清单02 图形的轴对称（考点清单，知识导图+16个考点清单&题型解读）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（青岛版）

清单02 图形的轴对称 （考点梳理+16个题型解读48题+真题拔高15题） 题型清单目录 【知识梳理】 2 【考点题型一】生活中的轴对称现象 6 【考点题型二】轴对称图形 6 【考点题型三】轴对称的性质 7 【考点题型四】关于x轴、y轴对称的点的坐标 8 【考点题型五】等腰三角形的性质 9 【考点题型六】角平分线的性质 10 【考点题型七】线段垂直平分线的性质 12 【考点题型八】坐标与图形变化-对称 14 【考点题型九】轴对称-最短路线问题 15 【考点题型十】翻折变换（折叠问题） 16 【考点题型十一】图形的剪拼 17 【考点题型十二】等腰三角形的判定 18 【考点题型十三】等腰三角形的判定与性质 19 【考点题型十四】等边三角形的性质 20 【考点题型十五】等边三角形的判定 21 【考点题型十六】等边三角形的判定与性质 23 期中真题拔高训练15题 24 【知识梳理】 知识点01：轴对称图形与轴对称 轴对称图形 轴对称 图形 定义 如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫做对称轴 如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴 性质 (1)对应线段相等 AB＝①__AC__ AB＝A′B′ BC＝B′C′ AC＝A′C′ (2)对应角相等 ∠B＝∠C ∠A＝②__∠A′__ ， ∠B＝∠B′， ∠C＝∠C′ (3)对应点所连的线段被对称轴垂直平分 AD垂直平分BC MN垂直平分AA′，BB′，CC′ 区别 (1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言； (2)对称轴不一定只有一条 (1)轴对称是指③__两个__图形的位置关系，必须涉及两个图形； (2)只有一条对称轴 关系 (1)沿对称轴对折，两部分重合； (2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称 (1)沿对称轴翻折，两个图形重合； (2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 点拨：全等的图形不一定是成轴对称的，成轴对称的图形一定是全等的，所以成轴对称的两个图形中，对应线段相等，对应角相等. 轴对称作（画）图 1.画图形的对称轴 （1）如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，因此我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这个图形的对称轴. （2）对于轴对称图形，只要找到任意一对对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴. 点拨 找对称点时，所找对称点最好是图形的顶点或拐点，这样作出的图形更准确. 2.画轴对称图形 （1）由一个平面图形可以得到与它关于一条直线对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分. （2）几何图形都可以看作是由点组成.对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段的端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. （3）画轴对称图形的步骤； ①确定原图形的特殊点； ②作出所有特殊点关于对称轴的对称点； ③按原图形的顺序顺次连接相应的对称点. 点拨 “特殊点”是指能确定图形形状、大小及位置的关键点.如果是多边形，这些点就是指所有的顶点；如果是线段，这些点就是指线段的两个端点等. 坐标轴对称小结： 在平面直角坐标系中 1.关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数； 2.关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等； 3.关于原点对称的点横坐标和纵坐标互为相反数； 4.与X轴或Y轴平行的直线的两个点横（纵）坐标的关系； 知识点02：线段垂直平分线 1.定义 垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线. 2.性质 线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等 3.判定 到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 知识点03：角平分线 1.性质定理 角平分线上的点，到角的两边的距离相等 2.逆定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 知识点04：等腰三角形的性质与判定 1．等腰三角形 定义 有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫腰，第三边为底 性质 (1)等腰三角形两腰相等(即AB＝AC)； (2)等腰三角形的两底角__相等__(即∠B＝__∠C__)； (3)等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴； (4)等腰三角形顶角的平分线、底边上的高和底边的中线互相重合； (5)面积： S△ABC＝BC·AD 判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，其中，两个相等的角所对的边相等(简称“__等角对等边__”) 点拨 等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C= 2.等边三角形 定义 三边相等的三角形是等边三角形 性质 (1)等边三角形三边相等(即AB＝BC＝AC)； (2)等边三角形三角相等，且每一个角都等于__60°__(即∠A＝∠B＝∠C＝__60°__)； (3)等边三角形内、外心重合； (4)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴； (5)面积：S△ABC＝BC·AD 判定 (1)三边都相等的三角形是等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 【考点题型一】生活中的轴对称现象 【精讲题】（2023秋•罗山县期中）如图是一个经过改造的规格为的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是　　 A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【变式1-1】（2021秋•邯山区校级期中）如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个球袋，如果一个球从按照图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），第一次碰到桌面的坐标是，则该球第二次碰到台球桌面的坐标是　 　　，该球最后落入的球袋是 　　号袋． 【变式1-2】（2023秋•休宁县期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证等于　　． 【考点题型二】轴对称图形 【精讲题】（2023秋•大渡口区校级期中）下列四个图形中，是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【变式2-1】（2022秋•汝州市校级期中）甲、乙两名同学下棋，甲执圆子，乙执方子，如图，棋盘中心方子的位置用表示，右下角方子的位置用表示，甲将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形，甲放的位置是　　 A． B． C． D． 【变式2-2】（2022秋•邗江区期中）“线段、角、等腰三角形、直角三角形”中一定是轴对称图形有　　个． 【考点题型三】轴对称的性质 【精讲题】（2023秋•海兴县期中）如图，点为内部一点，且，、分别为点关于射线，射线的对称点，当时，则的长为　　 A．4 B．6 C．8 D．10 【变式3-1】（2023秋•石家庄期中）如图为一张锐角三角形纸片，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有　　 A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【变式3-2】（2023秋•富县期中）如图，已知点在的内部，且点与点关于对称，交于点，点与点关于对称，交于点，分别交，于点，． （1）连接，，若，求的周长； （2）若，求证：平分． 【考点题型四】关于x轴、y轴对称的点的坐标 【精讲题】（2023秋•科尔沁区期中）已知点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，那么　　． 【变式4-1】（2023秋•城关区校级期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是 　　； （2）若点与点关于轴对称，则点的坐标为 　　； （3）已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标． 【变式4-2】（2024春•五莲县期中）如图，在直角坐标平面内，已知点的坐标，点关于轴对称的点为点． （1）请在网格图中标出点和点． （2）的面积是 　 　； （3）在轴上找一点，使，请直接写出点的坐标 　　． 【考点题型五】等腰三角形的性质 【精讲题】（2024春•红古区期中）如图，点，为的边上的点，且满足，，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式5-1】（2024春•深圳期中）如图，在中，为钝角，，，点从点出发以的速度向点运动，点同时从点出发以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当是等腰三角形时，运动的时间是　　 A． B． C． D． 【变式5-2】（2023秋•锡山区期中）探究与发现：如图①，在中，，，点在底边上，，连接． （1）当时，求的度数； （2）当点在（点、除外）上运动时，试猜想并探究与的数量关系； （3）深入探究：若，试就图②探究与的数量关系． 【考点题型六】角平分线的性质 【精讲题】（2023秋•安阳期中）如图，、是的两个外角、的角平分线，，，且．下列结论中正确的个数有 　 　个． ①； ②； ③； ④． 【变式6-1】（2024春•兰州期中）图1是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图2，将仪器放置在上，使点与顶点重合，，分别在边，上，沿画一条射线，交于点．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点作于点，若，，的面积是60，求的长． 【变式6-2】（2023秋•长汀县期中）如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，． （1）求证：平分； （2）连接交于点，若，求证：； （3）在（2）的条件下，当，时，求线段的长． 【考点题型七】线段垂直平分线的性质 【精讲题】（2022秋•临海市校级期中）如图，的周长为26，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的周长是 　 　． 【变式7-1】（2024春•大田县期中）如图，在△中，，，分别垂直平分，，交线段于，，，的延长线交于点，设为中点，连接． （1）求的度数； （2）证明：； （3）连接，若△的周长为12，求的最小值． 【变式7-2】（2023秋•罗定市期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点． （1）如图①，当时，直接写出的度数为 　　； （2）如图①，当，且． ①若，则　　； ②当时，求的度数； （3）如图②，连接，，．若的周长为，的周长为，则　　；　　． 【考点题型八】坐标与图形变化-对称 【精讲题】（2023秋•东城区校级期中）已知，如图在直角坐标系中，点在轴上，轴于点，点关于直线对称点恰好在上，点与点关于直线对称，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式8-1】（2022秋•榕城区期中）如图所示： （1），两点关于 　　轴对称； （2），两点横坐标相等，线段　　轴，线段　　轴；若点是直线上任意一点，则点的横坐标为 　　； （3）线段与的位置关系是 　　；若点是直线上任意一点，则点的纵坐标为 　　． 【变式8-2】（2020秋•饶平县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且平行于轴． （1）如果三个顶点的坐标分别是，，，关于轴的对称图形是△，△关于直线的对称图形是△，写出△的三个顶点的坐标； （2）如果点的坐标是，其中，点关于轴的对称点是，点关于直线的对称点是，求的长． 【考点题型九】轴对称-最短路线问题 【精讲题】（2023秋•滑县期中）如图，，为内部一条射线，点为射线上一点，，点、分别为、边上动点，则周长的最小值为 　　． 【变式9-1】（2022春•沾化区期中）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为　　． 【变式9-2】（2022秋•南昌期中）如图，在中，，为的中点，为上一点，过点作，交的延长线于点，若，，则四边形周长的最小值是 　 　． 【考点题型十】翻折变换（折叠问题） 【精讲题】（2023秋•历城区期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【变式10-1】（2024春•滨海新区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点分别作轴于点，轴于点，点在射线上．将沿直线翻折，使点恰好落在坐标轴上，则点的坐标为 　 ． 【变式10-2】（2016秋•椒江区校级期中）如图1，把一张长方形的纸片沿对角线折叠，点落在处，交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，延长，相交于点，连接并延长交于点，求证：垂直平分． 【考点题型十一】图形的剪拼 【精讲题】（2023秋•鹿寨县期中）将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为　　 A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5 【变式11-1】（2021秋•房山区期中）如图所示，将两个边长为2的正方形沿虚线剪开（如图甲），拼接成一个大的正方形（如图乙），则图乙中大正方形的边长为 　　． 【变式11-2】（2022秋•惠安县校级期中）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积：方法一：　　；方法二：　　． （2）若图2中大正方形边长为5，小长方形面积为4，请根据第（1）题的计算求小正方形的边长及小长方形的长与宽． 【考点题型十二】等腰三角形的判定 【精讲题】（2022秋•洪山区期中）如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中、在格点上，则图中满足为等腰三角形的格点的个数为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 【变式12-1】（2022春•衡阳期中）如图，在平面直角坐标系中，分别平行于轴、轴的两直线、相交于点．连接，若在直线上存在点，使是以为腰的等腰三角形．请写出所有满足条件的点的坐标是　　 【变式12-2】（2023秋•卫辉市期中）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）　　（用的代数式表示） （2）当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ （3）当点在边上运动时，出发 　　秒后，是以或为底边的等腰三角形？ 【考点题型十三】等腰三角形的判定与性质 【精讲题】（2023秋•东莞市期中）如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点，．若，，则的周长是 　 　． 【变式13-1】（2024春•碑林区校级期中）已知：如图，在中，，点在的延长线上，，垂足为，交于点．求证：是等腰三角形． 【变式13-2】（2023秋•西青区校级期中）（1）如图1，已知：在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有 　5　个等腰三角形；与、之间的数量关系是 　　，的周长是 　　 （2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有 　　个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长 （3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明． 【考点题型十四】等边三角形的性质 【精讲题】（2023秋•宜昌期中）如图，是等边三角形，于点，是延长线上的一点，，则的度数为 　　． 【变式14-1】（2023秋•丰润区期中）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆，当衣架收拢时，，如图②，此时，两点之间的距离是 　 　． 【变式14-2】（2016秋•徐闻县期中）已知：如图，是边长的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点停止运动，设点的运动时间为． （1）当动点、同时运动时，则　　，　 　． （2）当动点、同时运动时，分别用含有的式子表示；　 　，　 　． （3）当为何值时，是直角三角形？ 【考点题型十五】等边三角形的判定 【精讲题】（2023秋•临沭县期中）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小颖同学设计一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆为衣架的固定点）；如图②，若衣架收拢时，，则此时，两点之间的距离是　　 A． B． C． D． 【变式15-1】（2023秋•武陵区期中）已知如图等腰，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论： ①；②；③是等边三角形．其中正确的是 　 　．（填序号） 【变式15-2】（2023秋•平原县期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，平分． （1）求、的度数； （2）连接，且，求证：是等边三角形． 【考点题型十六】等边三角形的判定与性质 【精讲题】（2023秋•上杭县期中）如图，已知与都是等边三角形，点、、在同一条直线上，与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接．给出下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确结论的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式16-1】（2024春•信宜市期中）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． （1）【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： 　　（填“”、“ ”或“” ． （2）【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论， 　　（填“”、“ ”或“” ；理由如下，过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）． （3）【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 【变式16-2】（2022秋•双柏县期中）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动． （1）点、运动几秒时，、两点重合？ （2）点、运动几秒时，可得到等边三角形？ （3）当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时、运动的时间． 期中真题拔高训练15题 一．选择题 1．（2023秋•阳信县期中）如图，在中，是的平分线，，，则为　　 A． B． C． D． 2．（2019秋•合浦县期中）如图，已知是等边三角形，点、，、在同一直线上，且，，则　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•丰南区期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的　　 A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 4．（2023秋•五华区校级期中）如图，是中的平分线，于点，，，，则　　 A．14 B．26 C．56 D．28 5．（2023秋•天宁区校级期中）如图，边长为的等边中，是上中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是　　 A． B． C． D． 二．填空题 6．（2024春•大田县期中）如图，在边长为5的等边三角形中，点在边上，点在△的角平分线上，且，则的最小值是 　　． 7．（2024春•景德镇期中）如图，△中，，，的垂直平分线分别交、于、，若，则　　． 8．（2023春•海淀区校级期中）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边、，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为　 　． 9．（2023秋•襄州区期中）如图，将等边折叠，使点恰好落在边上的点处，折痕为，为折痕上的动点，若，，则的周长最小值为 　　． 10． （2023秋•呼和浩特期中）已知在中，，，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值为 　　． 三．解答题 11．（2023秋•新宾县期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 12．（2023秋•东城区校级期中）课堂上，老师提出问题： 如图，，是两条马路，点，处是两个居民小区，现要在两条马路之间的空场处建活动中心，使得活动中心到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等，如何确定活动中心的位置？ （1）利用尺规作图确定点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）写出作图依据：　　． 13．（2023秋•重庆期中）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且、满足． （1）　　，　　； （2）如图1，若点是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标； （3）如图2，点是外角平分线上一点，且点的横坐标为4，过点作于点，求的值． 14．（2017秋•西城区校级期中）如图，以的两边、向外作等边三角形和等边三角形，连接、，相交于． （1）试写出图中和相等的一条线段并说明你的理由； （2）求出和的夹角大小，若改变的形状，这个夹角的度数会发生变化吗？请说明理由． 15．（2019秋•崇川区校级期中）如图，中，，点在所在的直线上，点在射线上，且，连接． （1）如图①，若，，求的度数； （2）如图②，若，，求的度数； （3）当点在直线上（不与点、重合）运动时，试探究与的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 图形的轴对称 （考点梳理+16个题型解读48题+真题拔高15题） 题型清单目录 【知识梳理】 2 【考点题型一】生活中的轴对称现象 6 【考点题型二】轴对称图形 7 【考点题型三】轴对称的性质 9 【考点题型四】关于x轴、y轴对称的点的坐标 12 【考点题型五】等腰三角形的性质 15 【考点题型六】角平分线的性质 18 【考点题型七】线段垂直平分线的性质 23 【考点题型八】坐标与图形变化-对称 28 【考点题型九】轴对称-最短路线问题 31 【考点题型十】翻折变换（折叠问题） 34 【考点题型十一】图形的剪拼 38 【考点题型十二】等腰三角形的判定 40 【考点题型十三】等腰三角形的判定与性质 43 【考点题型十四】等边三角形的性质 46 【考点题型十五】等边三角形的判定 49 【考点题型十六】等边三角形的判定与性质 52 期中真题拔高训练15题 58 【知识梳理】 知识点01：轴对称图形与轴对称 轴对称图形 轴对称 图形 定义 如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫做对称轴 如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴 性质 (1)对应线段相等 AB＝①__AC__ AB＝A′B′ BC＝B′C′ AC＝A′C′ (2)对应角相等 ∠B＝∠C ∠A＝②__∠A′__ ， ∠B＝∠B′， ∠C＝∠C′ (3)对应点所连的线段被对称轴垂直平分 AD垂直平分BC MN垂直平分AA′，BB′，CC′ 区别 (1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言； (2)对称轴不一定只有一条 (1)轴对称是指③__两个__图形的位置关系，必须涉及两个图形； (2)只有一条对称轴 关系 (1)沿对称轴对折，两部分重合； (2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称 (1)沿对称轴翻折，两个图形重合； (2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 点拨：全等的图形不一定是成轴对称的，成轴对称的图形一定是全等的，所以成轴对称的两个图形中，对应线段相等，对应角相等. 轴对称作（画）图 1.画图形的对称轴 （1）如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，因此我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这个图形的对称轴. （2）对于轴对称图形，只要找到任意一对对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴. 点拨 找对称点时，所找对称点最好是图形的顶点或拐点，这样作出的图形更准确. 2.画轴对称图形 （1）由一个平面图形可以得到与它关于一条直线对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分. （2）几何图形都可以看作是由点组成.对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段的端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. （3）画轴对称图形的步骤； ①确定原图形的特殊点； ②作出所有特殊点关于对称轴的对称点； ③按原图形的顺序顺次连接相应的对称点. 点拨 “特殊点”是指能确定图形形状、大小及位置的关键点.如果是多边形，这些点就是指所有的顶点；如果是线段，这些点就是指线段的两个端点等. 坐标轴对称小结： 在平面直角坐标系中 1.关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数； 2.关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等； 3.关于原点对称的点横坐标和纵坐标互为相反数； 4.与X轴或Y轴平行的直线的两个点横（纵）坐标的关系； 知识点02：线段垂直平分线 1.定义 垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线. 2.性质 线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等 3.判定 到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 知识点03：角平分线 1.性质定理 角平分线上的点，到角的两边的距离相等 2.逆定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 知识点04：等腰三角形的性质与判定 1．等腰三角形 定义 有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫腰，第三边为底 性质 (1)等腰三角形两腰相等(即AB＝AC)； (2)等腰三角形的两底角__相等__(即∠B＝__∠C__)； (3)等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴； (4)等腰三角形顶角的平分线、底边上的高和底边的中线互相重合； (5)面积： S△ABC＝BC·AD 判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，其中，两个相等的角所对的边相等(简称“__等角对等边__”) 点拨 等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C= 2.等边三角形 定义 三边相等的三角形是等边三角形 性质 (1)等边三角形三边相等(即AB＝BC＝AC)； (2)等边三角形三角相等，且每一个角都等于__60°__(即∠A＝∠B＝∠C＝__60°__)； (3)等边三角形内、外心重合； (4)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴； (5)面积：S△ABC＝BC·AD 判定 (1)三边都相等的三角形是等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 【考点题型一】生活中的轴对称现象 【精讲题】（2023秋•罗山县期中）如图是一个经过改造的规格为的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是　　 A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【思路点拨】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【规范解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 所以球最后将落入的球袋是1号袋， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键． 【变式1-1】（2021秋•邯山区校级期中）如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个球袋，如果一个球从按照图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），第一次碰到桌面的坐标是，则该球第二次碰到台球桌面的坐标是　 　　，该球最后落入的球袋是 　　号袋． 【思路点拨】根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【规范解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 因为一个球从按照图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），第一次碰到桌面的坐标是， 所以该球第二次碰到台球桌面的坐标是，该球最后落入的球袋是2号袋． 故答案为：，2． 【考点评析】本题主要考查了轴对称的性质，按轴对称画图是正确解答本题的关键． 【变式1-2】（2023秋•休宁县期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证等于　　． 【思路点拨】利用，进而求出的度数，再利用即可得出答案． 【规范解答】解：由题意可得：，， ， ， ． 故答案为：． 【考点评析】此题主要考查了生活中的轴对称现象，得出的度数是解题关键． 【考点题型二】轴对称图形 【精讲题】（2023秋•大渡口区校级期中）下列四个图形中，是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据定义，结合图形即可求解． 【规范解答】解：、不是轴对称图形，故选项错误，不符合题意； 、不是轴对称图形，故选项错误，不符合题意； 、不是轴对称图形，故选项错误，不符合题意； 、是轴对称图形，故选项正确，符合题意； 故选：． 【考点评析】本题主要考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的概念，数形结合是解题的关键． 【变式2-1】（2022秋•汝州市校级期中）甲、乙两名同学下棋，甲执圆子，乙执方子，如图，棋盘中心方子的位置用表示，右下角方子的位置用表示，甲将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形，甲放的位置是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】首先根据题意建立坐标系，然后再根据轴对称图形的定义确定位置即可． 【规范解答】解：如图所示： ， 甲放的位置所表示的点的坐标是， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了坐标与图形，轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，熟练掌握此定义是解题的关键． 【变式2-2】（2022秋•邗江区期中）“线段、角、等腰三角形、直角三角形”中一定是轴对称图形有　3　个． 【思路点拨】根据轴对称图形的概念求解． 【规范解答】解：线段、角、等腰三角形都是轴对称图形．共有3个． 故答案为：3． 【考点评析】考查了轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【考点题型三】轴对称的性质 【精讲题】（2023秋•海兴县期中）如图，点为内部一点，且，、分别为点关于射线，射线的对称点，当时，则的长为　　 A．4 B．6 C．8 D．10 【思路点拨】连接，，，，由轴对称的性质推出，，，，又，得到、、共线，于是得出． 【规范解答】解：连接，，，， 点和点关于射线对称， 射线垂直平分， ， ， 同理：，， ， ， ， ， 、、共线， ， ， ． 故选：． 【考点评析】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，关键是由轴对称的性质得到；、、共线． 【变式3-1】（2023秋•石家庄期中）如图为一张锐角三角形纸片，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有　　 A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【思路点拨】根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答． 【规范解答】解：①边上的中线：如图1，使点、重合，中点为点，连接，此时即为边上的中线； ②的平分线：如图2，沿直线折叠，使与重叠，此时即为边上的角平分线； ③边上的高：如图3，沿直线折叠，使与重合，此时即为边上的高． 综上所述，所有能够通过折纸折出的有①②③． 故选：． 【考点评析】本题考查的是轴对称的性质，涉及到图形的翻折变换，三角形的角平分线、中线以及高线，掌握三角形的角平分线、中线以及高线的几何意义是解题的关键． 【变式3-2】（2023秋•富县期中）如图，已知点在的内部，且点与点关于对称，交于点，点与点关于对称，交于点，分别交，于点，． （1）连接，，若，求的周长； （2）若，求证：平分． 【思路点拨】（1）先根据轴对称的性质可得，，再根据三角形的周长公式即可得； （2）先根据轴对称的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证． 【规范解答】（1）解：点与点关于对称， ． 同理：． 的周长； （2）证明：，、为，的中点， ，， ． 又点与点关于对称，点与点关于对称， ，， 平分． 【考点评析】本题考查了轴对称的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． 【考点题型四】关于x轴、y轴对称的点的坐标 【精讲题】（2023秋•科尔沁区期中）已知点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，那么　　． 【思路点拨】分别利用关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点关于轴的对称点的坐标是． 关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点关于轴的对称点的坐标是，表示出点坐标，进而得出，的值． 【规范解答】解：点关于轴的对称点为， 点坐标为：， 点关于轴的对称点为， 点坐标为：， ，， 故． 故答案为：． 【考点评析】此题主要考查了关于轴、轴对称点的性质，正确表示出点坐标是解题关键． 【变式4-1】（2023秋•城关区校级期中）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是 　4　； （2）若点与点关于轴对称，则点的坐标为 　　； （3）已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标． 【思路点拨】（1）利用割补法求三角形的面积即可； （2）根据关于轴对称的点的性质即可得答案； （3）设点的坐标为，则，求出的值，即可得出答案． 【规范解答】解：（1）的面积为； 故答案为：4； （2）点与点关于轴对称， 点的坐标为； 故答案为：； （3）设点的坐标为， ， ， ， 或， 点的坐标为或． 【考点评析】本题考查作图轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 【变式4-2】（2024春•五莲县期中）如图，在直角坐标平面内，已知点的坐标，点关于轴对称的点为点． （1）请在网格图中标出点和点． （2）的面积是 　16　； （3）在轴上找一点，使，请直接写出点的坐标 　　． 【思路点拨】（1）根据，两点坐标作出图形即可； （2）利用三角形面积公式求解即可； （3）利用等高模型以及对称性解决问题即可． 【规范解答】解：（1）如图，点，点即为所求； （2）； 故答案为：16． （3）如图，满足条件的点的坐标为或． 故答案为：或． 【考点评析】本题考查轴对称的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握坐标平面点的特征，灵活运用所学知识解决问题． 【考点题型五】等腰三角形的性质 【精讲题】（2024春•红古区期中）如图，点，为的边上的点，且满足，，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据，只要求出，，即可解决问题． 【规范解答】解：，， ， ，， ，， ， 故选：． 【考点评析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式5-1】（2024春•深圳期中）如图，在中，为钝角，，，点从点出发以的速度向点运动，点同时从点出发以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当是等腰三角形时，运动的时间是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设运动的时间为，则，当是以为底的等腰三角形时，，则，解得即可． 【规范解答】解：设运动的时间为， 在中，，， 点从点出发以每秒的速度向点运动，点从点同时出发以每秒的速度向点运动， 当是等腰三角形时，， ， 即， 解得． 故选：． 【考点评析】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题． 【变式5-2】（2023秋•锡山区期中）探究与发现：如图①，在中，，，点在底边上，，连接． （1）当时，求的度数； （2）当点在（点、除外）上运动时，试猜想并探究与的数量关系； （3）深入探究：若，试就图②探究与的数量关系． 【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质得到，由于，于是得到，根据三角形的内角和即可得到； （2）设，于是得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论； （3）设，，由等腰三角形的性质和外角的性质可求解． 【规范解答】解：（1），， ， ， ， ， ， ； （2）设， ， ， ， ， ； （3）设，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键． 【考点题型六】角平分线的性质 【精讲题】（2023秋•安阳期中）如图，、是的两个外角、的角平分线，，，且．下列结论中正确的个数有 　3　个． ①； ②； ③； ④． 【思路点拨】由角平分线的性质可判断①；由角平分线的定义及三角形外角的性质可判断②；过作于，利用证明三角形全等可得，再由四边形的内角和定理可判断③④． 【规范解答】解：，，， 平分， ，故①正确； 平分， ， ，， ，故②正确； 过作于， ，， 在和中， ， ，即， 同理：， ，即， ，， ， 即，故③错误； ，故④正确． 即正确的个数有3个， 故答案为：3． 【考点评析】本题主要考查角平分线的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，灵活运用角的平分线的性质是解题的关键． 【变式6-1】（2024春•兰州期中）图1是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图2，将仪器放置在上，使点与顶点重合，，分别在边，上，沿画一条射线，交于点．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点作于点，若，，的面积是60，求的长． 【思路点拨】（1）是；理由：由（2）判定，然后由该全等三角形的对应角相等证得结论； （2）如图，过点作于点．由三角形的面积公式作答即可． 【规范解答】解：（1）是的平分线，理由如下： 在和中， ， ． ， 平分． （2）如图，过点作于点． 平分，， ． ， ． ． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式以及角平分线的定义．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 【变式6-2】（2023秋•长汀县期中）如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，． （1）求证：平分； （2）连接交于点，若，求证：； （3）在（2）的条件下，当，时，求线段的长． 【思路点拨】（1）先利用是的角平分线得到，再利用三角形外角性质得到，则，接着利用得到，所以； （2）过点作于点，于点，先根据角平分线的性质得到，则根据三角形面积公式得到，接着证明得到，然后利用得到，从而得到； （3）先由得到，再利用等角的余角相等得到，接着证明得到，所以，然后利用得到． 【规范解答】（1）证明：是的角平分线， ， ， ， ， 为边上的高， ， ， ， 平分； （2）证明：过点作于点，于点， 平分，，， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质． 【考点题型七】线段垂直平分线的性质 【精讲题】（2022秋•临海市校级期中）如图，的周长为26，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的周长是 　16　． 【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质得出，，根据的周长求出，再求出的周长，最后代入答案即可． 【规范解答】解：的垂直平分线交于点，垂足为，， ，， 的周长为26， ， ， 的周长 ， 故答案为：16． 【考点评析】本题考查了线段垂直平分线的性质，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键． 【变式7-1】（2024春•大田县期中）如图，在△中，，，分别垂直平分，，交线段于，，，的延长线交于点，设为中点，连接． （1）求的度数； （2）证明：； （3）连接，若△的周长为12，求的最小值． 【思路点拨】（1）根据线段垂直平分线的性质得出，，从而得出角相等，再结合三角形内角和定理得出，即可求解； （2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质得出，，证出，再根据点是的中点，即可求解； （3）根据△的周长为12，结合，，得出．在四边形中，根据四边形内角和算出，从而证明，同理，．即可算出，，根据直角三角形性质和勾股定理得出，，根据，即可解答； 【规范解答】（1）解：，分别垂直平分，， ，， ，， ， ． ． 又， ． （2）证明：连接，，． ，分别垂直平分，， ，． ． 在线段的垂直平分线上． 又点是的中点， ． （3）解：△的周长为12， ． 由（1）知，，． ． 即． 在四边形中，， ，， ． 即． ，， ． 同理，． 则 ， 是中点，且， ． ， ． ， ， 解得． 则． ， 且当在延长线上时，上式等号成立． 的最小值为． 【考点评析】本题考查了垂直平分线的性质，整体代换的数学思想，等腰三角形三线合一的性质，三角形三边关系定理，利用两点之间，线段最短定理求最小值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式7-2】（2023秋•罗定市期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点． （1）如图①，当时，直接写出的度数为 　　； （2）如图①，当，且． ①若，则　　； ②当时，求的度数； （3）如图②，连接，，．若的周长为，的周长为，则　　；　　． 【思路点拨】（1）由线段的垂直平分线的性质得到，于是可以解决问题； （2）①由线段的垂直平分线的性质得到，即可求解； ②由条件可得，即可求解； （3）由条件可得，即可得到答案． 【规范解答】解：（1）边的垂直平分线交于点， ， 同理：， ， ， ， 故答案为：； （2）①边的垂直平分线交于点， ， ， 同理：， ， ， ， ， ； ②当时，， 边的垂直平分线交于点， ， ， 同理：， ， ， ， ， 故答案为：135； （3）垂直平分线， ，， 同理：，， ， 的周长是9， ， 的周长是， ， ， ， 故答案为：9，6． 【考点评析】本题考查线段的垂直平分线，关键是掌握线段的垂直平分线的性质定理． 【考点题型八】坐标与图形变化-对称 【精讲题】（2023秋•东城区校级期中）已知，如图在直角坐标系中，点在轴上，轴于点，点关于直线对称点恰好在上，点与点关于直线对称，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】先根据平行线的性质求出的度数，由直角三角形的性质得出的度数，再根据点关于直线的对称点恰好在上得出是线段的垂直平分线，故可得出的度数，进而得出的度数，由点与点关于直线对称可知是的垂直平分线，故可得出． 【规范解答】解：连接， 轴于点，， ，， 点关于直线的对称点恰好在上， 是线段的垂直平分线， ， ， 点与点关于直线对称， 是的垂直平分线， ． 故选：． 【考点评析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解答此题的关键． 【变式8-1】（2022秋•榕城区期中）如图所示： （1），两点关于 　　轴对称； （2），两点横坐标相等，线段　　轴，线段　　轴；若点是直线上任意一点，则点的横坐标为 　　； （3）线段与的位置关系是 　　；若点是直线上任意一点，则点的纵坐标为 　　． 【思路点拨】（1）根据轴对称的性质判断即可； （2）利用网格特征一一判断即可； （3）根据平行线的判定解决问题即可． 【规范解答】解：（1），两点关于轴对称． 故答案为：； （2），两点横坐标相等，线段轴，线段轴；若点是直线上任意一点，则点的横坐标为． 故答案为：，，； （3）线段与的位置关系是；若点是直线上任意一点，则点的纵坐标为3． 故答案为：，3． 【考点评析】本题考查坐标与图形变化对称，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式8-2】（2020秋•饶平县校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且平行于轴． （1）如果三个顶点的坐标分别是，，，关于轴的对称图形是△，△关于直线的对称图形是△，写出△的三个顶点的坐标； （2）如果点的坐标是，其中，点关于轴的对称点是，点关于直线的对称点是，求的长． 【思路点拨】（1）根据关于轴对称点的坐标特点是横坐标互为相反数，纵坐标相同可以得到△各点坐标，又关于直线的对称图形点的坐标特点是纵坐标相同，横坐标之和等于3的二倍，由此求出△的三个顶点的坐标； （2）与关于轴对称，利用关于轴对称点的特点：纵坐标不变，横坐标变为相反数，求出的坐标，再由直线的方程为直线，利用对称的性质求出的坐标，即可得出的长． 【规范解答】解：（1）△的三个顶点的坐标分别是，，； （2）如图1，当时，与关于轴对称，， ， 又与关于：直线对称， 设，可得：，即， ， 则． 【考点评析】本题考查学生“轴对称”与坐标的相关知识的试题，掌握轴对称的性质是解本题的关键． 【考点题型九】轴对称-最短路线问题 【精讲题】（2023秋•滑县期中）如图，，为内部一条射线，点为射线上一点，，点、分别为、边上动点，则周长的最小值为 　6　． 【思路点拨】作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，与的交点即为点，与的交点即为点，则此时、符合题意，求出线段的长即可． 【规范解答】解：作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，与的交点即为点，与的交点即为点， 的最小周长为，即为线段的长， 连接、，则， 又， △是等边三角形， ， 即的周长的最小值是6． 故答案为：6． 【考点评析】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称最短路线问题的应用，关键是确定、的位置． 【变式9-1】（2022春•沾化区期中）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为　　． 【思路点拨】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【规范解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． 圆柱底面的周长为，圆柱高为， ，， ， ． 这圈金属丝的周长最小为． 故答案为： 【考点评析】本题考查了平面展开最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键． 【变式9-2】（2022秋•南昌期中）如图，在中，，为的中点，为上一点，过点作，交的延长线于点，若，，则四边形周长的最小值是 　22　． 【思路点拨】通过证明可得，可得四边形的周长即为，进而可确定当时，四边形的周长有最小值，通过证明四边形为矩形可得的长，进而可求解． 【规范解答】解：， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ，， 四边形的周长， 当最小时，即时四边形的周长有最小值， ，， ， 四边形为矩形， ， 四边形的周长最小值为， 故答案为：22． 【考点评析】本题主要考查轴对称最短路径问题，全等三角形的判定与性质，确定的最小值是解题的关键． 【考点题型十】翻折变换（折叠问题） 【精讲题】（2023秋•历城区期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】由勾股定理得，由折叠得，，则，由，得，求得，则，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：，，， ，， ， 由折叠得，， ， ， ， 解得， ， 故选：． 【考点评析】此题重点考查图形与坐标、勾股定理、轴对称的性质等知识，求得并且推导出是解题的关键． 【变式10-1】（2024春•滨海新区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点分别作轴于点，轴于点，点在射线上．将沿直线翻折，使点恰好落在坐标轴上，则点的坐标为 　或或　． 【思路点拨】分当翻折之后的落在的正半轴上和落在轴上以及落在轴负半轴时，三种情况讨论，利用勾股定理列出方程，然后解方程求出即可得到点的坐标． 【规范解答】解：①如图，设翻折之后的落点点，作． 设， 由题意可得，，， 与关于直线对称， ，， 在中，， ． 在中，， ， 即， 解得， 点的坐标是． ②如图2：翻折之后点落在轴上时，即图中点， ，这时，， 可求出点坐标为； ③如图3，当翻折之后点落在轴负半轴时， ，在中，， 则， 中，设， 利用勾股定理， 得到， 解得， 点坐标为， 故答案为：或或． 【考点评析】本题考查了作图以及利用折叠的性质和勾股定理解直角三角形，掌握相关性质是解答此题的关键． 【变式10-2】（2016秋•椒江区校级期中）如图1，把一张长方形的纸片沿对角线折叠，点落在处，交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，延长，相交于点，连接并延长交于点，求证：垂直平分． 【思路点拨】（1）由折叠的性质可得到，那么，所以； （2）根据长方形的性质可得和三角形内角和定理可得，再根据平行线的判定即可求解； （3）先证明，再根据全等三角形的性质和垂直平分线的性质即可求解． 【规范解答】证明（1）， ， 又四边形是长方形， ， ， ， ． （2）四边形是长方形， ， 又， ， ， 又，且， ， ； （3）四边形是长方形， ，，， 在与中， ， ， ， 又， 是的垂直平分线，即垂直平分． 【考点评析】本题考查了： ①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等； ②全等三角形的判定和性质，等角对等边，三角形的内角和，平行线的判定求解． 【考点题型十一】图形的剪拼 【精讲题】（2023秋•鹿寨县期中）将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为　　 A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5 【思路点拨】动手操作可得结论． 【规范解答】解：一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数可能3个，4个5个． 如图所示： 故选：． 【考点评析】本题考查图形拼剪，正方形的性质等知识，解题的关键是学会动手操作，属于中考常考题型． 【变式11-1】（2021秋•房山区期中）如图所示，将两个边长为2的正方形沿虚线剪开（如图甲），拼接成一个大的正方形（如图乙），则图乙中大正方形的边长为 　　． 【思路点拨】判断出正方形的面积，可得结论． 【规范解答】解：由题意大正方形的面积为， 大正方形的边长为． 故答案为：． 【考点评析】本题考查图形的拼剪，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式11-2】（2022秋•惠安县校级期中）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积：方法一：　　；方法二：　　． （2）若图2中大正方形边长为5，小长方形面积为4，请根据第（1）题的计算求小正方形的边长及小长方形的长与宽． 【思路点拨】（1）从“整体”和“部分”两个方面，用代数式表示阴影部分的面积即可； （2）由题意可知，，变形后可求出，则可得出答案． 【规范解答】解：（1）阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 阴影部分也可以看作边长为的正方形面积减去4个长为，宽为的长方形面积，即； 故答案为：，； （2）由题意可知，， ， ， 小正方形的边长为3， ， ，． 即小长方形的长是4，宽是1． 【考点评析】本题考查了图形的剪拼，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示各个部分的面积是正确解答的关键． 【考点题型十二】等腰三角形的判定 【精讲题】（2022秋•洪山区期中）如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中、在格点上，则图中满足为等腰三角形的格点的个数为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 【思路点拨】根据等腰三角形的定义，分别以、为圆心，长为半径画弧，作的垂直平分线，即可确定点的位置． 【规范解答】解：如图所示： 分三种情况： ①以为圆心，长为半径画弧，则圆弧经过的格点，，即为点的位置； ②以为圆心，长为半径画弧，则圆弧经过的格点，，，，，即为点的位置； ③作的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点； 为等腰三角形的格点的个数为：8， 故选：． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的判定，利用两圆一线来解答是解题的关键． 【变式12-1】（2022春•衡阳期中）如图，在平面直角坐标系中，分别平行于轴、轴的两直线、相交于点．连接，若在直线上存在点，使是以为腰的等腰三角形．请写出所有满足条件的点的坐标是　、、　 【思路点拨】根据题意可得，再根据情况为等腰三角形一条腰计算求解． 【规范解答】解： ， 当为等腰三角形一条腰，则点的坐标是，，； 故答案为：，，． 【考点评析】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；根据等腰三角形的判定解答是正确解答本题的关键． 【变式12-2】（2023秋•卫辉市期中）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）　　（用的代数式表示） （2）当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？ （3）当点在边上运动时，出发 　　秒后，是以或为底边的等腰三角形？ 【思路点拨】（1）根据题意即可用可分别表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； （3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【规范解答】解：（1）由题意可知，， ， ， 故答案为：； （2）当点在边上运动，为等腰三角形时，则有， 即，解得， 出发秒后，能形成等腰三角形； （3）①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示， 则， ， ． ， ， ， ， ， ； ②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示， 则， ， 综上所述：当为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． 故答案为：11秒或12． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用． 【考点题型十三】等腰三角形的判定与性质 【精讲题】（2023秋•东莞市期中）如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点，．若，，则的周长是 　23　． 【思路点拨】由角平分线的定义和平行线的性质可得，，由等角对等边可得，，再由的周长，即可得出答案． 【规范解答】解：在中，与的平分线交于点， ，， ， ，， ，， ，， 的周长， 故答案为：23． 【考点评析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【变式13-1】（2024春•碑林区校级期中）已知：如图，在中，，点在的延长线上，，垂足为，交于点．求证：是等腰三角形． 【思路点拨】根据等边对等角得出，再根据，得出，，从而得出，再根据对顶角相等得出，最后根据等角对等边即可得出答案． 【规范解答】证明：在中， ， ， ， ，， ， 又， ， ， 是等腰三角形． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明，注意等边对等角，以及等角对等边的使用． 【变式13-2】（2023秋•西青区校级期中）（1）如图1，已知：在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有 　5　个等腰三角形；与、之间的数量关系是 　　，的周长是 　　 （2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有 　　个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长 （3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明． 【思路点拨】（1）根据角平分线的定义可得，，再根据两直线平行，内错角相等可得，，然后求出，，再根据等角对等边可得，，然后解答即可； （2）根据角平分线的定义可得，，再根据两直线平行，内错角相等可得，，然后求出，，再根据等角对等边可得，，然后解答即可； （3）由（2）知，，然后利用等量代换即可证明、、有怎样的数量关系． 【规范解答】解：（1）． 理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ， ，，，， ，， ，，， 等腰三角形有，，，，共5个， ， 即， 的周长． 故答案为：5；；20； （2）， 平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， 等腰三角形有，， ，即． 可得的周长为18． （3）， 由（1）知， ， ， ， 又， ． 【考点评析】本题主要考查的是等腰三角形的性质和判断，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 【考点题型十四】等边三角形的性质 【精讲题】（2023秋•宜昌期中）如图，是等边三角形，于点，是延长线上的一点，，则的度数为 　　． 【思路点拨】根据等边三角形的性质得出，，根据等腰三角形的性质得出，再根据等腰三角形的性质得出即可． 【规范解答】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了等边三角形的性质和等腰三角形的性质和判定，能熟记等边三角形的性质是解此题的关键． 【变式14-1】（2023秋•丰润区期中）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆，当衣架收拢时，，如图②，此时，两点之间的距离是 　15　． 【思路点拨】连接，根据有一个角等于的等腰三角形是等边三角形可得出为等边三角形，然后根据等边三角形的性质可得出，两点之间的距离 【规范解答】解：连接，如图所示： ，， 为等边三角形， ． 故答案为：15． 【考点评析】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【变式14-2】（2016秋•徐闻县期中）已知：如图，是边长的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，、两点停止运动，设点的运动时间为． （1）当动点、同时运动时，则　1　，　 　． （2）当动点、同时运动时，分别用含有的式子表示；　 　，　 　． （3）当为何值时，是直角三角形？ 【思路点拨】（1）根据路程速度时间即可求得； （2）根据路程速度时间即可求得； （3）根据等边三角形的性质可以知道这个直角三角形，所以就可以表示出与的关系，要分情况进行讨论：①；②．然后在直角三角形中根据，的表达式和的度数进行求解即可． 【规范解答】解：（1），， 故答案为1，2； （2） ，， 故答案为，； （3）根据题意，得 ， ． 在中， ，， ． 在中，．，， 若是直角三角形， 则只有或 ①当时，， 即，解得； ②当时，， 即．解得． 答：当或时，是直角三角形． 【考点评析】本题主要考查了直角三角形的判定、勾股定理等知识点．考查学生数形结合的数学思想方法． 【考点题型十五】等边三角形的判定 【精讲题】（2023秋•临沭县期中）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小颖同学设计一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆为衣架的固定点）；如图②，若衣架收拢时，，则此时，两点之间的距离是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据有一个角是的等腰三角形的等边三角形进行解答即可． 【规范解答】解：， ， ， ， 是等边三角形． ， 故选：． 【考点评析】此题考查等边三角形的判定，掌握有一个角是的等腰三角形的等边三角形是解决问题的关键． 【变式15-1】（2023秋•武陵区期中）已知如图等腰，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论： ①；②；③是等边三角形．其中正确的是 　①③　．（填序号） 【思路点拨】连接，根据等腰三角形的性质可得的度数，再根据三角形内角和定理可得的度数，再根据等腰三角形的性质可知，可判断①选项；根据，，与不一定相等，即可判断②选项；先求出的度数，再求出的度数，即可求出的度数，再根据，即可判断③选项． 【规范解答】解：①连接，如图1所示： ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， 故①选项正确； ②由①可知，，， 点是线段上一点， 与不一定相等， 与不一定相等， 故②选项不正确； ③， ， ， ， ， ， 是等边三角形， 故③选项正确， 故答案为：①③． 【考点评析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定等，熟练掌握等腰三角形的性质和等边三角形的判定方法是解题的关键． 【变式15-2】（2023秋•平原县期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，平分． （1）求、的度数； （2）连接，且，求证：是等边三角形． 【思路点拨】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，然后利用直角三角形两锐角互余列式求出； （2）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，根据等边三角形的判定方法即可得出是等边三角形． 【规范解答】（1）解：垂直平分， ，， 平分， ， ； ． （2）证明：是斜边的中线， ， ， 是等边三角形． 【考点评析】本题考查了等边三角形的判定和性质以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等边对等角的性质，以及三角形的内角和定理，熟记各性质是解题的关键． 【考点题型十六】等边三角形的判定与性质 【精讲题】（2023秋•上杭县期中）如图，已知与都是等边三角形，点、、在同一条直线上，与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接．给出下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确结论的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】利用等边三角形的性质得出条件，可证明：，可判断①正确； 利用得出，利用8字形可得，可判断②正确； 证明，得，可判断③正确； 由和，根据“有一个角是的三角形是等边三角形可得是等边三角形，可判断④正确． 【规范解答】解：和是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ，故①正确； ， ． ， ，故②正确； 在和中， ， ， ，；故③正确； ，， 是等边三角形；故④正确． 故选：． 【考点评析】本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、．同时还要结合等边三角形的性质，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键． 【变式16-1】（2024春•信宜市期中）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． （1）【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： 　　（填“”、“ ”或“” ． （2）【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论， 　　（填“”、“ ”或“” ；理由如下，过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）． （3）【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 【思路点拨】（1）由为等边三角形边的中点，利用三线合一得到垂直于，且为角平分线，由，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证； （2），理由如下，过点作，交于点，由三角形为等边三角形，得到三角形为等边三角形，进而得到，，再由，以及等式的性质得到夹角相等，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，等量代换即可得证； （3）点在延长线上时，如图所示，同理可得，由求出的长即可． 【规范解答】解：（1）当为的中点时，； （2），理由如下，过点作，交于点， 证明：为等边三角形， 为等边三角形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 则； （3）点在延长线上时，作，则为等边三角形， 如图所示，同理可得， ，， ， ， 则． 故答案为：（1）；（2） 【考点评析】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键． 【变式16-2】（2022秋•双柏县期中）如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动． （1）点、运动几秒时，、两点重合？ （2）点、运动几秒时，可得到等边三角形？ （3）当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时、运动的时间． 【思路点拨】（1）首先设点、运动秒后，、两点重合，表示出，的运动路程，的运动路程比的运动路程多，列出方程求解即可； （2）根据题意设点、运动秒后，可得到等边三角形，然后表示出，的长，由于等于，所以只要三角形就是等边三角形； （3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出，，的长，列出方程，可解出未知数的值． 【规范解答】解：（1）设点、运动秒时，、两点重合， ， 解得：； （2）设点、运动秒时，可得到等边三角形，如图①， ，， 三角形是等边三角形， ， 解得， 点、运动4秒时，可得到等边三角形． （3）当点、在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 由（1）知12秒时、两点重合，恰好在处， 如图②，假设是等腰三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 设当点、在边上运动时，、运动的时间秒时，是等腰三角形， ，，， ， 解得：．故假设成立． 当点、在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形，此时、运动的时间为16秒． 【考点评析】此题主要考查了等边三角形的性质及判定，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系 期中真题拔高训练15题 一．选择题 1．（2023秋•阳信县期中）如图，在中，是的平分线，，，则为　　 A． B． C． D． 解：作于，于， 是的平分线， ， ． 故选：． 2．（2019秋•合浦县期中）如图，已知是等边三角形，点、，、在同一直线上，且，，则　　 A． B． C． D． 解：如图所示， 是等边三角形， ， ， ， ， 同理有， ， ． 故选：． 3．（2023秋•丰南区期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的　　 A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 解：由题知， 由图①的折叠方式可知， ， 所以是的角平分线． 由图②的折叠方式可知， ， 又因为， 所以， 即， 所以是的高线． 由图③的折叠方式可知， ， 所以是的中线． 故选：． 4．（2023秋•五华区校级期中）如图，是中的平分线，于点，，，，则　　 A．14 B．26 C．56 D．28 解：如图，作交于点， 平分，，， ， ， 故选：． 5．（2023秋•天宁区校级期中）如图，边长为的等边中，是上中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是　　 A． B． C． D． 解：如图，，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ，， ，， 点在射线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交 于，此时的值最小， ，， 是等边三角形， ， ， ， 周长的最小值， 故选：． 二．填空题 6．（2024春•大田县期中）如图，在边长为5的等边三角形中，点在边上，点在△的角平分线上，且，则的最小值是 　　． 解：过点作，并截取，连接，如图所示： △为等边三角形， ，， 平分． ， ， ， ， △△， ， ， 当、、三个点在同一直线上时，的和最小，即最小． 的值最小为：． 故答案为：． 7．（2024春•景德镇期中）如图，△中，，，的垂直平分线分别交、于、，若，则　6　． 解：连接， ，， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ，又， ， ． 故答案为：6． 8．（2023春•海淀区校级期中）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边、，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为　　． 解：由折叠的性质得：， 设，则， 由勾股定理得：， 解得：． 故答案为：． 9．（2023秋•襄州区期中）如图，将等边折叠，使点恰好落在边上的点处，折痕为，为折痕上的动点，若，，则的周长最小值为 　10　． 解：如图，连接， 将等边折叠，使得点恰好落在边上的点处， 是的对称轴， ， ，， ， ， 当、、三点共线时，周长最小值为． 故答案为：10． 10．（2023秋•呼和浩特期中）已知在中，，，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值为 　　． 解：作点关于的对称点，过点作于点，交于点，点即为所求作的点，此时有最小值，连接，根据对称点可知：， ，， △， ， ， ， ， ， 故答案为． 三．解答题 11．（2023秋•新宾县期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 解：（1）连接， 垂直平分 是的中点 （2）设 由三角形的外角的性质， 在三角形中， 12．（2023秋•东城区校级期中）课堂上，老师提出问题： 如图，，是两条马路，点，处是两个居民小区，现要在两条马路之间的空场处建活动中心，使得活动中心到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等，如何确定活动中心的位置？ （1）利用尺规作图确定点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）写出作图依据：　角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等　． 解：（1）如图1，点为所求； （2）作的平分线，线段的垂直平分线，交于点， 连接，，过点作于点，于点． ，， 且点在的平分线上， （角的平分线上的点到角的两边的距离相等）， 即活动中心到两条马路的距离相等， 点在线段的垂直平分线上， （垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）， 即活动中心到两个小区的距离也相等， 点为所求作的点． 故答案为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 13．（2023秋•重庆期中）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，，且、满足． （1）　4　，　　； （2）如图1，若点是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标； （3）如图2，点是外角平分线上一点，且点的横坐标为4，过点作于点，求的值． 解：（1）．，， ，， ，， 故答案为：4，8； （2）由（1）得，，则，， 如图1，设点的坐标为， 的面积为6， ， 解得，或11， 的坐标为或； （3）如图2，过点作轴于点，交于点，作轴于点，则，轴， ，，点的横坐标为4， ， ， 是的中位线， ， 平分，， ，， 在和中， ，，， ， ，， 设，则， ， ． 方法二：易证， 14．（2017秋•西城区校级期中）如图，以的两边、向外作等边三角形和等边三角形，连接、，相交于． （1）试写出图中和相等的一条线段并说明你的理由； （2）求出和的夹角大小，若改变的形状，这个夹角的度数会发生变化吗？请说明理由． 解：（1），理由为： 和都为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ； （2）和的夹角大小为，若改变的形状，这个夹角的度数不变，理由为： 为等边三角形， ， ， ， 为的外角， ，即， 则和的夹角大小为． 15．（2019秋•崇川区校级期中）如图，中，，点在所在的直线上，点在射线上，且，连接． （1）如图①，若，，求的度数； （2）如图②，若，，求的度数； （3）当点在直线上（不与点、重合）运动时，试探究与的数量关系，并说明理由． 解：（1）， ， ， ， ， ； （2），， ， ， ， ， ； （3）设，，， ①如图1，当点在点的左侧时，， ， （1）（2）得， ； ②如图2，当点在线段上时，， ， （2）（1）得， ； ③如图3，当点在点右侧时，， ， （2）（1）得， ． 综上所述，与的数量关系是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$