12.3角的平分线的性质 同步分层训练（提升卷）2024-2025学年人教版八年级数学上册

人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质 同步分层训练（提升卷） 班级： 姓名： 同学们： 练习开始了，希望你认真审题，细致做题，运用所学知识解决本练习。祝你收获满满，学习进步，榜上有名！ 一、选择题 1．下列四个命题：①直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；②角平分线上的点到角两边的距离相等；③过一点有且只有一条直线与这条直线平行；④如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等．其中真命题的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 2．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（　　） A．15 B．30 C．45 D．60 3．如图，是中的平分线，交于点，交于点，若，，，则的长为（　　） A． B．4 C．5 D．6 4．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则的面积是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，在四边形中，，平分，，则的面积是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 6．如图．点P是的角平分线上的一点，于点E，已知，则点P到的距离是（　　） A．18 B．12 C．6 D．9 7．如图，中，，平分交于点P，若，，则的面积是（　　） A． B． C． D． 8．如图，点是的外角平分线上一点，且满足，过点D作于点E，交的延长线于点F，则下列结论中，其中正确的结论有（　　）①；②平分；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在四边形中，，，连接，，垂足为C，并且，点E是边上一动点，则的最小值是（　　） A．1.5 B．3 C．3.5 D．4 10．如图，中，，平分，，，则的面积为（　　） A．20 B．10 C．15 D．30 二、填空题 11．如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，，若的面积为9，则的长为　 　. 12．如图，在四边形中，，，，，则点到边的距离等于　 　． 13．如图，在中，，是的角平分线，如果，，那么　 　． 14．如图，是的角平分线，于，的面积为，，则　 　. 15．如图所示，点O是内一点，平分，于点D，连接，若，则的面积是　 　． 三、解答题 16．如图，AD＝BD，∠CAD+∠CBD＝180°，求证：CD平分∠ACB. 17．如图，，M是的中点，平分，且，求的度数 18．如图，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥AB于E，ED的延长线交BC的延长线于F． 求证：AE＝CF． 19．如图：在，，于，于，、相交于求证：平分． 四、综合题 20．如图，在中，的平分线交于点，过点作交于点，过点作交于点. （1）求证：是的平分线； （2）若 ，若， 求的度数. 21．如图中，，，D是边上一点，连接，垂足为点C，且，交线段于点F． （1）在图1中画出正确的图形，并证明； （2）当时，求证：平分． 22．如图，在四边形中，，O为上的一点，且平分平分.求证： （1）. （2）. 23．如图，已知DE⊥AB垂足为E，DF⊥AC垂足为F，BD＝CD，BE＝CF. （1）求证：AD平分∠BAC； （2）丁丁同学观察图形后得出结论：AB+AC＝2AE，请你帮他写出证明过程. 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：①直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离 ，所以原说法错误，是假命题； ②根据角平分线的性质定理知： 角平分线上的点到角两边的距离相等，说法正确，是真命题； ③根据平行公理知：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，所以原说法错误，是假命题； ④如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，所以原说法错误，是假命题. 故答案为：B. 【分析】根据点到直线的距离定义、角平分线的性质定理、平行公理及垂线的定义即可一一判断得出答案. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：作于， 由基本尺规作图可知，是的角平分线， ，， ， 的面积， 故答案为：B. 【分析】作DE⊥AB于E，由基本尺规作图可知：AD是△ABC的角平分线，由角平分线的性质可得DE=DC=4，然后根据三角形的面积公式进行计算. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF， ∵S△ABC=S△ABD+S△ADC， ∴， 解之：AC=. 故答案为：A 【分析】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得DE=DF，再利用S△ABC=S△ABD+S△ADC，利用三角形的面积公式，可求出AC的长. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：由作法得平分，，， ∴G点到的距离等于的长，即G点到的距离为1， ∴的面积． 故答案为：A． 【分析】利用角平分线的性质可得G点到的距离为1，再利用三角形的面积公式求解即可。 5．【答案】A 【解析】【解答】解：过D作，交的延长线于F， ∵，平分，，， ∴， ∵， ∴的面积， 故答案为：A． 【分析】过D作，交的延长线于F，先求出，再利用三角形的面积公式求出的面积即可。 6．【答案】D 【解析】【解答】解：平分，， ∴P到的距离， 故答案为：D 【分析】利用角平分线的性质可得P到的距离。 7．【答案】D 【解析】【解答】解：过点P作于点H， 平分， ， ， ． 故答案为：D． 【分析】过点P作于点H，根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积可得。 8．【答案】D 【解析】【解答】解：如图，设交于点O. ∵，， ∴， ∵平分， ∴，，故①正确， 在和中， ∴（） ∴，， ∴平分，故②正确， ∵， ∴（）， ∴， ∴，故③正确， ∵，， ∴，故④正确. 故答案为：D. 【分析】设AC交BD于点O，根据角平分线的概念以及性质可得DE=DF，∠FAD=∠EAD，据此判断①；利用AAS证明△ADF≌△ADE，得到∠ADF=∠ADE，AF=AE，据此判断②；证明△BFD≌△CED，得到BF=CE，根据线段的和差关系可判断③；根据全等三角形的性质可得∠DBF=∠DCE，由对顶角的性质可得∠AOB=∠DOC，结合内角和定理可判断④. 9．【答案】B 【解析】【解答】解：过点C作交于点H，如图所示： ∵， ∴， 又∵， ，， ∴， ∴是的角平分线， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∴点C是直线外一点， ∴当点E在上运动时，点E运动到与点H重合时最短，其长度为长等于3， 即长的最小值为3. 故答案为：B. 【分析】过点C作CH⊥AD交AD于点H，根据内角和定理可得∠D+∠ACD+∠CAD=180°，∠ACB+∠B+∠BAC=180°，由已知条件可知∠ACB=∠D，则∠BAC=∠DAC，推出AC是∠BAD的角平分线，由角平分线的性质可得CH=BC=3，然后结合垂线段最短的性质可得CE的最小值. 10．【答案】C 【解析】【解答】解：如图，过点D作于E， ∵，平分，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：C． 【分析】根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式可得。 11．【答案】3 【解析】【解答】解：过作于， 是边上的高，平分，交于点， ， ， ， ， 故答案为：3. 【分析】过E作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质可得DE=EF，然后根据三角形的面积公式进行计算. 12．【答案】2 【解析】【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E， ∴∠BED=∠BDC=∠A=90°， ∴∠C+∠EDC=90°，∠BDE+∠EDC=90°，AD⊥AB， ∴∠C=∠BDE， ∵∠ADB=∠C， ∴∠ADB=∠BDE， ∴BD平分∠ADE， ∴AD=DE=2， ∴点D到BC边的距离为2 故答案为：2 【分析】过点D作DE⊥BC于点E，利用垂直的定义可证得∠BED=∠BDC=∠A=90°，利用余角的性质可推出∠C=∠BDE，AD⊥AB，由此可推出∠ADB=∠BDE，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出点D到BC边的距离. 13．【答案】6 【解析】【解答】解：作于E， 是的角平分线，，， ， ， 故答案为：6. 【分析】作于E，根据角平分线的性质可得DE=DC=2，再利用三角形的面积公式求解即可。 14．【答案】4 【解析】【解答】过点作于点， ∵是的角平分线，于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 【分析】过点作于点，根据角平分线的性质可得，再利用等面积法可得，最后求出即可。 15．【答案】50 【解析】【解答】解：过O作于点E， ∵平分于点D， ∴， ∴的面积=， 故答案为：50． 【分析】根据题意先求出，再利用三角形的面积公式计算求解即可。 16．【答案】解：证明：过点D作DE⊥CA于点E，DF⊥CB于点F， ∴∠AED＝∠BFD＝90°， ∵∠CAD+∠CBD＝180°，∠CAD+∠EAD＝180°， ∴∠CBD＝∠EAD， 在△AED和△BFD中， ， ∴△AED≌△BFD（AAS）， ∴DE＝DF， ∴点D在∠BCE的角平分线上， ∴CD平分∠ACB. 【解析】【分析】 过点D作DE⊥CA于点E，DF⊥CB于点F，由同角的补角相等可得∠CBD＝∠EAD，利用AAS证明△AED≌△BFD，得到DE＝DF，推出点D在∠BCE的角平分线上，据此证明. 17．【答案】证明：如图所示，作于N， ∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴，， 在和中， ∴（AAS）， ∴． ∵M是的中点， ∴， ∴， 又，， ∴． 【解析】【分析】作于N，利用“AAS”证明，可得，结合，可得，证出AM为∠DAB的角平分线，即可得到。 18．【答案】证明：∵∠ACB＝90°， ∴DC⊥BF， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BF， ∴DE＝DC，∠AED=∠FCD=90°， 在△ADE和△FDC中， ， ∴△ADE≌△FDC（ASA）， ∴AE＝CF． 【解析】【分析】 由角平分线的性质可得DE＝DC，由垂直的概念可得∠AED=∠FCD=90°，由对顶角的性质可得∠ADE=∠CDF，利用ASA证明△ADE≌△FDC，据此可得结论. 19．【答案】证明：于，于， ， 在和中， ≌， ， 在和中， ≌， ， 平分． 【解析】【分析】根据垂直的概念可得∠AEC=∠ADB=90°，由已知条件可知AB=AC，证明△ABD≌△ACE，得到AE=AD，进而证明△AEF≌△ADF，得到EF=DF，据此证明. 20．【答案】（1）证明：是的平分线， ， ， ， ， 是的平分线. （2）解：， ， ， ， ， ， . 【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠ABE=∠CBE，根据平行线的性质可得∠DEB=∠CBE=∠ABE，∠ADF=∠ABE，∠EDF=∠DEB，推出∠ADF=∠EDF，据此证明； （2）根据平行线的性质可得∠AFD=∠AEB，∠AED=∠ACB=81°，则∠AEB=∠AED+∠BEC=109°，据此解答. 21．【答案】（1）解：如图1 ， ， 在和中/ （2）证明：如图2， 由（1）得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分. 【解析】【分析】（1）先作出图象，利用“HL”证明，再利用全等三角形的性质可得； （2）根据全等三角形的性质可得，再结合，利用等量代换求出，即可得到 平分。 22．【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点O作于点E，如图所示： ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴ 【解析】【分析】（1）由同旁内角互补，两直线平行得AB∥CD，根据二直线平行，同旁内角互补得∠BAC+∠DCA=180°，根据角平分线的定义得 ，根据三角形的内角和定理得∠AOC=90°，从而即可得出结论； （2） 过点O作OE⊥AC于点E ，由角平分线上的点到角两边的距离相等得OB=OE，OD=OE，利用HL分别判断出Rt△OAB≌Rt△OAE，Rt△OCE≌Rt△OCD，根据全等三角形对应边相等得AB=AE，CD=CE，据此就容易得出结论了. 23．【答案】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°， 在Rt△BED和Rt△CFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴DE＝DF， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠EAD＝∠CAD， ∴AD平分∠BAC； （2）解：∵∠E＝∠AFD＝90°， 在Rt△AED和Rt△AFD中 ， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE＝AF， ∵BE＝CF， ∴AB+AC＝AE-BE+AF+CF＝AE-CF+AE+CF＝2AE. 【解析】【分析】（1）首先用HL判断出Rt△BED≌Rt△CFD，根据全等三角形的对应边相等得DE=DF，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可得AD平分∠BAC； （2）首先用HL判断出Rt△AED≌Rt△AFD ，根据全等三角形的对应边相等得AE=AF，结合BE=CF，根据线段的和差即可得出结论. 学科网（北京）股份有限公司 $$