22.1.4用待定系数法求二次函数的解析式（第2课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

第22章 二次函数 九年级数学上册同步精品课堂（人教版） 人教版 数学 九年级 上册 BY YUSHEN BY YUSHEN 22.1.4（第2课时） 用待定系数法 求二次函数的 解析式 BY YUSHEN BY YUSHEN 复习引入 　　1．先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得到函数解析式的方法，叫做________________． 　　2．用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 　　（1）设：设出函数解析式； 　　（2）代：将坐标代入解析式； 　　（3）解：解方程组； 　　（4）写：写出解析式． 待定系数法 BY YUSHEN BY YUSHEN 复习引入 　　3．二次函数常用的解析式形式： 　　（1）一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 　　（2）顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)． BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 　　我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式．对于二次函数，由几个点的坐标可以确定它的解析式呢？这几个点应满足什么条件？ 例如：已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)，求这个函数的解析式. 解： 设所求的二次函数为y=ax2+bx+c. 由已知得： a-b+c=10 a+b+c=4 三个未知数，两个等量关系，这个方程组能解吗？ BY YUSHEN BY YUSHEN 归纳总结 新知探究 一般地，函数解析式中有几个独立的系数，我们就需要相同个数的独立条件才能求出函数解析式．例如：我们确定正比例函数y＝kx(k≠0)只需要一个独立条件；确定一次函数y＝kx＋b(k≠0)需要两个独立条件．如果要确定二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式，需要几个条件呢？ 由两点 (连线不与坐标轴垂直) 的坐标，可以确定一次函数的解析式；类似地，由三点 (不在同一条直线上) 的坐标，可以确定二次函数的解析式.故需要三个不同的条件才能确定二次函数的解析式. 任意三点不在同一直线上，其中两点的连线可垂直于 y 轴，但不可以垂直于 x 轴. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点． (1)求二次函数的解析式； 解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过 A(2，0)，B (0，－1)和C(4，5)三点， BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点． (2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D， 求点D的坐标； (3)在同一坐标系中画出直线y＝x＋1，并写出 当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值． 解：(2)当y＝0时，x2－x－1＝0，解得x＝2或－1. ∴D(－1，0)． (3)如图所示 当－1＜x＜4时，一次函数的值大于二次函数的值． BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 典例 下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分，根据表格信息，恰当选择条件求出这个二次函数的解析式． x －3 －2 －1 0 1 2 y 0 1 0 －3 －8 －15 解：选取(－3，0)，(－1，0)，(0，－3)．设二次函数的解析式是 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 把(－3，0)，(－1，0)，(0，－3)代入 y＝ax2＋bx＋c 中，得 解得 　　∴所求的二次函数的解析式是 y＝－x2－4x－3． BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 　　已知三个点，可以设二次函数的一般式， 利用待定系数法求出解析式，其步骤是： 　　（1）设函数解析式为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 　　（2）代入后得到一个三元一次方程组； 　　（3）解方程组得到 a，b，c 的值； 　　（4）把待定系数用数值换掉，写出函数解析式． 归纳总结 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 一个二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点，求这个二次函数的解析式． 　　解：设所求二次函数为 y＝ax2＋bx＋c． 　　由已知，函数图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点， 得关于 a，b，c 的三元一次方程组 　　解这个方程组，得 a＝2，b＝－3，c＝5． 　　所求二次函数是 y＝2x2－3x＋5． BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 一个二次函数图象的顶点坐标为(1，－1)，图象过点(2，2)，求这个二次函数的解析式． 　　解：设所求二次函数的解析式为 y＝a(x－h)2＋k． 　　∵图象的顶点坐标为(1，－1)， 　　∴h＝1，k＝－1． 　　∴y＝a(x－1)2－1． 　　∵函数图象经过点(2，2)， 　　∴可列方程 a(2－1)2－1＝2． 　　解得 a＝3． 　　∴这个二次函数的解析式为 y＝3(x－1)2－1＝3x2－6x＋2． BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 典例 下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分，根据表格信息，恰当选择条件求出这个二次函数的解析式． x －3 －2 －1 0 1 2 y 0 1 0 －3 －8 －15 能够根据表中信息得到该二次函数图像的顶点坐标？ BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 典例 下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分，根据表格信息，恰当选择条件求出这个二次函数的解析式． x －3 －2 －1 0 1 2 y 0 1 0 －3 －8 －15 　 解：选取顶点(－2，1)和点(1，－8)． 　　设这个二次函数的解析式是 y＝a(x－h)2＋k，把顶点(－2，1)代入 y＝a(x－h)2＋k ，得 y＝a(x＋2)2＋1． 　　再把点(1，－8)代入上式，得 a(1＋2)2＋1＝－8．解得 a＝－1． 　　∴所求的二次函数的解析式是 y＝－(x＋2)2＋1 或 y＝－x2－4x－3． BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 　　已知抛物线的顶点坐标，可设二次函数的顶点式， 利用待定系数法求出解析式，其步骤是：　　 　　（1）设函数解析式为 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)； 　　（2）先代入顶点坐标，得到关于 a 的一元一次方程； 　　（3）将另一点的坐标代入原方程求出 a 的值； 　　（3）将 a 用数值换掉，写出函数解析式． 归纳总结 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 已知二次函数的图象与 x 轴交于(－2，0)，(2，0)，并经过点 M(0，1)，求二次函数的解析式． 　　解：设二次函数的解析式为 y＝a(x＋2)(x－2) ． 　　由已知，图象过点 M(0，1)，得1＝a(0＋2)(0－2) ． 　　解得 ． 　　所求二次函数是 或 ． BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 　　已知抛物线与 x 轴两个交点的坐标(x1，0)，(x2，0)， 可设二次函数的交点式，利用待定系数法求出解析式， 其步骤是：　 　　（1）设函数解析式为 y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)； 　　（2）将另一点的坐标代入求出 a 的值； 　　（3）将 a 用数值换掉，写出函数解析式． 归纳总结 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 典例 下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分，根据表格信息，恰当选择条件求出这个二次函数的解析式． x －3 －2 －1 0 1 2 y 0 1 0 －3 －8 －15 　　解：设二次函数的解析式为 y＝a(x＋3)(x＋1) ． 　　由已知，图象过点 M(0，－3)，得－3＝a(0＋3)(0＋1) ． 　　解得 a＝－1． 　　∴所求的二次函数的解析式是 y＝－x2－4x－3． BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 已知二次函数的图象经过点(-1,3), (1,3),(2,6),求这个二次函数的解析式. 解：设其解析式为y=a(x-1)(x+1)+3, 又图象经过点(2,6), ∴6=a(2-1)(2+1)+3, 解得a=1. ∴二次函数解析式为y=(x-1)(x+1)+3=x2+2. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 已知抛物线顶点(1,16)，且抛物线与x轴的两交点间的距离为8，求其解析式. 解:由题意可知抛物线与x轴交点坐标为(5,0)，(-3,0), 设解析式为y=a(x-5)(x+3), ∵抛物线过点(1,16) ∴16=a(1-5)(1+3),解得a=-1. ∴抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 利用待定系数法求二次函数解析式时，一般可以分以下几种情况： (1)顶点在原点，可设为y＝ax2； (2)对称轴是y轴(或顶点在y轴上)，可设为y＝ax2＋k； (3)顶点在x轴上，可设为y＝a(x－h)2； (4)抛物线过原点，可设为y＝ax2＋bx； (5)已知顶点(h，k)时，可设顶点式y＝a(x－h)2＋k； (6)已知抛物线上三点时，可设一般式为y＝ax2＋bx＋c； (7)已知抛物线与x轴两交点坐标为(x1，0)，(x2，0)时， 可设交点式为y＝a(x－x1)(x－x2)． 解题方法 根据题意 灵活选择 BY YUSHEN BY YUSHEN 归纳总结 用待定系数法求二次函数的解析式 一般式法 顶点式法 已知三个点的坐标 已知顶点坐标或对称轴或最值 交点式法 已知抛物线与 x 轴两交点坐标 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 1.已知函数y＝－x2＋bx＋c的图象顶点是(1，3)，则b，c的值是(　　) A．b＝2，c＝－2　　　　　B．b＝2，c＝2 C．b＝－2，c＝2 D．b＝－2，c＝－2 2.已知二次函数的图象经过点(－1，－6)，(1，－2)和(2，3)，则这个二次函数的解析式为___________． y＝x2＋2x－5 B 3.若抛物线过点 (2，4)，且当 x = 1 时，y 有最值为 6， 则其解析式为 . y = -2x2 + 4x + 4 4. 如图，平面直角坐标系中，函数图象的 解析式应是 x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 2 1 -1 3 4 5 . BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 5.已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式． 解：设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c. ∵二次函数y＝ax2＋bx＋c过点(0，2)，(1，0)，(2，0)三点， ∴二次函数的解析式为y＝x2－3x＋2.　 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 6.一个二次函数的图像经过(0,0)，(-1,-1)，(1,9)三点，求这个二次函数的解析式. 解:设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c. 由已知，函数图像经过(0,0)，(-1,-1)，(1,9)三点， 得关于a，b， c的三元一次方程组 c=0， a-b+c=-1， a+b+c=9， a=4， b=5， c=0. 解得 所求二次函数的解析式是y= 4x2+5x. BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 7.已知一个二次函数的图象过点A(-1,0), B(4,5), C(0,-3). 三点，求这个函数的解析式. 解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c. ∵抛物线经过点A(-1，0), B(4，5), C(0，-3). ∴ 解得a＝1，b＝-2，c＝-3. ∴抛物线的解析式为y＝x2-2x-3. BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 8.已知抛物线的顶点是(1，-3)，且经过点M(2，0)，求抛物线的解析式. 解：由抛物线的顶点是(1，-3)， 可设抛物线的解析式为：y=a(x-1)2-3 ∵ 抛物线经过点M(2，0) ∴ 0=a×(2-1)2-3，解得 a=3 ∴ 抛物线的解析式为：y=3(x-1)2-3，即y=3x2-6x BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 9.已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（2，1），求二次函数的解析式． 解：∵函数的最大值是2，则此函数顶点的纵坐标是2， 又顶点在y=x+1上，那么顶点的横坐标是1， 设此函数的解析式是y=a（x-1）2+2， 再把（2，1）代入函数中可得 a（2-1）2+2=1， 解得a=-1， 故函数解析式是y=-x2+2x+1． BY YUSHEN BY YUSHEN ∴ 解得 ∴y＝x2－x－1. ∴解得 $$