第22章 二次函数 最值问题 专项练习 2024-2025学年人教版九年级数学上册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 2024-2025学年 第22章 二次函数 专题01 最值问题 常考题型汇总 （原卷版） 一、选择题 1.（2024•青秀区校级开学）函数y=x2+2x-3（-2≤x≤2）的最大值和最小值分别是（　　） A．4和-3 B．-3和-4 C．5和-4 D．-1和-4 2.（2023秋•横县校级期中）二次函数y=ax2+4x+a的最大值为3，则a的值为（　　） A．-4 B．-1 C．1 D．4 3.（2024•眉山）定义运算：a⊗b=（a+2b）（a-b），例如4⊗3=（4+2×3）（4-3），则函数y=（x+1）⊗2的最小值为（　　） A．-21 B．-9 C．-7 D．-5 4.（2023秋•章丘区期末）已知二次函数y=x2-2mx+m2+1（m为常数），当自变量x的值满足-3≤x≤-1时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（　　） A．1或-3 B．-3或-5 C．1或-1 D．1或-5 5.（2024•河北模拟）已知二次函数y=（x-h）2+1（h为常数）在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A．1或-5 B．-1或5 C．1或-3 D．1或3 6.（2024•桐乡市一模）已知二次函数y=ax2-2ax（a≠0）的图象上有两点A（m,y1），B（2m,y2），若y1＞y2＞0，则当m＜x＜2m时，函数（　　） A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 7.（2021秋•南宁期末）如图，四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC+BD=12，则四边形ABCD的面积最大值为（　　） A．6 B．18 C．36 D．144 8.（2024春•兴宁区校级月考）若点A是二次函数y=（x+3）2-1图象的最低点，则点A的坐标是（　　） A．（3，-1）B．（-3，-1）C．（-1，3）D．（-1，-3） 9.（2024•龙湖区校级一模）二次函数y=-x2+bx+c的图象的最高点是（-1，-3），则b,c的值分别是（　　） A．2，4B．2，-4C．-2，4D．-2，-4 10.（2024•邢台三模）点A（a,b1），B（a+2，b2）在函数y=-x2+2x+3的图象上，当a≤x≤a+2时，函数的最大值为4，最小值为b1，则a的取值范围是（　　） A．0≤a≤2B．-1≤a≤2C．-1≤a≤1D．-1≤a≤0 11.（2024春•朝阳区校级月考）若二次函数y=x2-3x-m的最小值是非负数，则实数m取值范围为（　　） A.m<-- B. m ≥-- C.m>-- D.m≤-- 12.（2024•荔湾区校级三模）在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“相反点”，例如点（1，-1），（-,）…，都是“相反点”，若二次函数y=ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“相反点”（2，-2），当-1≤x≤m时，二次函数y=ax2+3x+c（a≠0）的最小值为-8，最大值为-，则m的取值范围为（　　） A. -1≤m≤4 B.-1≤m≤ C.≤m≤4 D.≤m≤5 13.（2024•龙马潭区二模）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点（1，1），（-1/3，-1/3），（-√2，-√2），…，都是和谐点．若二次函数y=ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（3/2，3/2），当0≤x≤m时，函数y=ax2+4x+c-3/4（a≠0）的最小值为-3，最大值为1，m的取值范围是（　　） A．m≤4 B．m≥2 C．2≤m≤4 D．2＜m＜4 14.（2023秋•贵池区期末）正方形ABCD中，AB=4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP=PF，则△APF的面积最大值为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2√2 15.（2024•玉林模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=16，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF=10，点G是EF的中点，连结AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为（　　） A．142 B．96 C．192 D．124 二、填空题 1.（2023秋•青浦区校级期中）已知抛物线y=（a-1）x2+a-1的最高点为（0，3），则a= . 2.（2024春•靖江市校级月考）已知二次函数y=（a-1）x2+2ax+3a-2的图象的最低点在x轴上，则a= . 3.（2024•拱墅区校级开学）0≤x≤1时，函数y=x2-2ax+a的最小值为-2，则实数a的值为 . 4.（2024•镇江一模）二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象经过点（-2，1），则ac的最大值等于 ． 5.（2024春•莱山区校级月考）如图，高腾同学在校运会跳高比赛中采用背跃式，跳跃路线是一条抛物线，他跳跃的高度y（单位：m）与跳跃时间x（单位：s）之间具有函数关系，那么他能跳过的最大高度为 m. 6.（2024•盐城模拟）如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且AC+BD=10，则四边形ABCD面积的最大值为 ． 7.（2024春•开化县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm,AC=8cm,O是AB的中点，点P从点C出发沿CB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点A出发沿AC边向点C以2cm/s的速度移动．点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也同时停止运动．（1）出发2秒后，点P，Q之间的距离是  cm.（2）当△OPQ的面积最小时，点P，Q之间的距离是  cm. 8.（2024•巴林左旗模拟）公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②，喷头高5m时，水柱落点距O点5m；喷头高8m时，水柱落点距O点6m.现要使水柱落点距O点3m,则喷头高应调整为  m. 三、解答题 1.已知二次函数y=x2-6x+k的图象如图所示．（1）求k的值；（2）当-1≤x≤6时，求y的最大值． 2.（2023秋•上城区校级月考）已知关于x的二次函数y=x2-2x-3．（1）求当-2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差；（2）若点P（-3，y1），Q（q,y2）在该二次函数的图象上，且y1＜y2，请直接写出q的取值范围． 3.（2024•西湖区校级二模）已知周长为a cm（a为定值）的矩形的一边长y（cm）与它的邻边长x（cm）之间的函数图象如图所示．（1）直接写出a的值和y关于x的函数表达式；（2）当x为何值时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？ 4.（2023秋•庆云县期末）如图，四边形ABCD中，AD=CD，AB=BC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．（1）如果筝形的两条对角线长分别为6cm、8cm,求筝形的面积？（2）已知筝形ABCD的对角线AC，BD的长度为整数值，且满足AC+BD=6．试求当AC，BD的长度为多少时，筝形ABCD的面积有最大值，最大值是多少？ 5.（2024•青秀区校级开学）如图，点E、F、G、H分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF=DG=DH，连接EF，FG，GH，HE，已知∠A=60°，AB=6．（1）求∠HEA的度数； （2）判断四边形EFGH的形状，并说明理由；（3）设EB=x,四边形EFGH的面积为y,求y的最大值． 一、选择题 1.（2024•青秀区校级开学）函数y=x2+2x-3（-2≤x≤2）的最大值和最小值分别是（　　） A．4和-3 B．-3和-4 C．5和-4 D．-1和-4 【考点】二次函数的最值． 【答案】C 【分析】先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值． 【解答】解：∵y=x2+2x-3（-2≤x≤2）， ∴y=（x+1）2-4， ∴抛物线的对称轴为x=-1，x=-1时y有最小值-4， ∵-2≤x≤2， ∴x=2时，y=5是最大值． ∴函数的最大值为5，最小值为-4． 故选：C． 【点评】本题是一道有关二次函数图象性质的题，考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值的运用． 2.（2023秋•横县校级期中）二次函数y=ax2+4x+a的最大值为3，则a的值为（　　） A．-4 B．-1 C．1 D．4 【考点】二次函数的最值． 【答案】B 【分析】根据题意和题目中的函数解析式，利用二次函数的性质可以求得a的值，本题得以解决． 【解答】解：∵二次函数y=ax2+4x+a的最大值为3， ∴a＜0， 4a•a-424a=3 解得a1=-1，a2=4（舍去）． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 3.（2024•眉山）定义运算：a⊗b=（a+2b）（a-b），例如4⊗3=（4+2×3）（4-3），则函数y=（x+1）⊗2的最小值为（　　） A．-21 B．-9 C．-7 D．-5 【考点】二次函数的最值． 【答案】B 【分析】根据新运算的定义，可y与x之间的函数关系式，再根据二次函数的最值解答即可． 【解答】解：由题意得，y=（x+1）⊗2=（x+1+2×2）（x+1-2）=（x+5）（x-1）， 即y=x2+4x-5=（x+2）2-9， ∴函数y=（x+1）⊗2的最小值为-9． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握函数最值的求法是解题的关键． 4.（2023秋•章丘区期末）已知二次函数y=x2-2mx+m2+1（m为常数），当自变量x的值满足-3≤x≤-1时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（　　） A．1或-3 B．-3或-5 C．1或-1 D．1或-5 【考点】二次函数的最值． 【答案】D 【分析】利用配方法可得出：当x=m时，y的最小值为1．分m＜-3，-3≤m≤-1和m＞-1三种情况考虑：当m＜-3时，由y的最小值为5可得出关于m的一元二次方程，解之取其较小值；当-3≤m≤-1时，y的最小值为1，舍去；当m＞-1时，由y的最小值为5可得出关于m的一元二次方程，解之取其较大值．综上，此题得解． 【解答】解：∵y=x2-2mx+m2+1=（x-m）2+1， ∴当x=m时，y的最小值为1． 当m＜-3时，在-3≤x≤-1中，y随x的增大而增大， ∴9+6m+m2+1=5， 解得：m1=-5，m2=-1（舍去）； 当-3≤m≤-1时，y的最小值为1，舍去； 当m＞-1时，在-3≤x≤-1中，y随x的增大而减小， ∴1+2m+m2+1=5， 解得：m1=-3（舍去），m2=1． ∴m的值为-5或1． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，分m＜-3，-3≤m≤-1和m＞-1三种情况求出m的值是解题的关键． 5.（2024•河北模拟）已知二次函数y=（x-h）2+1（h为常数）在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A．1或-5 B．-1或5 C．1或-3 D．1或3 【考点】二次函数的最值． 【答案】B 【分析】当h＜1≤x≤3时，二次函数在1≤x≤3上单调递增，进而得出x=1时，y取得最小值5，进而求出h的值；当1≤x≤3＜h,二次函数在1≤x≤3上单调递减，进而得出x=3时，y取得最小值5，进而求出h的值． 【解答】解：h的值不可能在1到3之间， 当h＜1≤x≤3时，当x=1时，y取得最小值5，（1-h）2+1=5， h=-1或h=3（不合题意，舍去）， 当1≤x≤3＜h,当x=3时，y取得最小值5，（3-h）2+1=5， h=5或h=1（不合题意，舍去）， 故选：B． 6.（2024•桐乡市一模）已知二次函数y=ax2-2ax（a≠0）的图象上有两点A（m,y1），B（2m,y2），若y1＞y2＞0，则当m＜x＜2m时，函数（　　） A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征． 【答案】B 【分析】由y=ax2-2ax=ax（x-2），可得该二次函数与x轴交点为（0，0），（2，0），因为m＜x＜2m,推断m＞0，因为y1＞y2＞0，可得在第一象限，x越大y越小，可画出该函数的大致图象，判断有无最大值最小值． 【解答】解：y=ax2-2ax=ax（x-2）， 令y=0，则x=0或x=2，即该二次函数与x轴交点为（0，0），（2，0）， 当m＜x＜2m时，y1＞y2＞0，如图所示， ， ∴该函数有最大值，无最小值， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的最值，关键是根据该二次函数与x轴交点为（0，0），（2，0），当m＜x＜2m时，y1＞y2＞0，可得该函数在第一象限，x越大y越小． 7.（2021秋•南宁期末）如图，四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC+BD=12，则四边形ABCD的面积最大值为（　　） A．6 B．18 C．36 D．144 【考点】二次函数的最值． 【答案】B 【分析】设AC=x,则BD=12-x,根据题意表示出四边形ABCD的面积，根据二次函数的性质解答． 【解答】解：设AC=x,则BD=12-x, 则四边形ABCD的面积=1/2AC×BD=1/2×x×（12-x）=-1/2x2+6x=-1/2（x-6）2+18， ∴当x=6时，四边形ABCD的面积最大，最大值是18， 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的面积计算，掌握二次函数的性质、四边形的面积公式是解题的关键． 8.（2024春•兴宁区校级月考）若点A是二次函数y=（x+3）2-1图象的最低点，则点A的坐标是（　　） A．（3，-1）B．（-3，-1）C．（-1，3）D．（-1，-3） 【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征． 【答案】B 【分析】根据函数解析式可确定顶点坐标，进而可得答案． 【解答】解：∴二次函数y=（x+3）2-1， ∴抛物线开口向上，顶点为（-3，-1）， ∴抛物线的最低点为（-3，-1）， ∵点A是二次函数y=（x+3）2-1图象的最低点， ∴点A（-3，-1）， 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 9.（2024•龙湖区校级一模）二次函数y=-x2+bx+c的图象的最高点是（-1，-3），则b,c的值分别是（　　） A．2，4B．2，-4C．-2，4D．-2，-4 【考点】二次函数的最值． 【答案】D 【分析】根据二次函数y=-x2+bx+c的二次项系数-1来确定该函数的图象的开口方向，由二次函数y=-x2+bx+c的图象的最高点是（-1，-3）确定该函数的顶点坐标，然后根据顶点坐标公式解答b、c的值． 【解答】 【点评】本题考查对二次函数最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法． 10.（2024•邢台三模）点A（a,b1），B（a+2，b2）在函数y=-x2+2x+3的图象上，当a≤x≤a+2时，函数的最大值为4，最小值为b1，则a的取值范围是（　　） A．0≤a≤2B．-1≤a≤2C．-1≤a≤1D．-1≤a≤0 【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征． 【答案】D 【分析】先求出抛物线的对称轴及顶点坐标，然后分三种情况讨论：①点B与顶点（1，4）重合时；②当点A，B对称时；③当点A，B不对称时；分别求出a的范围，最后可得a的取值范围． 【解答】解：由y=-x2+2 x+3=-（x-1）2+4，得抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，4）． 由题意得A点在B点的左边． 如图3，当点B与顶点（1，4）重合时，a+2=1，解得a=-1； 当点A，B对称时，a=0．此时若函数的最大值为4，最小值为b1； 当点A，B不对称时，A点离对称轴远，B点离对称轴近， ∴1-a＞（a+2）-1， 解得a＜0， ∴a的取值范围是-1≤a≤0． 故选：D． 【点评】本题主要考查了在一定范围内讨论二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象的特征是解题的关键． 11.（2024春•朝阳区校级月考）若二次函数y=x2-3x-m的最小值是非负数，则实数m取值范围为（　　） A.m<-- B. m ≥-- C.m>-- D.m≤-- 【考点】二次函数的最值；解一元一次不等式． 【答案】D 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 12.（2024•荔湾区校级三模）在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“相反点”，例如点（1，-1），（-,）…，都是“相反点”，若二次函数y=ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“相反点”（2，-2），当-1≤x≤m时，二次函数y=ax2+3x+c（a≠0）的最小值为-8，最大值为-，则m的取值范围为（　　） A. -1≤m≤4 B.-1≤m≤ C.≤m≤4 D.≤m≤5 【考点】二次函数的最值；规律型：点的坐标；二次函数图象上点的坐标特征． 【答案】C 【分析】把（2，-2）代入y=ax2+3x+c,求出a、c的关系，再根据二次函数图象上有且只有一个“相反点”，结合Δ=b2-4ac求出a、c的值，得出y=-x2+3x-4，化为顶点式，可得出该二次函数的最值，再根据当y=-8时，求出x的值即可． 【解答】解：∵点（2，-2）是二次函数y=ax2+3x+c（a≠0）的“相反点”， ∴-2=4a+6+c, ∴c=-4a-8， ∵二次函数y=ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“相反点”， ∴ax2+3x+c=-x（即ax2+4x+c=0）有且只有一个根， ∴Δ=16-4ac=0， ∴16-4a（-4a-8）=0， 解得，a=-1， c=-4×（-1）-8=-4 【点评】本题考查了新定义的理解和应用，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，等知识．解题关键是由点的坐标求出a与c的关系，再根据二次函数图象上有且只有一个“相反点”，结合Δ=b2-4ac求出a、c的值，然后根据二次函数的性质解答． 13.（2024•龙马潭区二模）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点（1，1），（-1/3，-1/3），（-√2，-√2），…，都是和谐点．若二次函数y=ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（3/2，3/2），当0≤x≤m时，函数y=ax2+4x+c-3/4（a≠0）的最小值为-3，最大值为1，m的取值范围是（　　） A．m≤4B．m≥2C．2≤m≤4D．2＜m＜4 【考点】二次函数的最值；规律型：点的坐标；二次函数图象上点的坐标特征． 【答案】C 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键． 14.（2023秋•贵池区期末）正方形ABCD中，AB=4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP=PF，则△APF的面积最大值为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2√2 【考点】二次函数的最值；正方形的性质． 【答案】C 【分析】作PM⊥AD于M，根据正方形的性质易得PM=DM，设PM=DM=x,则AM=4-x,根据等腰三角形的性质即可得出AF=2（4-x），由三角形面积公式得出S△APF=/12×2（4-x）•x=-x2+4x=-（x-2）2+4，根据二次函数的性质即可求得结果． 【解答】解：作PM⊥AD于M， ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠ADB=45°， ∴△PDM是等腰直角三角形， ∴PM=DM， 设PM=DM=x,则AM=4-x, ∵AP=PF， ∴AM=FM=4-x, ∴AF=2（4-x）， ∵S△APF=1/2AF•PM， ∴S△APF=1/2×2（4-x）•x=-x2+4x=-（x-2）2+4， ∴当x=2时，S△APF有最大值4， 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 15.（2024•玉林模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=16，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF=10，点G是EF的中点，连结AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为（　　） A．142 B．96 C．192 D．124 【考点】二次函数的最值；矩形的性质． 【专题】二次函数图象及其性质；矩形 菱形 正方形；空间观念． 【答案】A 【分析】连接AC，过B作BH⊥AC于H，以B为圆心，BG为半径作圆，交BH于G'，由四边形ABCD是矩形，得∠EBF=90°，又EF=10，点G是EF的中点，即得BG=1/2EF=5，故G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到G'时，S△ACG最小，此时四边形AGCD面积的最小值，最小值即为四边形AG'CD的面积，根据AB=12=CD，BC=16=AD，可得AC=20，S△ACD=96，BH=AB•BC/AC=48/5，可得G'H=BH-5=23/5，从而S△ACG'= 1/2AC•G'H=46，得四边形AGCD面积的最小值是142． 【解答】解：连接AC，过B作BH⊥AC于H，以B为圆心，BG为半径作圆，交BH于G'，如图： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠EBF=90°， ∵EF=10，点G是EF的中点， ∴BG=1/2EF=1/2×10=5， ∴G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到G'时，S△ACG最小，此时四边形AGCD面积的最小值，最小值即为四边形AG'CD的面积， ∵AB=12=CD，BC=16=AD， ∴AC=20，S△ACD=1/2×12×16=96， ∴BH=AB•BC/AC=48/5， ∴G'H=BH-5=48/5-5=23/5， ∴S△ACG'=1/2AC•G'H=1/2×20×23/5=46， ∴S四边形AG'CD=S△ACD+S△ACG'=46+96=142，即四边形AGCD面积的最小值是142． 故选：A． 【点评】本题考查矩形中的动点问题，解题的关键是求出G的运动轨迹． 二、填空题 1.（2023秋•青浦区校级期中）已知抛物线y=（a-1）x2+a-1的最高点为（0，3），则a= . 【考点】二次函数的最值． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】4． 【分析】把（0，3）代入y=（a-1）x2+a-1即可求出的a值． 【解答】解：把（0，3）代入y=（a-1）x2+a-1得，a-1=3， ∴a=4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的特征，掌握函数图象上点的性质是解题的关键． 2.（2024春•靖江市校级月考）已知二次函数y=（a-1）x2+2ax+3a-2的图象的最低点在x轴上，则a= . 【考点】二次函数的最值． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】2． 【分析】根据二次函数的最小值为0列式求解即可得到a的值，即可作答． 【点评】本题考查了二次函数的最值问题，熟记最值公式并列出方程和不等式是解题的关键． 3.（2024•拱墅区校级开学）0≤x≤1时，函数y=x2-2ax+a的最小值为-2，则实数a的值为 . 【考点】二次函数的最值． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】-2或3． 【分析】二次函数的最值跟二次函数的开口方向、对称轴、自变量的取值范围有关系，这三要素哪一个不确定，就讨论哪一个，其中后面两个主要谈论的是对称轴与自变量取值范围与对称轴的位置关系，本题开口方向确定，自变量范围确定，对称轴为x=a不确定，所以谈论对称轴和自变量的位置关系，分三种情况，①范围在对称轴左侧；②范围在对称轴右侧；③对称轴在范围之间，再根据开口方向向上，离对称轴越近，y值越小判断在何处取最小值即可． 【解答】解：∵函数y=x2-2ax+a, ∴对称轴x=a, ∵开口方向向上， ∴当x＞a时，y随x增大而增大，当x＜a时，y随x增大而减小， ①当a＜0时，x=0时y有最小值， ∴0-0+a=-2， ∴a=-2； ②当a＞1时，x=1时有最小值， ∴1-2a+a=-2， ∴a=3； ③当0≤a≤1时，x=a有最小值， ∴a2-2a2+a=-2，即a2-a-2=0， 解得a=2或-1， ∵0≤a≤1， ∴此种情况不存在a值满足题意； 综上，a的值为-2或3． 故答案为：-2或3． 【点评】本题主要考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 4.（2024•镇江一模）二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象经过点（-2，1），则ac的最大值等于 ． 【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征． 【点评】本题考查的是二次函数的最值及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的顶点坐标是解题的关键． 5.（2024春•莱山区校级月考）如图，高腾同学在校运会跳高比赛中采用背跃式，跳跃路线是一条抛物线，他跳跃的高度y（单位：m）与跳跃时间x（单位：s）之间具有函数关系，那么他能跳过的最大高度为 m. 【考点】二次函数的最值． 【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练进行配方是解题的关键 6.（2024•盐城模拟）如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且AC+BD=10，则四边形ABCD面积的最大值为 ． 【考点】二次函数的最值． 【点评】本题考查了二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键． 7.（2024春•开化县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm,AC=8cm,O是AB的中点，点P从点C出发沿CB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点A出发沿AC边向点C以2cm/s的速度移动．点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也同时停止运动． （1）出发2秒后，点P，Q之间的距离是  cm. （2）当△OPQ的面积最小时，点P，Q之间的距离是  cm. 【点评】本题考查了二次函数的最值，勾股定理在直角三角形中的运用，考查了三角形面积的计算，正确表示出线段的长度是解题的关键． 8.（2024•巴林左旗模拟）公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②，喷头高5m时，水柱落点距O点5m；喷头高8m时，水柱落点距O点6m.现要使水柱落点距O点3m,则喷头高应调整为  m. 【考点】二次函数的最值． 【答案】1． 【分析】依据题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高5m时，可设y=ax2+bx+5，将（5，0）代入解析式得出5a+b+1=0；喷头高8m时，可设y=ax2+bx+8；将（6，0）代入解析式得36a+6b+8=0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点3m,则此时的解析式为y=ax2+bx+h,将x=3代入可求出h即可． 【点评】本题主要考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键 三、解答题 1.已知二次函数y=x2-6x+k的图象如图所示．（1）求k的值；（2）当-1≤x≤6时，求y的最大值． 【考点】二次函数的最值；二次函数的图象． 【分析】（1）根据二次函数图象得到抛物线与x轴的交点坐标，代入二次函数解析式求出k的值即可； （2）把k的值代入确定出解析式，利用函数图象确定出所求最大值即可． 【解答】解：（1）由图象得：抛物线与x轴的交点为（1，0），（5，0）， 把（1，0）代入二次函数解析式得：1-6+k=0， 解得：k=5； （2）把k=5代入得：y=x2-6x+5， 把x=-1代入得：y=12，把x=6代入得：y=5， 则当-1≤x≤6时，y的最大值为12． 【点评】此题考查了二次函数的最值，以及二次函数的图形，熟练掌握二次函数图象与性质是解本题的关键． 2.（2023秋•上城区校级月考）已知关于x的二次函数y=x2-2x-3． （1）求当-2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差； （2）若点P（-3，y1），Q（q,y2）在该二次函数的图象上，且y1＜y2，请直接写出q的取值范围． 【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征． 【答案】（1）y的最大值与最小值的差为9； （2）q的取值范围为q＜-3或q＞5． 【分析】（1）把这个二次函数的解析式化成顶点式，根据函数的性质求解即可； （2）将P（-3，y1）代入y=x2-2x-3，求得y1=12，再令y=12，可得x2-2x-3=12，解得：x=5或x=-3，结合函数的图象即可得到q的取值范围． 【解答】解：（1）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4， ∴当x=1时，y有最小值-4， ∵当x=-2时，y=5；当x=2时，y=-3， ∴当-2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为5-（-4）=9； （2）∵P（-3，y1）在y=x2-2x-3上， ∴y1=12， 令y=12，可得x2-2x-3=12， 解得：x=5或x=-3， ∵y=x2-2x-3的图象开口向上， ∴y1＜y2，q的取值范围为q＜-3或q＞5． 【点评】本题考查二次函数的最值和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 3.（2024•西湖区校级二模）已知周长为a cm（a为定值）的矩形的一边长y（cm）与它的邻边长x（cm）之间的函数图象如图所示．（1）直接写出a的值和y关于x的函数表达式；（2）当x为何值时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【考点】二次函数的最值；函数的图象． 【答案】（1）44cm；y=22-x； （2）当x=11cm时，该矩形的面积最大，最大面积是121cm2． 【分析】（1）根据矩形的周长公式得出a=2（x+y），再把P（12，10）代入求出a的值，用x表示出y的值即可； （2）利用矩形的面积公式得出S矩形与x的函数关系式，求出S的最大与最小值即可． 【解答】解：（1）∵周长为a cm（a为定值）的矩形的一边长y（cm）与它的邻边长x（cm）， ∴a=2（x+y）， ∵当x=12时，y=10， ∴a=2（12+10）=44（cm）． a=44cm,a=2（x+y）， ∴y=22-x； （2）∵由（1）知， ∴S矩形=xy=x（22-x）=-x2+22x（x＞0）， ∴当x=-22/-2=11时，S矩形最大=-112+22×11=121（cm2）． 答：当x=11cm时，该矩形的面积最大，最大面积是121cm2． 【点评】本题考查的是二次函数的最值，根据题意得出S矩形与x之间的函数关系式是解题的关键． 4.（2023秋•庆云县期末）如图，四边形ABCD中，AD=CD，AB=BC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）如果筝形的两条对角线长分别为6cm、8cm,求筝形的面积？ （2）已知筝形ABCD的对角线AC，BD的长度为整数值，且满足AC+BD=6．试求当AC，BD的长度为多少时，筝形ABCD的面积有最大值，最大值是多少？ 【考点】二次函数的最值． 【答案】（1）24cm2； （2）当AC=3，BD=3时，S筝形ABCD有最大值，最大值为9/2 【分析】（1）由AD=CD和AB=BC可得出点B和点D都在AC的垂直平分线上，推导出AC⊥BD，即可解决问题． （2）设AC的长为x,用x表示出筝形的面积，再求最值即可． 【点评】本题考查二次函数的最值，能用AC长表示出筝形的面积是解题的关键． 5.（2024•青秀区校级开学）如图，点E、F、G、H分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF=DG=DH，连接EF，FG，GH，HE，已知∠A=60°，AB=6． （1）求∠HEA的度数； （2）判断四边形EFGH的形状，并说明理由； （3）设EB=x,四边形EFGH的面积为y,求y的最大值． 【考点】二次函数的最值；等边三角形的判定与性质；菱形的性质． 【分析】（1）根据菱形的性质可得△AEH为等边三角形，则∠AEH=60°，即可求出答案； （2）同理可证∠HGF=∠GHE=90°，即可证明四边形EFGH是矩形； （3）用x的代数式表示出EF的长，根据S矩形EFGH=EH•EF=-√3x2+6√3x，利用二次函数的性质求其最大值即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD， ∵BE=BF=DG=DH， ∴AE=AH， ∵∠A=60°， ∴△AEH为等边三角形， ∴∠AEH=60°； （2）四边形EFGH是矩形，理由如下： ∵DG=DH， ∴∠DHG=∠DGH=30°， 同理，∠CGF=60°， ∴∠DGH+∠CGF=90°， 在菱形ABCD中，AD∥BC， ∴∠D+∠C=180°， ∴∠DGH+∠CGF=90°， ∴∠HGF=90°， 同理，∠GHE=90°， ∴四边形EFGH是矩形； （3）由△AHE是等边三角形， ∴EH=AE， ∵AB=6，EB=x, ∴AE=EH=6-x, 【点评】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，表示出矩形EFGH的面积是解题的关键． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 2024-2025学年 第22章 二次函数 专题01 最值问题 常考题型汇总（解析版） 一、选择题 1.（2024•青秀区校级开学）函数y=x2+2x-3（-2≤x≤2）的最大值和最小值分别是（　　） A．4和-3 B．-3和-4 C．5和-4 D．-1和-4 【考点】二次函数的最值． 【答案】C 【分析】先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值． 【解答】解：∵y=x2+2x-3（-2≤x≤2）， ∴y=（x+1）2-4， ∴抛物线的对称轴为x=-1，x=-1时y有最小值-4， ∵-2≤x≤2， ∴x=2时，y=5是最大值． ∴函数的最大值为5，最小值为-4． 故选：C． 【点评】本题是一道有关二次函数图象性质的题，考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值的运用． 2.（2023秋•横县校级期中）二次函数y=ax2+4x+a的最大值为3，则a的值为（　　） A．-4 B．-1 C．1 D．4 【考点】二次函数的最值． 【答案】B 【分析】根据题意和题目中的函数解析式，利用二次函数的性质可以求得a的值，本题得以解决． 【解答】解：∵二次函数y=ax2+4x+a的最大值为3， ∴a＜0， 4a•a-424a=3 解得a1=-1，a2=4（舍去）． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 3.（2024•眉山）定义运算：a⊗b=（a+2b）（a-b），例如4⊗3=（4+2×3）（4-3），则函数y=（x+1）⊗2的最小值为（　　） A．-21 B．-9 C．-7 D．-5 【考点】二次函数的最值． 【答案】B 【分析】根据新运算的定义，可y与x之间的函数关系式，再根据二次函数的最值解答即可． 【解答】解：由题意得，y=（x+1）⊗2=（x+1+2×2）（x+1-2）=（x+5）（x-1）， 即y=x2+4x-5=（x+2）2-9， ∴函数y=（x+1）⊗2的最小值为-9． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握函数最值的求法是解题的关键． 4.（2023秋•章丘区期末）已知二次函数y=x2-2mx+m2+1（m为常数），当自变量x的值满足-3≤x≤-1时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（　　） A．1或-3 B．-3或-5 C．1或-1 D．1或-5 【考点】二次函数的最值． 【答案】D 【分析】利用配方法可得出：当x=m时，y的最小值为1．分m＜-3，-3≤m≤-1和m＞-1三种情况考虑：当m＜-3时，由y的最小值为5可得出关于m的一元二次方程，解之取其较小值；当-3≤m≤-1时，y的最小值为1，舍去；当m＞-1时，由y的最小值为5可得出关于m的一元二次方程，解之取其较大值．综上，此题得解． 【解答】解：∵y=x2-2mx+m2+1=（x-m）2+1， ∴当x=m时，y的最小值为1． 当m＜-3时，在-3≤x≤-1中，y随x的增大而增大， ∴9+6m+m2+1=5， 解得：m1=-5，m2=-1（舍去）； 当-3≤m≤-1时，y的最小值为1，舍去； 当m＞-1时，在-3≤x≤-1中，y随x的增大而减小， ∴1+2m+m2+1=5， 解得：m1=-3（舍去），m2=1． ∴m的值为-5或1． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，分m＜-3，-3≤m≤-1和m＞-1三种情况求出m的值是解题的关键． 5.（2024•河北模拟）已知二次函数y=（x-h）2+1（h为常数）在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　） A．1或-5 B．-1或5 C．1或-3 D．1或3 【考点】二次函数的最值． 【答案】B 【分析】当h＜1≤x≤3时，二次函数在1≤x≤3上单调递增，进而得出x=1时，y取得最小值5，进而求出h的值；当1≤x≤3＜h,二次函数在1≤x≤3上单调递减，进而得出x=3时，y取得最小值5，进而求出h的值． 【解答】解：h的值不可能在1到3之间， 当h＜1≤x≤3时，当x=1时，y取得最小值5，（1-h）2+1=5， h=-1或h=3（不合题意，舍去）， 当1≤x≤3＜h,当x=3时，y取得最小值5，（3-h）2+1=5， h=5或h=1（不合题意，舍去）， 故选：B． 6.（2024•桐乡市一模）已知二次函数y=ax2-2ax（a≠0）的图象上有两点A（m,y1），B（2m,y2），若y1＞y2＞0，则当m＜x＜2m时，函数（　　） A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征． 【答案】B 【分析】由y=ax2-2ax=ax（x-2），可得该二次函数与x轴交点为（0，0），（2，0），因为m＜x＜2m,推断m＞0，因为y1＞y2＞0，可得在第一象限，x越大y越小，可画出该函数的大致图象，判断有无最大值最小值． 【解答】解：y=ax2-2ax=ax（x-2）， 令y=0，则x=0或x=2，即该二次函数与x轴交点为（0，0），（2，0）， 当m＜x＜2m时，y1＞y2＞0，如图所示， ， ∴该函数有最大值，无最小值，故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的最值，关键是根据该二次函数与x轴交点为（0，0），（2，0），当m＜x＜2m时，y1＞y2＞0，可得该函数在第一象限，x越大y越小． 7.（2021秋•南宁期末）如图，四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC+BD=12，则四边形ABCD的面积最大值为（　　） A．6 B．18 C．36 D．144 【考点】二次函数的最值． 【答案】B 【分析】设AC=x,则BD=12-x,根据题意表示出四边形ABCD的面积，根据二次函数的性质解答． 【解答】解：设AC=x,则BD=12-x, 则四边形ABCD的面积=1/2AC×BD=1/2×x×（12-x）=-1/2x2+6x=-1/2（x-6）2+18， ∴当x=6时，四边形ABCD的面积最大，最大值是18， 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的面积计算，掌握二次函数的性质、四边形的面积公式是解题的关键． 8.（2024春•兴宁区校级月考）若点A是二次函数y=（x+3）2-1图象的最低点，则点A的坐标是（　　） A．（3，-1）B．（-3，-1）C．（-1，3）D．（-1，-3） 【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征． 【答案】B 【分析】根据函数解析式可确定顶点坐标，进而可得答案． 【解答】解：∴二次函数y=（x+3）2-1， ∴抛物线开口向上，顶点为（-3，-1）， ∴抛物线的最低点为（-3，-1）， ∵点A是二次函数y=（x+3）2-1图象的最低点， ∴点A（-3，-1）， 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 9.（2024•龙湖区校级一模）二次函数y=-x2+bx+c的图象的最高点是（-1，-3），则b,c的值分别是（　　） A．2，4B．2，-4C．-2，4D．-2，-4 【考点】二次函数的最值． 【答案】D 【分析】根据二次函数y=-x2+bx+c的二次项系数-1来确定该函数的图象的开口方向，由二次函数y=-x2+bx+c的图象的最高点是（-1，-3）确定该函数的顶点坐标，然后根据顶点坐标公式解答b、c的值． 【解答】 【点评】本题考查对二次函数最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法． 10.（2024•邢台三模）点A（a,b1），B（a+2，b2）在函数y=-x2+2x+3的图象上，当a≤x≤a+2时，函数的最大值为4，最小值为b1，则a的取值范围是（　　） A．0≤a≤2B．-1≤a≤2C．-1≤a≤1D．-1≤a≤0 【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征． 【答案】D 【分析】先求出抛物线的对称轴及顶点坐标，然后分三种情况讨论：①点B与顶点（1，4）重合时；②当点A，B对称时；③当点A，B不对称时；分别求出a的范围，最后可得a的取值范围． 【解答】解：由y=-x2+2 x+3=-（x-1）2+4，得抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，4）． 由题意得A点在B点的左边． 如图3，当点B与顶点（1，4）重合时，a+2=1，解得a=-1； 当点A，B对称时，a=0．此时若函数的最大值为4，最小值为b1； 当点A，B不对称时，A点离对称轴远，B点离对称轴近， ∴1-a＞（a+2）-1， 解得a＜0， ∴a的取值范围是-1≤a≤0． 故选：D． 【点评】本题主要考查了在一定范围内讨论二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象的特征是解题的关键． 11.（2024春•朝阳区校级月考）若二次函数y=x2-3x-m的最小值是非负数，则实数m取值范围为（　　） A.m<-- B. m ≥-- C.m>-- D.m≤-- 【考点】二次函数的最值；解一元一次不等式． 【答案】D 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 12.（2024•荔湾区校级三模）在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“相反点”，例如点（1，-1），（-,）…，都是“相反点”，若二次函数y=ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“相反点”（2，-2），当-1≤x≤m时，二次函数y=ax2+3x+c（a≠0）的最小值为-8，最大值为-，则m的取值范围为（　　） A. -1≤m≤4 B.-1≤m≤ C.≤m≤4 D.≤m≤5 【考点】二次函数的最值；规律型：点的坐标；二次函数图象上点的坐标特征． 【答案】C 【分析】把（2，-2）代入y=ax2+3x+c,求出a、c的关系，再根据二次函数图象上有且只有一个“相反点”，结合Δ=b2-4ac求出a、c的值，得出y=-x2+3x-4，化为顶点式，可得出该二次函数的最值，再根据当y=-8时，求出x的值即可． 【解答】解：∵点（2，-2）是二次函数y=ax2+3x+c（a≠0）的“相反点”， ∴-2=4a+6+c, ∴c=-4a-8， ∵二次函数y=ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“相反点”， ∴ax2+3x+c=-x（即ax2+4x+c=0）有且只有一个根， ∴Δ=16-4ac=0， ∴16-4a（-4a-8）=0， 解得，a=-1， c=-4×（-1）-8=-4 【点评】本题考查了新定义的理解和应用，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，等知识．解题关键是由点的坐标求出a与c的关系，再根据二次函数图象上有且只有一个“相反点”，结合Δ=b2-4ac求出a、c的值，然后根据二次函数的性质解答． 13.（2024•龙马潭区二模）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点（1，1），（-1/3，-1/3），（-√2，-√2），…，都是和谐点．若二次函数y=ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（3/2，3/2），当0≤x≤m时，函数y=ax2+4x+c-3/4（a≠0）的最小值为-3，最大值为1，m的取值范围是（　　） A．m≤4B．m≥2C．2≤m≤4D．2＜m＜4 【考点】二次函数的最值；规律型：点的坐标；二次函数图象上点的坐标特征． 【答案】C 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键． 14.（2023秋•贵池区期末）正方形ABCD中，AB=4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP=PF，则△APF的面积最大值为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2√2 【考点】二次函数的最值；正方形的性质． 【答案】C 【分析】作PM⊥AD于M，根据正方形的性质易得PM=DM，设PM=DM=x,则AM=4-x,根据等腰三角形的性质即可得出AF=2（4-x），由三角形面积公式得出S△APF=/12×2（4-x）•x=-x2+4x=-（x-2）2+4，根据二次函数的性质即可求得结果． 【解答】解：作PM⊥AD于M， ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠ADB=45°， ∴△PDM是等腰直角三角形， ∴PM=DM， 设PM=DM=x,则AM=4-x, ∵AP=PF， ∴AM=FM=4-x, ∴AF=2（4-x）， ∵S△APF=1/2AF•PM， ∴S△APF=1/2×2（4-x）•x=-x2+4x=-（x-2）2+4， ∴当x=2时，S△APF有最大值4， 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 15.（2024•玉林模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=16，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF=10，点G是EF的中点，连结AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为（　　） A．142 B．96 C．192 D．124 【考点】二次函数的最值；矩形的性质． 【答案】A 【分析】连接AC，过B作BH⊥AC于H，以B为圆心，BG为半径作圆，交BH于G'，由四边形ABCD是矩形，得∠EBF=90°，又EF=10，点G是EF的中点，即得BG=1/2EF=5，故G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到G'时，S△ACG最小，此时四边形AGCD面积的最小值，最小值即为四边形AG'CD的面积，根据AB=12=CD，BC=16=AD，可得AC=20，S△ACD=96，BH=AB•BC/AC=48/5，可得G'H=BH-5=23/5，从而S△ACG'= 1/2AC•G'H=46，得四边形AGCD面积的最小值是142． 【解答】解：连接AC，过B作BH⊥AC于H，以B为圆心，BG为半径作圆，交BH于G'，如图： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠EBF=90°， ∵EF=10，点G是EF的中点， ∴BG=1/2EF=1/2×10=5， ∴G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到G'时，S△ACG最小，此时四边形AGCD面积的最小值，最小值即为四边形AG'CD的面积， ∵AB=12=CD，BC=16=AD， ∴AC=20，S△ACD=1/2×12×16=96， ∴BH=AB•BC/AC=48/5， ∴G'H=BH-5=48/5-5=23/5， ∴S△ACG'=1/2AC•G'H=1/2×20×23/5=46， ∴S四边形AG'CD=S△ACD+S△ACG'=46+96=142，即四边形AGCD面积的最小值是142． 故选：A． 【点评】本题考查矩形中的动点问题，解题的关键是求出G的运动轨迹． 二、填空题 1.（2023秋•青浦区校级期中）已知抛物线y=（a-1）x2+a-1的最高点为（0，3），则a= . 【考点】二次函数的最值． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】4． 【分析】把（0，3）代入y=（a-1）x2+a-1即可求出的a值． 【解答】解：把（0，3）代入y=（a-1）x2+a-1得，a-1=3， ∴a=4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的特征，掌握函数图象上点的性质是解题的关键． 2.（2024春•靖江市校级月考）已知二次函数y=（a-1）x2+2ax+3a-2的图象的最低点在x轴上，则a= . 【考点】二次函数的最值． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】2． 【分析】根据二次函数的最小值为0列式求解即可得到a的值，即可作答． 【点评】本题考查了二次函数的最值问题，熟记最值公式并列出方程和不等式是解题的关键． 3.（2024•拱墅区校级开学）0≤x≤1时，函数y=x2-2ax+a的最小值为-2，则实数a的值为 . 【考点】二次函数的最值． 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力． 【答案】-2或3． 【分析】二次函数的最值跟二次函数的开口方向、对称轴、自变量的取值范围有关系，这三要素哪一个不确定，就讨论哪一个，其中后面两个主要谈论的是对称轴与自变量取值范围与对称轴的位置关系，本题开口方向确定，自变量范围确定，对称轴为x=a不确定，所以谈论对称轴和自变量的位置关系，分三种情况，①范围在对称轴左侧；②范围在对称轴右侧；③对称轴在范围之间，再根据开口方向向上，离对称轴越近，y值越小判断在何处取最小值即可． 【解答】解：∵函数y=x2-2ax+a, ∴对称轴x=a, ∵开口方向向上， ∴当x＞a时，y随x增大而增大，当x＜a时，y随x增大而减小， ①当a＜0时，x=0时y有最小值， ∴0-0+a=-2， ∴a=-2； ②当a＞1时，x=1时有最小值， ∴1-2a+a=-2， ∴a=3； ③当0≤a≤1时，x=a有最小值， ∴a2-2a2+a=-2，即a2-a-2=0， 解得a=2或-1， ∵0≤a≤1， ∴此种情况不存在a值满足题意； 综上，a的值为-2或3． 故答案为：-2或3． 【点评】本题主要考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 4.（2024•镇江一模）二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象经过点（-2，1），则ac的最大值等于 ． 【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征． 【点评】本题考查的是二次函数的最值及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的顶点坐标是解题的关键． 5.（2024春•莱山区校级月考）如图，高腾同学在校运会跳高比赛中采用背跃式，跳跃路线是一条抛物线，他跳跃的高度y（单位：m）与跳跃时间x（单位：s）之间具有函数关系，那么他能跳过的最大高度为 m. 【考点】二次函数的最值． 【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练进行配方是解题的关键 6.（2024•盐城模拟）如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且AC+BD=10，则四边形ABCD面积的最大值为 ． 【考点】二次函数的最值． 【点评】本题考查了二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键． 7.（2024春•开化县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm,AC=8cm,O是AB的中点，点P从点C出发沿CB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点A出发沿AC边向点C以2cm/s的速度移动．点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也同时停止运动． （1）出发2秒后，点P，Q之间的距离是  cm. （2）当△OPQ的面积最小时，点P，Q之间的距离是  cm. 【点评】本题考查了二次函数的最值，勾股定理在直角三角形中的运用，考查了三角形面积的计算，正确表示出线段的长度是解题的关键． 8.（2024•巴林左旗模拟）公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②，喷头高5m时，水柱落点距O点5m；喷头高8m时，水柱落点距O点6m.现要使水柱落点距O点3m,则喷头高应调整为  m. 【考点】二次函数的最值． 【答案】1． 【分析】依据题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高5m时，可设y=ax2+bx+5，将（5，0）代入解析式得出5a+b+1=0；喷头高8m时，可设y=ax2+bx+8；将（6，0）代入解析式得36a+6b+8=0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点3m,则此时的解析式为y=ax2+bx+h,将x=3代入可求出h即可． 【点评】本题主要考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键 三、解答题 1.已知二次函数y=x2-6x+k的图象如图所示．（1）求k的值；（2）当-1≤x≤6时，求y的最大值． 【考点】二次函数的最值；二次函数的图象． 【分析】（1）根据二次函数图象得到抛物线与x轴的交点坐标，代入二次函数解析式求出k的值即可； （2）把k的值代入确定出解析式，利用函数图象确定出所求最大值即可． 【解答】解：（1）由图象得：抛物线与x轴的交点为（1，0），（5，0）， 把（1，0）代入二次函数解析式得：1-6+k=0， 解得：k=5； （2）把k=5代入得：y=x2-6x+5， 把x=-1代入得：y=12，把x=6代入得：y=5， 则当-1≤x≤6时，y的最大值为12． 【点评】此题考查了二次函数的最值，以及二次函数的图形，熟练掌握二次函数图象与性质是解本题的关键． 2.（2023秋•上城区校级月考）已知关于x的二次函数y=x2-2x-3． （1）求当-2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差； （2）若点P（-3，y1），Q（q,y2）在该二次函数的图象上，且y1＜y2，请直接写出q的取值范围． 【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征． 【答案】（1）y的最大值与最小值的差为9； （2）q的取值范围为q＜-3或q＞5． 【分析】（1）把这个二次函数的解析式化成顶点式，根据函数的性质求解即可； （2）将P（-3，y1）代入y=x2-2x-3，求得y1=12，再令y=12，可得x2-2x-3=12，解得：x=5或x=-3，结合函数的图象即可得到q的取值范围． 【解答】解：（1）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4， ∴当x=1时，y有最小值-4， ∵当x=-2时，y=5；当x=2时，y=-3， ∴当-2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为5-（-4）=9； （2）∵P（-3，y1）在y=x2-2x-3上， ∴y1=12， 令y=12，可得x2-2x-3=12， 解得：x=5或x=-3， ∵y=x2-2x-3的图象开口向上， ∴y1＜y2，q的取值范围为q＜-3或q＞5． 【点评】本题考查二次函数的最值和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 3.（2024•西湖区校级二模）已知周长为a cm（a为定值）的矩形的一边长y（cm）与它的邻边长x（cm）之间的函数图象如图所示．（1）直接写出a的值和y关于x的函数表达式；（2）当x为何值时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【考点】二次函数的最值；函数的图象． 【答案】（1）44cm；y=22-x； （2）当x=11cm时，该矩形的面积最大，最大面积是121cm2． 【分析】（1）根据矩形的周长公式得出a=2（x+y），再把P（12，10）代入求出a的值，用x表示出y的值即可； （2）利用矩形的面积公式得出S矩形与x的函数关系式，求出S的最大与最小值即可． 【解答】解：（1）∵周长为a cm（a为定值）的矩形的一边长y（cm）与它的邻边长x（cm）， ∴a=2（x+y）， ∵当x=12时，y=10， ∴a=2（12+10）=44（cm）． a=44cm,a=2（x+y）， ∴y=22-x； （2）∵由（1）知， ∴S矩形=xy=x（22-x）=-x2+22x（x＞0）， ∴当x=-22/-2=11时，S矩形最大=-112+22×11=121（cm2）． 答：当x=11cm时，该矩形的面积最大，最大面积是121cm2． 【点评】本题考查的是二次函数的最值，根据题意得出S矩形与x之间的函数关系式是解题的关键． 4.（2023秋•庆云县期末）如图，四边形ABCD中，AD=CD，AB=BC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）如果筝形的两条对角线长分别为6cm、8cm,求筝形的面积？ （2）已知筝形ABCD的对角线AC，BD的长度为整数值，且满足AC+BD=6．试求当AC，BD的长度为多少时，筝形ABCD的面积有最大值，最大值是多少？ 【考点】二次函数的最值． 【答案】（1）24cm2； （2）当AC=3，BD=3时，S筝形ABCD有最大值，最大值为9/2 【分析】（1）由AD=CD和AB=BC可得出点B和点D都在AC的垂直平分线上，推导出AC⊥BD，即可解决问题． （2）设AC的长为x,用x表示出筝形的面积，再求最值即可． 【点评】本题考查二次函数的最值，能用AC长表示出筝形的面积是解题的关键． 5.（2024•青秀区校级开学）如图，点E、F、G、H分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF=DG=DH，连接EF，FG，GH，HE，已知∠A=60°，AB=6． （1）求∠HEA的度数； （2）判断四边形EFGH的形状，并说明理由； （3）设EB=x,四边形EFGH的面积为y,求y的最大值． 【考点】二次函数的最值；等边三角形的判定与性质；菱形的性质． 【分析】（1）根据菱形的性质可得△AEH为等边三角形，则∠AEH=60°，即可求出答案； （2）同理可证∠HGF=∠GHE=90°，即可证明四边形EFGH是矩形； （3）用x的代数式表示出EF的长，根据S矩形EFGH=EH•EF=-√3x2+6√3x，利用二次函数的性质求其最大值即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD， ∵BE=BF=DG=DH， ∴AE=AH， ∵∠A=60°， ∴△AEH为等边三角形， ∴∠AEH=60°； （2）四边形EFGH是矩形，理由如下： ∵DG=DH， ∴∠DHG=∠DGH=30°， 同理，∠CGF=60°， ∴∠DGH+∠CGF=90°， 在菱形ABCD中，AD∥BC， ∴∠D+∠C=180°， ∴∠DGH+∠CGF=90°， ∴∠HGF=90°， 同理，∠GHE=90°， ∴四边形EFGH是矩形； （3）由△AHE是等边三角形， ∴EH=AE， ∵AB=6，EB=x, ∴AE=EH=6-x, 【点评】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，表示出矩形EFGH的面积是解题的关键． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$