第一章 特殊平行四边形 单元练习-2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第一章 特殊平行四边形 一 、单选题（本大题共10小题，共30分） 1. （3分）如图，四边形中，则下列说法中，不正确的是   第1题 第2题 第3题 第4题 A.当，时，四边形为矩形 B. 当，时，四边形为菱形 C. 当，时，四边形为正方形 D. 当时，四边形为平行四边形 2.（3分）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长 A. B. C. D. 3.（3分）如图，菱形中，交于，于，连接，若，则 A. B. C. D. 4.（3分）如图，矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值是 A. B. C. D. 5.（3分）如图，菱形的对角线、相交于点，点是对角线上一点，过点分别作，，垂足分别是点、，若，，则的长为 第5题 第6题 第7题 第8题 A. B. C. D. 6.（3分）如图，在菱形中，，，点、同时从、两点出发，分别沿，方向匀速运动到点停止，点的速度为，点的速度为若经过秒时，为等边三角形，则的值为 A. B. C. D. 7.（3分）如图，在矩形中，，，的平分线交于点点，分别是，的中点，则的长为 A. B. C. D. 8.（3分）如图所示，是矩形的对角线的中点，为的中点．若，，则的周长为 A. B. C. D. 9.（3分）如图，在正方形中，对角线、相交于，，是的中点，点在对角线上滑动，则的最小值是   第9题 第10题 第11题 第12题 A. B. C. D. 10.（3分）如图，矩形纸片中，，，将纸片沿折叠，使点与点重合，则下列结论正确的共有个  ①  ②  ③  ④ A. B. C. D. 二 、填空题（本大题共6小题，共18分） 11.（3分）如图，在四边形中，，且，的长为，则的长为 ______. 12.（3分）如图，点在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是 ______ . 13.（3分）如图，在矩形中，边的长为，点，分别在，上，连接，，，若四边形是菱形，且，则边的长为 ______. 14.（3分）如图，在正方形中，为边上的一点，为延长线上一点，，，则的度数为 ______ . 第13题 第14题 第15题 第16题 15.（3分）如图，在正方形中，为对角线，为上一点，连接、，延长交于当时，则的度数为 ______ 16.（3分）如图，，矩形在的内部，顶点，分别在射线，上，，，则点到点的最大距离是 ______. 三 、解答题（本大题共5小题，共52分） 17. （10分）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别与边、相交于、，垂足为，连接、．  求证：四边形是菱形；   若，，求菱形的边长． 18. （12分）如图，在四边形中，，、、、分别为、、、的中点，顺次连接、、、  求证：四边形是菱形．  当与满足什么关系时，四边形为正方形，并说明理由．  猜想：、、三个角之间的关系． 19.（10分）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形 ． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图位置时，四边形的面积为，求此时直线所夹锐角的度数． 20. （10分）如图，在正方形中，，分别是边，上的点，且求证：  如图，在正方形中，，，，分别是边，，，上的点，且，判断与是否相等？并说明理由.  21.（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形的点在坐标原点上，点在轴上，，点的坐标为，点的坐标为，动点从点沿方向以每秒个长度单位的速度运动，动点从点沿的方向以每秒个长度单位的速度运动．点、同时出发，一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为秒．  当时，点的坐标为 ______ ，点的坐标为 ______ ；  当为何值时，四边形是矩形？  运动过程中，四边形能否为菱形？若能，求出的值；若不能说明理由． 答案和解析 1.【答案】C; 【解析】  该题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形、矩形的判定选项易证四边形是平行四边形，从而得到，，结合，可得到，从而证得平行四边形是矩形；选项易证≌，得到，可得四边形是平行四边形，根据，从而证得平行四边形是菱形；选项易证四边形是平行四边形，根据，从而证得平行四边形是矩形；选项直接根据对边互相平行且相等的四边形是平行四边形即可得证．    解：：，，  四边形是平行四边形，  ，，  ，  ，  ，  平行四边形是矩形，故A不符合题意；  ：，  ，  在和中，    ≌，  ，  四边形是平行四边形，  ，  平行四边形是菱形，故B不符合题意；  ：，，  四边形是平行四边形，  ，  平行四边形是矩形，故C符合题意；  ：，，  四边形是平行四边形，故D不符合题意；  故选C． 2.【答案】B; 【解析】解：四边形是菱形，  ，，，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  菱形的面积，  菱形的面积，    故选：  由菱形的性质得，，，则，再由直角三角形斜边上的中线性质得，即可解决问题．  此题主要考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解答该题的关键． 3.【答案】C; 【解析】解：四边形是菱形，交于，，  点为的中点，，  ，  ，  ，  ，  故选：  根据菱形的性质得到点为的中点，，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由三角形内角和定理得到，则  此题主要考查了菱形的性质，三角形内角和定理，等边对等角，直角三角形斜边上的中线的性质，熟知菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解答该题的关键． 4.【答案】A; 【解析】解：如图，连接，  于点，于点，  ，  四边形是矩形，  ，，，  四边形是矩形，  ，  由勾股定理得：，  当时，最小，则最小，  此时，，  ，  的最小值为，  故选：  连接，先证四边形是矩形，得，再由勾股定理得，当时，最小，则最小，然后由面积法求出的长，即可得出结论．  此题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解答该题的关键． 5.【答案】D; 【解析】解：如图，连接，    四边形是菱形，  ，，，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  故选  由菱形的面积公式可求，由勾股定理可求，由面积和差关系可求解．  此题主要考查了菱形的性质，勾股定理，利用面积和差关系求解是解答该题的关键． 6.【答案】D; 【解析】解：连接，  四边形是菱形，  ，，  是等边三角形，  ，  又是等边三角形，  ，  又，  ，  和中，  ，  ，  ，  ，，  ，  ，  ，  故选：  连接，证出，得到，再利用，，则求出时间的值．  此题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解答该题的关键是运用三角形全等得出 7.【答案】C; 【解析】解：四边形是矩形，  ，，，  ，  平分，  ，  ，  ，  ，  连接，  ，  点，分别是，的中点，  ，  故选：  根据矩形的性质得到，，，求得，根据角平分线的定义得到，等量代换得到，求得，连接，根据勾股定理得到，根据三角形的中位线定理即可得到结论．  此题主要考查了矩形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，三角形中位线定理，掌握的作出辅助线构造直角三角形是解答该题的关键． 8.【答案】C; 【解析】解：四边形是矩形，，，  ，，  点是的中点，为的中点，  ，，  在中，，，  根据勾股定理得，，  在中，根据勾股定理得，    四边形是矩形，  ，  点是的中点，    周长为  故选：  易知是中位线，则，在中，利用勾股定理求得的长，在中，利用勾股定理求得的长，根据矩形性质可求，从而求出周长．  此题主要考查了矩形的性质以及中位线定理，熟记矩形的性质定理并灵活运用是解答该题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等． 9.【答案】C; 【解析】  主要考查了正方形中的最小值问题．解决此类问题关键是利用图形的轴对称性把所求的两条线段和转化为一条线段的长度，通常是以动点所在的直线作为对称轴作所求线段中一条线段的对称图形来转化关系．根据正方形沿对角线的对称性，可得可得无论在什么位置，都有；故均有成立；所以原题可以转化为求的最小值问题，分析易得连接与，求得交点就是要求的点的位置；进而可得，可得答案．    解：由正方形的对角线互相垂直平分，可得无论在什么位置，都有；  故均有成立；  连接与，所得的交点，即为的最小值时的位置，  此时；  故选C．      10.【答案】D; 【解析】解：设，则，  沿翻折后点与点重合，  ，，，  在中，，  即  解得，  ，  由翻折的性质得，，  矩形的对边，  ，  ，  ，  ①正确；  在和中，  ，  ，  ②正确；  ，且，，，  ，  ③正确；  过点作于，则四边形是矩形，    ，  ，  ，  在中，，  ④正确；  故选：  设，表示出，根据翻折的性质可得，然后在中，利用勾股定理列出方程求出，再根据翻折的性质可得，根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，由“”可证，由勾股定理可证，过点作于，可得四边形是矩形，根据矩形的性质求出、，然后求出，再利用勾股定理列式计算即可得解．  此题主要考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出的长度是解答该题的关键． 11.【答案】8; 【解析】解：，，  ，  ，  ，  四边形是矩形，  ，  ，  故答案为：  根据平行线的性质得到，求得，推出四边形是矩形，根据矩形的性质得到，于是得到结论．  此题主要考查了矩形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解答该题的关键． 12.【答案】; 【解析】解：在中，，，，由勾股定理得：，  正方形的面积是，  的面积是，  阴影部分的面积是，  故答案为：  根据勾股定理求出，分别求出和正方形的面积，即可求出答案．  此题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力和推理能力． 13.【答案】3; 【解析】解：四边形是矩形，  ，，，  即，  四边形是菱形，  ，  ，  点在的角平分线上，  ，  四边形是菱形，  ，  ，  的长为，  ，  ，  故答案为：  根据矩形的性质和菱形的性质得，解直角三角形，即可求出的长．  此题主要考查了矩形的性质、菱形的性质以及在直角三角形中角所对的直角边时斜边的一半，解答该题的关键是求出 14.【答案】; 【解析】  首先证明，推出，求出和即可解决问题．此题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解答该题的关键是正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．  解：四边形是正方形，  ，，  在和中，  ，  ，  ，  ，  ，，  ，    故答案为  15.【答案】; 【解析】解：四边形 是正方形，  ，，，  在与中，    ，  ，  ，  ，      故答案为：  由四边形是正方形，易证得，然后根据全等三角形的性质知对应角相等，即，又由对顶角相等、三角形的一个内角的补角是另外两个内角的和求得  此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 16.【答案】2+2; 【解析】解：取中点，连接、、，    ，    在中，利用勾股定理可得  在中，根据三角形三边关系可知，  当、、三点共线时，最大为  故答案为：  取中点，连接、、，求出和值，利用三角形三边关系分析出当、、三点共线时，最大为  此题主要考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理以及三角形三边关系，解决动态问题的最值问题一般转化为两点间线段最短或三角形三边关系问题． 17.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，  ∴AB∥CD，  ∴∠DAC=∠BCA，∠AEF=∠CFE，  ∵EF垂直平分对角线AC，  ∴OA=OC，EF⊥EC，  ∴△AOE≌△COF，  ∴OA=OC，OE=OF，  ∴四边形AFCE是平行四边形，  ∵∠AOF=90°，  ∴四边形AFCE是菱形；  （2）∵四边形AFCE是菱形，  ∴AF=FC，  在Rt△ABF中，设AF=FC=x，则BF=8-x  ∴AB2+BF2=AF2，  ∴42+（8-x）2=，  ∴x=5，  ∴菱形AFCE的边长等于5．; 【解析】  根据为矩形，根据矩形的对边平行得到与平行，由两直线平行得到一对内错角相等，又垂直平分，根据垂直平分线的定义得到，且与垂直，再加上一对对顶角相等，利用“”得到三角形与三角形全等，根据全等三角形的对应边相等得到，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到为平行四边形，又根据对角线垂直的平行四边形为菱形即可得证；   由矩形的性质得到为直角，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，又已知的长，而与为菱形的两条对角线，根据对角线乘积的一半即可求出菱形的面积．  此题主要考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理．其中矩形的性质有对边平行且相等，四个角都为直角，对角线互相平行且相等；菱形的性质有四条边相等，对角线互相平分且垂直，一条对角线平分一组对角；菱形的判定方法一般有：四条边相等的四边形为菱形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形，邻边相等的平行四边形为菱形等，熟练掌握这些判定与性质是解本题的关键．同时注意菱形的面积可以利用对角线乘积的一半来求． 18.【答案】解：（1）∵E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的中点，  ∴EG=AB，EH=CD，HF=AB，EG∥AB，HF∥AB，  ∴四边形EGFH是平行四边形，EG=EH，  ∴四边形EGFH是菱形；  （2）当∠ABC+∠DCB=90°时，四边形EGFH为正方形，  理由：∵GF∥CD，HF∥AB，  ∴∠ABC=∠HFC，∠DCB=∠GFB，  ∵∠ABC+∠DCB=90°，  ∴∠GFH=90°，  ∴菱形EGFH是正方形；  （3）∠GFH+∠ABC+∠DCB=180°，  理由：∵GF∥CD，HF∥AB，  ∴∠ABC=∠HFC，∠DCB=∠GFB，  ∵∠BFG+∠GFH+∠HFC=180°，  ∴∠GFH+∠ABC+∠DCB=180°．; 【解析】  根据三角形中位线的性质得到，，，，，根据菱形的判定定理即可得到结论；  根据平行线的性质得到，，根据平角的定义得到，于是得到结论；  由平行线的性质得到，，根据平角的定义即可得到结论．  此题主要考查了中点四边形，菱形的判定和性质，正方形的判定，三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解答该题的关键． 19.【答案】; 【解析】 根据矩形的性质可得四边形是平行四边形，作，可证，可得，由此可证平行四边形是菱形； 作，根据面积的计算方法可得，结合菱形的性质可得，根据含的直角三角形的性质即可求解．  此题主要考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，掌握菱形的判定和性质是解答该题的关键．  20.【答案】证明：（1）∵AF⊥BE  ∴∠EAF+∠AEB=90°  又∵正方形ABCD，  ∴∠ABE+∠AEB=90°，  ∴∠EAF=∠ABE，  在△ABE和△ADF中，  ，  ∴△ABE≌△ADF（ASA），  ∴BE=AF，  即AF=BE；  （2）MP与NQ相等，  理由：作AF∥PM，BE∥NQ，  ∵正方形ABCD，  ∴AM∥FP，BN∥EQ，  ∴四边形AMPF和四边形BNQE都是平行四边形，  ∴AF=MP，BE=NQ，  又∵MP⊥QN，  ∴BE⊥AF，  ∵（1）结论知AF=BE，  ∴MP=NQ．; 【解析】  根据正方形的性质和全等三角形的判定，可以证明，从而可以解答本题；  作平移变化，然后根据平行四边形的性质和中的结论即可解答本题．  此题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 21.【答案】（2，8）；（17，0）; 【解析】解：点的坐标为，点的坐标为，动点从点沿方向以每秒个长度单位的速度运动，动点从点沿的方向以每秒个长度单位的速度运动，  ，，  ，  点的坐标为：，点的坐标为：；    当四边形是矩形时，，  所以，解得：  故秒时四边形是矩形；     存在秒时，四边形为菱形，  理由：四边形为平行四边形时，，  所以，  解得：此时，  过点作于点，则四边形是矩形．  ，，  在中，，  ，  平行四边形是菱形，  当时，四边形为菱形．  根据已知点的坐标和移动的速度求得和的长，然后即可求得点和点的坐标；  利用矩形的对边相等得到，从而得到有关的方程，求得值即可；  先求出四边形是平行四边形的值，并求出的长度，然后过点作于，得到四边形是矩形，根据矩形的对边相等可得，，然后求出，再利用勾股定理列式求出，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形进行验证．  本题是四边形综合题型，主要利用了矩形的性质，平行四边形与菱形的关系，梯形的问题，以及勾股定理，根据矩形、菱形与平行四边形的联系列出方程是解答该题的关键． 第  页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$