专题训练四 平面向量-2025届高三数学一轮复习

专题四 平面向量 基础点一 平面向量的概念及线性运算 【原创好题】 1.已知向量，，，且，则，的值分别为（ ） A.-2,1 B.1，-2 C.2，-1 D.-1,2 2.已知，为两个不共线的向量，若向量，，则下列选项中的向量与向量共线的是（ ） A. B. C. D. 3.如图，△ABC是由3个全等三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，，且，则（ ） A. B. C. D. 4.已知非零向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 5.（多选）如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，则（ ） A. B. C. D. 6.如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为 . 7.在△ABC中，已知D为AC上一点且满足，若P为BD的中点，且满足，则的值是 . 【真题变练】 考法1 平面向量的线性运算 8.若D为△ABC的边AB的中点，则（ ） A. B. C. D. 8-1.（变条件：点D为五等分点）在△ABC中，若点D满足，则（ ） A. B. C. D. 8-2.（变载体：平行四边形）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则（ ） A. B. C. D. 8-3.（变设问：求参数）在平行四边形ABCD中，若点P，Q满足，，直线AC与PQ相交于点M，且，则（ ） A. B. C. D. 考法2 共线向量的运算 9.设向量与向量共线，则实数（ ） A.2 B.3 C.4 D.6 9-1.（变条件：向量平行）已知向量，，若∥，则（ ） A.5 B.-5 C.3 D.-3 9-2.（变条件：已知模长）已知向量，若与共线，且，则（ ） A.（-2，2） B.（2，-2） C.（2，-2）或（-2，2） D.（2，2） 9-3.（变设问：求角的正切值）已知向量，，，若∥，则（ ） A. B. C. D. 基础点二 平面向量的数量积及其应用 【原创好题】 1.已知向量，若，则（ ） A.-8 B.-1 C.1 D.8 2.如果向量，的夹角为，我们就称为向量与的“向量积”，还是一个向量，它的长度为，如果，，，则（ ） A.-16 B.16 C.-20 D.20 3.如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小最接近（ ）（忽略空气阻力，重力加速度g取9.8 m/s2） A.1.4 N B.1.5 N C.1.6 N D.1.8 N 4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB，点E，F分别在边CB，CD上，且CE=CF，若，则EF=（ ）A. B. C.1 D. 5.如图，已知平面四边形ABCD的四条边AB，BC，CD，DA的中点依次为E，F，G，H，且，则四边形EFGH一定为（ ） A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.直角梯形 6.已知，⊥，，则 . 7.（培优）已知两个单位向量，的夹角为70°，则与的夹角为 . 8.（培优）在边长为2的等边△ABC中，，延交BC于点D，以BC为长轴，OD为短半轴作椭圆E，动点P在椭圆E上运动，则的最大值为 . 【真题变练】 考法1 平面向量数量积的求解 9.设向量，满足，，，则（ ） A.-2 B.-1 C.1 D.2 9-1.（变条件：已知向量坐标）已知向量，，若，则（ ） A.-30 B.30或-10 C.10 D.20 9-2.（变条件：投影向量）若向量，满足，，且在上的投影向量为，则（ ） A.2 B.-2 C.1 D.-1 9-3.（变条件：已知两向量的和与差）已知向量，满足，，且，则（ ） A.2 B.1 C.-1 D.-2 考法2 平面向量夹角的求解 10.已知向量，，满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 10-1.（变条件：两个向量）已知单位向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 10-2.（变设问：求夹角）已知，且⊥，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 10-3.（变设问：求夹角的最大值）已知向量，满足，，则向量与的夹角最大值为（ ） A. B. C. D. 考法3 平面向量模的求解 11.已知向量，满足，，则 . 11-1.（变条件：三个向量）已知向量，，满足，，，则（ ） A.1 B. C. D. 11-2.（变条件：已知向量夹角）已知向量，满足，，，则（ ） A.2 B.1 C. D. 11-3.（变条件：投影向量）已知向量，满足，向量在向量上的投影向量为，且，则（ ） A.2 B.1 C. D. 专题四 平面向量 综合检测 一、单选题 1.已知单位向量，满足，则（ ） A.1 B. C. D. 2.已知平面向量与的夹角为.若，，⊥，则（ ） A. B. C. D. 3.如图所示的△ABC中，D是线段BC上靠近B的三等分点，E是线段AB的中点，则（ ） A. B. C. D. 4.已知向量，，，若∥，则实数的值为（ ） A.-1 B.1 C.-2 D.2 5.已知向量，满足，且⊥，则（ ） A.1 B.2 C. D. 6.已知向量，，若，则（ ） A.-1 B.1 C.3 D.-1或3 7.在△ABC中，点D满足，E为△BCD重心，设，，则可表示为（ ） A. B. C. D. 8.定义两个非零平面向量的一种新运算“”：，其中为向量，的夹角.若，则向量在向量方向上的投影长度为（ ） A. B. C. D. 9.已知AD是△ABC的边BC上的高，且，，则（ ） A.（1，-2） B.（-1，2） C.（2，-1） D.（-2，2） 10.已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A.-2 B. C.2 D. 11.已知，为不共线的非零向量，若，，，则（ ） A.A，B，D三点共线 B.A，C，D三点共线 C.A，B，C三点共线 D.B，C，D三点共线 12.已知向量，，，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 13.正三角形ABC中，AB=2，P为BC上靠近B的四等分点，D为BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 14.若，是夹角为60°的两个单位向量，则与的夹角为（ ） A.60° B.120° C.30° D.150° 二、多选题 15.已知向量，满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 16.若平面向量，，其中，，则（ ） A.若，则∥ B.若，则与同向的单位向量为 C.若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D.若⊥，则的最小值为4 17.已知平面向量，满足，，，，则（ ） A.⊥ B. C. D.， 三、填空题 18.已知向量，，若⊥，则 . 19.已知平面向量，，且，，在下列两个条件：①；②中任选一个，则 . 20.已知点A（2，-4），B（，-1），若向量与向量的方向相反，则 . 21.已知，为非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，则 . 22.如图，已知平行四边形ABCD的面积为，∠BAD，E为线段BC的中点.若F为线段DE上的一点，且，则 ，的最小值为 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题四 平面向量 基础点一 平面向量的概念及线性运算 【原创好题】 1.已知向量，，，且，则，的值分别为（ D ） A.-2,1 B.1，-2 C.2，-1 D.-1,2 2.已知，为两个不共线的向量，若向量，，则下列选项中的向量与向量共线的是（ B ） A. B. C. D. 3.如图，△ABC是由3个全等三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，，且，则（ A ） A. B. C. D. 4.已知非零向量，满足，则（ D ） A. B. C. D. 5.（多选）如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，则（ AC ） A. B. C. D. 6.如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为 . 7.在△ABC中，已知D为AC上一点且满足，若P为BD的中点，且满足，则的值是 . 【真题变练】 考法1 平面向量的线性运算 8.若D为△ABC的边AB的中点，则（ A ） A. B. C. D. 8-1.（变条件：点D为五等分点）在△ABC中，若点D满足，则（ C ） A. B. C. D. 8-2.（变载体：平行四边形）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则（ C ） A. B. C. D. 8-3.（变设问：求参数）在平行四边形ABCD中，若点P，Q满足，，直线AC与PQ相交于点M，且，则（ A ） A. B. C. D. （解析：，因为A，M，C三点共线，得，所以，即，所以，又P，Q，M三点共线） 考法2 共线向量的运算 9.设向量与向量共线，则实数（ B ） A.2 B.3 C.4 D.6 9-1.（变条件：向量平行）已知向量，，若∥，则（ B ）A.5 B.-5 C.3 D.-3 9-2.（变条件：已知模长）已知向量，若与共线，且，则（ C ） A.（-2，2） B.（2，-2） C.（2，-2）或（-2，2） D.（2，2） 9-3.（变设问：求角的正切值）已知向量，，，若∥，则（ D ）A. B. C. D. 基础点二 平面向量的数量积及其应用 【原创好题】 1.已知向量，若，则（ C ） A.-8 B.-1 C.1 D.8 2.如果向量，的夹角为，我们就称为向量与的“向量积”，还是一个向量，它的长度为，如果，，，则（ B ） A.-16 B.16 C.-20 D.20 3.如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小最接近（ A ）（忽略空气阻力，重力加速度g取9.8 m/s2） A.1.4 N B.1.5 N C.1.6 N D.1.8 N （解析：设每根绳子上的拉力为，根据平衡条件得） 4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB，点E，F分别在边CB，CD上，且CE=CF，若，则EF=（ C ）A. B. C.1 D. 5.如图，已知平面四边形ABCD的四条边AB，BC，CD，DA的中点依次为E，F，G，H，且，则四边形EFGH一定为（ C ） A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.直角梯形 （解析：利用中位线性质可证EFGH为平行四边形，，展开整理后得，，所以，所以，即） 6.已知，⊥，，则 （-2，1）或（2，-1） . 7.（培优）已知两个单位向量，的夹角为70°，则与的夹角为 145° . （解析：设，，，四边形OACB为菱形，所以与的夹角为35°） 8.（培优）在边长为2的等边△ABC中，，延交BC于点D，以BC为长轴，OD为短半轴作椭圆E，动点P在椭圆E上运动，则的最大值为 . （解析：由题意得点O为△ABC的重心，则，，，以D为坐标原点建系，则E的方程为，A（0，），设P（，），则，，所以当时，） 【真题变练】 考法1 平面向量数量积的求解 9.设向量，满足，，，则（ C ） A.-2 B.-1 C.1 D.2 9-1.（变条件：已知向量坐标）已知向量，，若，则（ B ） A.-30 B.30或-10 C.10 D.20 9-2.（变条件：投影向量）若向量，满足，，且在上的投影向量为，则（ B ） A.2 B.-2 C.1 D.-1 （解析：由在上的投影向量为可得，又由，可求） 9-3.（变条件：已知两向量的和与差）已知向量，满足，，且，则（ B ） A.2 B.1 C.-1 D.-2 （解析；，可求，，，联立的，） 考法2 平面向量夹角的求解 10.已知向量，，满足，，且，则（ D ） A. B. C. D. （解析：由，两边平分得，由，两边平分得，同理得） 10-1.（变条件：两个向量）已知单位向量，满足，则（ A ） A. B. C. D. 10-2.（变设问：求夹角）已知，且⊥，则与的夹角为（ A ） A. B. C. D. 10-3.（变设问：求夹角的最大值）已知向量，满足，，则向量与的夹角最大值为（ D ） A. B. C. D. （解析：得，） 考法3 平面向量模的求解 11.已知向量，满足，，则 . 11-1.（变条件：三个向量）已知向量，，满足，，，则（ C ） A.1 B. C. D. （解析：由得，由得） 11-2.（变条件：已知向量夹角）已知向量，满足，，，则（ B ） A.2 B.1 C. D. 11-3.（变条件：投影向量）已知向量，满足，向量在向量上的投影向量为，且，则（ B ） A.2 B.1 C. D. 专题四 平面向量 综合检测 一、单选题 1.已知单位向量，满足，则（ C ） A.1 B. C. D. 2.已知平面向量与的夹角为.若，，⊥，则（ C ） A. B. C. D. 3.如图所示的△ABC中，D是线段BC上靠近B的三等分点，E是线段AB的中点，则（ B ） A. B. C. D. 4.已知向量，，，若∥，则实数的值为（ A ） A.-1 B.1 C.-2 D.2 5.已知向量，满足，且⊥，则（ D ） A.1 B.2 C. D. 6.已知向量，，若，则（ D ） A.-1 B.1 C.3 D.-1或3 7.在△ABC中，点D满足，E为△BCD重心，设，，则可表示为（ C ） A. B. C. D. 8.定义两个非零平面向量的一种新运算“”：，其中为向量，的夹角.若，则向量在向量方向上的投影长度为（ C ） A. B. C. D. 9.已知AD是△ABC的边BC上的高，且，，则（ B ） A.（1，-2） B.（-1，2） C.（2，-1） D.（-2，2） 10.已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（ A ） A.-2 B. C.2 D. 11.已知，为不共线的非零向量，若，，，则（ B ） A.A，B，D三点共线 B.A，C，D三点共线 C.A，B，C三点共线 D.B，C，D三点共线 12.已知向量，，，满足，且，则（ C ） A. B. C. D. （解析：设，，，由题知A，B，C三点不共线，且O既是△ABC的重心也是△ABC的外心，所以△ABC为等边三角形，则，） 13.正三角形ABC中，AB=2，P为BC上靠近B的四等分点，D为BC的中点，则（ A ） A. B. C. D. 14.若，是夹角为60°的两个单位向量，则与的夹角为（ B ） A.60° B.120° C.30° D.150° 二、多选题 15.已知向量，满足，，且，则（ ABC ） A. B. C. D. （解析：由得，同理得，∴，∴，） 16.若平面向量，，其中，，则（ BD ） A.若，则∥ B.若，则与同向的单位向量为 C.若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D.若⊥，则的最小值为4 17.已知平面向量，满足，，，，则（ ACD ） A.⊥ B. C. D.， 三、填空题 18.已知向量，，若⊥，则 5/2 . 19.已知平面向量，，且，，在下列两个条件：①；②中任选一个，则 -3 . 20.已知点A（2，-4），B（，-1），若向量与向量的方向相反，则 . 21.已知，为非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，则 . （解析：设向量与向量的夹角为，所以，所以，则） 22.如图，已知平行四边形ABCD的面积为，∠BAD，E为线段BC的中点.若F为线段DE上的一点，且，则 ，的最小值为 . （解析：由题意得，得，，因为E、F、D三点共线，所以，解得，所以，故，当且仅当时等号成立，所以的最小值为） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$