第二单元线与角（讲义）-2024-2025学年四年级上册数学北师大版

线与角 板块一：考点精讲 1．直线、线段和射线的认识 【知识点归纳】 1．概念： 直线：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．一条直线可以用一个小写字母表示． 线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点．一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示． 射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线．这个点叫做射线的端点．一条射线可以用端点和射线上另一点来表示． 注意： （1）线和射线无长度，线段有长度． （2）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点． 2．直线、射线、线段区别： 直线没有端点，两边可无限延长； 射线有一端有端点，另一端可无限延长； 线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度． 2．角的概念和表示 【知识点归纳】 定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段． 定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边. （1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. （2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. 注意：由角的定义可知： （1）角的组成部分为：两条边和一个顶点； （2）顶点是这两条边的交点； （3）角的两条边是射线，是无限延伸的. （4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部. 角的表示方法： （1）用三个字母表示，如∠AOB；（2）用数字表示角，如∠1；（3）用一个大写字母表示，如∠A 3．垂直与平行的特征及性质 【知识点归纳】 1．垂线的定义： 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）． 2．垂线的性质： 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短． 3．垂直的判定：垂线的定义． 4．平行线的概念： 在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”． 5．平行线的判定方法： （1）平行于同一条直线的两直线平行． （2）垂直于同一条直线的两直线平行． （3）平行线的定义． 4．角的度量 【知识点归纳】 1．角的度量：角度的测量是最基本的测量，最常用的工具是量角器． 2．角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制． 角度制，就是用角的大小来度量角的大小的方法．在角度制中，我们把周角的看作1度，那么，半周就是180度，一周就是360度．由于1度的大小不因为圆的大小而改变，所以角度大小是一个与圆的半径无关的量． 弧度制，顾名思义，就是用弧的长度来度量角的大小的方法．单位弧度定义为圆周上长度等于半径的圆弧与圆心构成的角．由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量．角度以弧度给出时，通常不写弧度单位，有时记为rad或R． 3．度量方法： 量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐． 量角器的0刻度线和角的一条边对齐． 做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度． 看刻度要分清内外圈． 5．画指定度数的角 【知识点归纳】 三角板能画出15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180度的角，是30°，45°，60°，90度的和差，因为通过三角尺只能作角的和差．其余的度数只能通过量角器画角． 板块二：高频考点 一、选择题 1．用一幅三角板，不可以画出（        ）度的角。 A．150 B．75 C．115 D．105 2．用一个5倍的放大镜看一个75°的角，这个角的度数（    ）。 A．变大 B．变小 C．不变 D．无法判断 3．直线a平行于直线b，直线b平行于直线c，那么直线a与直线c（    ）。 A．垂直 B．平行 C．不平行也不垂直 D．无法确定 4．一个30°的角，通过放大2倍的放大镜看是（    ）。 A．30° B．60° C．32° D．15° 5．下面四幅（由一副三角板组成）图中，（    ）拼出的是150°。 A． B． C． D． 6．线段有（   ）个端点． A．1 B．2 C．无数 D．没有 7．只有一条对称轴的四边形是（    ）。 A．等边三角形 B．平行四边形 C．长方形 D．等腰梯形 8．度量一个角，角的一条边对着量角器上“180”的刻度，另一条边对着同一圈“100”的刻度，这个角是（    ）度。 A．80 B．90 C．100 D．180 二、填空题 9．把半圆平均分成( )份，每一份所对的角就是( )度的角。 10．看图填空。 图中有( )条射线，( )个角，其中有( )个直角，( )个锐角，( )个钝角，( )个平角。 11．从图中可以看出，( )和( )是互相平行的，( )和( )是互相垂直的。 12．当分针从12起走了半圈，走了( )分，所成的角是( )角。 13．62°的角与（ ）°的角能拼成一个直角；126°的角与（ ）°的角可以拼成一个平角． 14．如图，把一个长方形沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠1＝65°，则∠2＝( )°。 15．如图，若，则( )，( )，( )。 16．将半圆平均分成（ ）份，其中的1份所对的角的大小叫作1度。 三、判断题 17．用一个5倍的放大镜去观察30度的角，观察的角是150°。( ) 18．用一个10倍的放大镜看25°角，看到的角还是25°。( ) 19．左图的线，读作射线AB，也可以读作射线BA。( ) 20．一条射线绕它的端点旋转半周，所形成的角是平角。( ) 21．钟面上的分针从“12”又走回到“12”，所形成的角是平角．( ) 22．两条平行线永远不能相交． ( ) 23．一个30°的角，用5倍的放大镜观察就是150°。( ) 24．用10倍放大镜看80度的角，这个角的度数还是80度。( ) 四、解答题 25．把长方形按某条线折叠，得到如图所示的图形．已知∠2等于70度，那么∠1等于多少度？ 26．玲玲家住在A处，她和爸爸去河边钓鱼，他们走哪条路最近？为什么？ 27．请在下面的钟面中画出两个时刻，使时针与分针形成的角一样大吗？ 28．在下图中你能看出哪些线段互相垂直？哪些线段互相平行？ 29．(1)看一看七巧板中有什么图形． (2)用七巧板中两块相同的三角形板一次最多能拼出几个直角?几个钝角? 30．图中一个是长方形，一个是正方形，若∠1＝65°，则∠2等于多少度？ 31．小兔子到胡萝卜的距离是多少？画一画，量一量。 32．用一张纸照下面的方法对折两次，再打开并压平．看一看几条折痕之间的位置有什么关系？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B A B B D A 1．C 【分析】一副三角板有两种三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、45°、45°，另一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、30°、60°。组合不同的角可以画出不同度数的角，据此分析判断。 【详解】A．150度的角可以用90度和60度的角组合画出； B．75度的角可以用30度和45度的角组合画出； C．115度的角不能用三角板的角组合画出； D．105度的角可以用45度和60度的角组合画出。 故答案为：C 2．C 【分析】在放大镜下看这个角，只是改变了角两边的长短，并没有改变角两边的张口大小。 【详解】角两边的张口大小不变，所以角的度数不变。 故答案为：C 【点睛】角的大小由角的张口大小决定，与角两边的长短无关。 3．B 【分析】 根据平行的性质可知，同一平面内，a∥b，b∥c，则a∥c。即同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行。 【详解】直线a平行于直线b，直线b平行于直线c，那么直线a与直线c互相平行。 故答案为：B 【点睛】熟练掌握平行的定义是解决本题的关键，画图能帮助学生更好的理解。 4．A 【分析】放大镜只会改变角两边的长短，不会改变角的大小，依此选择。 【详解】一个30°的角，通过放大2倍的放大镜看是30°。 故答案为：A 5．B 【分析】一副三角板有两个三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、45°、45°，另一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、30°、60°。依此计算并选择。 【详解】由分析可知： A．90°＋30°＝120° B．90°＋60°＝150° C．30°＋45°＝75° D．90°＋45°＝135° 所以拼出的角是150°。 故答案为：B 【点睛】本题主要考查图形的拼组，关键是利用三角板各角度数的特点做题。 6．B 【详解】线段有两个端点，有限长；直线没有端点，无限长；射线有一个端点，无限长 7．D 【分析】根据对称轴的定义可知，如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴；由此可以确定对称轴的条数。 【详解】A．等边三角形有3条对称轴。 B．平行四边形没有对称轴。 C．长方形有2条对称轴， D．等腰梯形有一条对称轴. 故选： D 【点睛】此题考查了对称轴的定义和如何确定对称轴的条数，要熟记简单的轴对称图形的对称轴条数。 8．A 【分析】由题可知相当于把180°的位置当作零刻度线，另一边指向100°，用180°减100°即可求出这个角的度数。 【详解】180°－100°＝80° 故答案为：A 【点睛】考查学生对量角器的使用情况。 9． 180 1 【分析】半圆下边的两条半径组成平角，平角的度数为180°，将一个半圆平均分成180等份，则相应圆心角也平均分成180份，由此可知1份所对的角的度数是1°，据此即可求解。 【详解】180°÷180＝1° 把半圆平均分成180份，每一份所对的角叫1度的角。 【点睛】解答此题应结合题意，根据平角的知识进行解。 10． 4 6 2 3 1 0 【分析】观察上图可知，图中从一点引出4条射线；相邻的两条射线组成的角是锐角，有3锐角；两个相邻的锐角组成的角是直角，有2个直角；三个锐角组成一个钝角，有1个钝角；总共有3＋2＋1＝6个角；没有平角。 【详解】根据分析可知，图中有4 条射线，6个角，其中有2个直角，3个锐角，1个钝角， 0个平角。 【点睛】本题主要考查学生角的分类知识和射线概念的掌握。 11． AD BC AB BC 【分析】根据平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线相互平行，垂直的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，观察图形作答。 【详解】根据平行线的定义可知：AD和BC互相平行，根据垂直的定义可知：AB和BC相互垂直。 【点睛】本题主要考查平行和垂直的定义。 12． 30 平 【分析】分针走1小格是1分钟，分针从12起走了半圈，就走到了6的位置上，它走了30个小格，每个小格对应的圆心角是360°÷60.求出角的度数，再根据角分类的知识，确定是什么角。据此解答。 【详解】当分针从12起走了半圈，走了30分。 360°÷60×30 ＝6°×30 ＝180° 这时所成的角是平角。 【点睛】本题的关键是求出角的度数，再根据角分类的知识确定是什么角。 13．28°，54° 【详解】试题分析：（1）直角是90°，用90°减去62°就是要求得角． （2）一个平角是180°，用180°减去126°就是我们要求的一个角． 解：（1）90°﹣62°=28°； （2）180°﹣126°=54°； 故答案为28°，54°． 点评：本题根据直角及平角的度数进行解答即可． 14．50 【分析】如图： 动手操作更直观一些，折叠后，我们发现新标的∠3和∠1合起来是一个平角，并且还发现∠3＝∠1＋∠2，已知∠1＝65°，那么∠3＝180°－65°＝115°，因此∠2＝115°－65°＝50°。 【详解】根据图示： 可知：∠3＋∠1＝180° ∠3＝∠1＋∠2 ∠1＝65° ∠3＝180°－65°＝115° ∠2＝115°－65°＝50° 【点睛】本题根据平角的定义和折叠的性质可得到结论。 15． 【分析】∠3、∠1、∠2共同组成一个平角，1平角＝180°，180°减去∠1，再减去∠2就是∠3的度数；由图可知∠3与∠4相等；∠3与∠5组成一个平角，180°减∠3就是∠5的度数。 【详解】∠3＝180°－∠1－∠2＝180°－30°－30°＝120° ∠4＝∠3＝120° ∠5＝180°－∠3＝180°－120°＝60°。 【点睛】1平角＝180°，图中∠4与∠5组成的角也是平角。 16．180 【详解】角的计量单位是“度”，用符号是“°”。将半圆平均分为180份，其中的1份所对的角的大小叫作1度。记作1°。 17．× 【分析】角的大小与两边的长短无关，只与开叉的大小有关，开叉越大，角越大，反之，越小，据此即可解答。 【详解】用一个5倍的放大镜去观察30度的角，角的两边变长，但开叉的大小没变，所以观察的角还是30°，原说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查学生对影响角的大小因素的掌握。 18．√ 【分析】角的大小跟两边叉开的大小有关，跟边的长短无关。用10倍的放大镜看角，只改变角两边的长度，没有改变角两边叉开的大小，则角的度数不变。 【详解】用一个10倍的放大镜看25°角，看到的角的大小不变，仍是25°。原说法正确。 故答案为：√ 19．× 【分析】根据射线的定义：直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线，可知射线不光包括端点，也包括它一旁的部分，故可知射线AB与射线BA表示不同的射线，据此解答。 【详解】 左图的线，读作射线AB，而不能读作射线BA；所以原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】熟练掌握射线的性质是本题解答的关键，注意：读射线时应从端点读起。 20．√ 【分析】根据题意，射线绕它的端点旋转半周，形成的是半圆，也就是平角，据此判断。 【详解】根据对射线和平角的认识，射线绕它的端点旋转半周是180度，所形成的角是平角，题中说法正确。 故答案为：√ 21．× 22．√   【详解】两条平行线永不相交，原题说法正确．故答案为正确．同一平面内，永不相交的两条直线互相平行． 23．× 【分析】用放大镜看角时，放大的是角的边长，不改变角的形状；根据角的大小与边长无关，只与两边开叉的大小有关可知，角的度数不会改变，据此解答。 【详解】根据分析可知，一个30°的角，用5倍的放大镜观察就是30°。原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查了影响角的大小的相关因素，明确角的大小与边长没有关系。 24．√ 【分析】角的大小是指两边张开的大小，与两条边的分离程度有关，用放大10倍的放大镜看一个80度的角，也就是把边变长了，而两边张开的大小没变，即角的度数没变。 【详解】用10倍放大镜看80度的角，这个角的度数还是80度。 故答案为：√ 【点睛】此题主要考查角的大小只与角两边张开的大小，与两条边的分离程度有关，与边的长度无关。 25．∠1＝180°-70°-70°=40° 26．第2条， 理由见详解 【分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，从A点向小河作垂线，这条垂线即为最短路线。 【详解】他们走第2条路最近，因为第2条路垂直于小河，距离最短。 【点睛】解决本题的关键是明确从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。 27． 【详解】试题分析：根据具体整时时间观察，时针和分针中间相差大格子的数量，然后用“30°×相差的大格子的数量”解答即可． 解：如图，时针和分针所成的角是直角，时分针指着12，分针正指着3或9时，时针和分针所成的角是直角， 所以3时或9时，时针和分针所成的角相等是直角； 点评：本题考查了钟表时针与分针的夹角度数的计算和运用角的分类及各种角的特点，利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形． 28．根据平行线与垂线的定义结合正方形的特征可知： AC与GE两条线段互相平行． AG与CE两条线段互相平行． BD与HF两条线段互相平行． HB与FD两条线段互相平行． AC与CE两条线段互相垂直． CE与EG两条线段互相垂直． EG与AG两条线段互相垂直． AG与AC两条线段互相垂直． BD与DF两条线段互相垂直． DF与FH两条线段互相垂直． FH与HB两条线段互相垂直． HB与BD两条线段互相垂直． 【详解】正方形中相对的边互相平行，相邻的边互相垂直；由此根据正方形的特征判断平行线和垂线即可. 29．(1)三角形、正方形、平行四边形 (2)4个直角　2个钝角 30．65° 【分析】根据题意可知，长方形和正方形的四个角都是直角，∠1和∠3组成直角，∠2和∠3组成直角，已知∠1，先求出∠3，用90°-∠1=∠3，要求∠2，用90°-∠3=∠2，据此列式解答. 【详解】 ∠3＝90°－∠1=90°－65°＝25°；∠2＝90°－∠3＝90°－25°＝65° 答：∠2等于65°. 31．2.5厘米；图见详解 【分析】两点间的距离指连接两点间的线段，并用直尺测量：以直尺0刻度为起点，另一端与刻度几对齐，线段即为几厘米。 【详解】 答：小兔子到胡萝卜的距离是2.5厘米。 32．2条折痕互相垂直. 【详解】解：2条折痕，这两条折痕互相垂直. 答：2条折痕互相垂直. 对折一次有一条折痕，再对折一次又有一次折痕，所以有2条折痕，这两条折痕相交成直角，所以2条折痕互相垂直. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$