减小， 随着的增大，的值减小； 当时，随着的增大而减小， ， 随着的增大，的值减小， 故答案为：减小，减小； （2）， 当时，的值无限接近0， 的值无限接近2； （3）， 又， ， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． 【考点题型二】分式有意义的条件 【精讲题】（2023秋•东营区校级期中）若分式有意义，则的取值范围是　　 A．全体实数 B． C． D． 【思路点拨】根据分式有意义，分母不等于0和平方数非负数的性质解答． 【规范解答】解：由题可知，要使有意义则分母不能等于0， 即 故． 故选：． 【考点评析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义分母为零； （2）分式有意义分母不为零； （3）分式值为零分子为零且分母不为零． 【变式2-1】（2023秋•曹县期中）要使分式有意义，的取值范围是 　　． 【思路点拨】分母不等于0，即可作答． 【规范解答】解：分式有意义， ， 解得：． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 【变式2-2】（2023春•江阴市期中）若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　． 【思路点拨】分式有意义的条件是分母不等于零． 【规范解答】解：分式在实数范围内有意义， ， 解得：． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查的是分式的有意义的条件，掌握分式的有意义的条件是解题的关键． 【考点题型三】分式的值为零的条件 【精讲题】（2023春•天宁区校级期中）若分式的值为零，则的值为　3　． 【思路点拨】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零，由此得到且，从而得到的值． 【规范解答】解：依题意得：且， 解得． 故答案为：3． 【考点评析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 【变式3-1】（2023秋•昌平区期中）若分式的值为0，则的值为 　　． 【思路点拨】分式的值为零，分子等于零且分母不等于零． 【规范解答】解：依题意得：且， 解得． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 【变式3-2】（2024春•工业园区校级期中）若分式的值为0，则　1　． 【思路点拨】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题． 【规范解答】解：分式的值为0，得 且．解得， 故答案为：1． 【考点评析】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 【考点题型四】分式的值 【精讲题】（2023秋•迁安市期中）对于分式，下列说法不正确的是　　 A．时，分式值为0 B．时，分式无意义 C．时，分式值为负数 D．时，分式的值为正数 【思路点拨】分别根据的值和范围判断即可． 【规范解答】解：当时，，故符合题意； 当时，， 所以当时，分式无意义，故不符合题意； 当时，， 所以分式的值为负数，故选项不符合题意； 当时，， 所以分式的值为正数，故不符合题意， 故选：． 【考点评析】本题考查了分式的值，分式的值为零，分式有意义的条件，分式的符号的判断，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【变式4-1】（2022秋•新市区校级期中）已知，则　4　． 【思路点拨】设，利用等比性质和等式的性质化简，可得，，再代入要求得式子计算即可． 【规范解答】解：设 则 ， 故答案为：4． 【考点评析】本题考查了利用等比性质和等式的性质化简求分式的值，明确等比性质和等式的性质是解题的关键． 【变式4-2】（2023秋•东昌府区校级期中）阅读下面的解答过程． 计算： 解：因为，，，， 所以原式 根据以上解题方法计算： （1）　　为正整数）； （2）． （3）． 【思路点拨】（1）由观察得； （2）将变形为形式就可以解决了； （3）原式计算即可． 【规范解答】解：（1）由题意得； 故答案为：； （2） ； （3） ． 【考点评析】此题考查了算式规律的归纳能力，关键是归纳出基本计算规律并能变式运用． 【考点题型五】分式的基本性质 【精讲题】（2023秋•石家庄期中）下列各式正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据分式的基本性质分别判断即可． 【规范解答】解：．，故该项符合题意； ．不一定等于，故该项不符合题意； ．当时，，故该项不符合题意； ，故该项不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【变式5-1】（2023秋•临淄区期中）下列式子中①；②；③；④中，正确的有　　 A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．只有④ 【思路点拨】运用分式的基本性质（分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变）来进行选择． 【规范解答】解：①中，，故符合题意； ②中，，故不符合题意； ③中，，故符合题意； ④中，，故符合题意， 正确的有①③④， 故选：． 【考点评析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是根据分式的基本性质来解答． 【变式5-2】（2023秋•株洲期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：，； 解决下列问题： （1）分式是 　真　分式（填“真”或“假” ； （2）将假分式化为带分式； （3）如果为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的的值． 【思路点拨】（1）认真读懂题意，利用题中给出的定义判断； （2）依据题意化简即可； （3）依据题意化简后分情况讨论出结果即可． 【规范解答】解：（1）分式是真分式； 故答案为：真； （2）； （3）原式， 分式的值为整数， 或， 或或11或． 【考点评析】本题考查分式的运算，熟练掌握分式的化简运算方法，弄清定义，利用整体的数学思想是解题的关键． 【考点题型六】约分 【精讲题】（2022秋•曹县期中）化简的结果是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】将分母因式分解，再约分即可求解． 【规范解答】解： ， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了分式的约分，先将分母进行因式分解是解答本题的关键．注意不要遗漏式子的符号． 【变式6-1】（2023秋•东营区期中）下列约分计算结果正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】直接利用分式的性质分别化简得出答案． 【规范解答】解：、原式，故本选项符合题意． 、该分式是最简分式，无法约分，故本选项不符合题意． 、该分式是最简分式，无法约分，故本选项不符合题意． 、原式，故本选项不符合题意． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键． 【变式6-2】（2017秋•忻城县期中）化简：　　． 【思路点拨】首先把分子分母分解因式，然后约去分子分母的公因式即可． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【考点评析】此题主要考查了约分，关键是正确把分子分母分解因式． 【考点题型七】最简分式 【精讲题】（2023秋•溆浦县校级期中）下列各分式中，是最简分式的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【规范解答】解：．是最简分式； ．，不符合题意； ．，不符合题意； ．，不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了分式的基本性质和最简分式，能熟记分式的化简过程是解此题的关键，首先要把分子分母分解因式，然后进行约分． 【变式7-1】（2018秋•泰山区期中）下列分式，，，，，其中最简分式的个数是　　 A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 【思路点拨】根据最简分式的定义分别对每个分式进行分析即可 ． 【规范解答】解：，，，，都不是最简分式， 故错误； 是最简分式， 故正确； 故选：． 【考点评析】此题考查了最简分式， 最简分式的标准是分子， 分母中不含有公因式， 不能再约分 ． 判断的方法是把分子、 分母分解因式， 并且观察有无互为相反数的因式， 这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分 ． 【变式7-2】（2022秋•青龙县期中）下列属于最简分式的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据最简分式的定义可逐项判定求解． 【规范解答】解：，不是最简分式，故错误； ，不是最简分式，故错误； 是最简分式，故正确； ，不是最简分式，故错误． 故选：． 【考点评析】本题主要考查最简分式，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【考点题型八】最简公分母 【精讲题】（2023秋•栾城区校级期中）分式，的最简公分母是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此作答即可． 【规范解答】解：分式，的分母分别是、，故最简公分母是； 故选：． 【考点评析】本题考查了最简公分母，熟练掌握最简公分母的定义是关键． 【变式8-1】（2022秋•顺义区校级期中）通分先要确定公分母，如果各分母的系数是整数，通常取各分母系数的 　最小公倍数　与字母因式的最 　　次幂的积作为公分母．这样的公分母叫做最简公分母． 【思路点拨】根据最简公分母的定义，几个分式中各分母系数（都是整数）的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积叫做这几个分式的最简公分母． 【规范解答】解：通分先要确定公分母，如果各分母的系数是整数，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母．这样的公分母叫做最简公分母． 故答案为：最小公倍数，高 【考点评析】本题考查了最简公分母的定义，解题的关键是熟练的掌握最简公分母的定义． 【变式8-2】（2021秋•广饶县期中）对和进行通分，需确定的最简公分母是　　． 【思路点拨】确定最简公分母的方法是： （1）取各分母系数的最小公倍数； （2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【规范解答】解：分式和的分母分别是、． 则最简公分母是． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了最简公分母的定义及确定方法，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握． 【考点题型九】分式的乘除法 【精讲题】（2023秋•芝罘区期中）计算的结果是 　　． 【思路点拨】根据分式的乘除法法则进行解题即可． 【规范解答】解：原式． 故答案为：． 【考点评析】本题考查分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键． 【变式9-1】（2023秋•东昌府区期中）如图，小琪的作业本上有这样一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为． （1）求被墨水污染的部分； （2）该题化简的结果能等于吗？为什么？ 【思路点拨】（1）根据分式的乘除混合运算的法则计算即可； （2）根据分式有意义的条件即可得到结论． 【规范解答】解：（1）设被墨水污染的部分是， 由题意得：， ， ， 解得：； 故被墨水污染的部分为； （2）解：不能，理由如下： 若， 则， 由分式，， 当时，原分式无意义， 所以不能． 【考点评析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【变式9-2】（2023秋•洞口县期中）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）先根据负整数指数幂、0次幂、乘方计算，再计算加减即可； （2）先算乘方，再算乘除即可． 【规范解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【考点评析】本题考查了分式的混合运算，实数的混合运算，解答本题的关键是掌握负整数指数幂、0次幂、乘方的运算法则，以及分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【考点题型十】分式的加减法 【精讲题】（2024春•清江浦区校级期中）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）分母不变，分子直接作差，然后约分即可； （2）分母先用平方差公式、分子提取公因式因式分解，然后进行除法运算即可． 【规范解答】解： ； （2） ． 【考点评析】本题考查了分式的减法，分式的除法运算，完全平方公式，平方差公式等知识．解题的关键在于正确的运算． 【变式10-1】（2023秋•荣成市期中）材料阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ；． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：①分式是 　真　分式（填“真”或“假” ； ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差的形式：　　． （2）把分式化成一个整式与一个真分式的和（差的形式，并求取何整数时，这个分式的值为整数． 【思路点拨】（1）①根据真分式的定义判断即可； ②根据材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数的值； 【规范解答】解：（1）①分式中，分子的次数小于分母的次数， 分式是真分式； ②， 故答案为：①真；② （2） ， 若这个分式的值为整数， 则或或或， 或或或． 【考点评析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式10-2】（2023秋•汉寿县期中）【阅读学习】阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即， 所以． 故的值为． 【类比探究】 （1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知，求的值． 【拓展延伸】 （2）已知，，，求的值． 【思路点拨】（1）利用“倒数法”取已知等式的倒数，整理得到；将所求分式取倒数，利用配方法和整体代入的方法求得式子的值，最后取倒数即可得出结论； （2）将已知三个等式的左右两边分别相加得到，将所求的分式取倒数计算出结果，利用（1）中的方法即可得出结论． 【规范解答】（1）由知，所以， 即：． ， ． （2），，， ． ． ， ． 【考点评析】本题主要考查了分式的加减法，倒数的意义，分式的乘除法，配方法，本题是阅读型题目，理解并熟练运用题干中的解题思想与方法是解题的关键． 【考点题型十一】分式的混合运算 【精讲题】（2022秋•隆回县期中）计算 （1）； （2）． 【思路点拨】（1）根据乘方，负整数指数幂，零指数幂，结合有理数的混合运算法则进行计算即可； （2）先通分计算括号里的，将乘法转换为除法，再进行约分即可． 【规范解答】解：（1）原式； （2）原式 ． 【考点评析】本题考查了乘方，负整数指数幂，零指数幂，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 【变式11-1】（2022秋•顺义区校级期中）阅读材料，并回答问题： 小亮在学习分式运算过程中，计算解答过程如下： 解： ① ② ③ ④ 问题：（1）上述计算过程中，从　③　步开始出现错误（填序号）； （2）发生错误的原因是：　　； （3）在下面的空白处，写出正确解答过程． 【思路点拨】（1）根据分式的加法法则得出答案即可； （2）根据分式的加法法则得出答案即可； （3）先通分，再根据分式的加法法则进行计算，最后求出答案即可． 【规范解答】解：（1）上述计算过程中，从第③步开始出现错误， 故答案为：③； （2）发生错误的原因是把分式的分母去掉了， 故答案为：分式的分母去掉了； （3） ． 【考点评析】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键． 【变式11-2】（2023秋•周村区期中）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）先约分，再根据同分母分式的运算法则计算； （2）先算乘方，再把除法转化为乘法约分即可． 【规范解答】解：（1） ； （2） ． 【考点评析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【考点题型十二】分式的化简求值 【精讲题】（2015秋•北京校级期中）已知：，，则　　． 【思路点拨】由可得，代入变为只含有的代数式，由可得，再代入前面化简后的式子，即可解答本题． 【规范解答】解：， ． ． ， ． ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是可以将题目中的式子灵活变化，变为所求式子需要的条件 【变式12-1】（2021秋•蓬江区校级期中）先化简，再求值：，其中． 【思路点拨】先化简原式与的值，然后将的值代入原式即可求出答案． 【规范解答】解：， ． ． ． 当时，原式． 【考点评析】本题考查分式的化简求值，解题的关键熟练运用分式的运算法则和因式分解，本题属于基础题型． 【变式12-2】（2023秋•定陶区期中）先化简再求值：，其中满足与2和3构成的第三边，且为整数． 【思路点拨】先计算乘方，再计算加减，判断出再代入求解． 【规范解答】解：原式 ． ，，， ， 原式． 【考点评析】本题考查分式的化简求值，三角形的三边关系等知识，解题的关键是掌握分式的混合运算的法则． 【考点题型十三】分式方程的解 【精讲题】（2023秋•海阳市期中）若分式方程无解，则的值为　　 A． B．2 C．1或2 D．或2 【思路点拨】先去分母，方程两边同时乘，解方程把的值用表示出来，然后根据各个选项中的值，进行判断方程有解无解，从而得到正确的答案． 【规范解答】解：， 去分母得：， ， ， ， 分式方程无解， ，， ，， 当时，原方程为：， ， ， ， 检验：当时，， 时，原方程无解； 综上可知：分式方程无解时，的值为1或2， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握分式方程有解和无解的判断方法． 【变式13-1】（2018秋•文登区期中）已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是　且　． 【思路点拨】解关于的分式方程，求得的值，然后再依据“解是非正数”建立不等式求的取值范围． 【规范解答】解：去分母，得， 解得：， ， ， ， ， 且． 故答案为：且． 【考点评析】本题考查了分式方程的解，解答本题时，易漏掉，这是因为忽略了这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视． 【变式13-2】（2023秋•延庆区期中）给出如下的定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，称为关于的分式方程的一个“方程数对”，记为，．例如：，就是关于的分式方程的一个“方程数对”，记为，． （1）判断数对①，，②，中是关于的分式方程的“方程数对”的是 　①　；（只填序号） （2）若数对，是关于的分式方程的“方程数对”，求的值； （3）若数对，且，是关于的分式方程的“方程数对”，用含的代数式表示． 【思路点拨】（1）根据定义分别判断即可； （2）根据定义计算即可； （3）根据定义计算即可． 【规范解答】解：（1）当，时，分式方程为， 解得， ， ①，是关于的分式方程的“方程数对”； 当，时，分式方程为， 解得， ， ②，不是关于的分式方程的“方程数对”； 故答案为：①； （2）数对，是关于的分式方程的“方程数对”， ，， ， 解得； （3）数对，且，是关于的分式方程的“方程数对”， ，， ， 解得． 【考点评析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“方程数对”的定义是解题的关键． 【考点题型十四】解分式方程 【精讲题】（2022秋•任城区期中）对于两个不相等的实数．，我们规定符号，表示，中较小的值，如，．按照这个规定，方程，的解为　　 A．或2 B．2 C． D．无解 【思路点拨】根据新定义运算的规定，先得分式方程再求解即可． 【规范解答】解：当时， ，， ， ， 经检验，是方程的根． ，故不符合的规定， 所以不是方程的解． 当时， ，， ， ， 经检验，是方程的根， ， 不符合题意， 故原方程无解． 故选：． 【考点评析】本题考查了解分式方程，体现了分类讨论的数学思想，不要漏解． 【变式14-1】（2023秋•岱岳区期中）解方程： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【规范解答】解：（1）去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解； （2）去分母得：， 解得：， 经检验是增根，分式方程无解． 【考点评析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 【变式14-2】（2023秋•青龙县期中）解方程： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）先找出最简公分母，去分母后求出的值，然后检验确定分式方程的解即可； （2）先找出最简公分母，去分母后求出的值，然后检验确定分式方程的解即可． 【规范解答】解：（1）方程两边同乘， 得， 解得， 检验：当时， 原分式方程的解是； （2）方程两边同乘， 得， 解得， 检验：当时， 原分式方程的解是． 【考点评析】本题考查了解分式方程，通过去分母把分式方程转化为整式方程求解．最后注意需验根． 【考点题型十五】换元法解分式方程 【精讲题】（2023秋•周村区期中）在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设，则，原方程可变为：，再去分母得，即可得出结论． 【规范解答】解：设，则， 分式方程可变为：， 去分母得：， 整理得：， 故选：． 【考点评析】本题考查换元法解分式方程，熟练掌握换元法是解题的关键． 【变式15-1】（2021秋•大兴区校级期中）用换元法解方程时，可以令　　，得到关于的方程是 　　． 【思路点拨】先将原方程变形为，令即可． 【规范解答】解：方程， 变形为， 可令， 原方程化为， 故答案为：，． 【考点评析】本题考查了换元法解分式方程，将原方程变形为是解题的关键． 【变式15-2】（2020秋•徐汇区校级期中）用换元法解方程，设，则得到关于的整式方程为 　　． 【思路点拨】设，则，转化后再进一步整理得到整式方程即可． 【规范解答】解：设，则， 则原方程可化为：， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了用换元法解分式方程，换元法又称辅助元素法、变量代换法，通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化． 【考点题型十六】分式方程的增根 【精讲题】（2023秋•晋州市期中）若在解关于的方程时，会产生增根，则的值为　　 A．3 B． C．1 D． 【思路点拨】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值． 【规范解答】解：方程两边都乘，得 ， 原方程有增根， 最简公分母， 解得． 当时，， ． 故选：． 【考点评析】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【变式16-1】（2023秋•汨罗市期中）已知关于的分式方程有增根，则　　． 【思路点拨】先去分母得到，再根据分式方程有增根，得到，代入即可求出． 【规范解答】解：去分母得，， 分式方程有增根， ，即， ， ， 故答案为：． 【考点评析】此题考查了已知分式方程的根的情况求参数，正确理解分式方程增根的意义是解题的关键． 【变式16-2】（2023秋•临淄区期中）关于的分式方程． （1）若此方程有增根，求的值； （2）若此方程解为正数，求的取值范围． 【思路点拨】（1）去分母，然后代入增根，进一步可得的值； （2）先解分式方程，根据此方程解为正数，可得且，进一步可得的取值范围． 【规范解答】解：（1）去分母，得， 将增根代入，得， 解得； （2）去分母，得， 解得， 此方程解为正数， 且， 解得且． 【考点评析】本题考查了分式方程的增根，分式方程的解，熟练掌握解分式方程的增根是解题的关键． 【考点题型十七】由实际问题抽象出分式方程 【精讲题】（2024春•武侯区校级期中）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为人，则可列方程　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设第一次分钱的人数为人，则第二次分钱的人数为人，利用人均分得钱数总钱数参与分钱的人数，结合两次每人分得的钱数相同，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【规范解答】解：设第一次分钱的人数为人，则第二次分钱的人数为人， 依题意得：， 故选：． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【变式17-1】（2020秋•滦州市期中）某边防哨卡运来一筐苹果，共有60个，计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩5个苹果；改为每名战士再多分1个，结果还差6个苹果．若设该哨卡共有名战士，则所列方程为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设这个哨卡共有名战士，根据每人分的数量礼品总数人数，即可得出关于的分式方程． 【规范解答】解：设这个哨卡共有名战士， 依题意，得：． 故选：． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【变式17-2】（2023春•石阡县期中）题目：为了美化环境，某地政府计划对辖区内的土地进行绿化，为了尽快完成任务，实际平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍，结果提前2个月完成任务，求原计划平均每月的绿化面积． 甲同学所列的方程为 乙同学所列的方程为 （1）甲同学所列方程中的表示 　原计划平均每月的绿化面积　．乙同学所列方程中的表示 　　． （2）任选甲、乙两同学的其中一个方法解答这个题目． 【思路点拨】（1）根据题意和题目中的式子，可知和表示的实际意义； （2）根据题意，选择甲同学的方法进行解答，注意分式方程要检验，也可选择乙同学的作法，注意乙中求得的值后，还要继续计算，知道计算出原计划平均每月的绿化面积结束． 【规范解答】解：（1）由题意可得， 甲同学所列方程中的表示原计划平均每月的绿化面积，乙同学所列方程中的表示实际完成这项工程需要的月数， 故答案为：原计划平均每月的绿化面积；实际完成这项工程需要的月数； （2）按甲同学的作法解答， ， 方程两边同乘以，得 ， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， 答：原计划平均每月的绿化面积是． 【考点评析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解分式方程，解答本题的关键是明确题意，会解答分式方程，注意分式方程要检验． 【考点题型十八】分式方程的应用 【精讲题】（2023秋•冷水滩区校级期中）为顺利通过“文明城市”验收，我市拟对城区部分排水骨道公用设施全面更新改造，为响应城市建设的需要，需在一个月内完成工程，现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的1.5倍，若甲、乙两工程队合作只需12天完成． （1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？ （2）若甲工程队每天的工程费用是4万元，乙工程队每天的工程费用是3万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少． 【思路点拨】（1）设甲工程队单独完成该工程需天，则乙工程队单独完成该工程需天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要12天”，列出分式方程，解方程即可； （2）根据（1）中的结果可知，符合要求的施工方案有三种，方案一：甲工程队单独完成；方案二：乙工程队单独完成；方案三：甲、乙两队合作完成．分别计算出所需的工程费用，再比较即可． 【规范解答】解：（1）设甲工程队单独完成该工程需天，则乙工程队单独完成该工程需天， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲工程队单独完成该工程需20天，乙工程队单独完成该工程需30天； （2）甲、乙两工程队均能在规定的一个月内单独完成， 有如下三种方案： 方案一：甲工程队单独完成．所需费用为：（万元）； 方案二：乙工程队单独完成．所需费用为：（万元）； 方案三：甲乙两队合作完成．所需费用为：（万元）． ， 选择甲工程队承包该项工程，既能按时完工，又能使工程费用最少． 【考点评析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【变式18-1】（2023秋•荣成市期中）某商厦进货员预测有一种衬衫能畅销市场，就用4万元购进这种衬衫，投放市场后供不应求，商厦又用8.8万元购进了第二批同样的衬衫，所购数量是第一次的2倍，但单价每件贵了4元． （1）商厦第二次购进的衬衫每件多少元？ （2）商厦对两次购进的衬衫都按60元的售价进行销售，最后剩下的500件按五折全部售空．在这笔生意中，商场盈利多少元？ 【思路点拨】（1）设第一次购进的衬衫每件元，则第二次购进的衬衫每件元，根据第二次所购的数量是第一次的2倍列出方程求解即可； （2）根据（1）所求，求出两次购买的衬衫数量，再根据利润（售价进价）销售量进行求解即可． 【规范解答】解：（1）设第一次购进的衬衫每件元，则第二次购进的衬衫每件元， 由题意得，， 解得，． 经检验，是方程的解． ． 第二次购进的衬衫每件44元； （2）解：由（1）得，商厦第一次购进衬衫的数量为件， 第二次购进衬衫的数量为2000件， 元， 在这笔生意中商场盈利37000元． 【考点评析】本题主要考查了分式方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程求出两次的进货单价是解题的关键． 【变式18-2】（2023秋•广饶县期中）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． （1）这项工程的规定时间是多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？ 【思路点拨】（1）设这项工程的规定时间是天，根据甲、乙队先合做15天，余下的工程由甲队单独需要10天完成，可得出方程解答即可； （2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可． 【规范解答】解：（1）设这项工程的规定时间是天，根据题意得： ． 解得：． 经检验是原分式方程的解． 答：这项工程的规定时间是30天． （2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：（天， 则该工程施工费用是：（元． 答：该工程的费用为225000元． 【考点评析】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答． 【考点题型十九】比例的性质 【精讲题】（2022秋•清苑区期中）已知，则下列变形不正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】通过得到，，然后逐个排除即可． 【规范解答】解：由， 可得，，， 故选：． 【考点评析】本题考查比例的性质，能够将比例的各种写法灵活转化是解答本题的关键． 【变式19-1】（2022秋•渌口区期中）已知，且，则的值是 　8　． 【思路点拨】已知等式变形后，代入原式计算即可得到结果． 【规范解答】解：，且， ， ． 故答案为：8． 【考点评析】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式19-2】（2016秋•杜尔伯特县期中）已知，则的值是　7　． 【思路点拨】设，利用比例的性质可用分别表示出、、，然后把、、分别代入原式，再进行分式的计算即可． 【规范解答】解：设，则，，， 所以原式． 故答案为7． 【考点评析】本题考查了比例的性质：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质． 【考点题型二十】比例线段 【精讲题】（2023秋•温州期中）如图1是有两个外开式活动门扇的双开入户铜门．门槛长为，，分别为左右门扇的底部门宽，且，关上门时，与重合．阳光明媚的某天，将两扇门向外开到如图2的位置（平面示意图），这时阳光正好垂直照射向门槛，因门的遮挡，在门槛上留下三线段、、，只有线段晒到太阳，且，则此时、间的距离为 　　． 【思路点拨】作于点，根据，，可得，，，根据勾股定理得，，所以． 【规范解答】解：如图，作于点， ，， ，，， ， ，， ， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了比例线段和勾股定理，熟练掌握比例的性质和勾股定理是关键． 【变式20-1】（2022秋•阳谷县期中）已知，，为三角形的三边，满足，且，求三角形周长． 【思路点拨】设，可得，，，再由，可得，从而得到，，，，即可求解． 【规范解答】解：设， ，，， ， ， ， ，，，， ， 即三角形的周长为30． 【考点评析】本题主要考查了求三角形的周长，根据题意得到，，的长值是解题的关键． 【变式20-2】（2023秋•冠县期中）已知线段、、满足，且． （1）求、、的值； （2）若线段，线段是线段、的比例中项，求． 【思路点拨】（1）设，然后用表示出、、，再代入求解得到，即可得到、、的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段的长． 【规范解答】解：（1）设， 则，，， 所以，， 解得， 所以，，，； （2）线段， ， 线段是线段、的比例中项， ， ． 【考点评析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设法”用表示出、、可以使计算更加简便 期中真题拔高训练15题 一．选择题 1．（2024春•金牛区校级期中）把分式中的分子分母的，同时扩大为原来的3倍，那么分式的值将　　 A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的6倍 C．不变 D．变为原来的 【思路点拨】根据题意，同时扩大为原来的3倍，扩大后能准确运算是解题的关键．由题意可得，发现变化后的式子化简后与原式相等． 【规范解答】解：分子、分母的，同时扩大为原来的3倍， 则有， 分式的值不变， 故选：． 【考点评析】本题考查分式的基本性质，根据题意，同时扩大为原来的3倍，扩大后能准确运算是解题的关键． 2．（2023秋•天元区校级期中）化简的结果是　　 A．1 B． C． D． 【思路点拨】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案． 【规范解答】解：原式 ． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了分式的加减，正确通分运算是解题关键． 3．（2021秋•桓台县期中）下列分式是最简分式的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用最简分式定义：分子分母没有公因式的分式，判断即可． 【规范解答】解：、原式，不符合题意； 、原式，不符合题意； 、原式为最简分式，符合题意； 、原式，不符合题意． 故选：． 【考点评析】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 4．（2023秋•冷水滩区校级期中）2023年5月12日是我国第15个全国防灾减灾日，我校组织八年级部分同学进行了两次地震应急演练，在优化撤离方案后，第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多15，结果2000名同学全部撤离的时间比第一次节省了240秒，若设第一次平均每秒撤离人，则满足的方程为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据第二次平均每秒撤离的人数比第一次的多15，结果2000名同学全部撤离的时间比第一次节省了240秒，列出分式方程即可． 【规范解答】解：由题意得：， 故选：． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 5．（2023秋•绥化期中）如果把分式中的，都扩大10倍，则分式的值　　 A．扩大100倍 B．扩大10倍 C．不变 D．缩小为原来的 【思路点拨】把分式的、用、替换，再提取公因式变形，可知把分式中的和都扩大10倍就是把分式的分子分母同时扩大10倍，根据分式的性质，那么分式的值不变． 【规范解答】解：根据题意得， 分式的值不变． 故选：． 【考点评析】本题考查了分式的性质，解题的关键熟悉分式的分子分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 二．填空题 6．（2024春•金牛区校级期中）关于的分式方程有增根，则的值是 　　． 【思路点拨】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，所以应先确定增根的值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值． 【规范解答】解：， 方程两边都乘，得， 原方程有增根， 最简公分母， 解得：， 当时，， 解得：． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了分式方程的增根，解题的关键是掌握增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 7．（2023春•恩阳区 期中）已知，则分式的值为　1　． 【思路点拨】首先根据，可得：，然后应用代入法，求出分式的值为多少即可． 【规范解答】解：， ， 故答案为：1． 【考点评析】此题主要考查了分式的加减法的运算方法，以及分式的值的求法，要熟练掌握，解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径． 8．（2023秋•东昌府区期中）已知三张卡片上面分别写有6，，，从中任选两张卡片，组成一个最简分式为 　或．　．（写出一个分式即可） 【思路点拨】根据最简分式的概念解答即可． 【规范解答】解：和都是符合题意的最简分式， 故答案为：或． 【考点评析】本题考查的是最简分式的概念，分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 9．（2022秋•渌口区期中）计算：　1　． 【思路点拨】根据分式的加法法则进行计算即可． 【规范解答】解：． 【考点评析】本题考查分式的加法，掌握分式的加法法则是解题的关键． 10．（2023秋•聊城期中）已知非零实数，满足，则的值等于 　　． 【思路点拨】根据，可以得到和的关系，然后代入所求式子计算即可． 【规范解答】解：， ， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确题意，利用整体代入的思想解答． 三．解答题 11．（2024春•清江浦区校级期中）定义：两个分式与满足：，则称与这两个分式互为“美妙分式”． （1）下列三组分式：①与；②与；③与．其中互为“美妙分式”的有 　②③　（只填序号）； （2）求分式的“美妙分式”； 【思路点拨】（1）根据给出的“美妙分式”定义把每一组的分式相减求绝对值看结果来判断； （2）根据给出的“美妙分式”定义求分式的“美妙分式”即可． 【规范解答】解：（1）①， ②， ③， 故答案为：②③； （2）设分式的“美妙分式”为， 则， 或， ①当时， ， ②当时， ， 答：分式的“美妙分式”为或． 【考点评析】本题考查了分式的加减法和实数的性质，绝对值的意义，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键． 12．（2022秋•贵港期中）某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用30天时间完成整个工程．当一号施工队工作10天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前8天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程． （1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ （2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？ 【思路点拨】（1）设二号施工队单独施工需要天，根据题意列方程即可得到结论； （2）根据题意列式计算即可． 【规范解答】解：（1）设二号施工队单独施工需要天， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解． 答：若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要45天． （2）根据题意得：（天， 答：若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要18天． 【考点评析】本题考查了分式方程的应用，正确的理解题意是解题的关键． 13．（2023秋•临湘市期中）山地自行车越来越受中学生的喜爱一家店经营的某型号山地自行车，今年七月份销售额为22500元，八月份每辆车售价比七月份每辆车售价提高100元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是25000元． （1）求八月份每辆车售价是多少元？ （2）为了促销，九月份每辆车售价比八月份每辆车售价降低了销售，该店仍可获利，求每辆山地自行车的进价是多少元？ 【思路点拨】（1）设二月份每辆车售价为元，则一月份每辆车售价为元，根据数量总价单价，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设每辆山地自行车的进价为元，根据利润售价进价，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】解：（1）设八月份每辆车的售价是元，由题意得： ， 解得：． 经检验是原方程的解． 答：八月份每辆车的售价是1000元； （2）设每辆山地自行车的进价是元，由题意得： ， 解得：． 经检验 是原方程的解． 答：每辆山地自行车的进价是680元． 【考点评析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 14．（2023秋•汨罗市期中）甜酒是长乐美食一张名片，某超市推出两款经典甜酒，一款是色香味俱全的“富硒甜酒”，另一款是清香四溢的“糯米甜酒”．已知2坛“富硒甜酒”和1坛“糯米甜酒”需68元；1坛“富硒甜酒”和2坛“糯米甜酒”需61元． （1）求“富硒甜酒”和“糯米甜酒”的单价； （2）糯米是两款美食必不可少的材料，该超市老板发现本月的每千克糯米价格比上个月涨了，同样花24元买到的糯米数量比上个月少了1千克，求本月糯米的价格． 【思路点拨】（1）设“富硒甜酒”的单价为元，“糯米甜酒”的单价为元，由题意：2坛“富硒甜酒”和1坛“糯米甜酒”需68元；1坛“富硒甜酒”和2坛“糯米甜酒”需61元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设上个月糯米的价格为元千克，则本月糯米的价格为元千克，由题意：同样花24元买到的糯米数量比上个月少了1千克，列出分式方程，解方程即可． 【规范解答】解：（1）设“富硒甜酒”的单价为元，“糯米甜酒”的单价为元， 依题意得：， 解得：， 答：“富硒甜酒”的单价为25元，“糯米甜酒”的单价为18元； （2）设上个月糯米的价格为元千克， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：本月糯米的价格为6元千克． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 15．（2023秋•兴宾区校级期中）某市文化宫学习十九大有关优先发展交于的精神，举办了为某贫困山区小学捐赠书包活动．首次用2000元在商店购进一批学生书包，活动进行后发现书包数量不够，又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元． （1）求文化宫第一批购进书包的单价是多少？ （2）商店两批书包每个的进价分别是68元和70元，这两批书包全部售给文化宫后，商店共盈利多少元？ 【思路点拨】（1）求的是单价，总价明显，一定是根据数量来列等量关系．本题的关键描述语是：“数量是第一批购进数量的3倍”；等量关系为：6300元购买的数量元购买的数量． （2）根据盈利总售价总进价，进而求出即可． 【规范解答】解：（1）设第一批购进书包的单价为元． 依题意，得， 整理，得， 解得． 检验：当时，，是原分式方程的解． 答：第一批购进书包的单价为80元， （2） 答：商店共盈利1350元． 【考点评析】此题主要考查了分式方程的应用，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$